Topologie et continuité

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L'origine de cet ouvrage est un cours donné plusieurs années de suite à l'Université Paris 7, pour des étudiants n'ayant pas ou peu de formation mathématique. Il s'agit d'une introduction à la topologie, une partie importante portant sur des questions de la théorie des ensembles, généralement négligées car considérées comme acquises, en particulier la manière de nommer et de manipuler les noms des objets. L'objectif de cet ouvrage est donc d'initier un lecteur non mathématicien au raisonnement mathématique. Les questions mathématiques les plus abstraites se retrouvent aussi un peu partout en philosophie.
Publié le : mercredi 1 juin 2016
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EAN13 : 9782140011085
Nombre de pages : 366
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Une approche mathématique
et philosophique

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TOPOLOGIE & CONTINUITÉ







































© L’Harmattan, 2016
5-7, rue de l’Ecole-Polytechnique, 75005 Paris

www.harmattan.com
diffusion.harmattan@wanadoo.fr

ISBN : 978-2-343-08714-6
EAN : 9782343087146



































Salomon OFMAN




TOPOLOGIE & CONTINUITÉ





Une approche mathématique et philosophique

Autres ouvrages de l’auteur :
G´om´trie ComplexeorguoisNan¸cecFrs´cSlaticAutte,)i-itcevanoc(rido
entifiques et Industrielles, Hermann, 1996
Pens´e et rationnel :Spinoza, L’Harmattan, 2003
G´om´trie Complexe IIc(doitnoriceFranavecsNor¸coicA,)teugs´tilaut
Scientifiques et Industrielles, Hermann, 2004

6

AVANT-PROPOS ET INDICATIONS D‘USAGE

Le but principal de cet ouvrage est d’introduire le lecteur ` la mani`re de
raisonner en math´matiques.La topologie est un exemple de th´orie abstraite
construite ` partir de notions extrˆmement intuitives telle la continuit´.Elle
pr´sente en outre l’avantage d’unifier ce qui, de tout temps, avait ´t´ consid´r´
comme radicalement disjoint, le discret et le continu.

La premi`re partiepropose une (re-)d´couverte de notions de base des
math´matiques, en insistant longuement sur les points pr´sentant des
difficult´s lorsqu’on n’a pas derri`re soi une longue pratique math´matique.La
pr´sentation est n´cessairement tr`s diff´rente des cours publi´s jusqu’` pr´sent.
Ceux-ci visent en effet ` l’apprentissage du maximum de connaissances en un
minimum de temps, leur cible ´tant un public essentiellement form´ d’´tudiants
de classes pr´paratoires en vue de leurs concours.On trouvera ici des ´l´ments
n´cessaires ` la compr´hension de tout texte de math´matique, et plus
particuli`rement de ce qui va suivre.Ils peuvent et doivent ˆtre ´tudi´s pour
eux-mˆmes, dans la mesure o`, d’une part on y lit d´j` la mani`re g´n´rale
de proc´der en math´matiques, et d’autre part parce que c’est alors qu’il est
le plus simple de rapprocher raisonnements math´matiques et raisonnements
philosophiques.

La seconde partieest plus sp´cialis´e puisqu’on entre dans le domaine
de la topologie proprement dit.En fait, le premier chapitre en est encore
ind´pendant, quoique essentiel pour ce qui va suivre.On peut dire qu’il s’agit
l` d’une reprise formalis´e par les math´matiques pour ´laborer une th´orie de
la nomination.En elle-mˆme, elle ne pr´sente pas de difficult´s, c’est plutˆt
qu’il s’agit d’acqu´rir une souplesse de raisonnement, ce qui n’est pas si facile,
le seul moyen d’y parvenir ´tant la pratique r´p´t´e.
La plus grande part de ce qui suit alors est la pr´sentation nouvelle de
la notion de continuit´ par la topologie, dont on a d´j` soulign´ le caract`re
unificateur.
L` encore notre approche est diff´rente de l’approche usuelle.Alors que
celle-ci consid`re n´cessaire d’introduire d`s que possible les notions de
‘m´triques’ et de nombres r´els, nous avons fait l’impasse sur ces derniers.Leur
construction rigoureuse est d´licate et demande beaucoup de temps.En outre,
elle n’est pas n´cessaire ` notre projet.Les questions relatives ` la
continuit´ ont ´t´ consid´r´es depuis toujours essentiellement li´e ` ce qu’en langage
moderne on appelle les ‘nombres r´els’.Pourtant, et c’est le deuxi`me aspect
int´ressant de la topologie, il est paradoxalement possible d’´tudier toutes ces

7

notions en consid´rant les seuls rationnels, et tr`s souvent mˆme, de se
restreindre ` des ensembles finis.C’est la d´marche adopt´e ici.
Dans la derni`re partie, nous donnons de mani`re tr`s ´l´mentaire des
constructions omnipr´sentes dans les math´matiques contemporaines, conduisant `
la distinction, puis au passage de ce qu’on nomme des situations ‘locales’ ` des
situations ‘globales’.Un exemple physique tr`s simple, qui depuis l’Antiquit´
n’a pas manqu´ de soulever des paradoxes, est la perception que nous avons
de notre environnement.Nous vivons dans un milieu ` trois dimensions, mais
nousnousd´pla¸cons`pieds,`v´loouenvoiture,surunplan(sauf,etencore
pour de brefs moments, en avion).Pourtant nous savons que la terre sur
laquelle nous ´voluons est sph´rique.Il n’est donc pas absurde d’opposer local et
global, et de dire que localement notre milieu est un plan, mais que globalement
c’est une sph`re.
`lasuiteducoursonpropose,divis´ssuivantlespartiesauxquellesils
r´f`rent, des exercices non corrig´s, mais dont l’´nonc´ par lui-mˆme sugg`re
la solution pas ` pas.Il est recommand´ d’essayer de les r´soudre pour tester
sa compr´hension de chaque chapitre.
Enfin le lecteur trouvera en annexes la plupart des textes philosophiques
utilis´s. Celane devrait certainement pas l’empˆcher de consulter les œuvres
originales, ne serait-ce que pour les mettre en perspective.

8

TOPOLOGIE & CONTINUIT´
Une approche math´matique et philosophique I

‘Ainsi les math´matiques peuvent ˆtre d´finies comme la discipline o` l’on
ne sait jamais de quoi on parle ni si ce que l’on dit est vrai’ (Bertrand Russel,
International monthly, 1901, p.84).

INTRODUCTIONG´N´RALE

Ce livre est la mise en forme d’un cours donn´ pendant plusieurs ann´es
` l’universit´ Paris 7.C’est une introduction ` la topologie, l’une des th´ories
math´matiques les plus abstraites, bien qu’issue de notions aussi intuitives que
celles de proximit´ et de variation r´guli`re.
Ce cours s’adressait ` des ´tudiants de niveaux math´matiques tr`s
diff´rents. Pourcertains, de formation scientifique, il s’agissait d’aborder un sujet
nouveau qu’ils allaient approfondir dans la suite de leurs ´tudes.D’autres,
ayant suivi un parcours plus litt´raire, allaient ´tudier des questions qui
n´cessitaient, entre autres choses, de comprendre les sp´cifit´s d’un raisonnement
math´matique.

L’objectif de cet ouvrage est donc double.D’une part, donner les bases
d’une th´orie math´matique d´termin´e, la topologie ; d’autre part, de mani`re
plus g´n´rale, apprendre ` former des raisonnements coh´rents, ainsi qu’on est
suppos´ le faire en math´matiques.Il s’agit de comprendre comment
construire une argumentation coh´rente, passant par la maıtrise de ce qu’autrefois
on appelait le raisonnement ‘more geometrico’ (‘` la mani`re des g´om`tres’).
Probl´matique qui d´passe largement le cadre des math´matiques proprement
dites,lesquestions´thiqueselles-mˆmespouvantˆtrecon¸cuessouscetteforme,
ainsi Spinoza ´crivant pr´cis´ment ‘more geometrico’*.
On trouvera donc ici une introduction ` la topologie moderne illustr´e,
entre autres, par des textes philosophiques, et une r´flexion sur les origines
des notions introduites permettant une meilleure compr´hension des questions
´tudi´es. Lesuns auront ainsi l’occassion d’´largir leur champ de connaissances,
les autres d’´tablir des relations entre ces questions et leur savoir dans des
domaines usuellement consid´r´s sans rapports.

* Letitre original de l’un des ses ouvrages les plus c´l`bres estEthica
Ordine Geometrico demonstrata, c’est-`-diremontued´elonr´esrde’lroqiht´’l
g´om´triqueabr´g´ simplement enehiqul’´t.

9

L’ensemble des connaissances requises dans ce cours est r´duit au
minimum, les d´finitions n´cessaires y ´tant syst´matiquement rappel´es.Dans le
mˆme esprit, on privil´gie toujours la clart´ d’exposition sur le formalisme ou
la bri`vet´, ce qu’on appelle en math´matiques du terme vague ‘d’esth´tique’.
Ainsi, on ne trouvera pas explicitement l’appareil logico-axiomatique
sousjacent. Lelecteur int´ress´ pourra se reporter par exemple au petit livre de
Paul Halmos,Naive Set Theoryqui en donne une approche relativement simple.

Le titre ‘Topologie et contiunuit´’ est d’une certaine mani`re pl´onastique.
En math´matiques modernes en effet, la continuit´, c’est-`-dire, intuitivement,
l’´tudedecequichangedefac¸onr´guli`re,sansvariationstropbrutales,est
une partie de la topologie.Pourtant son importance, aussi bien en philosohie
qu’en math´matiques, justifie de lui accorder une place particuli`re.

Ce livre se compose de deux parties.La premi`re traite des questions
de th´orie des ensembles n´cessaires pour d’aborder la seconde.Elle est
ind´pendante et peut ˆtre consid´r´e comme une introduction ´l´mentaire ` cette
th´orie.
La seconde partie introduit des notions fondamentales de topologie, en
particulier, celle de continuit´.Elle se conclut sur la relation entre le petit et
le grand, ´tudi´s en math´matiques sous les termes plus savants de local et de
global
`lalecturedecequivasuivre,cequiparaıtrasansdouteleplus´trange,
et peut-ˆtre le plus rebutant au lecteur non habitu´ aux proc´d´s utilis´s en
math´matiques, est cette curieuse manie de complexifier jusqu’` l’absurde des
concepts qui apparaissent pourtant tr`s simples et tr`s intutitifs.
On pourrait penser qu’il s’agit d’un effet pervers de la modernit´, ` la
mani`re de ce que soutenait d´j` au d´but du si`cle dernier Henri Poincar´,
math´maticien lui-mˆme, dans sa pol´mique avec Karl Weierstrass*.
Et pourtant, ce n’est pas un trait r´cent des math´matiques, puisqu’on la
trouve d´j` ` l’œuvre dans les´´lemtnsd’Euclide. Parexemple, la d´finition 5
du livre V pr´tend d´finir ce qu’est l’´galit´ de deux rapports, alors qu’il n’est
gu`re de notion plus intuitivement claire que celle d’´galit´ (en math´matiques
ou ailleurs).
Cette d´finition est si complexe que longtemps elle, et par suite le livre
V tout entier, a eu une r´putation d’obscurit´ parmi les math´maticiens
euxmˆmes.

*Science et m´thode, II, II.7.

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Pour sa d´fense, et celle de tels proc´d´s, il y avait l` une premi`re approche
de la construction des nombres r´els r´alis´e par Dedekind, deux mille ans plus
tard, au point que certains de ses coll`gues math´maticiens se sont demand´s
si celui-ci avait apport´ des id´es nouvelles par rapport au texte d’Euclide**.
La construction des r´els est d’ailleurs suffisamment complexe pour que
dans ce livre, nous ayons choisi de nous placer dans le cadre des nombres
rationnels, le passage ` celui des nombres r´els ne posant g´n´ralement pas de
difficult´s pour le lecteur habitu´ ` les manipuler.

Pour conclure, nous allons faire un retour sur la citation de Bertrand
Russel, logicien et philosophe du 20`me si`cle, que nous avons donn´e en exergue,
au d´but de cette introduction.De prime abord, elle peut ˆtre, et est, en
effet, souvent interpr´t´e comme une critique de la pr´tention ` la v´rit´ des
math´matiques, qui au contraire, suivant cet auteur, seraient alors la discipline
qui s’en ´loignerait le plus.
Comme on va le voir, et on en trouvera bien d’autres exemples dans cet
ouvrage, les explications les plus imm´diates, mˆme lorsqu’elles semblent
absolument claires et convainquantes, ne sont pas n´cessairement les meilleures,
ni mˆme exactes.C’est pr´cis´ment ce qui justifie les ´tranges m´thodes
d´finitionnelles que nous avons not´es en math´matiques.
Si l’aspect provocateur n’est certainement pas enti`rement ´tranger ` notre
auteur, il s’agit comme le montre le contexte, de tout autre chose.Il faut
comprendre en effet que, selon Russel, les math´matiques ne s’int´ressent pas
aux objets, mais ` leurs relations.Ce qui revient encore ` dire que, d’une
certainefac¸on,les‘objets’math´matiquessontcesrelations.
Ainsi, ´tant donn´es deux propositions que l’on associe par le ‘et’ logique
(coordination) pour en obtenir une nouvelle, on se demande sous quelles
conditions celle-ci est vraie ou fausse.Autrement dit, siAetBsont deux
propositions, la question est de savoir sous quelles conditions la proposition ‘AetB’
est vraie/fausse*.
Par contre, on ne pose pas le probl`me de la v´rit´ des propositions
ellesmˆmes, toute v´rit´ math´matique ´tant donc en ce sens conditionnelle.De
mˆme, ´tant donn´s deux nombres, on s’int´resse aux op´rations sur ces
nombres, par exemple leur addition ou leur multiplication, et non ` ce qu’est un

** R´ponse de Lipschitz ` Dedekind cit´e par ce dernier dans sa lettre de
juillet 1876 inCorrespondance compl`te de Dedekind.
* lar´ponse ´tant qu’elle est vraie lorsque les deux le sont, fausse lorsque,
au moins, l’une d’elle est fausse.

11

nombre**. L’int´rˆtd’une telle approche est qu’elle rend possible de traiter de
lamˆmefac¸onlesnombresetlesautres‘objets’,d`slorsqu’onpeutd´finirsur
ceux-ci une op´ration d’addition ou de multiplication.
C’est en effet ce que Bertrand Russel explique quelques lignes plus haut :
‘Les math´matiques pures consistent enti`rement en des affirmations de
la forme suivante :si telle ou telle proposition est vraie ` propos dequelle
que choseque ce soit, alors telle et telle autre proposition est vraie ` propos
de cette chose.Il est esentiel de ne pas discuter si la premi`re proposition est
r´ellement vraie, et de ne pas mentionner ce qu’est la chose suppos´e vraie (...)
En math´matique pure, on part de certaines r`gles d’inf´rence, par lesquelles
on peut d´duire quesiune proposition est vraie alors il en est de mˆme d’une
autre’ (cf.Annexe I)
Et dans un texte post´rieur (cf.Annexe I), il pr´cise encore :
’La math´matique pure est compl`tement indiff´rente aux choses actuelles,
et se trouve ind´pendante de la nature de ce qui existe.Donc elle peut ˆtre
exacte, quelle que soit la nature du flux sensible’.
C’estparce queles math´matiques ne s’int´ressent pr´cis´ment pas au r´el
sensible, c’est-`-dire ` ce qui est en proie au changement permanent, qu’elles
peuvent avoir ce caract`re de v´rit´ et d’´ternit´.Et lorsque Russel dit qu’en
math´matiques, on nesait‘jamais de quoi on parle ni si ce que l’on dit est
vrai’, il veut exprimer par l`, non pas une quelconque ignorance, mais que l’on
nes’int´ressepas ` ‘ce’ dont on y parle, ni ` ‘sa’ v´rit´*.Un des objectifs
de ce cours est de donner des ´l´ments permettant au lecteur de se forger une
opinion sur cette question.

** Pourtanton ne s’interdit pas de d´finir les nombres, mais c’est
essentiellement pour savoir comment les manipuler, e.g.les additionner ou les multiplier !
* Ilne faut jamais sous-estimer le caract`re ‘trompeur’ des ´nonc´s
math´matiques. Cela´tait d´j` not´ par Platon lorsque Socrate remarque que les
math´maticiens dessinent (et disent) une chose alors mˆme qu’ils pensent `
une autre :‘ils font en outre usage de figures visibles et (...)ils construisent
des raisonnements, sans avoir dans l’esprit ces figures elle-mˆmes, mais les
figures parfaites dont celles-ci sont les images, raisonnant en vue du carr´ en
lui-mˆme, de sa diagonale en elle-mˆme, mais non en vue de la diagonale qu’ils
tracent, et de mˆme pour les autres figures’ (R´publiqueVII, 510d).

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TOPOLOGIE & CONTINUIT´

PREMI`REPARTIE

TH´ORIEDESENSEMBLES

0.G´N´RALIT´S

On utilisera par la suite les abr´viations suivantes :
prop. : proposition; th.: th´or`me,tq :tel que, i.e.: autrementdit
(au sens de ‘´quivalent `’ (abr´viation deid est)), ssi :si et seulement
si, resp.: respectivement,...

Lorsqu’on voudra signifier qu’on utilise directement lad´finition avec
un symbole, on lui ajoutera ‘:’.
Une ´galit´ s’´crit alors ’:=’, au lieu de ’=’, une implication
‘:⇒’ (respectivement ‘⇐:’) au lieu de ‘⇒’ (resp.‘⇐’) et ‘:⇔’ en
place de ‘⇔(resp. ‘’. Demˆme, on ´crira ’=:’⇔:’) lorsque l’´galit´
(resp. l’´quivalence’) s’ensuit de la d´finition du second membre.
Ainsia:= 2 signifie queaa ´t´ d´fini comme ´tant ´gal au nombre 2.
a=:bsignifie queba ´t´ d´fini comme ´tant ´gal `a.
b∈B:⇒b >3 signifie que l’appartenance deb`Bimplique, par
d´finition,bstrictement plus grand que 3.

L’utilisation de ‘respectivement’ (g´n´ralement abr´g´ en ‘resp.’): on
utilise ‘respectivement’, le plus souvent sous sa forme abr´g´ ‘resp.’, pour
donner deux ´nonc´s parall`les r´unis en un seul.
Exemples
1) ‘Deux triangles ayant leurs trois cˆt´s (resp.1 cˆt´ et 2 angles) ´gaux
deux ` deux sont ´gaux.’ est une abr´viation pour les deux ´nonc´s :
i) ‘Deux triangles ayant leurs trois cˆt´s ´gaux deux ` deux sont ´gaux.’
ii) ‘Deux triangles ayant 1 cˆt´ ´gal et 2 angles ´gaux deux ` deux sont
´gaux.’

2) ‘Deux triangles ayant leurs cˆt´s (resp.leurs angles) ´gaux deux ` deux
sont ´gaux (resp.semblables).’ estune abr´viation pour
i) ‘Deux triangles ayant leurs cˆt´s ´gaux deux ` deux sont ´gaux.’
ii) ‘Deux triangles ayant leurs angles ´gaux deux ` deux sont semblables.’

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Notations
SoientA, B, Cdes ensembles.
On dit queAest inclus dansBou encore queAest un sous-ensemble de
B, si tout ´l´ment deAest un ´l´ment deB. Onnote alorsA⊂B(i.e.A⊂B
´quivaut ` :a∈A:⇒a∈B).
L’´galit´ des ensemblesAetBsignifie que tout ´l´ment de l’un appartient
` l’autre et inversement i.e.on a ` la fois l’inclusionA⊂Bet l’inclusion
B⊂A2 ensemblesest donc toujours prise au ‘sens large’ i.e.. L’inclusion
´gaux sont inclus l’un dans l’autre.
La r´union des ensemblesAetBest l’ensemble not´A∪Bdont les ´l´ments
sont ceux deAoudeBi.e.a∈A∪B´quivaut ` :a∈Aoua∈B.
En particulier on a toujours les inclusions :A⊂A∪BetB⊂A∪B.
L’intersection des ensemblesAetBest l’ensemble not´A∩Bdont les
´l´ments sont ceux appartenant ` la fois `Aet `Bi.e.a∈A∩B´quivaut ` :
a∈Aeta∈B.
En particulier on a toujours les inclusions :A∩B⊂AetA∩B⊂B.
′ ′
SiAest un sous-ensemble dansA, on noteA\Ale sous-ensemble form´
′ ′′
des ´l´ments deAn’appartenant pas `Ai.e.A\A:={a∈A;a∈A}.
′ ′
On dit encore queA\Aest le compl´mentaire deAdansA.
′ ′
SiAetAsont des sous-ensembles d’un ensembleB, on noteA\Apour

A\(A∩A).

On note∅l’ensemble vide i.e.n’ayant aucun ´l´ment.

Lemme 0.1
′ ′′
SoitAun ensembleAetAdes sous-ensembles deA. On a :
′ ′
i)A\(A\A) =A, autrement dit le compl´mentaire du compl´mentaire
d’un ensemble est cet ensemble lui-mˆme.
′′ ′′ ′′′′
ii)A⊂A´quivaut ` (A\A)⊂(A\A), autrement dit,Aest contenu
′ ′′′
dansAssi le compl´mentaire deAest contenu dans le compl´mentaire deA.
′ ′′′ ′′
iii)A\(A∪A) = (A\A)∩(A\A).
′ ′′′ ′′
iv)A\(A∩A) = (A\A)∪(A\A).

D´monstration
′′ ′′′ ′
i) SoitA:=A\A. Ona :a∈A⇔a∈A,
d’o` les ´quivalences:
′′ ′′′ ′
a∈A\A⇔[a∈Aeta∈A]⇔[a∈Aeta∈A]⇔(puisqueA⊂A)

a∈A.

14

′′ ′
Les ensemblesA\AetAayant mˆmes ´l´ments, ils sont (par d´finition
′′ ′
de l’´galit´ des ensembles) ´gaux i.e.A\A=A.

ii) a) On montre tout d’abord l’implication :
′′ ′′ ′′
A⊂A⇒[(A\A)⊂(A\A)].
′ ′
Soita∈A\A, on a donca∈Aeta∈A.
′′ ′′′
L’inclusionA⊂Asignifie que tout ´l´ment appartenant `Aappartient
′ ′
`Aou encore par contraposition, tout ´l´ment qui n’appartient pas `A
′′ ′′′ ′′
n’appartient pas `A, d’o`a∈Aimpliquea∈Aet donca∈A\A.

Ceci ´tant vrai pour touta∈A\A, on a donc l’inclusion :
′ ′′
(A\A)⊂(A\A).
b) On montre maintenant l’implication inverse :
′ ′′′′ ′
[(A\A)⊂(A\A)]⇒A⊂A.
′ ′′′ ′′
On pose :B:=A\AetB:=A\A.
′ ′′′′ ′
L’inclusionB⊂Bimplique (d’apr`s le a)) :A\B⊂A\B(1).
′′ ′′′′ ′′ ′
D’apr`s i), on a :A\B:=A\(A\A) =AetA\B:=A\(A\A) =A
′′ ′
d’o` (d’apr`s (1)) :A⊂A.

′ ′′′
iii) a) Par d´finition de la r´union de 2 ensembles, on a :A⊂A∪Aet
′′ ′′′ ′′′
A⊂A∪A. D’apr`sii), on a donc :A\(A∪A) est contenu ` la fois dans
′ ′′
(A\A) et (A\A), d’o` :
′ ′′′ ′′
A\(A∪A)⊂(A\A)∩(A\A).
′ ′′
b) Inversement, soita∈(A\A)∩(A\A:). Cela signifie
′ ′′′ ′′
a∈(A\A) eta∈(A\A) i.e.:a∈Aeta∈Ad´finition de la. Par
′ ′′′ ′′′ ′′
r´union, cela signifie :a∈A∪A(, d’o` :A\A)∩(A\A)⊂A\(A∪A).
′ ′′′ ′′
D’apr`s a), on a donc l’´galit´ : (A\A)∩(A\A) =A\(A∪A).
′ ′′′
iv) a) Par d´finition de l’intersection,A∩Aest contenu ` la fois dansA
′′ ′′′ ′′′
etA, d’o` d’apr`s ii), (A\A) et (A\A) sont contenus dansA\(A∩A) i.e.
′ ′′′ ′′
(A\A)∪(A\A)⊂A\(A∩A).
′ ′′′ ′′
b) Inversement, soita∈A\(A∩A:). Cela signifiea∈(A∩A).
′ ′
Donc ou bienan’appartient pas `Aet alors :a∈A\Abien il. Ou
′′ ′′
n’appartient pas `A, et alors :a∈A\Ales deux cas il appartient. Dans
′ ′′′ ′′′
` (A\A)∪(A\A),d’o` (d´finition de l’inclusion) :A\(A∩A)⊂(A\A)∪
′′ ′′′ ′′′
(A\Aa bien l’´galit´ :(). D’apr`s a), onA\A)∪(A\A) =A\(A∩A).

ATTENTION

Le i) du lemme serait faux siAn’est pas contenu dansA.

Ainsi, en prenantB:={x, y, z}etA:={x, y}, A:={y, z} ⊂B, on a :
′′ ′′ ′′′
A:=A\A:=A\(A∩A) :={x, y}\{y}={x}d’o` :A\A={y} =A:=
{y, z}.

15

ATTENTION
Lorsqu’on a une suite d’implications ou d’´quivalences, il n’est pas toujours
facile de savoir exactement ce qui implique et ce qui est impliqu´. Ainsi ‘aest
plus grand quebetbest plus grand quecd’o`aest plus grand quec’ pourrait
signifier
a) soit :
de ce que ‘aest plus grand queb’ et ‘best plus grand quec’, on d´duit ‘a
est plus grand quec’
b) soit :
premi`re affirmation :‘aplus grand queb’,
seconde affirmation :‘bplus grand quec’, on d´duit ‘aplus grand quec’.
Ici l’ambiguıt´ peut ˆtre lev´e facilement, mais cela n’est pas toujours le cas.

De mˆme soientp,q,r,sdes propositions ; l’´nonc´ ‘p⇒qetr⇒s’ peut
signifier
a) soit qu’on a simultan´ment :‘p⇒q’ et ‘r⇒s’
b) soit qu’on a simultan´ment :‘p⇒(qetr)’ et ‘(qetr)⇒s’.

Il est parfois tr`s malais´ d’´viter ce type d’ambiguıt´s qui conduisent
souvent ` une mauvaise compr´hension.On n’essaiera ici de s´parer clairement
les diverses parties des ´nonc´s, soit par une ponctuation, soit en utilisant des
mots du langage courant plutˆt que des symboles formels.
Ainsi en est-il avec l’associativit´ o` il faut d´cider si ‘5×est ´gale `3 + 4’
‘15 + 4’(i.e. ‘(5×3) + 4’)ou ‘5ב57’ (i.e.×Pour des symboles tr`s(3 + 4)’).
utilis´s, on r´sout la question en d´finissant une fois pour toute un ordre de
priorit´. Dansl’exemple pr´c´dent, la multiplication est g´n´ralement consid´r´e
comme prioritaire sur l’addition i.e.la premi`re est effectu´e avant la seconde.
Il en est diff´remment lorsque l’on a affaire ` toutes les possibilit´s d’´nonc´s et
de symboles, d’o` la n´cessit´ d’utiliser syst´matiquement des parenth`ses, au
risque d’alourdire l’´criture.Comme nous l’avons indiqu´ dans l’introduction,
on pr´f´rera toujours la lourdeur ` l’ambiguıt´.

Dans la suite, on utilisera des raisonnements dits par l’absurde :pour
prouver une propri´t´, on suppose qu’elle est fausse et on en d´duit un r´sultat
qu’on sait ˆtre faux.
Plus g´n´ralement, pour prouver une implicationP1⇒P2, on montrera
souvent ce qu’on appelle sa contrapos´e, ` savoirnon(P2)⇒non(P1) (o`
non(P) est la n´gation de la propositionP).

16

1. PRODUITD’ENSEMBLES

D´finitionProduit de deux ensembles
SoitAetBdeux ensembles ; l’ensembleCd´fini par

C={(a, b);a∈A, b∈B}

est appel´ le produit deAparBet est not´A×B.
Si on a :A=∅ouB=∅, on poseA×B:=∅i.e.∅ ×B=A× ∅:=∅.

′ ′′ ′
Attention(: Sia, b) et (ba ,) appartiennent `A×B, (a, b) = (a , b) signifie
′ ′
a=aetb=bune mani`re de d´finir l’´galit´ des couples.. C’est

Remarque 1.0
i) Il faut donc distinguer les couples (a, b) et (b, a), et en g´n´ral le produit
A×Best difff´rent du produitB×A. Celasignifie que (a, b) d´pend de la
position deaet debn’est pas diff´rent pour l’´criture d’un nombre, ainsi. Cela
12 est diff´rent de 21 bien que tous deux soient form´s des mˆmes chiffres, mais
dans un ordre diff´rent.
ii) Il faut donc ´galement distinguer le couple (a, b) de l’ensemble{a, b}
form´ des ´l´mentsaetb. Eneffet, suivant la d´finition de l’´galit´ des couples
′ ′
(cf. ci-dessus),on a :(a, b) = (a ,b) ´quivaut ` :
′ ′
a=aetb=b.
Par contre deux ensembles ´tant ´gaux si leurs ´l´ments sont ´gaux, l’´galit´
′ ′
{a, b}={a , b}´quivaut ` :
′ ′
- soita=aetb=b
′ ′
- soita=beta=b.

D´finition et notation
i) On dit qu’un ensembleXest fini s’il existe un entierktel queXposs`de
au pluskDans ce cas, on note´l´ments (distincts).N(X)le nombre de ses
´l´ments que l’on appelle encore le cardinal de l’ensembleX.
ii) Un ensemble infiniXest donc un ensemble ne v´rifiant pas la d´finition
ci-dessus, ` savoir que pour tout entierk, il existe un sous-ensemble deX
poss´dant au moinsk´l´ments (distincts)

17

Lemme 1.0
SoitAetBdeux ensembles finis, alorsA×Best aussi fini et on a :
N(A×B) =N(A)N(B).

D´monstration
SiA:=∅ouB:=∅, on a par d´finition :A×B:=∅d’o`N(A×B) =
N(∅) = 0, et on a bienN(A×B) =N(A)N(B).
On peut donc supposer que niAniBne sont vides.SoitA={a1, . . . , ah}
etB={b1, . . . , bk}, o` lesa1, . . . , ah(resp.b1, . . . , bk) sont tous distincts (i.e.
N(A) =h, N(B) =kpeut ´crire le produit). OnA×Bsous la forme suivante :
 
(a1, b1). ., .,(ah, b1)
 
 
(a1, b2). ., .,(ah, b2)
A×B=.
. . .
 
(a1, bk). .,, .(ah, bk)
Cet ensemble ´tant form´ dehcolonnes et deklignes comprend donchk
´l´ments tous distincts (par d´finition de l’´galit´ des couples) et l’on a bien
N(A×B) =hk=N(A)N(B) .

Plus g´n´ralement, on peut d´finir par induction le produit d’un nombre
quelconque (fini) d’ensembles.En effet, soitA1, . . . , Aldes ensembles, on pose :
A1×. . .×Al:= (A1×A2. . .×Al−1)×Alou encore directement :
A1×. . .×Al={((a1, a2, . . . , al−1), al);a1∈A1, . . . , al∈Al}.
On identifie (a1,(a2, a3)) et ((a1, a2), a3), d’o` on a l’´galit´ (A1×(A2×
A3)) = ((A1×A2)×A3plus g´n´ralement, comme pour un produit de). Et
nombres, on n’a pas ` se soucier de la place des parenth`ses dans un produit
d’ensembles (c’est l’associativit´ du produit des ensembles).

Proposition 1.1
Si les ensemblesA1, . . . , Alsont finis, alors leur produitA1×. . .×Alest
encore un ensemble fini et l’on a

N(A1×. . .×Al) =N(A1)· · ·N(Al).

D´monstration
La d´monstration se fait parr´currencesur le nombreld’ensembles.
Le r´sultat ayant ´t´ montr´ pourl= 2 (c’est le lemme 1.0), on le suppose
v´rifi´ pour 2≤i < l(c’est l’hypoth`se de r´currence) et on montre qu’il est
alors v´rifi´ pouri+ 1.
SoitB=A1×. . .×Ai−1, suivant l’hypoth`se de r´currence :

N(B) =N(A1)· · ·N(Al−1)

18

(1)

et puisqueA1×. . .×Al=B×Al, on a (lemme 1.0) :
N(A1×. . .×Al) =N(B)×N(Al), d’o` d’apr`s (1) :

N(A1×. . .×Al) =N(A1)· · ·N(Al).

Remarque 1.1
i) Dans la d´monstration pr´c´dente on a utilis´ une‘d´monstration
par r´currence’pour un ensemble fini de termes (` savoir leslensembles
A1, . . . , Al). Cela consiste` d´montrer une assertion en
(1) la prouvant pour le premier terme (ici le premier terme ´tait ´gal ` 2),
(2) puis de montrer que si elle est v´rifi´e pour uni-`me termei < l, alors
elle l’est pour le terme suivant i+1.
L’assertion ´tant vraie pour le premier terme (d’apr`s (1)), elle l’est pour
le second (d’apr`s (2)), donc pour le troisi`me (d’apr`s (2)) et ainsi de suite
pour tous.
ii) De mˆme qu’on a vu qu’il fallait distinguer entre le couple (a, b) et
l’ensemble{a, b}(remarque 1.0), pour toutkentier, il faut distinguer entre
(a1, . . . , ak) et l’ensemble{a1, . . . , ak}.
Ainsi, on a :
(a1, . . . , ak) = (a1, . . . , ak) ´quivaut ` :ai=bipouri= 1, . . . , k;
alors que
{a1, . . . , ak}={b1, . . . , bk}´quivaut ` :ai∈ {b1, . . . , bk}etbi∈ {a1, . . . , ak}
pouri= 1, . . . , k

D´finition.Restriction d’une application

Soitf:A→Bune application de deAdansBetAun sous-ensemble de
′ ′
A. Onappelle restriction def`Al’a′:A→B
pplication not´ef|Ad´finie

parf|′(a) :=f(a)pour touta∈A.
A

D´finition.Projections associ´es ` un produit d’ensembles
SoitA1, . . . , Aldes ensembles,A:=A1×. . .×Alleur produit.Pour tout
i∈ {1, . . . , l}, on d´finit une application not´epAiappel´es la projection deA
surAiou simplement lai-`me projection deA, en posant :

p(a ,. . . , a) :=a .
Ai1l i

′ ′
Plus g´n´ralement siAest un sous-ensemble deA, la restriction depAi`A
′ ′
sera appel´e la projection deAsurAiou simplement lai-`me projection deA.

19

Remarque 1.2
′ ′′
Ainsi, en notantplai-`me projection deA(i.e.p:=pAi′), pour tout
i i|A
′ ′
a:= (a1, . . . , al)∈A⊂A, on a :p(a) :=ai.
i

Exemple 1.1

SoitA:={a, a}etB:={1}. Ona :

A×B={(a,1),(a ,1)}(qui est un ensemble ` deux ´l´ments
conform´ment au lemme 1.0) et
pA((a,1)) :=a,
′ ′
pA((a ,1)) :=a,

pB((a,1)) =pB((a ,1)) := 1.

D´finitionInjection, surjection, bijection, r´ciproque, composition
d’applications.
SoitAetBdeux ensembles,f:A→Bune application deAdansB. On
dit que
i)fest injective (ou est une injection) si deux ´l´ments distincts deAont
′ ′′
des images distinctes dansBi.e. poura, a∈Aaveca=aalorsf(a)=f(a).
ii)fest surjective (ou est une surjection) si tout ´l´ment deBest image
d’un ´l´ment deAi.e. pour toutb∈B, il existea∈Atqb=f(a).
iii)fest bijective (ou encorefest une bijection) si elle est ` la fois
injective et surjective i.e.tout ´l´ment deBest l’image d’un unique ´l´ment
deA.
iv) Pour tout ensembleA, on d´finit l’application appel´e identit´ deA
not´eI dA:A→AtqI dA(a) =apour touta∈A(en particulierI dAest donc
une bijection deAdansA).
v) SoitA, B, Cdes ensembles,f:A→B(resp.g:B→C) une
application deAdansB(resp. deBdansCcompos´e de). L’applicationfetgest
l’application not´eg◦f:A→CdeAdansC, d´finie par :g◦f(a) =g(f(a)).
(la compos´eAttention au sens de l’´criture pour la composition:
de l’applicationfavec l’applicationgest not´eg◦f, autrement dit,
contrairement ` l’´criture habituelle qui va de gauche ` droite, on
note d’abordget ensuitef).
vi) Sifest une bijection, on appelle r´ciproque defl’application not´e
−1
f:B→Ad´finie de la mani`re suivante :
−1
pour toutb∈B, f(b) :=a, o`aest l’unique ´l´ment deAtel que
f(a) =b.
−1−1
En particulier,fest bijective, de r´ciproquefet on af◦f=I dAet
−1
f◦f=I dB.

20

vii) Pour toute applicationf:A→B, on a :f◦I dA=fetI dB◦f=f,
autrement dit, la composition avec l’identit´ ne modifie par une application.
En effet, pour touta∈A, on a :
(f◦I dA)(a) :=f(I dA(a)) :=f(a)
et
(I dB◦f)(a) :=I dB(f(a)) :=f(a).

Remarque 1.2’
i) SiAest un ensemble non vide, il n’existe aucune application deAdans
l’ensemble vide, puisqu’on ne peut pas associer ` un ´l´ment deAun ´l´ment
deB, siBn’a aucun ´l´ment.
ii) Par d´finition de la bijectivit´, s’il existe une bijection entre deux
ensemblesAetB, et siAest fini, alors il en est de mˆme deBet en outre,Aet
Bont mˆme nombre d’´l´ments i.e.N(A) =N(B) (en effet, tout ´l´ment de
Best l’image d’un unique ´l´ment deA).

Lemme 1.1’Associativit´ de la composition des applications.
SoitA, B, C, Ddes ensembles,f:A→B(resp.g:B→C, resp.
h:C→D) une application deAdansB(resp. deBdansC, resp.Cdans
D). Ona alors :
(h◦g)◦f=h◦(g◦f).

D´monstration
En appliquant la d´finition de la compos´e de 2 fonction, pour touta∈A:
(h◦g)◦f(a) := ((h◦g)(f(a)) :=h(g(f(a))) :=h(g◦f(a)) :=h◦(g◦f)(a)
i.e. (h◦g)◦f=h◦(g◦f).

Lemme 1.2
i) Soitf:A→Bune application deAsansBexiste une application. S’il
′ ′′ ′
f:B→Atqf◦f=I dAetf◦f=I dB, alorsfetfsont bijectives et on
−1′
af=f.
ii) Soitf:A→Betg:B→Cdes applications respectivement deA
dansBetBdansC. Sifetgsont des bijections, alors il en est de mˆme de
−1−1−1
leur compos´eg◦f:A→Cet on a(g◦f) =f◦g.
iii) Soitf:A→Bune applicationbijectivedeAdansB. S’ilexiste

une applicationf:B→Av´rifant :

ou bienf◦f=I dA(∗)

ou bienf◦f=I dB(∗∗)
′ −1
alorsf=f.

21

D´monstration

i) Bijectivit´ defetf.
′ ′
- Injectivit´ def: soita, a∈A, suivant l’hypoth`se,f◦f(a) :=
′ ′′ ′′ ′′ ′
f(f(a)) =I dA(a) :=a(1) etf◦f(a) :=f(f(a)) =I dA(a) :=a(1 ).

Sif(a) =f(a), on a :
′ ′′ ′′
(d’apr`s (1))f(f(a)) =a=f(f(a)) = (d’apr`s (1 ))a

d’o`a=aetfest injective.
- Surjectivit´ deftout: pourb∈B, suivant l’hypoth`se, on a :

f◦f(b) =IdB(b) :=b

d’o`, en posanta:=f(b), on a :
b=f(a)
etfest surjective.
′ ′
fest donc bijective et en intervertissantfetf, il en est de mˆme def.
En outre, pour toutb=f(a)∈B, on a :
′ ′
f(b) =f(f(a)) = (hypoth`se)IdA(a) :=a
−1′ −1
d’o` (par d´finition def),f=f.
−1
ii) Si les applicationsfetgsont bijectives, leurs r´ciproquesf:B→A
−1
etg:C→Bsont d´finies, et on a par associativit´ de la composition des
applications :
−1−1−1−1−1−1
(g◦f)◦(f◦g) =g◦(f◦f)◦g:=g◦I dB◦g=g◦g:=I dC(2)
et
−1−1−1−1−1−1
(f◦g)◦(g◦f) =f◦(g◦g)◦f:=f◦I dB◦f=f◦f:=

I dA(2 ).
−1−1
D’o` suivant i),f◦gest bijective et c’est la r´ciproque deg◦f.

iii) Il faut montrer que sifest bijective, pourf:B→Av´rifiant l’une
′ −1
des conditions (∗) ou (∗∗) alorsf=f.

Sifv´rifie (∗), on a :
′ −1−1−1
(f◦f)◦f=IdA◦f=f
et par associativit´ de la composition des fonctions :
′ −1′ −1′ ′
(f◦f)◦f=f◦(f◦f) =f◦I dB=f
′ −1
d’o`f=f.
′ −1′ −1−1′ ′
Sifv´rifie (∗∗), on a de mˆme :f◦(f◦f) =f= (f◦f)◦f=f
−1′
et l` encoref=f.

Attention

Suivant le i) du lemme 1.2, sif:B→Av´rifie les deux conditions (∗) et
′ −1
(∗∗), alorsfet bijective etf=f. Dansle iii),fest bijective par hypoth`se,

22

et dans ce cas, il suffit qu’une fonction v´rifie uneseuledes conditions (∗) ou
(∗∗) pour qu’elle soit la r´ciproque def.

Lemme 1.2’
Soitf:A→Betg:B→Cdes applications respectivement deAdans
BetBdansC. Sifetgsurjectives) alorssont toutes deux injectives (resp.
leur compos´eg◦fest injective (resp. surjective).

D´monstration

i) Soit tout d’abordfetgpour toutinjectives. Alorsa, a∈A, l’´galit´

g◦f(a) =g◦f(a) ´quivaut (par d´finition de la compos´e des applications)
` :

g(f(a)) =g(f(a)), d’o` (puisquegest injective) :

f(a) =f(a), et puisquefest injective, on obtient finalement :

a=ai.e. (par d´finition)g◦fest injective.
ii) On consid`re maintenant le cas o`fetgSoit alorssont surjectives.
c∈C; puisquegest surjective, il existeb∈Btqg(b) =c; et puisquefest
surjective, il existea∈Atqf(a) =bobtient donc :. On
g◦f(a) :=g(f(a)) :=g(b) :=c,
i.e. (pard´finition de la surjectivit´)g◦fest surjective.

Le lemme 1.2’ donne une autre d´monstration du lemme 1.2.ii), puisquef
etgbijectives signifie qu’elles sont toutes deux ` la fois injectives et surjectives.

D´finition.Image d’un sous-ensemble, Image d’une application

Soitf:A→Bune application deAdansBet soitAun sous-ensemble
deB.

i) L’image deApar l’applicationf, parfois appel´e aussi image directe de
′ ′
Aparf, est le sous-ensemble deB, not´f(A), d´fini par :
′ ′
f(A) :={f(a)∈B, a∈A}.
ii) L’image deAparfest appel´e l’image de l’applicationfou encore
image def.

D´finition.Injection canonique d’un sous-ensemble
′ ′
SoitAun sous-ensemble d’un ensembleAcanonique de. L’injectionA
′ ′′ ′
dansAest l’applicationi:A→AdeAdansAd´finie, pour touta∈A,
′ ′′
par :i(a) :=aencore,. Ouiest la restriction deI dA`A.

23

Remarque 1.3

i) L’injection canoniquei:A→Ad´finie ci-dessus est ´videmment
injective.

i’) La restriction `Ad’une application injective est encore injective (si
pour deux ´l´ments distincts deAleurs images par cette application sont
dis′
tinctes, cela esta fortiorivrai si l’on se restreint ` deux ´l´ments deA⊂A).
′′ ′′ ′′′ ′′′ ′′
i”) SoientA⊂A⊂A,i:A→A,i:A→Aeti:A→A,
′ ′′′ ′′
les injections canoniques respectivement deAdansA,AdansAet deA
′ ′′′ ′
dansAa alors :. Oni=i◦i. Eneffet, des d´finitions dei:A→A
′′ ′′′ ′′′ ′′′
eti:A→A, on peut composerietiet cette compos´ei◦iest une
′′ ′′′′
application deAdansA. Etpar d´finition, pour touta∈A, on a :
′′ ′′′ ′′′′ ′′′ ′′′ ′′
i(a) :=a=i(i(a)) :=i◦i(a). D’o`i=i◦i.
′′ ′′
ii) SoientA⊂A⊂Aetf:A→Bune application deAdansB,Aun

sous-ensemble deAetil’injection canonique deAdansA. Ennotantf|Ala


restriction def`A, on a :f|A:=f◦i.

En effet, ces deux applications sont d´finies sur les mˆmes ensembles (ce
′ ′
sont des applications deAdansB) et pour toutx∈A, on a :
f◦i(x) :=f(i(x)) =f(x) :=f|A(x).

′′ ′
ii’) SoientA⊂A⊂Aetf:A→Best une application deAdansB.
On a alors :
′′ ′
f|A= (f|A)|Ai.e. larestriction `Ade la restriction `Adefest ´gal
′′ ′′
a la restriction def`Ae.On.apopnetlillece‘alanartitist´viel’decarictr
′′
′′
En effet, tout d’abord, par d´finitionf|Aest une application deAdans
′′

B. Etaussi :f|Aest une application deAdansB, d’o` (f|A)|Aest ´galement
′ ′′′
′′
une application deAdansB.
′′
D’autre part, pour touta∈A, on a (par d´finition) :
(f|A)|A(a) :=f|A)(a) :=f(a) :=f|A(a), d’o`f|A= (f|A)|A.
′ ′′′ ′′′′ ′′′
iii) L’image de l’ensemble vide par une application est l’ensemble vide.En

effet, soitf:A→Bune application deAdansBetA:=∅ ⊂A. On a :
′ ′
f(A) :={f(a);a∈A} ⊂B,
′ ′
et puisqueAn’a pas d’´l´ment, il en est de mˆme def(A).

La r´ciproque d’une application n’existe que si c’est une bijection.
d´finit toutefois pour toute application un ensemble ‘image r´ciproque’ :

On

D´finition.Image r´ciproque d’un sous-ensemble.

Soitf:A→Bune application de deAdansBet soitBun
sous′ −1′
ensemble deB. L’image r´ciproquedeBpar l’applicationfnot´ef(B)est
−1′ ′
un sous-ensemble deA, et il est d´fini par :f(B) :={a∈A;f(a)∈B}.

24

ATTENTION
−1
Sifn’est pas bijective,fn’estjamaisune application deBdansA.
C’est tout de mˆme une application, mais d´finie deP(B) dansP(A) (cf.
chapitre 4).
On a ici une´tgbimıaude notation, lorsquefest une bijection.En effet,
−1
d’une partfd´note l’application r´ciproque def, application deBdansA.
−1
Mais aussi suivant la d´finition ci-dessus,fest une application d´finie
deP(B) dansP(A).
Ainsi, la mˆme notation renvoie ` des applications diff´rentes, autrement
dit elle a undouble sens.
Il faut donc ˆtre attentif ` ne pas faire de confusion entre ces deux sens de
−1
f. Onreviendra plus longuement sur cette question au paragraphe 4.

Proposition 1.3
′ ′′′ ′′
Soitf:A→Bune application deAdansB; soitAA ,(resp.B ,B)
des sous-ensembles deA(resp. de B). On a alors

′ ′′′ ′′
f(A∪A) =f(A)∪f(A)
−1′ ′′−1′ −1′′
f(B∪B) =f(B)∪f(B)
−1−′ ′′1′ −1′′
f(B∩B) =f(B)∩f(B)

Par contre, on a en g´n´ral

′ ′′′ ′′
f(A∩A)=f(A)∩f(A)

On montre tout d’abord le lemme tr`s simple :

(4).

(1)
(2)
(3)

Lemme 1.3’
′ ′′′ ′′
Soitf:A→Bune application deAdansB. SoitA ,A(resp.B ,B)
′ ′′′ ′′
des sous-ensembles deA(resp. deB) avec :A⊂AetB⊂B. Ona alors :

′ ′′−1′ −1′′
f(A)⊂f(A) etf(B)⊂f(B).

D´monstration
′ ′′′ ′′′′
Sia∈A(resp.b∈B) alorsa∈A(resp.b∈B), d’o`f(a)∈f(A)
−1−1′′ −′′ ′1′ −1′′
(resp.f(b)∈f(B)), et doncf(A)⊂f(A) (resp.f(B)⊂f(B)).

25

D´monstration de la prop.1.3
Puisque pour tout ensembleX, Yon a :X⊂X∪Y,Y⊂X∪Y,X∩Y⊂X
etX∩Y⊂Y, le lemme 1.3’ donne les inclusions suivantes :

′ ′′′ ′′′
f(A)∪f(A)⊂f(A∪A) (1)
−1′ −1′′ −1′′ ′′
f(B)∪f(B)⊂f(B∪B) (2)
−1′ ′′−1′ −1′′ ′
f(B∩B)⊂f(B)∩f(B) (3)
′ ′′′ ′′′
f(A∩A)⊂f(A)∩f(A) (4)
Il faut donc prouver les inclusions r´ciproques.
′ ′′′ ′′
a)b∈f(A∪A) :⇔il existea∈Aoua∈Atel queb=f(a), d’o` :
′ ′′ ′′′
b∈f(A) oub∈f(A) :⇔b∈f(A)∪f(A) et donc

′ ′′′ ′′
f(A∪A)⊂f(A)∪f(A)

′′
(1 )

−1′ ′′′ ′′′ ′′
b)a∈f(B∪B) :⇔f(a)∈B∪B, d’o` :f(a)∈Bouf(a)∈B:⇔
−1′ −1′′ −1′ −1′′
a∈f(B) oua∈f(B) :⇔a∈f(B)∪f(B) d’o`

−1′ ′′−1′ ′′
f(B∪B)⊂f(B)∪f(B)

′′
(2 )

−1′ −1′′ −1′ −1′′ ′
c)a∈f(B)∩f(B) :⇔a∈f(B) eta∈f(B) :⇔f(a)∈Bet
′′ ′′′ −1′ ′′
f(a)∈B:⇔f(a)∈B∩B:⇔a∈f(B∩B) d’o`

−1′ −1′′ −1′ ′′
f(B)∩f(B)⊂f(B∩B)

′′
(3 )

′ ′′′ ′′′ ′′
Les inclusions (1 ) et (1), (2 ) et (2), (3 ) et (3) donnent respectivement
les ´galit´s (1), (2) et (3).

′ ′′′ ′′
Pour montrer qu’on n’a pas en g´n´ral l’´galit´f(A∩A) =f(A)∩f(A),
il suffit de consid´rer l’exemple suivant :
′ ′′
Soitf:A→Bune application deA={aa ,}(ensemble ` 2 ´l´ments
′ ′′
distincts, par exemplea= 0 eta= 1) dansB={b}(ensemble ` un seul
´l´ment, par ex.b= 2).On a alors n´cessairement (puisqueBn’a qu’un
′ ′′
´l´ment)f(a) :=f(a) :=b.
′ ′′′ ′′′ ′′
En posant :A={a},A={a}etf(a) =f(a) =b, on a :
′ ′′′
f(A) =f(A) ={b}:=Bd’o`f(A)∩f(A) =B.
′ ′′′ ′′
D’autre part, on a :A∩A=∅d’o` :f(A∩A) = (lemme 1.1’)
′ ′′
∅ =B=f(A)∩f(A).

26

Dans le contre-exemple ci-dessus,fn’´tait pas injective.En effet :

Lemme 1.4
′ ′′′ ′′
Pour toute applicationf:A→B, l’inclusionf(A∩A)⊂f(A)∩f(A)
est vraie.
′ ′′′ ′′
Sifest injective, on a une ´galit´ :f(A∩A) =f(A)∩f(A).

D´monstration
La premi`re partie de l’´nonc´ r´sulte du lemme 1.3’ (cf.d´m. dela
′ ′′′ ′′′ ′′
prop. 1.3).D’autre part, on a :b∈f(A)∩f(A) :⇔il existea∈Aeta∈A
′ ′′′ ′′
tqb=f(a) =f(a). Sifest injective, (par d´finition de l’injectivit´)a=a,
′ ′′′ ′′′ ′′ ′ ′′
d’o`a=adoit appartenir ` la fois `Aet `Ai.e.a=a∈A∩A. On
′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′
a doncb=f(a) =f(a)∈f(A∩A) i.e.f(A)∩f(A)⊂f(A∩A).

Proposition 1.5
SoientAetBdes ensembles non vides etf:A→Bune application de
AdansB.
i)fest injective ssi il existe une applicationg:B→Atqg◦f=IdA.
ii)fest surjective ssi il existe une applicationh:B→Atqf◦h=IdB.
iii) En outre, dans i) (resp.ii)), l’applicationg:B→A(resp.h:B→A)
est surjective (resp.injective).

D´monstration
i) a) Soitfinjective. On consid`reα∈Aun ´l´mentquelconquedeA.
Soitg:A→Bl’application d´finie de la mani`re suivante :
sib∈f(A), on poseg(b) :=ao`aest l’unique (carfest injective) ´l´ment
deAtqf(a) =b, et sib∈f(A),g(b) :=α. On a alors pour touta∈A:
g◦f(a) :=g(f(a)) :=a(puisquef(a)∈f(A)), d’o`g◦f(a) =a:=I dA(a)
etg◦f=IdA.
b) Inversement, s’il existe une applicationg:A→Btqg◦f=IdA, pour
′ ′′
touta, a∈A, on a :f(a) =f(a)⇒g(f(a) =g(f(a;)) (1)
g(f(a)) :=g◦f(a) = (par hypoth`se)a
′ ′′
g(f(a)) :=g◦f(a) = (par hypoth`se)a,
′ ′
d’o` d’apr`s (1), on a :f(a) =f(a)⇒a=aet doncfest injective.
ii) a) On supposefsurjective.
Pour toutb∈Bil existe alorsa∈Atqf(a) =b, et on d´finit une
applicationh:B→Apar :
h(b) :=ao`aest un ´l´mentarbitrairedeAv´rifiantf(a) =b.
−1
Ou en d’autres termes, pour toutb∈B, alorsf({b})=∅(carfest
surjective), et on d´finith:B→Aen posant :

27

−1
h(b) :=aen choisissant un ´l´mentarbitrairea∈f({b}).
On a alors :
f◦h(b) :=f(h(b)) :=f(a) = (par d´finition deh)b,
d’o` pour toutb∈B:
f◦h(b) =b=IdB(b) et doncf◦h=I dB.
b) On suppose inversement qu’il existeh:A→Btqf◦h=IdB. Pour
toutb∈B, on a alors :f◦h(b) =I dB(b) :=b.
En posanta:=h(b), on a :
f(a) :=f(h(b)) :=f◦h(b) = (d’apr`s (2))b,
etfest surjective.
iii) a) Surjectivit´ deg:B→A.
Puisqu’on a une applicationf:A→Btqg◦f=IdA, d’apr`s ii),
l’applicationgest surjective.
b) Injectivit´ deh:B→A.
Puisqu’il existe une applicationf:A→Btq tqf◦h=I dB, d’apr`s i),
hest injective.

Corollaire 1.5’
Soitf:A→Bune application ;fest bijective ssi il existedesapplications
′ ′′
f ,f:B→Atq
′ ′′
f◦f=I dA(1)etf◦f=I dB(2).
′ ′′ −1
Et dans ce cas :f=f=f.

D´monstration
−1−1
a) Sifest bijective, on a :f◦f=IdAetf◦f=I dB, et on peut
′ ′′−1
choisirf=f:=f.
b) Inversement, on suppose (1) et (2) vraies.Alors, les conditions i) et
ii) de la proposition pr´c´dente sont v´rifi´es, etfest ` la fois injective et
surjective, donc bijective.

En outre, on a :
′ ′′ −1
f=f◦I dB=f◦(f◦f) = (associativit´ de la composition des
′ −1−1−1
applications (Lemme 1.1’)) (f◦f)◦f= (d’apr`s (1))I dA◦f=f
et
′′ ′′−1′′ −1′′
f=IdA◦f= (f◦f)◦f= (Lemme 1.1’)f◦(f◦f) = (d’apr`s
−1−1′ ′′ −1
(2))f◦I dA=f, d’o` :f=f=f.

28

Remarque 1.4
Il faut remarquer ici la diff´rence avec le lemme 1.2.i) :on ne demande
′ ′′
pas quef=f(qui r´sulte du corollaire).

Lemme 1.6

Soitf:A→Bune application,A⊂Aun sous-ensemble deAetf|A:

′ ′
A→Bla restriction def`A. Pour tout sous-ensembleYdeB, on a :
−1−1′
(f|A) (Y) =f(Y)∩A.

D´monstration
′ ′
Par d´finitionf|Aest la restriction `Adefi.e. pourtouta∈A:

f|A(a) :=f(a). Ona donc les ´quivalences :

−1′ ′
x∈(f|A) (Y) :⇔[x∈Aetf|A(x) :=f(x)∈Y] :⇔[x∈Aet
′ ′
−1′ −1
x∈f(Y)] i.e.x∈A∩f(Y).

−1
Remarque 1.5Ici (f|Apas une application r´ciproque de () n’estf|A) car :
′ ′
- D’une part, (f|A) est quelconque et donc g´n´ralement non bijective.

Elle ne poss`de donc pas de r´ciproque (cf.la mise en garde pr´c´dant la
prop. 1.3).
- D’autre part,Yn’est pas un ´l´ment deBmais deP(B).
−1
L’ambiguıt´ de l’´criture (f|Adonc lev´e par le contexte (une double) est

impossibilit´ de la seconde ´ventualit´).
Il faut insister sur ce qu’on nomme’abus de langage’en math´matiques,
car elles sont innombrables et sources fr´quentes d’erreurs.Tout comme dans
la langue naturelle, elles sont lev´es par le contexte.Cela exige toutefois une
pratique, parfois longue, aussi bien pour l’une que pour l’autre.

29

2. PROPRI´TESET ENSEMBLES

Remarque pr´liminaire.On peut consid´rer une propri´t´ sur un
ensembleAcomme la donn´e d’un sous-ensemble deA.

Cette remarque n’est sans doute pas ´vidente imm´diatement et on va
examiner cette question plus en d´tails.
Nous commencerons par des consid´rations ` partir de la logique d’Aristote
(Premiers et Seconds Analytiques). Pourle philosophe de Stagire (sa ville de
naissance, d’o` sa d´signation par le ‘Stagirite’), d´finir c’est donner un genre
et une diff´rence.On retrouve cetted´finition de la d´finitionau fondement de
toute la scolastique m´di´vale.

En consid´rant une propri´t´ comme ´tant une d´finition (la d´finition
de cette propri´t´) cela est ´quivalent ` la remarque pr´liminaire ` condition
d’identifier genres et ensembles.La diff´rence est alors la donn´e d’une partie
de cet ensemble (ce qui est pr´cis´ment diff´renci´ par cette diff´rence).

Exemples 2.1
i) Soit la d´finition :‘le chien est un animal aboyant’ qu’on peut r´´crire :
‘le chien est, parmi les animaux, celui qui aboie’.Si l’on noteAl’ensemble des
animaux,PAla propri´t´ (parmi les animaux) d’aboyer, alors donner le
sousensembleB(deA) des chiens est ´quivalent ` donner la propri´t´PAdans
l’ensembleA.

ATTENTION: cela n’est exact que si la propri´t´PAest une d´finition,
c’est-`-dire n’est ni trop ‘large’ ni trop ‘´troite’.
Consid´rons en effet cet autre ´nonc´ :‘le chien est un animal ` quatre pattes’.
Il est vrai, mais ce n’est pas une d´finition car il existe des quadrup`des qui ne
sont pas de chiens.On peut encore dire que l’on a une mauvaise d´finition (des
chiens) parce qu’elle est trop large (c’est un point sur lequel Spinoza insiste en
donnant la signification non de la ‘d´finition’, comme chez Aristote, mais du
terme ‘essence’ :‘Je dis appartenir ` l’essence d’une chose ce dont la pr´sence
pose n´cessairement la chose, et dont la suppression supprime n´cessairement
la chose ; ou encore [vel id], ce sans quoi la chose, et inversement ce qui sans
la chose, ne peut ni ˆtre ni se concevoir’(euqiht´B. Pautrat,II.2, trad., d´f.
Seuil)).
Selon Aristote la difficult´ provient de l’ambiguıt´ et plus exactement de
la polys´mie des mots, particuli`rement du terme ‘ˆtre’.En effet, on utilise ce
verbe aussi bien pourd´finir(le chienestun animal aboyant) que pouraffirmer

31

une propri´t´ (le chienestCeci n’est pas contradic-un animal ` quatre pattes).
toire, puisque la d´finition est aussi une propri´t´ (i.e.le chien est effectivement
un animal ayant la propri´t´ d’aboyer).D’un point de vue ensembliste, l’´galit´
(ici l’ensemble des ‘chiens’) est un cas particulier de l’inclusion (cet ensemble est
contenu dans l’ensemble ‘animaux aboyants’, mais aussi dans celui ‘animaux `
quatre pattes’).
Toutefois l’inverse est faux, et une inclusion n’est pas en g´n´ral un
egalit´.Delaconfusionentre´galit´eetinclusionnaissentlesparadoxes,dont
certains sont ´tudi´s par Aristote dans les textes cit´s pr´c´demment, mais
aussi dans lesR´futations sophistiques, qui contrairement ` ce qu’on pourrait
penser, ne vise pas ` directement ‘r´futer les sophistes’, mais ` analyser leurs
r´futations.

ii) Nous allons passer maintenant ` un autre texte, l’Euthyd`mede
Platon (295b-299a) (cf.Annexes II, III et IIIbis).Les protagonistes principaux,
outre Socrate, sont deux fr`res, Euthyd`me et Dyonisodore, faisant profession
de sophistes c’est-`-dire d’enseigner, contre r´tribution, surtout les adolescents,
et surtout l’art de convaincre.Pour attirer une client`le, comme le feraient les
publicitaires actuels, ils offrent des ´chantillons de leur savoir (c’est l’´p´ıdeixis
qui sert ´galement de point de d´part auGorgias), consistant ` montrer leur
capacit´ ` r´futer quelque affirmation que ce soit.On assiste ` des ´changes
de propos entre Socrate, Ct´sippe (un jeune ath´nien) et les deux sophistes,
Ct´sippe frˆlant parfois l’insulte envers ces derniers.Socrate rapporte
directement la discussion, ce qui est exceptionnel parmi les dialogues platoniciens.
Il affirme que le d´bat s’est termin´ tellement ` l’avantage des deux sophistes
qu’il a d´cid´ de se mettre ` leur ´cole.Il pr´tend mˆme convaincre un de ses
amis, d´j` ˆg´, de faire de mˆme.On ne peut se contenter d’y voir une des
formes bien connues d’ironie socratique et Socrate doit donc, au moins d’une
certaine mani`re, les prendre au s´rieux.

Nous allons retenir deux passages (dans la traduction de M. Canto, cf.
Annexe III).

Ct´sippe - Et ta m`re, est-elle aussi leur m`re?
Euthyd`me - Oui, elle est leur m`re aussi.
C. - Elle est donc aussi la m`re des h´rissons, ta m`re, et des h´rissons
de mer, des oursins ?
E. - Oui, et la tienne aussi !dit-il.
C. - Alors tu es toi aussi, le fr`re des goujons, des petits chiens et des
petits cochons?

32

E. - Oui, tout comme toi!r´pliqua-t-il

Dans cet extrait, Ct´sippe s’empresse de retourner l’argumentation des
deux sophistes, en prenant le terme ‘m`re’ au sens absolu.On est ‘m`re’
comme on est ‘blanc’, et non pas au sens relatif, o` l’on est ‘m`re de quelqu’un’
(voire de quelque chose).S’il n’est qu’une sorte de mani`re d’ˆtre ‘m`re’, toute
‘m`re’estm`re de ce qui auneprise pour ´galit´ identifie‘m`re’. L’inclusion
unem`re `latout individu est le fr`re des goujonsm`re. D’o`le paradoxe :
ou des veaux, puisque eux aussi ontunem`re.
On peut formaliser cette d´monstration pour montrer qu’elle se fonde sur
(ce que nous appelons) l’injectivit´.
SoitAm`re de poisson, del’ensemble des m`res de diff´rents animaux :
veau, de h´risson, ..., et la m`re d’Euthyd`me (seule m`re humaine).Soit encore
′ ′
Al’ensemble ‘{lam`re}’,{k}l’ensemble ‘m`re d’Euthyd`me’,{k}l’ensemble
′′
‘m`re d’un h´risson’ ou encore{k}On al’ensemble ‘m`re d’un petit goujon’.

n´cessairement les inclusions des trois derniers ensembles dansA:
′ ′′′
{k},{k},{k},· · ·⊂A,

PuisqueAa un unique ´l´ment, et tous les enfants ont une (unique) m`re, par
′ ′′
d´finition d’un ensemble ` un ´l´ment :k=k=k=· · ·, et doncA(form´
′ ′′′ ′′′
de{k},{k},{k},· · ·) a un seul ´l´ment,d’o` :A=k=k=k=· · ·=A.
Mais ajoute Euthyd`me, cela est vrai pour tout individux(ainsi Ct´sippe).
D`s lors, il s’agit de passer d’une m`re (humaine) donn´e (celle d’Euthyd`me)
` une m`re (humaine) quelconque.Cela permet de prendre cette fois pourA
l’ensemble des m`res individuelles (et non pas d’une certaine esp`ce d’animaux
donn´s) et de d´finir une ‘application’fsur cet ensembleA(l’ensemble des
m`res), en associant ` une m`rep∈A, l’ensembleIform´ de sa prog´niture.

En outre, on d´finit aussifsurA, en associant ` ‘lam`re’ l’ensemble

f(A) de tout ce qui a une m`re, sans restriction.

Soit alors deux m`res (i.e.p, p∈A) ; si leurs images parfsont des
ensembles non disjoints (i.e.elles ont un enfant en commun), ces deux m`res

n’en font qu’une (i.e.p=p, c’est l` qu’intervient l’injectivit´) (tout individu
ayant au plus* une m`re).
Deux seuls cas sont possibles :

ou bien les ensemblesf(p) etf(p) sont disjoints,

ou bienf(p) =f(p).

* Auplus, pour ´viter de consid´rer le cas d’une m`re morte, ce qui peut
poser probl`me dans le cadre de la pens´e grecque antique.

33

Le raisonnement devient alors :
quel que soitp∈A(i.e.pest la m`re dex, par exemple de Ct´sippe),f(p)

etf(p) ayant tout deux ‘lam`re’ comme m`re, ne sont pas disjoints (contenant
Euthyd`me ou Dionisodore ou Ct´sippe ou n’importe quel poisson, cochon et
′ ′
chien) d’o`f(p) =f(p), et puisquefest injective,p=p.
Autrement dit :
‘m`re de x = m`re d’Euthyd`me = m`re de Dionisodore = m`re de
Ct´sippe = m`re d’un goujon = ...’
et finalement Euthyd`me, tout comme Dionysodore, mais aussi Ct´sippe, se
retrouvent dans la fratrie des petis goujons, des chiens et des petits cochons**.

Le second extrait (cf.Annexe IIIbis) concerne cette fois le p`re.

- Et, en outre, tu as aussi un chien pour p`re.
- Oui, comme toi!
- Eh bien, c’est tout de suite, Ct´sippe, rench´rit Dionysodore, si tu me
r´ponds, que tu vas convenir de cela. Dis-moi donc:as-tu un chien ?
- Oui, et tout ` fait m´chant, r´pondit Ct´sippe.
- A-t-il donc des petits chiens ?
- Oui, et tout ` fait dans le mˆme genre que lui, r´pondit-il.
- Leur p`re est-il donc ce chien ?
- Ce qui est sˆr, c’est que je l’ai vu couvrir la chienne, assura-t-il.
- Alors le chien, est-il ` toi ?
- Oui, absolument, dit-il.
- C’est donc un p`re ` toi, si bien que ce chien est ton p`re, et que toi, tu
es le fr`re des petits chiens.
Dionysodore, ` son tour, reprit pr´cipitamment la parole, pour empˆcher
Ct´sippe de parler avant lui:
- A moi encore, oui, une petite r´ponse, dit-il:ce chien, le bats-tu ?
Et Ct´sippe en riant:
- Oui, par les dieux!s’´cria-t-il, faute de pouvoir te battre toi !

** Unth`me est sous-jacent ici, l’universalit´ de la condition des ˆtre vivants
qui tous ont une m`re (d’o` cette notion qui joue un rˆle crucial ici, celle dela
m`re). Ceciest d’autant plus important qu’` Ath`nes, le statut des individus
´tait matrilin´aire :chacun tenait ` la fois sa citoyennet´ et son rang de sa
m`re. C’estainsi qu’il faut comprendre, ` la fin d’Euthyd`me, Criton se vantant
d’avoir choisi sa femme avec ‘tant de soin de l’int´rˆt de [s]es enfants’ afin qu’ils
aient ‘une m`re de la plus noble famille’ (306d-e).

34

- C’est donc ton propre p`re que tu bats, r´pliqua Dionysodore.

Cette fois il s’agit de montrer que lorsque Ct´sippe frappe son chien, c’est
son propre p`re qu’il bat.Les deux sophistes pourraient reprendre
l’argumentation pr´c´dente en arguant du fait que le chien ayant eu des petits est ‘p`re’
donc il est p`re de tout ce qui aunalors Ct´sippe frapperait non pasp`re. Mais
(seulement) son p`re, mais tous les p`res, ce qui affaibilirait l’argumentation.
Car l’objectif ici est de montrer que c’est son propre p`re pr´cis´ment qu’il
bat, et non pas la gent parternelle toute enti`re.Leur raisonnement sera donc
diff´rent.
L’argument est le suivant :on consid`re les propri´t´s ‘ˆtre p`re’ et ‘ˆtr
aCt´sippe’.Lechienestp`re,carilaeeudespetitschiots;il‘est`Ct´sippe’
´galement, puisqu’il lui appartient.V´rifiant les deux proprit´s, c’est donc
un‘p`re ` Ct´sippe’.Puisque Ct´sippe n’a qu’un seul p`re, le chien et le
p`re de Ct´sippe sont deux noms pour le mˆme objet.L’op´ration cruciale
consiste ` identifier la propri´t´ ‘ˆtre p`re ` Ct´sippe’ ` l’intersectionde
deux propri´t´s : ‘ˆtre p`re’ et ‘ˆtre ` Ct´sippe’.
Cela peut ˆtre formalis´ en termes ensemblistes de la mani`re suivante :

SoitAl’ensemble des p`res,Ide tout ce qui est ` Ct´sippe,kson p`re

etkL’op´ration d’Euthyd`me consiste ` consid´rer l’ensembleson chien.{k}
′ ′
‘ˆtre p`re ` Ct´sippe’ comme l’intersection deAet deIi.e.A∩I={k}(1).
′ ′′
Puisquek∈A(car il a eu des chiots) etk∈I(car il appartient `
Ct´sippe), on a :
′ ′′
k∈A∩I={k}(d’apr`s (1)) i.e.k∈ {k},

et par d´finition d’un ensemble ` un ´l´ment, cela impliquek=ki.e. ‘p`rede
Ct´sippe = chien de Ct´sippe’.

Il est clair que cette d´monstration suppose une certaine acrobatie
argumentative. Etcomment en serait-il autrement puisque c’est pr´cis´ment cela
que les sophistes cherchaient ` vendre ?Toutefois, elle n’est nullement gratuite.
En termes modernes, leur op´ration revient ` appliquer la distributivit´ `
‘ˆtre’, autrement dit :
‘ˆtre (p`re ` Ct´sippe)’ = ‘(ˆtre p`re) et (ˆtre ` Ct´sippe)’.
Loin d’ˆtre de pures trivialit´s, le raisonnement des sophistes concerne,
certes ` la mani`re des prestigitateurs, deux propri´t´s math´matiques
importantes. L’uneutilise la propri´t´ ‘naturelle’ de distributivit´.L’autre, une
caract´ristique fondamentale des applications et de l’injectivit´ :pour montrer
l’identit´ de deux choses, on construit une application injective, et on montre
celle de leurs images.

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