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Une approche mathématique
et philosophique

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TOPOLOGIE & CONTINUITÉ







































© L’Harmattan, 2016
5-7, rue de l’Ecole-Polytechnique, 75005 Paris

www.harmattan.com
diffusion.harmattan@wanadoo.fr

ISBN : 978-2-343-08714-6
EAN : 9782343087146



































Salomon OFMAN




TOPOLOGIE & CONTINUITÉ





Une approche mathématique et philosophique

Autres ouvrages de l’auteur :
G´om´trie ComplexeorguoisNan¸cecFrs´cSlaticAutte,)i-itcevanoc(rido
entifiques et Industrielles, Hermann, 1996
Pens´e et rationnel :Spinoza, L’Harmattan, 2003
G´om´trie Complexe IIc(doitnoriceFranavecsNor¸coicA,)teugs´tilaut
Scientifiques et Industrielles, Hermann, 2004

6

AVANT-PROPOS ET INDICATIONS D‘USAGE

Le but principal de cet ouvrage est d’introduire le lecteur ` la mani`re de
raisonner en math´matiques.La topologie est un exemple de th´orie abstraite
construite ` partir de notions extrˆmement intuitives telle la continuit´.Elle
pr´sente en outre l’avantage d’unifier ce qui, de tout temps, avait ´t´ consid´r´
comme radicalement disjoint, le discret et le continu.

La premi`re partiepropose une (re-)d´couverte de notions de base des
math´matiques, en insistant longuement sur les points pr´sentant des
difficult´s lorsqu’on n’a pas derri`re soi une longue pratique math´matique.La
pr´sentation est n´cessairement tr`s diff´rente des cours publi´s jusqu’` pr´sent.
Ceux-ci visent en effet ` l’apprentissage du maximum de connaissances en un
minimum de temps, leur cible ´tant un public essentiellement form´ d’´tudiants
de classes pr´paratoires en vue de leurs concours.On trouvera ici des ´l´ments
n´cessaires ` la compr´hension de tout texte de math´matique, et plus
particuli`rement de ce qui va suivre.Ils peuvent et doivent ˆtre ´tudi´s pour
eux-mˆmes, dans la mesure o`, d’une part on y lit d´j` la mani`re g´n´rale
de proc´der en math´matiques, et d’autre part parce que c’est alors qu’il est
le plus simple de rapprocher raisonnements math´matiques et raisonnements
philosophiques.

La seconde partieest plus sp´cialis´e puisqu’on entre dans le domaine
de la topologie proprement dit.En fait, le premier chapitre en est encore
ind´pendant, quoique essentiel pour ce qui va suivre.On peut dire qu’il s’agit
l` d’une reprise formalis´e par les math´matiques pour ´laborer une th´orie de
la nomination.En elle-mˆme, elle ne pr´sente pas de difficult´s, c’est plutˆt
qu’il s’agit d’acqu´rir une souplesse de raisonnement, ce qui n’est pas si facile,
le seul moyen d’y parvenir ´tant la pratique r´p´t´e.
La plus grande part de ce qui suit alors est la pr´sentation nouvelle de
la notion de continuit´ par la topologie, dont on a d´j` soulign´ le caract`re
unificateur.
L` encore notre approche est diff´rente de l’approche usuelle.Alors que
celle-ci consid`re n´cessaire d’introduire d`s que possible les notions de
‘m´triques’ et de nombres r´els, nous avons fait l’impasse sur ces derniers.Leur
construction rigoureuse est d´licate et demande beaucoup de temps.En outre,
elle n’est pas n´cessaire ` notre projet.Les questions relatives ` la
continuit´ ont ´t´ consid´r´es depuis toujours essentiellement li´e ` ce qu’en langage
moderne on appelle les ‘nombres r´els’.Pourtant, et c’est le deuxi`me aspect
int´ressant de la topologie, il est paradoxalement possible d’´tudier toutes ces

7

notions en consid´rant les seuls rationnels, et tr`s souvent mˆme, de se
restreindre ` des ensembles finis.C’est la d´marche adopt´e ici.
Dans la derni`re partie, nous donnons de mani`re tr`s ´l´mentaire des
constructions omnipr´sentes dans les math´matiques contemporaines, conduisant `
la distinction, puis au passage de ce qu’on nomme des situations ‘locales’ ` des
situations ‘globales’.Un exemple physique tr`s simple, qui depuis l’Antiquit´
n’a pas manqu´ de soulever des paradoxes, est la perception que nous avons
de notre environnement.Nous vivons dans un milieu ` trois dimensions, mais
nousnousd´pla¸cons`pieds,`v´loouenvoiture,surunplan(sauf,etencore
pour de brefs moments, en avion).Pourtant nous savons que la terre sur
laquelle nous ´voluons est sph´rique.Il n’est donc pas absurde d’opposer local et
global, et de dire que localement notre milieu est un plan, mais que globalement
c’est une sph`re.
`lasuiteducoursonpropose,divis´ssuivantlespartiesauxquellesils
r´f`rent, des exercices non corrig´s, mais dont l’´nonc´ par lui-mˆme sugg`re
la solution pas ` pas.Il est recommand´ d’essayer de les r´soudre pour tester
sa compr´hension de chaque chapitre.
Enfin le lecteur trouvera en annexes la plupart des textes philosophiques
utilis´s. Celane devrait certainement pas l’empˆcher de consulter les œuvres
originales, ne serait-ce que pour les mettre en perspective.

8

TOPOLOGIE & CONTINUIT´
Une approche math´matique et philosophique I

‘Ainsi les math´matiques peuvent ˆtre d´finies comme la discipline o` l’on
ne sait jamais de quoi on parle ni si ce que l’on dit est vrai’ (Bertrand Russel,
International monthly, 1901, p.84).

INTRODUCTIONG´N´RALE

Ce livre est la mise en forme d’un cours donn´ pendant plusieurs ann´es
` l’universit´ Paris 7.C’est une introduction ` la topologie, l’une des th´ories
math´matiques les plus abstraites, bien qu’issue de notions aussi intuitives que
celles de proximit´ et de variation r´guli`re.
Ce cours s’adressait ` des ´tudiants de niveaux math´matiques tr`s
diff´rents. Pourcertains, de formation scientifique, il s’agissait d’aborder un sujet
nouveau qu’ils allaient approfondir dans la suite de leurs ´tudes.D’autres,
ayant suivi un parcours plus litt´raire, allaient ´tudier des questions qui
n´cessitaient, entre autres choses, de comprendre les sp´cifit´s d’un raisonnement
math´matique.

L’objectif de cet ouvrage est donc double.D’une part, donner les bases
d’une th´orie math´matique d´termin´e, la topologie ; d’autre part, de mani`re
plus g´n´rale, apprendre ` former des raisonnements coh´rents, ainsi qu’on est
suppos´ le faire en math´matiques.Il s’agit de comprendre comment
construire une argumentation coh´rente, passant par la maıtrise de ce qu’autrefois
on appelait le raisonnement ‘more geometrico’ (‘` la mani`re des g´om`tres’).
Probl´matique qui d´passe largement le cadre des math´matiques proprement
dites,lesquestions´thiqueselles-mˆmespouvantˆtrecon¸cuessouscetteforme,
ainsi Spinoza ´crivant pr´cis´ment ‘more geometrico’*.
On trouvera donc ici une introduction ` la topologie moderne illustr´e,
entre autres, par des textes philosophiques, et une r´flexion sur les origines
des notions introduites permettant une meilleure compr´hension des questions
´tudi´es. Lesuns auront ainsi l’occassion d’´largir leur champ de connaissances,
les autres d’´tablir des relations entre ces questions et leur savoir dans des
domaines usuellement consid´r´s sans rapports.

* Letitre original de l’un des ses ouvrages les plus c´l`bres estEthica
Ordine Geometrico demonstrata, c’est-`-diremontued´elonr´esrde’lroqiht´’l
g´om´triqueabr´g´ simplement enehiqul’´t.

9

L’ensemble des connaissances requises dans ce cours est r´duit au
minimum, les d´finitions n´cessaires y ´tant syst´matiquement rappel´es.Dans le
mˆme esprit, on privil´gie toujours la clart´ d’exposition sur le formalisme ou
la bri`vet´, ce qu’on appelle en math´matiques du terme vague ‘d’esth´tique’.
Ainsi, on ne trouvera pas explicitement l’appareil logico-axiomatique
sousjacent. Lelecteur int´ress´ pourra se reporter par exemple au petit livre de
Paul Halmos,Naive Set Theoryqui en donne une approche relativement simple.

Le titre ‘Topologie et contiunuit´’ est d’une certaine mani`re pl´onastique.
En math´matiques modernes en effet, la continuit´, c’est-`-dire, intuitivement,
l’´tudedecequichangedefac¸onr´guli`re,sansvariationstropbrutales,est
une partie de la topologie.Pourtant son importance, aussi bien en philosohie
qu’en math´matiques, justifie de lui accorder une place particuli`re.

Ce livre se compose de deux parties.La premi`re traite des questions
de th´orie des ensembles n´cessaires pour d’aborder la seconde.Elle est
ind´pendante et peut ˆtre consid´r´e comme une introduction ´l´mentaire ` cette
th´orie.
La seconde partie introduit des notions fondamentales de topologie, en
particulier, celle de continuit´.Elle se conclut sur la relation entre le petit et
le grand, ´tudi´s en math´matiques sous les termes plus savants de local et de
global
`lalecturedecequivasuivre,cequiparaıtrasansdouteleplus´trange,
et peut-ˆtre le plus rebutant au lecteur non habitu´ aux proc´d´s utilis´s en
math´matiques, est cette curieuse manie de complexifier jusqu’` l’absurde des
concepts qui apparaissent pourtant tr`s simples et tr`s intutitifs.
On pourrait penser qu’il s’agit d’un effet pervers de la modernit´, ` la
mani`re de ce que soutenait d´j` au d´but du si`cle dernier Henri Poincar´,
math´maticien lui-mˆme, dans sa pol´mique avec Karl Weierstrass*.
Et pourtant, ce n’est pas un trait r´cent des math´matiques, puisqu’on la
trouve d´j` ` l’œuvre dans les´´lemtnsd’Euclide. Parexemple, la d´finition 5
du livre V pr´tend d´finir ce qu’est l’´galit´ de deux rapports, alors qu’il n’est
gu`re de notion plus intuitivement claire que celle d’´galit´ (en math´matiques
ou ailleurs).
Cette d´finition est si complexe que longtemps elle, et par suite le livre
V tout entier, a eu une r´putation d’obscurit´ parmi les math´maticiens
euxmˆmes.

*Science et m´thode, II, II.7.

10

Pour sa d´fense, et celle de tels proc´d´s, il y avait l` une premi`re approche
de la construction des nombres r´els r´alis´e par Dedekind, deux mille ans plus
tard, au point que certains de ses coll`gues math´maticiens se sont demand´s
si celui-ci avait apport´ des id´es nouvelles par rapport au texte d’Euclide**.
La construction des r´els est d’ailleurs suffisamment complexe pour que
dans ce livre, nous ayons choisi de nous placer dans le cadre des nombres
rationnels, le passage ` celui des nombres r´els ne posant g´n´ralement pas de
difficult´s pour le lecteur habitu´ ` les manipuler.

Pour conclure, nous allons faire un retour sur la citation de Bertrand
Russel, logicien et philosophe du 20`me si`cle, que nous avons donn´e en exergue,
au d´but de cette introduction.De prime abord, elle peut ˆtre, et est, en
effet, souvent interpr´t´e comme une critique de la pr´tention ` la v´rit´ des
math´matiques, qui au contraire, suivant cet auteur, seraient alors la discipline
qui s’en ´loignerait le plus.
Comme on va le voir, et on en trouvera bien d’autres exemples dans cet
ouvrage, les explications les plus imm´diates, mˆme lorsqu’elles semblent
absolument claires et convainquantes, ne sont pas n´cessairement les meilleures,
ni mˆme exactes.C’est pr´cis´ment ce qui justifie les ´tranges m´thodes
d´finitionnelles que nous avons not´es en math´matiques.
Si l’aspect provocateur n’est certainement pas enti`rement ´tranger ` notre
auteur, il s’agit comme le montre le contexte, de tout autre chose.Il faut
comprendre en effet que, selon Russel, les math´matiques ne s’int´ressent pas
aux objets, mais ` leurs relations.Ce qui revient encore ` dire que, d’une
certainefac¸on,les‘objets’math´matiquessontcesrelations.
Ainsi, ´tant donn´es deux propositions que l’on associe par le ‘et’ logique
(coordination) pour en obtenir une nouvelle, on se demande sous quelles
conditions celle-ci est vraie ou fausse.Autrement dit, siAetBsont deux
propositions, la question est de savoir sous quelles conditions la proposition ‘AetB’
est vraie/fausse*.
Par contre, on ne pose pas le probl`me de la v´rit´ des propositions
ellesmˆmes, toute v´rit´ math´matique ´tant donc en ce sens conditionnelle.De
mˆme, ´tant donn´s deux nombres, on s’int´resse aux op´rations sur ces
nombres, par exemple leur addition ou leur multiplication, et non ` ce qu’est un

** R´ponse de Lipschitz ` Dedekind cit´e par ce dernier dans sa lettre de
juillet 1876 inCorrespondance compl`te de Dedekind.
* lar´ponse ´tant qu’elle est vraie lorsque les deux le sont, fausse lorsque,
au moins, l’une d’elle est fausse.

11

nombre**. L’int´rˆtd’une telle approche est qu’elle rend possible de traiter de
lamˆmefac¸onlesnombresetlesautres‘objets’,d`slorsqu’onpeutd´finirsur
ceux-ci une op´ration d’addition ou de multiplication.
C’est en effet ce que Bertrand Russel explique quelques lignes plus haut :
‘Les math´matiques pures consistent enti`rement en des affirmations de
la forme suivante :si telle ou telle proposition est vraie ` propos dequelle
que choseque ce soit, alors telle et telle autre proposition est vraie ` propos
de cette chose.Il est esentiel de ne pas discuter si la premi`re proposition est
r´ellement vraie, et de ne pas mentionner ce qu’est la chose suppos´e vraie (...)
En math´matique pure, on part de certaines r`gles d’inf´rence, par lesquelles
on peut d´duire quesiune proposition est vraie alors il en est de mˆme d’une
autre’ (cf.Annexe I)
Et dans un texte post´rieur (cf.Annexe I), il pr´cise encore :
’La math´matique pure est compl`tement indiff´rente aux choses actuelles,
et se trouve ind´pendante de la nature de ce qui existe.Donc elle peut ˆtre
exacte, quelle que soit la nature du flux sensible’.
C’estparce queles math´matiques ne s’int´ressent pr´cis´ment pas au r´el
sensible, c’est-`-dire ` ce qui est en proie au changement permanent, qu’elles
peuvent avoir ce caract`re de v´rit´ et d’´ternit´.Et lorsque Russel dit qu’en
math´matiques, on nesait‘jamais de quoi on parle ni si ce que l’on dit est
vrai’, il veut exprimer par l`, non pas une quelconque ignorance, mais que l’on
nes’int´ressepas ` ‘ce’ dont on y parle, ni ` ‘sa’ v´rit´*.Un des objectifs
de ce cours est de donner des ´l´ments permettant au lecteur de se forger une
opinion sur cette question.

** Pourtanton ne s’interdit pas de d´finir les nombres, mais c’est
essentiellement pour savoir comment les manipuler, e.g.les additionner ou les multiplier !
* Ilne faut jamais sous-estimer le caract`re ‘trompeur’ des ´nonc´s
math´matiques. Cela´tait d´j` not´ par Platon lorsque Socrate remarque que les
math´maticiens dessinent (et disent) une chose alors mˆme qu’ils pensent `
une autre :‘ils font en outre usage de figures visibles et (...)ils construisent
des raisonnements, sans avoir dans l’esprit ces figures elle-mˆmes, mais les
figures parfaites dont celles-ci sont les images, raisonnant en vue du carr´ en
lui-mˆme, de sa diagonale en elle-mˆme, mais non en vue de la diagonale qu’ils
tracent, et de mˆme pour les autres figures’ (R´publiqueVII, 510d).

12

TOPOLOGIE & CONTINUIT´

PREMI`REPARTIE

TH´ORIEDESENSEMBLES

0.G´N´RALIT´S

On utilisera par la suite les abr´viations suivantes :
prop. : proposition; th.: th´or`me,tq :tel que, i.e.: autrementdit
(au sens de ‘´quivalent `’ (abr´viation deid est)), ssi :si et seulement
si, resp.: respectivement,...

Lorsqu’on voudra signifier qu’on utilise directement lad´finition avec
un symbole, on lui ajoutera ‘:’.
Une ´galit´ s’´crit alors ’:=’, au lieu de ’=’, une implication
‘:⇒’ (respectivement ‘⇐:’) au lieu de ‘⇒’ (resp.‘⇐’) et ‘:⇔’ en
place de ‘⇔(resp. ‘’. Demˆme, on ´crira ’=:’⇔:’) lorsque l’´galit´
(resp. l’´quivalence’) s’ensuit de la d´finition du second membre.
Ainsia:= 2 signifie queaa ´t´ d´fini comme ´tant ´gal au nombre 2.
a=:bsignifie queba ´t´ d´fini comme ´tant ´gal `a.
b∈B:⇒b >3 signifie que l’appartenance deb`Bimplique, par
d´finition,bstrictement plus grand que 3.

L’utilisation de ‘respectivement’ (g´n´ralement abr´g´ en ‘resp.’): on
utilise ‘respectivement’, le plus souvent sous sa forme abr´g´ ‘resp.’, pour
donner deux ´nonc´s parall`les r´unis en un seul.
Exemples
1) ‘Deux triangles ayant leurs trois cˆt´s (resp.1 cˆt´ et 2 angles) ´gaux
deux ` deux sont ´gaux.’ est une abr´viation pour les deux ´nonc´s :
i) ‘Deux triangles ayant leurs trois cˆt´s ´gaux deux ` deux sont ´gaux.’
ii) ‘Deux triangles ayant 1 cˆt´ ´gal et 2 angles ´gaux deux ` deux sont
´gaux.’

2) ‘Deux triangles ayant leurs cˆt´s (resp.leurs angles) ´gaux deux ` deux
sont ´gaux (resp.semblables).’ estune abr´viation pour
i) ‘Deux triangles ayant leurs cˆt´s ´gaux deux ` deux sont ´gaux.’
ii) ‘Deux triangles ayant leurs angles ´gaux deux ` deux sont semblables.’

13

Notations
SoientA, B, Cdes ensembles.
On dit queAest inclus dansBou encore queAest un sous-ensemble de
B, si tout ´l´ment deAest un ´l´ment deB. Onnote alorsA⊂B(i.e.A⊂B
´quivaut ` :a∈A:⇒a∈B).
L’´galit´ des ensemblesAetBsignifie que tout ´l´ment de l’un appartient
` l’autre et inversement i.e.on a ` la fois l’inclusionA⊂Bet l’inclusion
B⊂A2 ensemblesest donc toujours prise au ‘sens large’ i.e.. L’inclusion
´gaux sont inclus l’un dans l’autre.
La r´union des ensemblesAetBest l’ensemble not´A∪Bdont les ´l´ments
sont ceux deAoudeBi.e.a∈A∪B´quivaut ` :a∈Aoua∈B.
En particulier on a toujours les inclusions :A⊂A∪BetB⊂A∪B.
L’intersection des ensemblesAetBest l’ensemble not´A∩Bdont les
´l´ments sont ceux appartenant ` la fois `Aet `Bi.e.a∈A∩B´quivaut ` :
a∈Aeta∈B.
En particulier on a toujours les inclusions :A∩B⊂AetA∩B⊂B.
′ ′
SiAest un sous-ensemble dansA, on noteA\Ale sous-ensemble form´
′ ′′
des ´l´ments deAn’appartenant pas `Ai.e.A\A:={a∈A;a∈A}.
′ ′
On dit encore queA\Aest le compl´mentaire deAdansA.
′ ′
SiAetAsont des sous-ensembles d’un ensembleB, on noteA\Apour

A\(A∩A).

On note∅l’ensemble vide i.e.n’ayant aucun ´l´ment.

Lemme 0.1
′ ′′
SoitAun ensembleAetAdes sous-ensembles deA. On a :
′ ′
i)A\(A\A) =A, autrement dit le compl´mentaire du compl´mentaire
d’un ensemble est cet ensemble lui-mˆme.
′′ ′′ ′′′′
ii)A⊂A´quivaut ` (A\A)⊂(A\A), autrement dit,Aest contenu
′ ′′′
dansAssi le compl´mentaire deAest contenu dans le compl´mentaire deA.
′ ′′′ ′′
iii)A\(A∪A) = (A\A)∩(A\A).
′ ′′′ ′′
iv)A\(A∩A) = (A\A)∪(A\A).

D´monstration
′′ ′′′ ′
i) SoitA:=A\A. Ona :a∈A⇔a∈A,
d’o` les ´quivalences:
′′ ′′′ ′
a∈A\A⇔[a∈Aeta∈A]⇔[a∈Aeta∈A]⇔(puisqueA⊂A)

a∈A.

14

′′ ′
Les ensemblesA\AetAayant mˆmes ´l´ments, ils sont (par d´finition
′′ ′
de l’´galit´ des ensembles) ´gaux i.e.A\A=A.

ii) a) On montre tout d’abord l’implication :
′′ ′′ ′′
A⊂A⇒[(A\A)⊂(A\A)].
′ ′
Soita∈A\A, on a donca∈Aeta∈A.
′′ ′′′
L’inclusionA⊂Asignifie que tout ´l´ment appartenant `Aappartient
′ ′
`Aou encore par contraposition, tout ´l´ment qui n’appartient pas `A
′′ ′′′ ′′
n’appartient pas `A, d’o`a∈Aimpliquea∈Aet donca∈A\A.

Ceci ´tant vrai pour touta∈A\A, on a donc l’inclusion :
′ ′′
(A\A)⊂(A\A).
b) On montre maintenant l’implication inverse :
′ ′′′′ ′
[(A\A)⊂(A\A)]⇒A⊂A.
′ ′′′ ′′
On pose :B:=A\AetB:=A\A.
′ ′′′′ ′
L’inclusionB⊂Bimplique (d’apr`s le a)) :A\B⊂A\B(1).
′′ ′′′′ ′′ ′
D’apr`s i), on a :A\B:=A\(A\A) =AetA\B:=A\(A\A) =A
′′ ′
d’o` (d’apr`s (1)) :A⊂A.

′ ′′′
iii) a) Par d´finition de la r´union de 2 ensembles, on a :A⊂A∪Aet
′′ ′′′ ′′′
A⊂A∪A. D’apr`sii), on a donc :A\(A∪A) est contenu ` la fois dans
′ ′′
(A\A) et (A\A), d’o` :
′ ′′′ ′′
A\(A∪A)⊂(A\A)∩(A\A).
′ ′′
b) Inversement, soita∈(A\A)∩(A\A:). Cela signifie
′ ′′′ ′′
a∈(A\A) eta∈(A\A) i.e.:a∈Aeta∈Ad´finition de la. Par
′ ′′′ ′′′ ′′
r´union, cela signifie :a∈A∪A(, d’o` :A\A)∩(A\A)⊂A\(A∪A).
′ ′′′ ′′
D’apr`s a), on a donc l’´galit´ : (A\A)∩(A\A) =A\(A∪A).
′ ′′′
iv) a) Par d´finition de l’intersection,A∩Aest contenu ` la fois dansA
′′ ′′′ ′′′
etA, d’o` d’apr`s ii), (A\A) et (A\A) sont contenus dansA\(A∩A) i.e.
′ ′′′ ′′
(A\A)∪(A\A)⊂A\(A∩A).
′ ′′′ ′′
b) Inversement, soita∈A\(A∩A:). Cela signifiea∈(A∩A).
′ ′
Donc ou bienan’appartient pas `Aet alors :a∈A\Abien il. Ou
′′ ′′
n’appartient pas `A, et alors :a∈A\Ales deux cas il appartient. Dans
′ ′′′ ′′′
` (A\A)∪(A\A),d’o` (d´finition de l’inclusion) :A\(A∩A)⊂(A\A)∪
′′ ′′′ ′′′
(A\Aa bien l’´galit´ :(). D’apr`s a), onA\A)∪(A\A) =A\(A∩A).

ATTENTION

Le i) du lemme serait faux siAn’est pas contenu dansA.

Ainsi, en prenantB:={x, y, z}etA:={x, y}, A:={y, z} ⊂B, on a :
′′ ′′ ′′′
A:=A\A:=A\(A∩A) :={x, y}\{y}={x}d’o` :A\A={y} =A:=
{y, z}.

15

ATTENTION
Lorsqu’on a une suite d’implications ou d’´quivalences, il n’est pas toujours
facile de savoir exactement ce qui implique et ce qui est impliqu´. Ainsi ‘aest
plus grand quebetbest plus grand quecd’o`aest plus grand quec’ pourrait
signifier
a) soit :
de ce que ‘aest plus grand queb’ et ‘best plus grand quec’, on d´duit ‘a
est plus grand quec’
b) soit :
premi`re affirmation :‘aplus grand queb’,
seconde affirmation :‘bplus grand quec’, on d´duit ‘aplus grand quec’.
Ici l’ambiguıt´ peut ˆtre lev´e facilement, mais cela n’est pas toujours le cas.

De mˆme soientp,q,r,sdes propositions ; l’´nonc´ ‘p⇒qetr⇒s’ peut
signifier
a) soit qu’on a simultan´ment :‘p⇒q’ et ‘r⇒s’
b) soit qu’on a simultan´ment :‘p⇒(qetr)’ et ‘(qetr)⇒s’.

Il est parfois tr`s malais´ d’´viter ce type d’ambiguıt´s qui conduisent
souvent ` une mauvaise compr´hension.On n’essaiera ici de s´parer clairement
les diverses parties des ´nonc´s, soit par une ponctuation, soit en utilisant des
mots du langage courant plutˆt que des symboles formels.
Ainsi en est-il avec l’associativit´ o` il faut d´cider si ‘5×est ´gale `3 + 4’
‘15 + 4’(i.e. ‘(5×3) + 4’)ou ‘5ב57’ (i.e.×Pour des symboles tr`s(3 + 4)’).
utilis´s, on r´sout la question en d´finissant une fois pour toute un ordre de
priorit´. Dansl’exemple pr´c´dent, la multiplication est g´n´ralement consid´r´e
comme prioritaire sur l’addition i.e.la premi`re est effectu´e avant la seconde.
Il en est diff´remment lorsque l’on a affaire ` toutes les possibilit´s d’´nonc´s et
de symboles, d’o` la n´cessit´ d’utiliser syst´matiquement des parenth`ses, au
risque d’alourdire l’´criture.Comme nous l’avons indiqu´ dans l’introduction,
on pr´f´rera toujours la lourdeur ` l’ambiguıt´.

Dans la suite, on utilisera des raisonnements dits par l’absurde :pour
prouver une propri´t´, on suppose qu’elle est fausse et on en d´duit un r´sultat
qu’on sait ˆtre faux.
Plus g´n´ralement, pour prouver une implicationP1⇒P2, on montrera
souvent ce qu’on appelle sa contrapos´e, ` savoirnon(P2)⇒non(P1) (o`
non(P) est la n´gation de la propositionP).

16

1. PRODUITD’ENSEMBLES

D´finitionProduit de deux ensembles
SoitAetBdeux ensembles ; l’ensembleCd´fini par

C={(a, b);a∈A, b∈B}

est appel´ le produit deAparBet est not´A×B.
Si on a :A=∅ouB=∅, on poseA×B:=∅i.e.∅ ×B=A× ∅:=∅.

′ ′′ ′
Attention(: Sia, b) et (ba ,) appartiennent `A×B, (a, b) = (a , b) signifie
′ ′
a=aetb=bune mani`re de d´finir l’´galit´ des couples.. C’est

Remarque 1.0
i) Il faut donc distinguer les couples (a, b) et (b, a), et en g´n´ral le produit
A×Best difff´rent du produitB×A. Celasignifie que (a, b) d´pend de la
position deaet debn’est pas diff´rent pour l’´criture d’un nombre, ainsi. Cela
12 est diff´rent de 21 bien que tous deux soient form´s des mˆmes chiffres, mais
dans un ordre diff´rent.
ii) Il faut donc ´galement distinguer le couple (a, b) de l’ensemble{a, b}
form´ des ´l´mentsaetb. Eneffet, suivant la d´finition de l’´galit´ des couples
′ ′
(cf. ci-dessus),on a :(a, b) = (a ,b) ´quivaut ` :
′ ′
a=aetb=b.
Par contre deux ensembles ´tant ´gaux si leurs ´l´ments sont ´gaux, l’´galit´
′ ′
{a, b}={a , b}´quivaut ` :
′ ′
- soita=aetb=b
′ ′
- soita=beta=b.

D´finition et notation
i) On dit qu’un ensembleXest fini s’il existe un entierktel queXposs`de
au pluskDans ce cas, on note´l´ments (distincts).N(X)le nombre de ses
´l´ments que l’on appelle encore le cardinal de l’ensembleX.
ii) Un ensemble infiniXest donc un ensemble ne v´rifiant pas la d´finition
ci-dessus, ` savoir que pour tout entierk, il existe un sous-ensemble deX
poss´dant au moinsk´l´ments (distincts)

17

Lemme 1.0
SoitAetBdeux ensembles finis, alorsA×Best aussi fini et on a :
N(A×B) =N(A)N(B).

D´monstration
SiA:=∅ouB:=∅, on a par d´finition :A×B:=∅d’o`N(A×B) =
N(∅) = 0, et on a bienN(A×B) =N(A)N(B).
On peut donc supposer que niAniBne sont vides.SoitA={a1, . . . , ah}
etB={b1, . . . , bk}, o` lesa1, . . . , ah(resp.b1, . . . , bk) sont tous distincts (i.e.
N(A) =h, N(B) =kpeut ´crire le produit). OnA×Bsous la forme suivante :
 
(a1, b1). ., .,(ah, b1)
 
 
(a1, b2). ., .,(ah, b2)
A×B=.
. . .
 
(a1, bk). .,, .(ah, bk)
Cet ensemble ´tant form´ dehcolonnes et deklignes comprend donchk
´l´ments tous distincts (par d´finition de l’´galit´ des couples) et l’on a bien
N(A×B) =hk=N(A)N(B) .

Plus g´n´ralement, on peut d´finir par induction le produit d’un nombre
quelconque (fini) d’ensembles.En effet, soitA1, . . . , Aldes ensembles, on pose :
A1×. . .×Al:= (A1×A2. . .×Al−1)×Alou encore directement :
A1×. . .×Al={((a1, a2, . . . , al−1), al);a1∈A1, . . . , al∈Al}.
On identifie (a1,(a2, a3)) et ((a1, a2), a3), d’o` on a l’´galit´ (A1×(A2×
A3)) = ((A1×A2)×A3plus g´n´ralement, comme pour un produit de). Et
nombres, on n’a pas ` se soucier de la place des parenth`ses dans un produit
d’ensembles (c’est l’associativit´ du produit des ensembles).

Proposition 1.1
Si les ensemblesA1, . . . , Alsont finis, alors leur produitA1×. . .×Alest
encore un ensemble fini et l’on a

N(A1×. . .×Al) =N(A1)· · ·N(Al).

D´monstration
La d´monstration se fait parr´currencesur le nombreld’ensembles.
Le r´sultat ayant ´t´ montr´ pourl= 2 (c’est le lemme 1.0), on le suppose
v´rifi´ pour 2≤i < l(c’est l’hypoth`se de r´currence) et on montre qu’il est
alors v´rifi´ pouri+ 1.
SoitB=A1×. . .×Ai−1, suivant l’hypoth`se de r´currence :

N(B) =N(A1)· · ·N(Al−1)

18

(1)

et puisqueA1×. . .×Al=B×Al, on a (lemme 1.0) :
N(A1×. . .×Al) =N(B)×N(Al), d’o` d’apr`s (1) :

N(A1×. . .×Al) =N(A1)· · ·N(Al).

Remarque 1.1
i) Dans la d´monstration pr´c´dente on a utilis´ une‘d´monstration
par r´currence’pour un ensemble fini de termes (` savoir leslensembles
A1, . . . , Al). Cela consiste` d´montrer une assertion en
(1) la prouvant pour le premier terme (ici le premier terme ´tait ´gal ` 2),
(2) puis de montrer que si elle est v´rifi´e pour uni-`me termei < l, alors
elle l’est pour le terme suivant i+1.
L’assertion ´tant vraie pour le premier terme (d’apr`s (1)), elle l’est pour
le second (d’apr`s (2)), donc pour le troisi`me (d’apr`s (2)) et ainsi de suite
pour tous.
ii) De mˆme qu’on a vu qu’il fallait distinguer entre le couple (a, b) et
l’ensemble{a, b}(remarque 1.0), pour toutkentier, il faut distinguer entre
(a1, . . . , ak) et l’ensemble{a1, . . . , ak}.
Ainsi, on a :
(a1, . . . , ak) = (a1, . . . , ak) ´quivaut ` :ai=bipouri= 1, . . . , k;
alors que
{a1, . . . , ak}={b1, . . . , bk}´quivaut ` :ai∈ {b1, . . . , bk}etbi∈ {a1, . . . , ak}
pouri= 1, . . . , k

D´finition.Restriction d’une application

Soitf:A→Bune application de deAdansBetAun sous-ensemble de
′ ′
A. Onappelle restriction def`Al’a′:A→B
pplication not´ef|Ad´finie

parf|′(a) :=f(a)pour touta∈A.
A

D´finition.Projections associ´es ` un produit d’ensembles
SoitA1, . . . , Aldes ensembles,A:=A1×. . .×Alleur produit.Pour tout
i∈ {1, . . . , l}, on d´finit une application not´epAiappel´es la projection deA
surAiou simplement lai-`me projection deA, en posant :

p(a ,. . . , a) :=a .
Ai1l i

′ ′
Plus g´n´ralement siAest un sous-ensemble deA, la restriction depAi`A
′ ′
sera appel´e la projection deAsurAiou simplement lai-`me projection deA.

19

Remarque 1.2
′ ′′
Ainsi, en notantplai-`me projection deA(i.e.p:=pAi′), pour tout
i i|A
′ ′
a:= (a1, . . . , al)∈A⊂A, on a :p(a) :=ai.
i

Exemple 1.1

SoitA:={a, a}etB:={1}. Ona :

A×B={(a,1),(a ,1)}(qui est un ensemble ` deux ´l´ments
conform´ment au lemme 1.0) et
pA((a,1)) :=a,
′ ′
pA((a ,1)) :=a,

pB((a,1)) =pB((a ,1)) := 1.

D´finitionInjection, surjection, bijection, r´ciproque, composition
d’applications.
SoitAetBdeux ensembles,f:A→Bune application deAdansB. On
dit que
i)fest injective (ou est une injection) si deux ´l´ments distincts deAont
′ ′′
des images distinctes dansBi.e. poura, a∈Aaveca=aalorsf(a)=f(a).
ii)fest surjective (ou est une surjection) si tout ´l´ment deBest image
d’un ´l´ment deAi.e. pour toutb∈B, il existea∈Atqb=f(a).
iii)fest bijective (ou encorefest une bijection) si elle est ` la fois
injective et surjective i.e.tout ´l´ment deBest l’image d’un unique ´l´ment
deA.
iv) Pour tout ensembleA, on d´finit l’application appel´e identit´ deA
not´eI dA:A→AtqI dA(a) =apour touta∈A(en particulierI dAest donc
une bijection deAdansA).
v) SoitA, B, Cdes ensembles,f:A→B(resp.g:B→C) une
application deAdansB(resp. deBdansCcompos´e de). L’applicationfetgest
l’application not´eg◦f:A→CdeAdansC, d´finie par :g◦f(a) =g(f(a)).
(la compos´eAttention au sens de l’´criture pour la composition:
de l’applicationfavec l’applicationgest not´eg◦f, autrement dit,
contrairement ` l’´criture habituelle qui va de gauche ` droite, on
note d’abordget ensuitef).
vi) Sifest une bijection, on appelle r´ciproque defl’application not´e
−1
f:B→Ad´finie de la mani`re suivante :
−1
pour toutb∈B, f(b) :=a, o`aest l’unique ´l´ment deAtel que
f(a) =b.
−1−1
En particulier,fest bijective, de r´ciproquefet on af◦f=I dAet
−1
f◦f=I dB.

20

vii) Pour toute applicationf:A→B, on a :f◦I dA=fetI dB◦f=f,
autrement dit, la composition avec l’identit´ ne modifie par une application.
En effet, pour touta∈A, on a :
(f◦I dA)(a) :=f(I dA(a)) :=f(a)
et
(I dB◦f)(a) :=I dB(f(a)) :=f(a).

Remarque 1.2’
i) SiAest un ensemble non vide, il n’existe aucune application deAdans
l’ensemble vide, puisqu’on ne peut pas associer ` un ´l´ment deAun ´l´ment
deB, siBn’a aucun ´l´ment.
ii) Par d´finition de la bijectivit´, s’il existe une bijection entre deux
ensemblesAetB, et siAest fini, alors il en est de mˆme deBet en outre,Aet
Bont mˆme nombre d’´l´ments i.e.N(A) =N(B) (en effet, tout ´l´ment de
Best l’image d’un unique ´l´ment deA).

Lemme 1.1’Associativit´ de la composition des applications.
SoitA, B, C, Ddes ensembles,f:A→B(resp.g:B→C, resp.
h:C→D) une application deAdansB(resp. deBdansC, resp.Cdans
D). Ona alors :
(h◦g)◦f=h◦(g◦f).

D´monstration
En appliquant la d´finition de la compos´e de 2 fonction, pour touta∈A:
(h◦g)◦f(a) := ((h◦g)(f(a)) :=h(g(f(a))) :=h(g◦f(a)) :=h◦(g◦f)(a)
i.e. (h◦g)◦f=h◦(g◦f).

Lemme 1.2
i) Soitf:A→Bune application deAsansBexiste une application. S’il
′ ′′ ′
f:B→Atqf◦f=I dAetf◦f=I dB, alorsfetfsont bijectives et on
−1′
af=f.
ii) Soitf:A→Betg:B→Cdes applications respectivement deA
dansBetBdansC. Sifetgsont des bijections, alors il en est de mˆme de
−1−1−1
leur compos´eg◦f:A→Cet on a(g◦f) =f◦g.
iii) Soitf:A→Bune applicationbijectivedeAdansB. S’ilexiste

une applicationf:B→Av´rifant :

ou bienf◦f=I dA(∗)

ou bienf◦f=I dB(∗∗)
′ −1
alorsf=f.

21

D´monstration

i) Bijectivit´ defetf.
′ ′
- Injectivit´ def: soita, a∈A, suivant l’hypoth`se,f◦f(a) :=
′ ′′ ′′ ′′ ′
f(f(a)) =I dA(a) :=a(1) etf◦f(a) :=f(f(a)) =I dA(a) :=a(1 ).

Sif(a) =f(a), on a :
′ ′′ ′′
(d’apr`s (1))f(f(a)) =a=f(f(a)) = (d’apr`s (1 ))a

d’o`a=aetfest injective.
- Surjectivit´ deftout: pourb∈B, suivant l’hypoth`se, on a :

f◦f(b) =IdB(b) :=b

d’o`, en posanta:=f(b), on a :
b=f(a)
etfest surjective.
′ ′
fest donc bijective et en intervertissantfetf, il en est de mˆme def.
En outre, pour toutb=f(a)∈B, on a :
′ ′
f(b) =f(f(a)) = (hypoth`se)IdA(a) :=a
−1′ −1
d’o` (par d´finition def),f=f.
−1
ii) Si les applicationsfetgsont bijectives, leurs r´ciproquesf:B→A
−1
etg:C→Bsont d´finies, et on a par associativit´ de la composition des
applications :
−1−1−1−1−1−1
(g◦f)◦(f◦g) =g◦(f◦f)◦g:=g◦I dB◦g=g◦g:=I dC(2)
et
−1−1−1−1−1−1
(f◦g)◦(g◦f) =f◦(g◦g)◦f:=f◦I dB◦f=f◦f:=

I dA(2 ).
−1−1
D’o` suivant i),f◦gest bijective et c’est la r´ciproque deg◦f.

iii) Il faut montrer que sifest bijective, pourf:B→Av´rifiant l’une
′ −1
des conditions (∗) ou (∗∗) alorsf=f.

Sifv´rifie (∗), on a :
′ −1−1−1
(f◦f)◦f=IdA◦f=f
et par associativit´ de la composition des fonctions :
′ −1′ −1′ ′
(f◦f)◦f=f◦(f◦f) =f◦I dB=f
′ −1
d’o`f=f.
′ −1′ −1−1′ ′
Sifv´rifie (∗∗), on a de mˆme :f◦(f◦f) =f= (f◦f)◦f=f
−1′
et l` encoref=f.

Attention

Suivant le i) du lemme 1.2, sif:B→Av´rifie les deux conditions (∗) et
′ −1
(∗∗), alorsfet bijective etf=f. Dansle iii),fest bijective par hypoth`se,

22

et dans ce cas, il suffit qu’une fonction v´rifie uneseuledes conditions (∗) ou
(∗∗) pour qu’elle soit la r´ciproque def.

Lemme 1.2’
Soitf:A→Betg:B→Cdes applications respectivement deAdans
BetBdansC. Sifetgsurjectives) alorssont toutes deux injectives (resp.
leur compos´eg◦fest injective (resp. surjective).

D´monstration

i) Soit tout d’abordfetgpour toutinjectives. Alorsa, a∈A, l’´galit´

g◦f(a) =g◦f(a) ´quivaut (par d´finition de la compos´e des applications)
` :

g(f(a)) =g(f(a)), d’o` (puisquegest injective) :

f(a) =f(a), et puisquefest injective, on obtient finalement :

a=ai.e. (par d´finition)g◦fest injective.
ii) On consid`re maintenant le cas o`fetgSoit alorssont surjectives.
c∈C; puisquegest surjective, il existeb∈Btqg(b) =c; et puisquefest
surjective, il existea∈Atqf(a) =bobtient donc :. On
g◦f(a) :=g(f(a)) :=g(b) :=c,
i.e. (pard´finition de la surjectivit´)g◦fest surjective.

Le lemme 1.2’ donne une autre d´monstration du lemme 1.2.ii), puisquef
etgbijectives signifie qu’elles sont toutes deux ` la fois injectives et surjectives.

D´finition.Image d’un sous-ensemble, Image d’une application

Soitf:A→Bune application deAdansBet soitAun sous-ensemble
deB.

i) L’image deApar l’applicationf, parfois appel´e aussi image directe de
′ ′
Aparf, est le sous-ensemble deB, not´f(A), d´fini par :
′ ′
f(A) :={f(a)∈B, a∈A}.
ii) L’image deAparfest appel´e l’image de l’applicationfou encore
image def.

D´finition.Injection canonique d’un sous-ensemble
′ ′
SoitAun sous-ensemble d’un ensembleAcanonique de. L’injectionA
′ ′′ ′
dansAest l’applicationi:A→AdeAdansAd´finie, pour touta∈A,
′ ′′
par :i(a) :=aencore,. Ouiest la restriction deI dA`A.

23

Remarque 1.3

i) L’injection canoniquei:A→Ad´finie ci-dessus est ´videmment
injective.

i’) La restriction `Ad’une application injective est encore injective (si
pour deux ´l´ments distincts deAleurs images par cette application sont
dis′
tinctes, cela esta fortiorivrai si l’on se restreint ` deux ´l´ments deA⊂A).
′′ ′′ ′′′ ′′′ ′′
i”) SoientA⊂A⊂A,i:A→A,i:A→Aeti:A→A,
′ ′′′ ′′
les injections canoniques respectivement deAdansA,AdansAet deA
′ ′′′ ′
dansAa alors :. Oni=i◦i. Eneffet, des d´finitions dei:A→A
′′ ′′′ ′′′ ′′′
eti:A→A, on peut composerietiet cette compos´ei◦iest une
′′ ′′′′
application deAdansA. Etpar d´finition, pour touta∈A, on a :
′′ ′′′ ′′′′ ′′′ ′′′ ′′
i(a) :=a=i(i(a)) :=i◦i(a). D’o`i=i◦i.
′′ ′′
ii) SoientA⊂A⊂Aetf:A→Bune application deAdansB,Aun

sous-ensemble deAetil’injection canonique deAdansA. Ennotantf|Ala


restriction def`A, on a :f|A:=f◦i.

En effet, ces deux applications sont d´finies sur les mˆmes ensembles (ce
′ ′
sont des applications deAdansB) et pour toutx∈A, on a :
f◦i(x) :=f(i(x)) =f(x) :=f|A(x).

′′ ′
ii’) SoientA⊂A⊂Aetf:A→Best une application deAdansB.
On a alors :
′′ ′
f|A= (f|A)|Ai.e. larestriction `Ade la restriction `Adefest ´gal
′′ ′′
a la restriction def`Ae.On.apopnetlillece‘alanartitist´viel’decarictr
′′
′′
En effet, tout d’abord, par d´finitionf|Aest une application deAdans
′′

B. Etaussi :f|Aest une application deAdansB, d’o` (f|A)|Aest ´galement
′ ′′′
′′
une application deAdansB.
′′
D’autre part, pour touta∈A, on a (par d´finition) :
(f|A)|A(a) :=f|A)(a) :=f(a) :=f|A(a), d’o`f|A= (f|A)|A.
′ ′′′ ′′′′ ′′′
iii) L’image de l’ensemble vide par une application est l’ensemble vide.En

effet, soitf:A→Bune application deAdansBetA:=∅ ⊂A. On a :
′ ′
f(A) :={f(a);a∈A} ⊂B,
′ ′
et puisqueAn’a pas d’´l´ment, il en est de mˆme def(A).

La r´ciproque d’une application n’existe que si c’est une bijection.
d´finit toutefois pour toute application un ensemble ‘image r´ciproque’ :

On

D´finition.Image r´ciproque d’un sous-ensemble.

Soitf:A→Bune application de deAdansBet soitBun
sous′ −1′
ensemble deB. L’image r´ciproquedeBpar l’applicationfnot´ef(B)est
−1′ ′
un sous-ensemble deA, et il est d´fini par :f(B) :={a∈A;f(a)∈B}.

24

ATTENTION
−1
Sifn’est pas bijective,fn’estjamaisune application deBdansA.
C’est tout de mˆme une application, mais d´finie deP(B) dansP(A) (cf.
chapitre 4).
On a ici une´tgbimıaude notation, lorsquefest une bijection.En effet,
−1
d’une partfd´note l’application r´ciproque def, application deBdansA.
−1
Mais aussi suivant la d´finition ci-dessus,fest une application d´finie
deP(B) dansP(A).
Ainsi, la mˆme notation renvoie ` des applications diff´rentes, autrement
dit elle a undouble sens.
Il faut donc ˆtre attentif ` ne pas faire de confusion entre ces deux sens de
−1
f. Onreviendra plus longuement sur cette question au paragraphe 4.

Proposition 1.3
′ ′′′ ′′
Soitf:A→Bune application deAdansB; soitAA ,(resp.B ,B)
des sous-ensembles deA(resp. de B). On a alors

′ ′′′ ′′
f(A∪A) =f(A)∪f(A)
−1′ ′′−1′ −1′′
f(B∪B) =f(B)∪f(B)
−1−′ ′′1′ −1′′
f(B∩B) =f(B)∩f(B)

Par contre, on a en g´n´ral

′ ′′′ ′′
f(A∩A)=f(A)∩f(A)

On montre tout d’abord le lemme tr`s simple :

(4).

(1)
(2)
(3)

Lemme 1.3’
′ ′′′ ′′
Soitf:A→Bune application deAdansB. SoitA ,A(resp.B ,B)
′ ′′′ ′′
des sous-ensembles deA(resp. deB) avec :A⊂AetB⊂B. Ona alors :

′ ′′−1′ −1′′
f(A)⊂f(A) etf(B)⊂f(B).

D´monstration
′ ′′′ ′′′′
Sia∈A(resp.b∈B) alorsa∈A(resp.b∈B), d’o`f(a)∈f(A)
−1−1′′ −′′ ′1′ −1′′
(resp.f(b)∈f(B)), et doncf(A)⊂f(A) (resp.f(B)⊂f(B)).

25

D´monstration de la prop.1.3
Puisque pour tout ensembleX, Yon a :X⊂X∪Y,Y⊂X∪Y,X∩Y⊂X
etX∩Y⊂Y, le lemme 1.3’ donne les inclusions suivantes :

′ ′′′ ′′′
f(A)∪f(A)⊂f(A∪A) (1)
−1′ −1′′ −1′′ ′′
f(B)∪f(B)⊂f(B∪B) (2)
−1′ ′′−1′ −1′′ ′
f(B∩B)⊂f(B)∩f(B) (3)
′ ′′′ ′′′
f(A∩A)⊂f(A)∩f(A) (4)
Il faut donc prouver les inclusions r´ciproques.
′ ′′′ ′′
a)b∈f(A∪A) :⇔il existea∈Aoua∈Atel queb=f(a), d’o` :
′ ′′ ′′′
b∈f(A) oub∈f(A) :⇔b∈f(A)∪f(A) et donc

′ ′′′ ′′
f(A∪A)⊂f(A)∪f(A)

′′
(1 )

−1′ ′′′ ′′′ ′′
b)a∈f(B∪B) :⇔f(a)∈B∪B, d’o` :f(a)∈Bouf(a)∈B:⇔
−1′ −1′′ −1′ −1′′
a∈f(B) oua∈f(B) :⇔a∈f(B)∪f(B) d’o`

−1′ ′′−1′ ′′
f(B∪B)⊂f(B)∪f(B)

′′
(2 )

−1′ −1′′ −1′ −1′′ ′
c)a∈f(B)∩f(B) :⇔a∈f(B) eta∈f(B) :⇔f(a)∈Bet
′′ ′′′ −1′ ′′
f(a)∈B:⇔f(a)∈B∩B:⇔a∈f(B∩B) d’o`

−1′ −1′′ −1′ ′′
f(B)∩f(B)⊂f(B∩B)

′′
(3 )

′ ′′′ ′′′ ′′
Les inclusions (1 ) et (1), (2 ) et (2), (3 ) et (3) donnent respectivement
les ´galit´s (1), (2) et (3).

′ ′′′ ′′
Pour montrer qu’on n’a pas en g´n´ral l’´galit´f(A∩A) =f(A)∩f(A),
il suffit de consid´rer l’exemple suivant :
′ ′′
Soitf:A→Bune application deA={aa ,}(ensemble ` 2 ´l´ments
′ ′′
distincts, par exemplea= 0 eta= 1) dansB={b}(ensemble ` un seul
´l´ment, par ex.b= 2).On a alors n´cessairement (puisqueBn’a qu’un
′ ′′
´l´ment)f(a) :=f(a) :=b.
′ ′′′ ′′′ ′′
En posant :A={a},A={a}etf(a) =f(a) =b, on a :
′ ′′′
f(A) =f(A) ={b}:=Bd’o`f(A)∩f(A) =B.
′ ′′′ ′′
D’autre part, on a :A∩A=∅d’o` :f(A∩A) = (lemme 1.1’)
′ ′′
∅ =B=f(A)∩f(A).

26

Dans le contre-exemple ci-dessus,fn’´tait pas injective.En effet :

Lemme 1.4
′ ′′′ ′′
Pour toute applicationf:A→B, l’inclusionf(A∩A)⊂f(A)∩f(A)
est vraie.
′ ′′′ ′′
Sifest injective, on a une ´galit´ :f(A∩A) =f(A)∩f(A).

D´monstration
La premi`re partie de l’´nonc´ r´sulte du lemme 1.3’ (cf.d´m. dela
′ ′′′ ′′′ ′′
prop. 1.3).D’autre part, on a :b∈f(A)∩f(A) :⇔il existea∈Aeta∈A
′ ′′′ ′′
tqb=f(a) =f(a). Sifest injective, (par d´finition de l’injectivit´)a=a,
′ ′′′ ′′′ ′′ ′ ′′
d’o`a=adoit appartenir ` la fois `Aet `Ai.e.a=a∈A∩A. On
′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′
a doncb=f(a) =f(a)∈f(A∩A) i.e.f(A)∩f(A)⊂f(A∩A).

Proposition 1.5
SoientAetBdes ensembles non vides etf:A→Bune application de
AdansB.
i)fest injective ssi il existe une applicationg:B→Atqg◦f=IdA.
ii)fest surjective ssi il existe une applicationh:B→Atqf◦h=IdB.
iii) En outre, dans i) (resp.ii)), l’applicationg:B→A(resp.h:B→A)
est surjective (resp.injective).

D´monstration
i) a) Soitfinjective. On consid`reα∈Aun ´l´mentquelconquedeA.
Soitg:A→Bl’application d´finie de la mani`re suivante :
sib∈f(A), on poseg(b) :=ao`aest l’unique (carfest injective) ´l´ment
deAtqf(a) =b, et sib∈f(A),g(b) :=α. On a alors pour touta∈A:
g◦f(a) :=g(f(a)) :=a(puisquef(a)∈f(A)), d’o`g◦f(a) =a:=I dA(a)
etg◦f=IdA.
b) Inversement, s’il existe une applicationg:A→Btqg◦f=IdA, pour
′ ′′
touta, a∈A, on a :f(a) =f(a)⇒g(f(a) =g(f(a;)) (1)
g(f(a)) :=g◦f(a) = (par hypoth`se)a
′ ′′
g(f(a)) :=g◦f(a) = (par hypoth`se)a,
′ ′
d’o` d’apr`s (1), on a :f(a) =f(a)⇒a=aet doncfest injective.
ii) a) On supposefsurjective.
Pour toutb∈Bil existe alorsa∈Atqf(a) =b, et on d´finit une
applicationh:B→Apar :
h(b) :=ao`aest un ´l´mentarbitrairedeAv´rifiantf(a) =b.
−1
Ou en d’autres termes, pour toutb∈B, alorsf({b})=∅(carfest
surjective), et on d´finith:B→Aen posant :

27

−1
h(b) :=aen choisissant un ´l´mentarbitrairea∈f({b}).
On a alors :
f◦h(b) :=f(h(b)) :=f(a) = (par d´finition deh)b,
d’o` pour toutb∈B:
f◦h(b) =b=IdB(b) et doncf◦h=I dB.
b) On suppose inversement qu’il existeh:A→Btqf◦h=IdB. Pour
toutb∈B, on a alors :f◦h(b) =I dB(b) :=b.
En posanta:=h(b), on a :
f(a) :=f(h(b)) :=f◦h(b) = (d’apr`s (2))b,
etfest surjective.
iii) a) Surjectivit´ deg:B→A.
Puisqu’on a une applicationf:A→Btqg◦f=IdA, d’apr`s ii),
l’applicationgest surjective.
b) Injectivit´ deh:B→A.
Puisqu’il existe une applicationf:A→Btq tqf◦h=I dB, d’apr`s i),
hest injective.

Corollaire 1.5’
Soitf:A→Bune application ;fest bijective ssi il existedesapplications
′ ′′
f ,f:B→Atq
′ ′′
f◦f=I dA(1)etf◦f=I dB(2).
′ ′′ −1
Et dans ce cas :f=f=f.

D´monstration
−1−1
a) Sifest bijective, on a :f◦f=IdAetf◦f=I dB, et on peut
′ ′′−1
choisirf=f:=f.
b) Inversement, on suppose (1) et (2) vraies.Alors, les conditions i) et
ii) de la proposition pr´c´dente sont v´rifi´es, etfest ` la fois injective et
surjective, donc bijective.

En outre, on a :
′ ′′ −1
f=f◦I dB=f◦(f◦f) = (associativit´ de la composition des
′ −1−1−1
applications (Lemme 1.1’)) (f◦f)◦f= (d’apr`s (1))I dA◦f=f
et
′′ ′′−1′′ −1′′
f=IdA◦f= (f◦f)◦f= (Lemme 1.1’)f◦(f◦f) = (d’apr`s
−1−1′ ′′ −1
(2))f◦I dA=f, d’o` :f=f=f.

28

Remarque 1.4
Il faut remarquer ici la diff´rence avec le lemme 1.2.i) :on ne demande
′ ′′
pas quef=f(qui r´sulte du corollaire).

Lemme 1.6

Soitf:A→Bune application,A⊂Aun sous-ensemble deAetf|A:

′ ′
A→Bla restriction def`A. Pour tout sous-ensembleYdeB, on a :
−1−1′
(f|A) (Y) =f(Y)∩A.

D´monstration
′ ′
Par d´finitionf|Aest la restriction `Adefi.e. pourtouta∈A:

f|A(a) :=f(a). Ona donc les ´quivalences :

−1′ ′
x∈(f|A) (Y) :⇔[x∈Aetf|A(x) :=f(x)∈Y] :⇔[x∈Aet
′ ′
−1′ −1
x∈f(Y)] i.e.x∈A∩f(Y).

−1
Remarque 1.5Ici (f|Apas une application r´ciproque de () n’estf|A) car :
′ ′
- D’une part, (f|A) est quelconque et donc g´n´ralement non bijective.

Elle ne poss`de donc pas de r´ciproque (cf.la mise en garde pr´c´dant la
prop. 1.3).
- D’autre part,Yn’est pas un ´l´ment deBmais deP(B).
−1
L’ambiguıt´ de l’´criture (f|Adonc lev´e par le contexte (une double) est

impossibilit´ de la seconde ´ventualit´).
Il faut insister sur ce qu’on nomme’abus de langage’en math´matiques,
car elles sont innombrables et sources fr´quentes d’erreurs.Tout comme dans
la langue naturelle, elles sont lev´es par le contexte.Cela exige toutefois une
pratique, parfois longue, aussi bien pour l’une que pour l’autre.

29

2. PROPRI´TESET ENSEMBLES

Remarque pr´liminaire.On peut consid´rer une propri´t´ sur un
ensembleAcomme la donn´e d’un sous-ensemble deA.

Cette remarque n’est sans doute pas ´vidente imm´diatement et on va
examiner cette question plus en d´tails.
Nous commencerons par des consid´rations ` partir de la logique d’Aristote
(Premiers et Seconds Analytiques). Pourle philosophe de Stagire (sa ville de
naissance, d’o` sa d´signation par le ‘Stagirite’), d´finir c’est donner un genre
et une diff´rence.On retrouve cetted´finition de la d´finitionau fondement de
toute la scolastique m´di´vale.

En consid´rant une propri´t´ comme ´tant une d´finition (la d´finition
de cette propri´t´) cela est ´quivalent ` la remarque pr´liminaire ` condition
d’identifier genres et ensembles.La diff´rence est alors la donn´e d’une partie
de cet ensemble (ce qui est pr´cis´ment diff´renci´ par cette diff´rence).

Exemples 2.1
i) Soit la d´finition :‘le chien est un animal aboyant’ qu’on peut r´´crire :
‘le chien est, parmi les animaux, celui qui aboie’.Si l’on noteAl’ensemble des
animaux,PAla propri´t´ (parmi les animaux) d’aboyer, alors donner le
sousensembleB(deA) des chiens est ´quivalent ` donner la propri´t´PAdans
l’ensembleA.

ATTENTION: cela n’est exact que si la propri´t´PAest une d´finition,
c’est-`-dire n’est ni trop ‘large’ ni trop ‘´troite’.
Consid´rons en effet cet autre ´nonc´ :‘le chien est un animal ` quatre pattes’.
Il est vrai, mais ce n’est pas une d´finition car il existe des quadrup`des qui ne
sont pas de chiens.On peut encore dire que l’on a une mauvaise d´finition (des
chiens) parce qu’elle est trop large (c’est un point sur lequel Spinoza insiste en
donnant la signification non de la ‘d´finition’, comme chez Aristote, mais du
terme ‘essence’ :‘Je dis appartenir ` l’essence d’une chose ce dont la pr´sence
pose n´cessairement la chose, et dont la suppression supprime n´cessairement
la chose ; ou encore [vel id], ce sans quoi la chose, et inversement ce qui sans
la chose, ne peut ni ˆtre ni se concevoir’(euqiht´B. Pautrat,II.2, trad., d´f.
Seuil)).
Selon Aristote la difficult´ provient de l’ambiguıt´ et plus exactement de
la polys´mie des mots, particuli`rement du terme ‘ˆtre’.En effet, on utilise ce
verbe aussi bien pourd´finir(le chienestun animal aboyant) que pouraffirmer

31

une propri´t´ (le chienestCeci n’est pas contradic-un animal ` quatre pattes).
toire, puisque la d´finition est aussi une propri´t´ (i.e.le chien est effectivement
un animal ayant la propri´t´ d’aboyer).D’un point de vue ensembliste, l’´galit´
(ici l’ensemble des ‘chiens’) est un cas particulier de l’inclusion (cet ensemble est
contenu dans l’ensemble ‘animaux aboyants’, mais aussi dans celui ‘animaux `
quatre pattes’).
Toutefois l’inverse est faux, et une inclusion n’est pas en g´n´ral un
egalit´.Delaconfusionentre´galit´eetinclusionnaissentlesparadoxes,dont
certains sont ´tudi´s par Aristote dans les textes cit´s pr´c´demment, mais
aussi dans lesR´futations sophistiques, qui contrairement ` ce qu’on pourrait
penser, ne vise pas ` directement ‘r´futer les sophistes’, mais ` analyser leurs
r´futations.

ii) Nous allons passer maintenant ` un autre texte, l’Euthyd`mede
Platon (295b-299a) (cf.Annexes II, III et IIIbis).Les protagonistes principaux,
outre Socrate, sont deux fr`res, Euthyd`me et Dyonisodore, faisant profession
de sophistes c’est-`-dire d’enseigner, contre r´tribution, surtout les adolescents,
et surtout l’art de convaincre.Pour attirer une client`le, comme le feraient les
publicitaires actuels, ils offrent des ´chantillons de leur savoir (c’est l’´p´ıdeixis
qui sert ´galement de point de d´part auGorgias), consistant ` montrer leur
capacit´ ` r´futer quelque affirmation que ce soit.On assiste ` des ´changes
de propos entre Socrate, Ct´sippe (un jeune ath´nien) et les deux sophistes,
Ct´sippe frˆlant parfois l’insulte envers ces derniers.Socrate rapporte
directement la discussion, ce qui est exceptionnel parmi les dialogues platoniciens.
Il affirme que le d´bat s’est termin´ tellement ` l’avantage des deux sophistes
qu’il a d´cid´ de se mettre ` leur ´cole.Il pr´tend mˆme convaincre un de ses
amis, d´j` ˆg´, de faire de mˆme.On ne peut se contenter d’y voir une des
formes bien connues d’ironie socratique et Socrate doit donc, au moins d’une
certaine mani`re, les prendre au s´rieux.

Nous allons retenir deux passages (dans la traduction de M. Canto, cf.
Annexe III).

Ct´sippe - Et ta m`re, est-elle aussi leur m`re?
Euthyd`me - Oui, elle est leur m`re aussi.
C. - Elle est donc aussi la m`re des h´rissons, ta m`re, et des h´rissons
de mer, des oursins ?
E. - Oui, et la tienne aussi !dit-il.
C. - Alors tu es toi aussi, le fr`re des goujons, des petits chiens et des
petits cochons?

32

E. - Oui, tout comme toi!r´pliqua-t-il

Dans cet extrait, Ct´sippe s’empresse de retourner l’argumentation des
deux sophistes, en prenant le terme ‘m`re’ au sens absolu.On est ‘m`re’
comme on est ‘blanc’, et non pas au sens relatif, o` l’on est ‘m`re de quelqu’un’
(voire de quelque chose).S’il n’est qu’une sorte de mani`re d’ˆtre ‘m`re’, toute
‘m`re’estm`re de ce qui auneprise pour ´galit´ identifie‘m`re’. L’inclusion
unem`re `latout individu est le fr`re des goujonsm`re. D’o`le paradoxe :
ou des veaux, puisque eux aussi ontunem`re.
On peut formaliser cette d´monstration pour montrer qu’elle se fonde sur
(ce que nous appelons) l’injectivit´.
SoitAm`re de poisson, del’ensemble des m`res de diff´rents animaux :
veau, de h´risson, ..., et la m`re d’Euthyd`me (seule m`re humaine).Soit encore
′ ′
Al’ensemble ‘{lam`re}’,{k}l’ensemble ‘m`re d’Euthyd`me’,{k}l’ensemble
′′
‘m`re d’un h´risson’ ou encore{k}On al’ensemble ‘m`re d’un petit goujon’.

n´cessairement les inclusions des trois derniers ensembles dansA:
′ ′′′
{k},{k},{k},· · ·⊂A,

PuisqueAa un unique ´l´ment, et tous les enfants ont une (unique) m`re, par
′ ′′
d´finition d’un ensemble ` un ´l´ment :k=k=k=· · ·, et doncA(form´
′ ′′′ ′′′
de{k},{k},{k},· · ·) a un seul ´l´ment,d’o` :A=k=k=k=· · ·=A.
Mais ajoute Euthyd`me, cela est vrai pour tout individux(ainsi Ct´sippe).
D`s lors, il s’agit de passer d’une m`re (humaine) donn´e (celle d’Euthyd`me)
` une m`re (humaine) quelconque.Cela permet de prendre cette fois pourA
l’ensemble des m`res individuelles (et non pas d’une certaine esp`ce d’animaux
donn´s) et de d´finir une ‘application’fsur cet ensembleA(l’ensemble des
m`res), en associant ` une m`rep∈A, l’ensembleIform´ de sa prog´niture.

En outre, on d´finit aussifsurA, en associant ` ‘lam`re’ l’ensemble

f(A) de tout ce qui a une m`re, sans restriction.

Soit alors deux m`res (i.e.p, p∈A) ; si leurs images parfsont des
ensembles non disjoints (i.e.elles ont un enfant en commun), ces deux m`res

n’en font qu’une (i.e.p=p, c’est l` qu’intervient l’injectivit´) (tout individu
ayant au plus* une m`re).
Deux seuls cas sont possibles :

ou bien les ensemblesf(p) etf(p) sont disjoints,

ou bienf(p) =f(p).

* Auplus, pour ´viter de consid´rer le cas d’une m`re morte, ce qui peut
poser probl`me dans le cadre de la pens´e grecque antique.

33

Le raisonnement devient alors :
quel que soitp∈A(i.e.pest la m`re dex, par exemple de Ct´sippe),f(p)

etf(p) ayant tout deux ‘lam`re’ comme m`re, ne sont pas disjoints (contenant
Euthyd`me ou Dionisodore ou Ct´sippe ou n’importe quel poisson, cochon et
′ ′
chien) d’o`f(p) =f(p), et puisquefest injective,p=p.
Autrement dit :
‘m`re de x = m`re d’Euthyd`me = m`re de Dionisodore = m`re de
Ct´sippe = m`re d’un goujon = ...’
et finalement Euthyd`me, tout comme Dionysodore, mais aussi Ct´sippe, se
retrouvent dans la fratrie des petis goujons, des chiens et des petits cochons**.

Le second extrait (cf.Annexe IIIbis) concerne cette fois le p`re.

- Et, en outre, tu as aussi un chien pour p`re.
- Oui, comme toi!
- Eh bien, c’est tout de suite, Ct´sippe, rench´rit Dionysodore, si tu me
r´ponds, que tu vas convenir de cela. Dis-moi donc:as-tu un chien ?
- Oui, et tout ` fait m´chant, r´pondit Ct´sippe.
- A-t-il donc des petits chiens ?
- Oui, et tout ` fait dans le mˆme genre que lui, r´pondit-il.
- Leur p`re est-il donc ce chien ?
- Ce qui est sˆr, c’est que je l’ai vu couvrir la chienne, assura-t-il.
- Alors le chien, est-il ` toi ?
- Oui, absolument, dit-il.
- C’est donc un p`re ` toi, si bien que ce chien est ton p`re, et que toi, tu
es le fr`re des petits chiens.
Dionysodore, ` son tour, reprit pr´cipitamment la parole, pour empˆcher
Ct´sippe de parler avant lui:
- A moi encore, oui, une petite r´ponse, dit-il:ce chien, le bats-tu ?
Et Ct´sippe en riant:
- Oui, par les dieux!s’´cria-t-il, faute de pouvoir te battre toi !

** Unth`me est sous-jacent ici, l’universalit´ de la condition des ˆtre vivants
qui tous ont une m`re (d’o` cette notion qui joue un rˆle crucial ici, celle dela
m`re). Ceciest d’autant plus important qu’` Ath`nes, le statut des individus
´tait matrilin´aire :chacun tenait ` la fois sa citoyennet´ et son rang de sa
m`re. C’estainsi qu’il faut comprendre, ` la fin d’Euthyd`me, Criton se vantant
d’avoir choisi sa femme avec ‘tant de soin de l’int´rˆt de [s]es enfants’ afin qu’ils
aient ‘une m`re de la plus noble famille’ (306d-e).

34

- C’est donc ton propre p`re que tu bats, r´pliqua Dionysodore.

Cette fois il s’agit de montrer que lorsque Ct´sippe frappe son chien, c’est
son propre p`re qu’il bat.Les deux sophistes pourraient reprendre
l’argumentation pr´c´dente en arguant du fait que le chien ayant eu des petits est ‘p`re’
donc il est p`re de tout ce qui aunalors Ct´sippe frapperait non pasp`re. Mais
(seulement) son p`re, mais tous les p`res, ce qui affaibilirait l’argumentation.
Car l’objectif ici est de montrer que c’est son propre p`re pr´cis´ment qu’il
bat, et non pas la gent parternelle toute enti`re.Leur raisonnement sera donc
diff´rent.
L’argument est le suivant :on consid`re les propri´t´s ‘ˆtre p`re’ et ‘ˆtr
aCt´sippe’.Lechienestp`re,carilaeeudespetitschiots;il‘est`Ct´sippe’
´galement, puisqu’il lui appartient.V´rifiant les deux proprit´s, c’est donc
un‘p`re ` Ct´sippe’.Puisque Ct´sippe n’a qu’un seul p`re, le chien et le
p`re de Ct´sippe sont deux noms pour le mˆme objet.L’op´ration cruciale
consiste ` identifier la propri´t´ ‘ˆtre p`re ` Ct´sippe’ ` l’intersectionde
deux propri´t´s : ‘ˆtre p`re’ et ‘ˆtre ` Ct´sippe’.
Cela peut ˆtre formalis´ en termes ensemblistes de la mani`re suivante :

SoitAl’ensemble des p`res,Ide tout ce qui est ` Ct´sippe,kson p`re

etkL’op´ration d’Euthyd`me consiste ` consid´rer l’ensembleson chien.{k}
′ ′
‘ˆtre p`re ` Ct´sippe’ comme l’intersection deAet deIi.e.A∩I={k}(1).
′ ′′
Puisquek∈A(car il a eu des chiots) etk∈I(car il appartient `
Ct´sippe), on a :
′ ′′
k∈A∩I={k}(d’apr`s (1)) i.e.k∈ {k},

et par d´finition d’un ensemble ` un ´l´ment, cela impliquek=ki.e. ‘p`rede
Ct´sippe = chien de Ct´sippe’.

Il est clair que cette d´monstration suppose une certaine acrobatie
argumentative. Etcomment en serait-il autrement puisque c’est pr´cis´ment cela
que les sophistes cherchaient ` vendre ?Toutefois, elle n’est nullement gratuite.
En termes modernes, leur op´ration revient ` appliquer la distributivit´ `
‘ˆtre’, autrement dit :
‘ˆtre (p`re ` Ct´sippe)’ = ‘(ˆtre p`re) et (ˆtre ` Ct´sippe)’.
Loin d’ˆtre de pures trivialit´s, le raisonnement des sophistes concerne,
certes ` la mani`re des prestigitateurs, deux propri´t´s math´matiques
importantes. L’uneutilise la propri´t´ ‘naturelle’ de distributivit´.L’autre, une
caract´ristique fondamentale des applications et de l’injectivit´ :pour montrer
l’identit´ de deux choses, on construit une application injective, et on montre
celle de leurs images.

35