Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (ECE) EDHEC Lille

Description

Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2000

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 150
• Langue: Français

Extrait

EDHEC School of management

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours dadmission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES Option économique Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1 xx 1. DéterminerlensembleDdes réels tels queee >0. xx On dénit la fonctionfpar :8x2D; f(x() = lnee). On note(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé(~|{;;~O). 2. (a)Étudier les variations defet donner les limites defaux bornes deD. (b) Endéduire lexistence dun unique réelvériantf() = 0, puis donner la valeur exacte de. p (c) Montrerque le coe¢ cient directeur de la tangente(T)à la courbe(C)au point dabscissevaut5. 3. (a)Calculerlim (f(x)x). x!+1 (b) Endéduire léquation de lasymptote()à la courbe(C)au voisinage de+1. (c) Donnerla position relative de()et(C). 4. Donnerlallure de la courbe(C)en faisant gurer les droites()et(T). p On admettra que'0;5et que'2;2. 8 < g  (x) = 0six <  5. Soitun réel, on noteg  la fonction dénie par :  . : g  (x) =six> 2x e1 0 (a) Onposeh(x) =f(x)x. Aprèsavoir calculerh(x), détermineren fonction depour queg  soit une densité de probabilité dune certaine variable aléatoireX. (b) Donnerla fonction de répartitionG  deX.

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Exercice 2 0 1 0 0 1 @ A Soit la matriceK1 0= 0. 1 0 0 On noteElensemble des matricesMdeM 3 (R)vériant :M K=KM=M. 1. (a)Montrer queEest un espace vectoriel. (b) Montrerpar labsurde quaucune matrice deEnest inversible. 0 1 a b c @ A 2. SoitM=d e fune matrice deE. g h k (a) Montrerquek=g=c=a,h=betf=d, puis en déduire la forme des matrices deE. (b) Retrouverle fait que les matrices deEne sont pas inversibles. (c) Déterminerune base deEet vérier quedimE= 4. 0 1 x y x @ A 3. Onconsidère lensembleFdes mtrices de la formeM=y z yoùx,yetzsont des réels. x y x (a) VérierqueFest un sous-espace vectoriel deEet donner une base deF. (b) Lesmatrices deFsont-elles diagonalisables ? (c) Danscette question on appelleUla matrice deFtelle que :x= 3,y= 2etz= 4. Trouver les valeurs propres deUet exhiber un vecteur colonne propre pour chacune dentre elles. P P 3 3 i+j 4. Onnote'lapplication deFdansRqui à toute matriceAdeFassocie le nombre(1)a i;j , i=1j=1 eme ieme oùa i;j désigne lélément de la matriceAsitué à lintersection de lailigne et de lajcolonne. (a) Montrerque'est une application linéaire deFdansR. (b) DéterminerIm'. Endéduire queker'est de dimension2. 0 1 x y x @ A (c) SoitM=y z yune matrice deker'. x y x Exprimer'(M)en fonction dex,yetzet en déduire une base deker'.

Exercice 3 Pour tout entiernsupérieur ou égal à1, on dénit la fonctionf n par : n2 8x2R + ; f n (x) =x+ 9x4: 1. (a)Montrer que léquationf n (x) = 0na quune seule solution strictement positive, notéeu n . (b) Calculeru 1 etu 2 . 2  (c) Vérierque :8n2N; u n 2]0;[. 3 2. (a)Montrer que, pour toutxélément de]0;1[, on a :f n+1 (x)< f n (x). (b) Endéduire le signe def n (u n+1 ), puis les variations de la suite(u n ). (c) Montrerque la suite(u n )On noteest convergente.`sa limite. n 3. (a)Déterminer la limite de(u n )lorsquentend vers+1. (b) Donnerenn la valeur de`. 2 4. Montrerque la série de terme généralu n est convergente. 3

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Problème On lance indéniment une pièce donnantPileavec la probabilitépetFaceavec la probabilitéq= 1p. On suppose quep2]0;1[et on admet que les lancers sont mutuellement indépendants. ieme Pour tout entier naturelk, supérieur ou égal à2, on dit que leklancer est un changement sil amène un ieme résultat di¤érent de celui du(k1)lancer. ieme On noteP k (resp.F k ) lévénement :on obtient Pile (resp.Face) auklancer. Pour ne pas surcharger lécriture on écrira, par exemple,P 1 F 2 à la place deP 1 \F 2 . Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à2, on noteX n la variable aléatoire égale au nombre de changements survenus durant lesnpremiers lancers.

Partie 1 :étude de quelques exemples. 1. Donnerla loi deX 2 . 2. (a)Donner la loi deX 3 . (b) VérierqueE(X 3 ) = 4pqet queV(X 3 ) = 2pq(38pq). 3. (a)Trouver la loi deX. 4 (b) CalculerE(X 4 ).

Partie 2 :étude du casp6=q. Dans cette partie,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2.

1. ExprimerP(X n = 0)en fonction dep,qetn. 2. Endécomposant lévénement(X n = 1)en une réunion dévénements incompatibles, montrer que   2pq n1n1 P(X n ) = 1) =qp. qp 3. Endistinguant les casnpair etnimpair, exprimerP(X n =n1)en fonction depetq. 4. Retrouver,grâce aux trois questions précédentes, les lois deX 3 etX 4 . ieme 5. Pourtout entier naturelk, supérieur ou égal à2, on noteZ k la variable aléatoire qui vaut1si leklancer est un changement et0sinon (Z k est donc une variable de Bernouilli). ÉcrireX n à laide de certaines des variablesZ k et en déduireE(X n ).

Partie 3 :étude du casp=q. 1. Vérier,en utilisant les résultats de la partie 1, queX 3 etX 4 suivent chacune une loi binômiale. 2. Montrerque, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à2,X n suit une loi binômiale dont on donnera les paramètres.

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