Mathématiques des marchés financiers

Arnaud Viricel, Mathieu Le Bellac

Description

Depuis 2007, les crises financières successives ont propulsé sur le devant de la scène des termes jusque-là réservés aux seuls spécialistes : Credit Default Swaps, ventes à découvert, couverture de risque, volatilité, Value-at-Risk, obligations souveraines, etc.
Le présent ouvrage est une initiation aux modèles mathématiques qui sous-tendent l'utilisation de ces concepts et de quelques autres. Les auteurs se livrent à une analyse approfondie de ces modèles et de leurs principes fondateurs. Ils donnent une discussion critique de l’utilisation des modèles pour l’identification des stratégies d’investissement, l’évaluation du prix des actifs et la gestion des risques associés aux activités de marché. Le lecteur non spécialiste est ainsi invité à se plonger, le temps d’un livre, au cœur d’une discipline fascinante, largement controversée et régulièrement à la une de l’actualité.

Extraits de la préface de J.-P. Bouchaud : «Le propos des auteurs est de démystifier les modèles classiques de la finance. Ils tentent de distiller, chez le lecteur, l'envie de comprendre en profondeur les mécanismes des marchés financiers, et d'en développer une intuition directe, presque charnelle, avant d'en faire une modélisation quantitative. »

 

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Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 01 mars 2012
• Nombre de lectures: 15
• EAN13: 9782759808663
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 4 Mo

Extrait

MATHÉMATIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS Modélisation du risque et de l’incertitude

Mathieu Le Bellac et Arnaud Viricel Préface de Jean-Philippe Bouchaud

Collection « Une Introduction à » dirigée par Michèle Leduc et Michel Le Bellac

Mathématiques des marchés financiers Modélisation du risque et de l’incertitude

Mathieu Le Bellac et Arnaud Viricel

Préface de Jean-Philippe Bouchaud

17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France

Dans la même collection Les atomes froids Erwan Jahier, préface de M. Leduc

Le laser Fabien Bretenaker et Nicolas Treps, préface de C. H. Townes Le monde quantique Michel Le Bellac, préface d’A. Aspect Les planètes : les nôtres et les autres Thérèse Encrenaz, préface de J. Lequeux Naissance, évolution et mort des étoiles James Lequeux La fusion thermonucléaire contrôlée Jean-Louis Bobin, préface d’E. Klein

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Imprimé en France.

©2012, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages pu- bliées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adres- ser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : [phone].

ISBN978-2-7598-0690-4

Mathieu LE BELLAC Ancien élève de l’École normale supérieure, Mathieu Le Bellac a travaillé dans le département d’audit quantitatif du groupe BPCE. Dans ce cadre, il a participé à plusieurs missions d’ins- pection sur les problématiques de contrôle des risques, de valorisation et de gestion d’actif au sein du groupe Banque Populaire et de Natixis. Il est actuellement Directeur des risques adjoint de la BRED, dont le périmètre de supervision comprend des activités de marchés, d’assurance et de banque de détail.

Arnaud VIRICEL Membre de l’Institut des actuaires. Il a participé à la création de l’activité change et dérivés de la banque Natixis à New York en tant qu’opérateur de marché. Il a rejoint ensuite l’Autorité des Marchés Financiers, où il est en charge de la mise en place d’un système statistique de détection des abus de marché, avant de renforcer l’équipe d’audit quantitatif du groupe BPCE, dont il a pris la direction. Il est, depuis 2011, responsable des risques de marché de Natixis New York.

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Préface

Avant-propos

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5

Table des matières

Les taux d’intérêt 1.1Composition des taux et actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . .Constructions de la courbe de taux 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . .Dynamiques de la courbe des taux

Risque de crédit et marché du crédit 2.1Taux sans risque etspreadde crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Probabilités de défaut implicites 2.3. . . . . . . . . . . . .Un modèle structurel, le modèle de la firme 2.4Corrélation entre les défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Théories d’aide à l’investissement 3.1L’approche rendement-risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2La théorie de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. . . . . . . . . . . . .Le modèle d’évaluation des actifs financiers 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Corrélation contre cointégration*

Théorie du non-arbitrage 4.1Les arbres binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2Le théorème du non-arbitrage (cas discret) . . . . . . . . . . . . . 4.3La complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Le cadre continu*

Le modèle de Black-Scholes 5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Le mouvement brownien . 5.2Les processus lognormaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.3 5.4

Valorisation sous le modèle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . La volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modèles de volatilité 6.1. . . . . . . . . . . . . .Valorisation avec les volatilités implicites* 6.2Modélisation de la volatilité* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Méthodes numériques 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Simulations de Monte-Carlo 7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Méthode des différences finies*

LaValue at Risk(VaR) 8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Principe général 8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .La VaR en pratique 8.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Limites de la VaR

Modèles non gaussiens 9.1Mise à l’épreuve des modèles gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . 9.2Les lois puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3Les processus de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusion

Bibliographie

Index

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Les sections marquées d’une étoile (*) peuvent être un peu plus techniques que les autres, elles présentent des éléments d’approfondissement. Le lecteur qui le souhaite peut sauter ces sections sans perdre le fil du livre.

Table des matières

Préface

L’ingénierie financière souffre depuis 40 ans d’un excès d’axiomatisation, de théorèmes inutiles et de modèles parfois tellement inadaptés qu’ils en deviennent source d’instabilités systémiques. La perfection de l’outil mathématique brouille l’intuition des mécanismes, la beauté des formules masque la complexité des phénomènes, la réalité disparaît derrière le formalisme. Les étudiants qui devien- dront ingénieurs financiers, contrôleurs de risque ou traders se perdent souvent dans la démonstration de théorèmes et sont fascinés par l’esthétisme des résultats, au détriment de la critique des hypothèses et de la compréhension intuitive des modèles et de leurs limites.

Plus encore que dans d’autres domaines, la modélisation en finance devrait être guidée, bridée même, par les observations empiriques. Bien sur, la dyna- mique des marchés est complexe et changeante, mais ce n’est pas une raison pour renoncer à inventer des modèles adaptés aux phénomènes, plutôt que de forcer des modèles mathématiques commodes mais invraisemblables, à coller aux données financières. Comme le dit le psychanalyste Gérard Haddad : « Il faut entrer dans le discours du patient et non tenter de lui imposer le nôtre ».

Or la majorité des livres de finance mathématique – même ceux parus après la crise de 2008 – continuent, comme si de rien n’était, à parler de mouvement Brownien et de modèle de Black-Scholes, de « réplication parfaite » et de risque nul, ou même du « théorème fondamental de la finance », tout en s’abstenant de montrer des données empiriques et de comparer les modèles à la réalité. On se lance à corps perdu dans la calibration de modèles vides de sens, mais tellement flexibles qu’ils pourraient « reproduire un éléphant », comme on a coutume de le dire.

Dans ce contexte, le livre de Mathieu Le Bellac et Arnaud Viricel est particu- lièrement précieux. Leur propos est de démystifier les modèles classiques de la finance, en insistant sur leur interprétation et leurs limites et en conservant du formalisme mathématique son strict minimum. Ils prennent grand soin d’illustrer leur discours par des graphiques, qui s’appuient sur des données empiriques,

ce qui leur permet de faire apparaître de façon flagrante certaines aberrations théoriques. Ils tentent de distiller, chez le lecteur, l’envie de comprendre en pro- fondeur les mécanismes des marchés financiers, et d’en développer une intuition directe, presque charnelle, avant d’en faire une modélisation quantitative. Cette pédagogie du risque sera à coup sûr, pour qui s’en imprègne, très utile en situa- tion de crise ou d’incertitude. Car comme le laisse entendre le sous-titre du livre, Modélisation du risque et de l’incertitude, la limitation essentielle de l’ingénierie financière actuelle – et le vrai défi des années à venir – c’est bien l’incertitude radicale, les «unknown unknowns» et les cygnes noirs qu’il faudra bien, d’une manière ou d’une autre, et tant bien que mal, tenter d’apprivoiser.

2

J.-P. B OUCHAUD Paris, décembre 2011

Préface

Avant-propos

Les mathématiques financières ont été dénoncées par nombre de spécialistes et amateurs comme étant responsables de la dernière crise financière. Loin de nous le projet d’infirmer ou de confirmer de tels soupçons. Nous nous proposons en revanche de revenir aux fondamentaux et de répondre à la question : que sont les mathématiques financières ? Notre ambition est d’aller au-delà d’une simple présentation descriptive et d’inviter le lecteur à pénétrer à l’intérieur de notre discipline : comprendre ses objets, les outils qu’elle utilise, les questions qu’elle se pose, ses problématiques, ses difficultés.

À la racine des mathématiques financières sont les instruments financiers ; nous les présenterons au fur et à mesure des chapitres. Les produits les plus simples sont les biens et titres de propriété, tels que les actions, l’or, le pétrole, l’immobilier, les liquidités en euros ou autres devises. Les autres produits finan- ciers peuvent être vus comme un ensemble de flux monétaires futurs, certains ou incertains. Par exemple, les titres de dette tels que les obligations sont sim- plement des prêts consentis à des entreprises ou des États. Ces titres peuvent être représentés comme un échange de flux financiers, le prêteur apporte au départ une somme d’argent à l’emprunteur qui rembourse à des dates fixées le principal et les intérêts du prêt. Les produits dérivés sont des instruments plus complexes dont les flux de paiement dépendent d’un événement prédéterminé, selon des modalités fixées à l’avance d’un commun accord entre les parties. Par exemple, les flux échangés suite à un «credit default swap» sont liés à l’éventuelle faillite d’une entité de référence ; autre exemple, les « options sur action » sont des instruments financiers qui génèrent des paiements dont le montant est lié à l’évolution de la valeur boursière d’une action de référence. Trois problématiques essentielles tournent alors autour de ces produits finan- ciers : – Comment déterminer leur prix ? – Comment identifier les opportunités d’investissement ? – Comment quantifier et gérer leurs risques ?