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Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

4 pages
Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION TECHNOLOGIQUE
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument; Lusagedetoutecalculatriceoudetoutmate´riele´lectroniqueestinterditpendantcette´epreuve.
Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
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Exercice 1
On donne les matrices:     3 0 11 0 01 0 1     A= 12 1, I1 0= 0, J0 1= 1 1 0 30 0 11 0 1
Partie A 2 3k× 1. CalculerJ ,Jcnerruceedu´end;er´arepirJpour tout entierkdeN. 2.De´terminerdeuxnombresr´eelsaetbtels queA=aI+bJ.   n n 42 ×n n 3.Montrerparr´ecurrencesurnque pour toutnNlano,et´liga´eA= 2I+J. 2 ×n 4.Ende´duire,pourtoutndeN,Asous forme de tableau de nombres.
Partie B 0 1.Laformuleobtenue`alaquestionA.3.est-elleencorevalablepourn? (on rappelle= 0A=I) 2. Montrerque la matriceAeteacbielevsrtsniseernvnisoerullcpudedohte´malrapvitoedaGsu(selcsalculs figureront sur la copie). 3.Laformuleobtenuea`laquestionA.3.est-elleencorevalablepourn=1 ?( justifier )
Exercice 2 lnx Soit la fonctionf+;0´edein]rus:[ parf(x) =x+ 1 + 2 x On note (Chtroere`pernusnaedivatntse´eprreattnrue´gneuedolit´elunmal,onor.mc2asocrueb) PartieA:e´tudedefttec´raeed(C). 1. Etudierles branches infinies de (C). On montrera que la courbe admet pour asymptote oblique en +la droite (Dtionequa)d´y=x+ 1. 2 2.Onposepourtoutre´elxstrictement positif:u(x) =x+ 22 lnx (a) Etudierle sens de variation deu(on ne cherchera pas les limites deu). Ende´duirelesignedeu(x+) sur ]0;[. 0 0 (b) Calculerf(x) et montrer quef(xa)elˆmmeesignequeu(x). (c)Utiliserlere´sultatpr´ece´dentpourd´eterminerlesensdevariationdef,et dresser le tableau de variation def. 3. Constructionde la courbe (C) : (a) Etudierla position de (Cp)raarppdala`tro(etiorDatqu´ed)nioy=x+ 1. (b)D´eterminerune´equationdelatangente(Tbeur(a`)ocalC) au point d’abscisse 1. 1 (c) Tracer(D), (T) et (C) ( On placera les points de la courbe d’abscisse,1,e,4). 2 On donne:f(e)4,5;f(1/2)≈ −1,3;f(4)5,7.
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PartieB:approchedelasolutiondele´quationf(x)=x. Onadmetquel´equationf(x) =xt´no],;1]0nsdaueeeitnonuqiuaenosulαet on se propose d’approcherαp.aerturrnee´uctireenus 1. Construireαsur le graphique de la question A.3.(c). 1 x 2. Soientge´dnoitcruseinlafonRparg(x) =e(2 etunal)dee´ustipar:nie nN u0= 1 1 un pour toutnN, un+1=g(un) =e2 (a)Montrerquele´quationf(x) =xviuqe´equationaut`al´x=g(x). Que vaut doncg(α) ? (b)Montrerparre´currencequepourtoutentiernatureln: 0on a6un61. 1 0 0 (c) Calculerg(xontm)eepquertruotruorte´lexde l’intervalle [0;1] ,|g(x)|6. 2 (d)End´eduirea`laidedeline´galit´edesaccroissementsnisquepourtoutentierndeN: 1 |un+1α|6|unα| 2 (on´enonceraclairementleth´eor`emeutilise´etonjustieraquelonestdanslesconditionsdapplication).   n 1 3. Montreralors que, pour tout entier natureln,|unα|6. 2 4. (a)D´eterminerlalimitedelasuite(un) quandntend vers +. nN (b)De´duiredelaquestionB.3.unevaleurentie`ren0erbmaptra`laquirdelenoelleunest une valeur 2 approche´edeαesa1`0pr` ln 10 Valeursnume´riques:onpourrautiliserlavaleur:3,32 . ln 2 Exercice 3 Une urne contient 2 boules rouges et une boule verte indiscernables au toucher.
Partie A Oneectuedanscetteurnetroistiragessuccessifs,avecremisedelabouletire´eapre`schacundestirages. On note pouri= 1,:2 ou 3Ri:” Lai´ritseeebemeeluoti`-trougeeVi:” Lailuterie´i-e`emobcon(dertvestee ¯ Vi=Ri) On noteXosu`feioaregelitn´euadonulernebo.eguorbdenumolaae´egetoirl´eableaariaval 1. (a)ReconnaıˆtrelaloideXujtsinavttoer´reponse.en Pr´eciserlesvaleursprisesparXpondrresescolit´.snaetleetrospbiba (b)Donnerlesp´eranceetlavariancedeX. 2.Ond´esigneparYasecslanuo`luobere`d(eguorelavaraeotri´eailbae´lgdanppaalegureapaleimertiradnoi aumoinsuneboulerougeesttir´eesurlestrois). Ondonnea`Yalavr0eulesiirstlulesvertes.gasenodtno´n3eob (a)De´crireenfonctiondese´ve´nementsRietVi:nastusvinestenem´ev´les [(X= 2)(Y= 1)],[(X= 1)(Y= 3)],[(X= 3)(Y= 2)] etd´eterminerleurprobabilit´e.
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(b)Donner,souslaformeduntableau`adoubleentre´e,laloiducouple(X,Y). (Onjustierapourlexempledeuxvaleursnontraite´esdanslaquestionpre´c´edente) (c) Expliquercomment retrouver la loi deXua.tiarap`leabutrd (d) Donnerla loi marginale deYspera´ecualrlleeectncE(Y) deY. (e) LesvariablesXetYsoni´dpenetne-llserllecual?CesntdaedecnairavocaXet deY.
Partie B Onappellemanchelexp´eriencere´alis´eedanslapartieA(Tirersuccessivementavecremisetroisboulesdans l’urne ). Pour jouer une manche, on mise 10 euros; chaque boule rouge extraite rapporte 5 euros . On appelleGlage´eriotae´laebliaaravldsjuuoueeuneueorlg´ebriqeaugainaid-aneerec(`-tsmanehencorrlusd tenant compte de la mise). Par exemple , si lors d’une manche on a extrait une seule boule rouge, alorsGvaut -10 euros + 5 euros = - 5 euros . 1. (a) ExprimerGen fonction deX. (b)Ende´duirelegainalge´briquemoyendunjoueur.Lejeuest-il´equitable? 2. (a)Quelleestlaprobabilit´edobtenirungainalg´ebriquede5eurosaucoursdunemanche? (b)Unjoueurde´cidedejouerjusqu`aobtenirlorsdunemancheungainalge´briquede5euros. SoitZabrivala.uojesruerraeteˆsjhe´eouquesdlaneluaonbmeredamcnleal´eatoire´ega Quelle est la loi suivie parZairavaltedecnsperlseeencra´ee´ic?rPZ.
Partie C On effectue maintenant 450 tirages avec remise dans l’urne contenant deux boules rouges et une boule verte. On noteNailbvaralegalire´eatoeal´urles450tirages.uneabromebedleouuorsosegnetbsseu 1. Quelleest la loi suivie parNvarietladeancevaue?Qseltnelecnare´pN? 2. Montrerque la loi deNteer.seloiarun´eeprochaeppeˆrteptum`rapaesalerisec´rpnotnodelamron 3.Alaidedecetteapproximation(etsanstenircomptedelacorrectiondecontinuit´e),calculerlaprobabilit´e d’obtenir entre 290 et 310 boules rouges. On donne Φ(1)0,celamroni8ol1a4loe3dun`e.itdu´eer´etrendnoie´retrapoiti´eΦdgnsiafelcton
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