Mathématiques commune 2004 Concours National DEUG

Vincent

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Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mathématiques commune 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques commune 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

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SESSION 2004

CONCOURS NATIONAL DEUG _______________  Epreuve commune concours Physique et concours Chimie   MATHEMATIQUES  PARTIE I   Durée : 2 heures

 Les calculatrices sontautorisées.  NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.     Les deux exercices sontindépendants.   Exercice I  Etude de séries dont le terme général est le reste dune série convergente.  ∑

Soitn 0  un entier naturel fixé. Soit a n une série convergente. On définit pourn entier naturel n≥n 0 +∞ supérieur ou égal àn 0 ,r n son reste de rangn:r n = ∑ a k . k=n+1

Le but de lexercice est détudier la convergence de la série ∑ r n dans trois exemples différents. n≥n 0  Exemple 1 1.On pose pourn≥0,a n = 1 2 n . Calculerr n puis montrer que ∑ r n converge et calculer sa somme. n≥0   Exemple 2 2.  1  1,On pose pour n≥a n = 2 . n  Nous allons chercher un équivalent de ( r n ) .  Soitkun entier supérieur ou égal à 1.

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a.Montrer que∀t∈ [ k,k+1 ] , ( k+1 1 ) 2 ≤ t 1 2 ≤ k 1 2 . b.En déduire que pour tout entier naturel non nulnet pour tout entierNsupérieur à 2 et à n+1, on a : k= ∑ n N +1 ( k+1 1 ) 2 ≤ n N ∫ + 1+ 1 t d 2 t ≤ k= ∑ n N +1 k 1 2 . c.En déduire que pour tout entier naturel non nuln, on a : 1 1 1 ≤r≤ +  n+1 n n+1 ( n+1 ) 2 . d.Donner alors un équivalent der n ) lorsquenest au voisinage de+∞.

 Que peut-on en conclure sur la nature de la série ∑ r n ? n≥1   Exemple 3 On pose pourn≥1,a n = (−1) n . n 3.Justifier la convergence de ∑ a n . n≥1  4.Expression intégrale der n . 1 n  Soitn (un entier naturel non nul. On définit la suite n ) par n =(−1) n ∫ x + 0 1 a.Montrer que limI n =0 . n→+∞ n k I b.Montrer que n =ln 2+ k ∑ =1 (− k On.ou 1  ) parrclacrelu k n = ∑ − 0 1 (−) k . e + ∑ ∞ (−1) n , puis exprimerr n en fonction de n c.En déduire la valeur d n=1 n  5.Conclusion a .En utilisant une intégration par parties, montrer que lon a : (1) n 1 I n = a( − n+1) +O    n α    oùa∈�et>1 sont à déterminer.



    

b.En déduire la nature de la sérier n . n≥1

dx.

.

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3

Exercice II  Racines carrées de matrices  On rappelle queM 3 (� lensemble des matrices carrées de taille 3 à coefficients réels.) désigne SoitA∈M 3 (� on dit quune matrice) ,R∈M 3 (�) est une racine carrée deAsiR 2 =A. Le but de lexercice est de chercher les racines carrées de la matriceA dans les deux exemples suivants qui sontindépendants.  11 5 5 Exemple 1 Cas oùA   −=   5 5 − 3 3 −3 3     .  −   6.Réduction deA Déterminer le polynôme caractéristique deA puis justifier lexistence dune matrice P∈M 3 (� telle que) inversibleA=PDP −1 oùD    000 010    . =    160 0   

7.Montrer queR une racine carrée de estA, si et seulement si la matriceS=P −1 RP une est racine carrée deD.  8.Racines carrées deD SoitSune racine carrée deD.

a.Montrer queDS=SD. b.Montrer que la matriceSest diagonale. c.Pouri∈{1, 2, 3 , on note respectivements i  etd i  coefficients diagonaux des les matricesSetD. Exprimers i en fonction ded i en déduire les racines carrées de lapuis matriceD.  9.Ecrire toutes les racines carrées deA laide de la matrice àP. (On ne demande pas de calculerP.)

  Exemple 2 : Cas où A   =  100 000    .   0 1 0    10. Question préliminaire : Endo

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morphisme nilpotent

Soitf un endomorphisme non nul de� 3 nilpotent, cest-à-dire vérifiantf N = un0 pour certain entier naturelN. Il existe alors un entier naturel non nulktel quef k−1 ≠0 etf k =0 . Le but de la question est de montrer quek3 . 

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 Soitxun vecteur de� 3 tel quef k−1 (x) 0 ≠. a.Montrer que pouri∈{0,1,...,k−1 , le vecteur i (x non nul. (on rappelle que) est 0 (x)=x) b.Montrer que les vecteursf i (x) 0≤i≤k−1 forment une famille libre. c.Que peut-on en déduire pourk? Justifier votre réponse.  Remarque :Si une matriceM dans une base un endomorphisme représentef nilpotent, on dit queMestnilpotente.

11.Supposons quil existeRune racine carrée deA. a.CalculerA 2 ,A 3 . En déduire queRest nilpotente. b.Calculer alorsR 4 . Comparer avecA 2 puis conclure. 

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Fin de lénoncé.