Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 148
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION TECHNOLOGIQUE

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument; L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmate´riele´lectroniqueestinterditpendantcette´epreuve.

Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

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Exercice 1

On donne les matrices:     3 0 11 0 01 0 1     A = 12 1 , I 1 0= 0 , J 0 1= 1 1 0 30 0 11 0 1

Partie A 2 3k× 1. CalculerJ ,Jcnerruceedu´end;er´arepirJpour tout entierkdeN. 2.De´terminerdeuxnombresr´eelsaetbtels queA=aI+bJ.   n n 4−2 ×n n 3.Montrerparr´ecurrencesurnque pour toutn∈N’lano,et´liga´eA= 2I+J. 2 ×n 4.Ende´duire,pourtoutndeN,Asous forme de tableau de nombres.

Partie B 0 1.Laformuleobtenue`alaquestionA.3.est-elleencorevalablepourn? (on rappelle= 0A=I) 2. Montrerque la matriceAeteacbielevsrtsniseernvnisoerullcpudedohte´malrapvitoedaGsu(selcsalculs figureront sur la copie). 3.Laformuleobtenuea`laquestionA.3.est-elleencorevalablepourn=−1 ?( justifier )

Exercice 2 lnx Soit la fonctionf+;0´edeinfi]rus∞:[ parf(x) =x+ 1 + 2 x On note (Chtroere`pernusnaedivatntse´eprreattnrue´gneuedolit´el’unmal,onor.mc2asocrueb) PartieA:e´tudedefttec´raeed(C). 1. Etudierles branches infinies de (C). On montrera que la courbe admet pour asymptote oblique en +∞la droite (Dtionequa)d’´y=x+ 1. 2 2.Onposepourtoutre´elxstrictement positif:u(x) =x+ 2−2 lnx (a) Etudierle sens de variation deu(on ne cherchera pas les limites deu). Ende´duirelesignedeu(x+) sur ]0;∞[. 0 0 (b) Calculerf(x) et montrer quef(xa)elˆmmeesignequeu(x). (c)Utiliserlere´sultatpr´ece´dentpourd´eterminerlesensdevariationdef,et dresser le tableau de variation def. 3. Constructionde la courbe (C) : (a) Etudierla position de (Cp)raarppdala`tro(etiorDatqu´ed’)nioy=x+ 1. (b)D´eterminerune´equationdelatangente(Tbeur(a`)ocalC) au point d’abscisse 1. 1 (c) Tracer(D), (T) et (C) ( On placera les points de la courbe d’abscisse,1,e,4). 2 On donne:f(e)≈4,5;f(1/2)≈ −1,3;f(4)≈5,7.

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PartieB:approchedelasolutiondel’e´quationf(x)=x. Onadmetquel’´equationf(x) =xt´no],;1]0nsdaueeeitnonuqiuaenosulαet on se propose d’approcherαp.aerturrnee´uctireenus 1. Construireαsur le graphique de la question A.3.(c). 1 −x 2. Soientge´dnoitcruseinfilafonRparg(x) =e( 2 et u n al)dee´ustipar:finie n∈N   u 0 = 1 1 −u n  pour toutn∈N, u n+1 =g(u n ) =e 2 (a)Montrerquel’e´quationf(x) =xviuqe´equationaut`al’´x=g(x). Que vaut doncg(α) ? (b)Montrerparre´currencequepourtoutentiernatureln: 0on a6u n 61. 1 0 0 (c) Calculerg(xontm)eepquertruotruorte´lexde l’intervalle [0;1] ,|g(x)|6. 2 (d)End´eduirea`l’aidedel’ine´galit´edesaccroissementsfinisquepourtoutentierndeN: 1 |u n+1 −α|6|u n −α| 2 (on´enonceraclairementleth´eor`emeutilise´etonjustifieraquel’onestdanslesconditionsd’application).   n 1 3. Montreralors que, pour tout entier natureln,|u n −α|6. 2 4. (a)D´eterminerlalimitedelasuite(u n ) quandntend vers +∞. n∈N (b)De´duiredelaquestionB.3.unevaleurentie`ren 0 erbmaptra`laquirdelenoelleu n est une valeur −2 approche´edeαesa1`0pr` ln 10 Valeursnume´riques:onpourrautiliserlavaleur:≈3,32 . ln 2 Exercice 3 Une urne contient 2 boules rouges et une boule verte indiscernables au toucher.

Partie A Oneffectuedanscetteurnetroistiragessuccessifs,avecremisedelabouletire´eapre`schacundestirages. On note pouri= 1,:2 ou 3R i :” Lai´ritseeebemeeluoti`-trouge”eV i :” Lailuterie´i-e`emobcon(de”rtvestee ¯ V i =R i ) On noteXosu`feioaregelitn´euadonulernebo.eguorbdenumolaae´egetoirl´eableaariaval 1. (a)ReconnaıˆtrelaloideXujtsfiinavttoer´reponse.en Pr´eciserlesvaleursprisesparXpondrresescolit´.snaetleetrospbiba (b)Donnerl’esp´eranceetlavariancedeX. 2.Ond´esigneparYasecslanuo`luobere`d(eguorelavaraeotri´eailbae´lgdanpp’aalegureapaleimertiradnoi aumoinsuneboulerougeesttir´eesurlestrois). Ondonnea`Yalavr0eulesiirstlulesvertes.gasenodtno´n3eob (a)De´crireenfonctiondese´ve´nementsR i etV i :nastusvinestenem´ev´les [(X= 2)∩(Y= 1)],[(X= 1)∩(Y= 3)],[(X= 3)∩(Y= 2)] etd´eterminerleurprobabilit´e.

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(b)Donner,souslaformed’untableau`adoubleentre´e,laloiducouple(X,Y). (Onjustifierapourl’exempledeuxvaleursnontraite´esdanslaquestionpre´c´edente) (c) Expliquercomment retrouver la loi deXua.tiarap`leabutrd (d) Donnerla loi marginale deYsp’era´ecualrlleeectncE(Y) deY. (e) LesvariablesXetYsoni´dpenetne-llserllecual?CesntdaedecnairavocaXet deY.

Partie B Onappelle”manche”l’exp´eriencere´alis´eedanslapartieA(Tirersuccessivementavecremisetroisboulesdans l’urne ). Pour jouer une manche, on mise 10 euros; chaque boule rouge extraite rapporte 5 euros . On appelleGlage´eriotae´laebliaaravldsjuuoueeuneueorlg´ebriqeaugainaid-aneere’c(`-tsmanehencorrl’usd tenant compte de la mise). Par exemple , si lors d’une manche on a extrait une seule boule rouge, alorsGvaut - 10 euros + 5 euros = - 5 euros . 1. (a) ExprimerGen fonction deX. (b)Ende´duirelegainalge´briquemoyend’unjoueur.Lejeuest-il´equitable? 2. (a)Quelleestlaprobabilit´ed’obtenirungainalg´ebriquede5eurosaucoursd’unemanche? (b)Unjoueurde´cidedejouerjusqu’`aobtenirlorsd’unemancheungainalge´briquede5euros. SoitZabrivala.uojesruerra’eteˆsjhe´eouquesdlaneluaonbmeredamcnleal´eatoire´ega Quelle est la loi suivie parZairavaltedecnsp’erlseeencra´ee´ic?rPZ.

Partie C On effectue maintenant 450 tirages avec remise dans l’urne contenant deux boules rouges et une boule verte. On noteNailbvaralegalire´eatoeal´urles450tirages.uneabromebedleouuorsosegnetbsseu 1. Quelleest la loi suivie parNvarietladeancevaue?Qse’ltnelecnare´pN? 2. Montrerque la loi deNteer.seloiarun´eeprochaeppeˆrteptum`rapaesalerisec´rpnotnodelamron 3.Al’aidedecetteapproximation(etsanstenircomptedelacorrectiondecontinuit´e),calculerlaprobabilit´e d’obtenir entre 290 et 310 boules rouges. On donne Φ(1)≈0,celamroni8ol1a4loe3dun`e.itdu´eer´etrendnoie´retrapoiti´eΦdgnsiafelcton

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