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Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (ECE) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.
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EDHEC School of management
ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours dadmission sur classes préparatoires
MATHEMATIQUES Option économique Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Exercice 1 xx 1. DéterminerlensembleDdes réels tels queee >0. xx On dénit la fonctionfpar :8x2D; f(x() = lnee). On note(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé(~|{;;~O). 2. (a)Étudier les variations defet donner les limites defaux bornes deD. (b) Endéduire lexistence dun unique réelvériantf() = 0, puis donner la valeur exacte de. p (c) Montrerque le coe¢ cient directeur de la tangente(T)à la courbe(C)au point dabscissevaut5. 3. (a)Calculerlim (f(x)x). x!+1 (b) Endéduire léquation de lasymptote()à la courbe(C)au voisinage de+1. (c) Donnerla position relative de()et(C). 4. Donnerlallure de la courbe(C)en faisant gurer les droites()et(T). p On admettra que'0;5et que'2;2. 8 <g(x) = 0six <  5. Soitun réel, on notegla fonction dénie par :. :g(x) =six>2x e1 0 (a) Onposeh(x) =f(x)x. Aprèsavoir calculerh(x), détermineren fonction depour quegsoit une densité de probabilité dune certaine variable aléatoireX. (b) Donnerla fonction de répartitionGdeX.
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Exercice 2 0 1 0 0 1 @ A Soit la matriceK1 0= 0. 1 0 0 On noteElensemble des matricesMdeM3(R)vériant :M K=KM=M. 1. (a)Montrer queEest un espace vectoriel. (b) Montrerpar labsurde quaucune matrice deEnest inversible. 0 1 a b c @ A 2. SoitM=d e fune matrice deE. g h k (a) Montrerquek=g=c=a,h=betf=d, puis en déduire la forme des matrices deE. (b) Retrouverle fait que les matrices deEne sont pas inversibles. (c) Déterminerune base deEet vérier quedimE= 4. 0 1 x y x @ A 3. Onconsidère lensembleFdes mtrices de la formeM=y z yx,yetzsont des réels. x y x (a) VérierqueFest un sous-espace vectoriel deEet donner une base deF. (b) Lesmatrices deFsont-elles diagonalisables ? (c) Danscette question on appelleUla matrice deFtelle que :x= 3,y= 2etz= 4. Trouver les valeurs propres deUet exhiber un vecteur colonne propre pour chacune dentre elles. P P 3 3 i+j 4. Onnote'lapplication deFdansRqui à toute matriceAdeFassocie le nombre(1)ai;j, i=1j=1 eme ieme ai;jdésigne lélément de la matriceAsitué à lintersection de lailigne et de lajcolonne. (a) Montrerque'est une application linéaire deFdansR. (b) DéterminerIm'. Endéduire queker'est de dimension2. 0 1 x y x @ A (c) SoitM=y z yune matrice deker'. x y x Exprimer'(M)en fonction dex,yetzet en déduire une base deker'.
Exercice 3 Pour tout entiernsupérieur ou égal à1, on dénit la fonctionfnpar : n2 8x2R+; fn(x) =x+ 9x4: 1. (a)Montrer que léquationfn(x) = 0na quune seule solution strictement positive, notéeun. (b) Calculeru1etu2. 2 (c) Vérierque :8n2N; un2]0;[. 3 2. (a)Montrer que, pour toutxélément de]0;1[, on a :fn+1(x)< fn(x). (b) Endéduire le signe defn(un+1), puis les variations de la suite(un). (c) Montrerque la suite(un)On noteest convergente.`sa limite. n 3. (a)Déterminer la limite de(un)lorsquentend vers+1. (b) Donnerenn la valeur de`. 2 4. Montrerque la série de terme généralunest convergente. 3
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Problème On lance indéniment une pièce donnantPileavec la probabilitépetFaceavec la probabilitéq= 1p. On suppose quep2]0;1[et on admet que les lancers sont mutuellement indépendants. ieme Pour tout entier naturelk, supérieur ou égal à2, on dit que leklancer est un changement sil amène un ieme résultat di¤érent de celui du(k1)lancer. ieme On notePk(resp.Fk) lévénement :on obtient Pile (resp.Face) auklancer. Pour ne pas surcharger lécriture on écrira, par exemple,P1F2à la place deP1\F2. Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à2, on noteXnla variable aléatoire égale au nombre de changements survenus durant lesnpremiers lancers.
Partie 1 :étude de quelques exemples. 1. Donnerla loi deX2. 2. (a)Donner la loi deX3. (b) VérierqueE(X3) = 4pqet queV(X3) = 2pq(38pq). 3. (a)Trouver la loi deX. 4 (b) CalculerE(X4).
Partie 2 :étude du casp6=q. Dans cette partie,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2.
1. ExprimerP(Xn= 0)en fonction dep,qetn. 2. Endécomposant lévénement(Xn= 1)en une réunion dévénements incompatibles, montrer que   2pq n1n1 P(Xn) = 1) =qp. qp 3. Endistinguant les casnpair etnimpair, exprimerP(Xn=n1)en fonction depetq. 4. Retrouver,grâce aux trois questions précédentes, les lois deX3etX4. ieme 5. Pourtout entier naturelk, supérieur ou égal à2, on noteZkla variable aléatoire qui vaut1si leklancer est un changement et0sinon (Zkest donc une variable de Bernouilli). ÉcrireXnà laide de certaines des variablesZket en déduireE(Xn).
Partie 3 :étude du casp=q. 1. Vérier,en utilisant les résultats de la partie 1, queX3etX4suivent chacune une loi binômiale. 2. Montrerque, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à2,Xnsuit une loi binômiale dont on donnera les paramètres.
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