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Mécanique des solides rigides (2° Éd.)

De
628 pages
Ce manuel apporte aux concepteurs tous les éléments indispensables à l'analyse - de manière complète et structurée - du comportement mécanique des systèmes complexes de solides. De par son formalisme, Mécanique des solides rigides développe une approche unifiée des problèmes de mécanique en s'appuyant sur une utilisation généralisée du concept de torseur . Après une première partie consacrée à la présentation des éléments mathématiques nécessaires, l'auteur structure son exposé selon quatre parties de difficulté croissante afin d'en permettre une meilleure assimilation. Des exemples et exercices simples contribuent à familiariser le lecteur avec les outils fondamentaux de résolution des problèmes de mécanique des solides. Une sixième partie est consacrée aux techniques de résolution numérique des équations de mouvement. Cette nouvelle édition présente deux nouveautés : o des commentaires résument à la fin de chaque chapitre les notions fondamentales à assimiler , o une dernière partie développe les solutions des divers exercices proposés tout au long de l'ouvrage. La rédaction des corrigés a été volontairement développée et structurée de manière à améliorer la capacité de raisonnement du lecteur. Référence fondamentale pour le concepteur de systèmes mécaniques, Mécanique des solides rigides s'adresse plus particulièrement aux étudiants des premier et deuxième cycles de l'enseignement supérieur : BTS, DUT, classes préparatoires, licences et écoles d'ingénieurs…
Éléments de mathématiques. 1. Espace vectoriel. 2. L'espace géométrique. 3. Fonction vectorielle. Dérivées. 4. Rappels sur les courbes. 5. Torseurs. Cinématique. 6. Cinématique du point. 7. Étude de mouvements particuliers. 8. Mouvements à accélération centrale. 9. Cinématique du solide. 10.Cinématique de solides en contact. Les actions mécaniques. 11. Généralités sur les actions mécaniques. 12. Gravitation. Pesanteur. Centre de masse. 13. Actions de contact entre solides. Liaisons. 14. Statique d'un solide et d'un ensemble de solides. Cinétique des solides. 15. L'opérateur d'inertie. 16. Torseur cinétique. Torseur dynamique. Énergie cinétique. 17 Changement de repère. 18. Le principe fondamental de la dynamique et ses conséquences. 19. L'équation fondamentale de la dynamique dans les divers repères utilisés en mécanique. 20. Généralités sur la dynamique d'un solide ou d'un ensemble de solides. 21. Dynamique d'un système à un degré de liberté - Analyse des vibrations. 22. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe. 23. Mouvement plan sur plan d'un solide. 24. Autres exemples de mouvements de solides. 25. Les équations de Lagrange. Méthodes numériques de résolution des équations de mouvements. 26. Résolution numérique des équations différentielles du premier ordre. 27. Procédures numériques de résolution des équations de mouvements. Solutions des exercices.
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r eISB N : 2-7430-0359- 6 (l édition, 1999)
Tout e reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage,
faite sans l'autorisation de l'éditeur ou du Centre français d'exploitation du droit de copie (20. rue des Grands-Augustins. 75006 Paris),
est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d'une part, les reproductions strictement réservées à l'usage privé du co­
piste et non destinées à une utilisation collective, et. d'autre part, les analyses et courtes citations justifiées par le caractère scientifique
e ro u d'information de l'œuvre dans laquelle elles sont incorporées (loi du 1 juillet 1992 - art. L 122-4 et L 122-5 et Code pénal art. 425). Avant-propos
Cet ouvrage développe les fondements de la mécanique des solides indéfor­
mables. Il s'adresse aux étudiants de premier cycle des universités (DEUG et
DUT) et des classes préparatoires, ainsi qu'aux étudiants de licence et de première
année d'école d'ingénieur. L'ouvrage est issu des enseignements de mécanique
effectués par l'auteur au fil du temps et bénéficie ainsi d'une longue expérience
avec les étudiants.
Le contenu et la progression ont été conçus avec deux objectifs principaux : 1.
avoir une progression des difficultés de manière à faciliter l'accès aux étudiants
des premiers cycles ; 2. mettre en place un formalisme qui conduise à uniformiser
l'analyse des problèmes de mécanique d'un solide ou d'un ensemble de solides.
L'ouvrage est divisé en six parties.
La première partie, Éléments de mathématiques, traite des outils classiques du
3mécanicien : espace vectoriel IR, espace géométrique, dérivées vectorielles, cour­
bes. Un chapitre est consacré aux torseurs, dont le concept constitue la clef de
l'ouvrage. La notion générale de centre de mesure est introduite dans le cadre de
ce chapitre.
La deuxième partie, Cinématique, débute par l'étude du mouvement d'un point
(la cinématique du point). Des mouvements particuliers sont ensuite étudiés, un
chapitre étant réservé auxs à accélération centrale. Vient ensuite
l'étude de la cinématique d'un solide : paramètres de situation, torseur cinématique,
étude de mouvements particuliers. Nous avons exclu volontairement de cette
partie le problème de changement de repère qui conduit à introduire la notion
« d'entraînement ». Cette notion n'est pas assimilée par les étudiants à ce niveau.
Par contre, elle s'introduit tout naturellement dans le cadre du concept du torseur
cinématique. Le changement de repère sera considéré en tant que tel dans le cadre
de la cinétique (quatrième partie).
La troisième partie, Actions mécaniques, traite d'abord des généralités sur les
actions exercées sur un solide ou un ensemble de solides. Représentées par des
torseurs, les actions mécaniques ont des propriétés générales qui en sont dérivées.
Un chapitre est consacré aux actions de liaison, dont le concept est à la base de la
conception technologique des systèmes mécaniques. L'introduction de la puis­
sance développée simplifie grandement les restrictions imposées dans le cas de
liaisons parfaites. L'étude de quelques problèmes de statique familiarisera le
lecteur avec l'analyse des actions mécaniques. VI Avant-propos
La quatrième partie, Cinétique des solides, introduit les outils nécessaires pour
aborder les problèmes de dynamique des ensembles de solides : opérateur d'inertie,
torseur cinétique, torseure et énergie cinétique. Le problème du change­
ment de repère est ensuite analysé.
A ce stade, le lecteur possède tous les éléments pour traiter les problèmes de la
dynamique d'un solide ou d'un ensemble de solides, objets de la cinquième partie,
Dynamique des solides. Après avoir mis en place le schéma général d'analyse d'un
problème de dynamique, quelques problèmes particuliers sont traités. La dé­
marche est toujours la même : obtention des équations de la dynamique à l'aide du
principe fondamental de la dynamique, hypothèses sur les liaisons entre les
solides, équations de mouvement et équations de liaisons. Le concepteur aura à
s'intéresser aussi bien aux paramètres de mouvement qu'aux actions exercées au
niveau des liaisons dans le cadre d'un dimensionnement des systèmes mécaniques.
L'application du principe fondamental de la dynamique permet d'accéder à toutes
les équations de la mécanique. Toutefois, l'utilisateur qui ne s'intéresse qu'aux
équations de mouvement a besoin d'un outil systématique pour les obtenir : les s de Lagrange, qui sont développées dans le dernier chapitre de cette
partie.
Les équations de mouvement d'un solide ou d'un ensemble de solides sont
généralement complexes, et la plupart des équations ne peuvent être résolues par
une méthode analytique. Le mécanicien a aujourd'hui à sa disposition tous les
outils numériques nécessaires pour résoudre les équations de mouvement, quelle
que soit leur complexité. La sixième partie, Méthodes numérique de résolution des
équations de mouvement, en est une introduction.
Ce traité montre ainsi que l'analyse complète d'un problème de Mécanique d'un
Solide ou d'un Système de Solides Rigides s'effectue toujours suivant le même
processus : 1. faire l'analyse cinématique du mouvement du solide ou des solides,
2. effectuer l'analyse cinétique, 3. caractériser les actions mécaniques exercées, 4.
appliquer le principe fondamental de la dynamique.
L'objet de ce traité a donc été de mettre en place progressivement les divers
outils nécessaires pour effectuer l'ensemble de ce processus d'analyse. Il en résulte
que l'analyse complète d'un système réel ne peut être effectuée que lorsque
l'ensemble des outils est parfaitement maîtrisé. Dans le développement de
l'ouvrage, il a donc été choisi d'illustrer l'utilisation des divers outils en les
appliquant à des exemples très simples, à chaque étape de leur mise en place. Des
exercices sont proposés à la suite de la plupart des chapitres. Ils ont été introduits
à titre d'illustration et, par conséquent, le nombre en a été volontairement limité.
De brefs commentaires ont été ajoutés à la fin de chaque chapitre. Ces com­
mentaires résument les principaux éléments introduits dans les chapitres en
insistant sur les notions les plus importantes à assimiler.
La correction des exercices est reportée à la fin de l'ouvrage de manière à ne
pas morceler la continuité de la procédure d'analyse d'un problème de Mécanique
des Solides. La rédaction des corrigés a été volontairement développée et
structurée de manière à améliorer la capacité de raisonnement du lecteur. VII A vaut-propos
À la fin de l'ouvrage et de la compréhension des concepts fondamentaux
introduits, le concepteur possédera alors tous les éléments qui lui permettront de
conduire une analyse mécanique complète et structurée des systèmes mécaniques
qu'il aura à étudier.
Mars 2006 Jean-Marie BERTHELOT Table des matières
Avant-propos V
PARTIE I Éléments de mathématiques 1
3CHAPITRE l Espace vectoriel M 3
31.1 Définition de l'espace vectoriel R
1.1.1 Vecteurs
1.1.2 Loi de composition interne ou somme vectorielle
1.1.3i den externe ou multiplication par un nombre réel 4
31.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de R 5
1.2.1 Combinaison linéaire
1.2.2e et indépendance linéaire
31.2.3 Base de l'espace vectoriel K 7
1.2.4 Composantes d'un vecteur
1.3 Produit scalaire 8
1.3.1 Définition
1.3.2 Intensité ou norme d'un vecteur
1.3.3 Expression analytique du produit scalaire dans une base quelconque. .. . 9
1.3.4 Vecteurs orthogonaux 9
1.3.5 Base orthonormée
1.3.6 Expression du produit scalaire dans une base orthonormée 10
1.4 Produit vectoriel 1
1.4.1 Définition
1.4.2 Expression analytique du produit vectoriel dans une base quelconque... 11
1.4.3 Base directe1
1.4.4n du produit vectoriel dans une base directe 12
1.4.5 Produit mixte
1.4.6 Propriété du double produit vectoriel
31.5 Bases de l'espace vectoriel M3
1.5.1 Base canonique
1.5.2 Changement de base 1
Exercices6
Commentaires7
CHAPITRE 2 L'espace géométrique8
32.1 L'espace géométrique considéré comme l'espace affine de K 1X Table des matières
2.1.1 L'espace géométrique 18
2.1.2 Conséquences9
2.1.3 Distance entre deux points 20
2.1.4 Angle entre deux bipoints
2.1.5 Repères1
2.2 Sous-espaces de l'espace géométrique : droite, plan 22
2.2.1 Droite
2.2.2 Plan 23
2.2.3 Droites et plans de mêmes directions4
2.2.4s et plans orthogonaux5
2.3 Repérage d'un point de l'espace géométrique 26
2.3.1 Axes de coordonnées
2.3.2 Repère orthonormé direct7
2.3.3 Coordonnées cartésiennes
2.4 Équations du plan et de la droite9
2.4.1 Équation cartésienne d'un plan 2
2.4.2ne d'une droite 30
2.5 Changement de repère1
2.5.1 Cas général 3
2.5.2 Repères ayant un axe confondu2
2.5.3s quelconques ayant même origine4
Exercices7
Commentaires9
CHAPITRE Fonction vectorielle. Dérivées 40
3.1 Fonction vectorielle d'une variable
3.1.1 Définition 4
3.1.2 Dérivée
3.1.3 Propriétés de la dérivée vectorielle1
3.1.4 Exemples2
3.2 Fonction vectorielle de deux variables 44
3.2.1 Définition
3.2.2 Dérivées partielles
3.2.3 Exemples5
3.3 Fonction vectorielle de n variables
3.3.1 Définitions 4
3.3.2 Exemples6
Commentaires9
CHAPITRE Rappels sur les courbes 50
4.1 Introduction 5
4.2 Abscisse curviligne. Longueur d'un arc de courbe1
4.3 Tangente. Normale. Rayon de courbure2
4.4 Repère de Frénet
Exercice4
CommentairesTable des matières *1
CHAPITRE 5 Torseurs 55
5.1 Définition et propriétés des torseurs
5.1.1 Définitions et notations
5.1.2 Propriétés des vecteurs-moments6
5.1.3 Espace vectoriel des torseurs
5.1.4 Invariant scalaire d'un torseur7
5.1.5 Produit de deux torseurs8
5.1.6 Moment d'un torseur par rapport à un axe 5
5.1.7 Axe central d'un torseur9
5.2 Torseurs particuliers. Décomposition d'un torseur quelconque 60
5.2.1 Glisseur 6
5.2.2 Torseur-couple2
5.2.3 Torseur quelconque3
5.2.4 Conclusions4
5.3 Torseurs associés à un champ de glisseurs défini sur un domaine de
de l'espace géométrique
5.3.1 Torseur associé à un ensemble de points dénombrables 6
5.3.2ré à une continu 65
5.3.3 Cas particulier important. Centre de mesure7
Exercices 70
Commentaires
PARTIE II Cinématique3
CHAPITRE 6e du point5
6.1 Introduction
6.2 Trajectoire et vecteurs cinématiques d'un point 7
6.2.1e6
6.2.2 Vecteurs cinématiques 77
6.2.3 Composantes normales et tangentielles des vecteurs cinématiques 78
6.2.4 Divers types de mouvements9
6.3 Expressions des composantes des vecteurs cinématiques en fonction
des coordonnées cartésiennes ou cylindriques 81
6.3.1 Coordonnéess 8
6.3.2s cylindriques2
Exercices3
Commentaires
CHAPITRE 7 Étude de mouvements particuliers 84
7.1 Mouvements à trajectoire rectiligne
7.1.1 Généralités 8
7.1.2 Mouvement rectiligne uniforme5
7.1.3te uniformément varié
7.1.4t rectiligne vibratoire simple 86
7.2 Mouvements à trajectoire circulaire7
7.2.1 Équations généralesXII Table des matières
7.2.2 Mouvement circulaire uniforme 88
7.2.3te uniformément varié9
7.3 Mouvements à vecteur accélération constant 90
7.3.1 Équations générales 9
7.3.2 Étude du cas où la trajectoire est rectiligne1
7.3.3e du cas où lae est parabolique2
7.4 Mouvement hélicoïdal4
7.5t cycloïdal6
Exercices8
Commentaires9
CHAPITRE 8 Mouvements à accélération centrale 100
8.1 Propriétés générales 10
8.1.1 Définition
8.1.2 Un mouvement à accélération centrale est un mouvement
à trajectoire plane
8.1.3 Vitesse aréolaire1
8.1.4 Loi des aires2
8.1.5 Expression des vecteurs cinématiques
8.1.6 Équation polaire de la trajectoire
T 28.1.7 Mouvements pour lesquels 5* \M,t) = -coOM 103
(7- ) OM
8.2s à accélération centrale pour lesquels ci (Mj) = -K 104
OM
8.2.1 Équations des trajectoires 104
8.2.2 Étude des trajectoires5
8.2.3 Intensité de la vitesse en un point de la trajectoire7
8.2.4 Mouvement elliptique. Lois de Kepler8
Commentaires 110
CHAPITRE 9 Cinématique du solide1
9.1 Généralités
9.1.1 Notion de solide indéformable
9.1.2 Repérage d'un solide
9.2 Relations entre les trajectoires et les vecteurs cinématiques
de deux points liés à un solide3
9.2.1 Relation entre les trajectoires
9.2.2n entre les vecteurs vitesses 114
9.2.3 Expression du vecteur rotation instantané5
9.2.4 Torseur cinématique6
9.2.5 Relation entre les vecteurs accélérations7
9.3 Généralisation de la composition des mouvements8
9.3.1 Composition des torseurs cinématiques
9.3.2 Mouvements inverses 120
9.4 Exemples de mouvements de solides1
9.4.1 Mouvement de rotation autour d'un axe
9.4.2t de translation d'un solide4 XIII Table des matières
9.4.3 Mouvement d'un solide soumis à une liaison verrou 125
9.4.4t de rotation autour d'un point7
9.4.5t plan sur plan '29
Exercices 134
Commentaires6
CHAPITRE 10 Cinématique de solides en contact 13
10.1 Cinématique de deux solides en contact7
10.1.1 Solides en contact ponctuel. Glissement
10.1.2 Pivotement et roulement8
10.1.3 Conclusions9
10.1.4 Solides en contact en plusieurs points 140
10.2 Transmission de mouvements de rotation
1410.2.1 Généralités
10.2.2n par friction1
10.2.3 Transmission par engrenages5
10.2.4n par courroie
Exercices 15
Commentaires
PARTIE III Les actions mécaniques 153
CHAPITRE 11 Généralités sur les actions mécaniques5
11.1 Concepts relatifs aux actions mécaniques
11.1.1 Notion d'action mécanique
11.1.2 Représentation d'une action mécanique
11.1.3 Classification des actions mécaniques 156
11.1.4 Actions mécaniques s'exerçant entre les ensembles matériels 158
11.1.5ss extérieures s'exerçant sur un ensemble matériel ... 15
11.2 Divers types d'actions mécaniques9
11.2.1 Natures physiques des actions mécaniques
11.2.2 Environnement et actions efficaces
11.3 Puissance et travail 160
11.3.1 Définition de la puissance
11.3.2 Changement de repères1
11.3.3 Énergie potentielle2 11.3.4 Travail
11.3.5 Puissance et travail d'une force3
11.3.6 Ensemble de solides4
Exercices 165
Commentaires7
CHAPITRE 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse 169
12.1 Phénomène de gravitation
12.1.1 Loi de lanXIV Table des matières
12.1.2 Champ gravitationnel 170
12.1.3 Action de gravitation créée par une sphère 17
12.1.4n den terrestre2
12.2 Action de pesanteur3
12.2.1 Champ de pesanteur terrestre
12.2.2 Action der exercée sur un ensemble matériel4
12.2.3 Puissance développée par l'action de pesanteur5
12.3 Détermination du centre de masse7
12.3.1 Centre de masse d ' un ensemble matériel 17
12.3.2e de masse de la réunion de deux ensembles8
12.3.3 Centre de masse d'un ensemble homogène9
12.3.4 Corps homogènes présentant des symétries géométriques 180
12.4 Exemples de détermination de centres de masse 181
12.4.1 Demi-boule homogène 18
12.4.2 Solide homogène à géométrie complexe2
12.4.3e non homogène3
Exercices4
Commentaires5
CHAPITRE 13 Actions de contact entre solides. Liaisons 186
13.1 Lois du contact entre solides
13.1.1 Introduction
13.1.2 Contact ponctuel 18
13.1.3 Couples de roulement et pivotement 191
13.2 Liaisons 192
13.2.1 Introduction
13.2.2 Classification des liaisons3
13.2.3 Action de liaison7
13.2.4 Liaison sans frottement8
13.2.5n avect 20
Commentaires
CHAPITRE 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides 204
14.1 Introduction
14.2 Lois de la statique
14.2.1 Cas d'un solide 204
14.2.2s d'un ensemble de solides5
14.2.3 Actions mutuelles6
14.3 Statique des fils ou câbles souples7
14.3.1 Action mécanique exercée par un fil ou un câble souple 20
14.3.2 Équation de la statique d'un fil8
14.3.3 Fil ou câble souple soumis à l'action de pesanteur9
14.3.4 Contact d'un fil avec un solide 210
14.4 Exemples d'équilibres2
14.4.1 Cas d'un solide
14.4.2s d'un ensemble de deux solides
Exercices 22
Commentaires3 Table des matières XV
PARTIE IV Cinétique des solides 225
CHAPITRE 15 L'opérateur d'inertie7
15.1 Introduction de l'opérateur d'inertie
15.1.1 Opérateur associé à un produit vectoriel
15.1.2 Extension du résultat précédent8
15.1.3r d'inertie 229
15.2 Changement de repère 230
15.2.1t d'origine
15.2.2 Relation de Huyghens2
15.2.3 Diagonalisation de la matrice d'inertie
15.2.4 Changement de base3
15.3 Moments d'inertie par rapport à un point, un axe, un plan 234
15.3.1 Définitions
15.3.2 Relations entre les moments d'inertie 235
15.3.3 Cas d'un solide plan
15.3.4 Moment d'inertie par rapport à un axe quelconque6
15.4 Détermination des matrices d'inertie7
15.4.1 Solides à symétries matérielles
15.4.2 Solide ayant une symétrie de révolution9
15.4.3e ayant unee sphérique 241
15.4.4 Associativité 242
15.5 Matrices d'inertie de solides homogènes4
15.5.1 Solides linéiques
15.5.2 Solides surfaciques5
15.5.3s volumiques
Exercices 253
Commentaires
CHAPITRE 16 Torseur cinétique. Torseur dynamique. Énergie cinétique 25
16.1 Torseur cinétique
16.1.1 Définition
16.1.2 Torseur cinétique associé au mouvement d'un solide 256
16.1.3re d'un ensemble de solides7
16.2 Torseur dynamique 258
16.2.1 Définition
16.2.2 Torseur dynamique associé au mouvement d'un solide
16.2.3re d'un ensemble de solides 259
16.2.4 Relation avec le torseur cinétique 260
16.3 Énergie cinétique
16.3.1 Définition 26
16.3.2 Énergie cinétique d'un solide1
16.3.3ee d'un ensemble de solides2
16.3.4 Dérivée de l'énergie cinétique d'un solide par rapport au temps 26
Exercices3
Commentaires4 XVI Table des matières
CHAPITRE 17 Changement de repère 265
17.1 Cinématique du changement de repère
17.1.1 Relation entre les torseurs cinématiques
17.1.2n entre les vecteurs vitesses. Vitesse d'entraînement 266
17.1.3 Composition dess accélérations8
17.2 Torseurs dynamiques9
17.2.1 Torseur d'inertie d'entraînement 270
17.2.2re de Coriolis1
17.2.3 Relation entre les torseurs dynamiques définis dans
deux repères différents2
Commentaires 273
PARTIE V Dynamique des solides5
CHAPITRE 18 Le principe fondamental de la dynamique
et ses conséquences 277
18.1 Principe fondamental
18.1.1 Énoncé du principe fondamental de la dynamique
18.1.2 Classe des repères galiléens
18.1.3 Équations vectorielles déduites du principe fondamental 278
18.1.4s scalaires déduites du principel9
18.2 Actions mutuelles 280
18.2.1 Théorèmes des actions mutuelles
18.2.2 Transmission d'actions mécaniques1
18.3 Théorème de l'énergie-puissance
18.3.1 Cas d'un solide
18.3.2s d'un ensemble de solides2
18.3.3 Cas où les actions mécaniques admettent une énergie potentielle 283
18.4 Application du principe fondamental à l'étude du mouvement
d'un solide libre dans un repère galiléen 284
18.4.1 Problème général 28
18.4.2 Cas particuliers6
18.5 Application au système solaire8
18.5.1 Repère galiléen
18.5.2 Mouvement des planètes 290
18.5.3 La Terre dans le système solaire
Commentaires1
CHAPITRE 19 L'équation fondamentale de la dynamique
dans les divers repères utilisés en mécanique 293
19.1 Généralités 29
19.1.1 Équation fondamentale de la dynamique dans un repère non galiléen . . . 29
19.1.2 Les repères utilisés en mécanique4
19.2 Relation fondamentale de la dynamique dans le repère géocentrique. . . . 295
19.2.1 Équations générales5 Table des matières XVII
19.2.2 Cas d'un solide situé au voisinage de la Terre 297
19.3 Relation fondamentale de la dynamique dans un repère lié à la Terre . . 298
19.3.1 Équations du mouvement 298
19.3.2 Action de pesanteur terrestre9
19.3.3 Conclusions sur les équations de la dynamique dans un repère
lié à la Terre 300
19.4 Équations de la dynamique d'un solide par rapport à un repère
dont le mouvement est connu relativement à la Terre 301
Commentaires3
CHAPITRE 20 Généralités sur la dynamique d'un solide
ou d'un ensemble de solides 304
20.1 Dynamique d'un solide
20.1.1 Équations générales
20.1.2 Schéma d'étude général5
20.2 Dynamique d'un ensemble de solides6
20.3 Conclusions 307
Commentaires8
CHAPITRE 21 Dynamique d'un système à un degré de liberté
Analyse des vibrations 309
21.1 Équations générales
21.1.1 Introduction
21.1.2 Paramètres de situation 310
21.1.3 Cinématique
21.1.4 Cinétique
21.1.5 Actions mécaniques exercées sur le solide 311
21.1.6 Application du principe fondamental
21.2 Vibrations en l'absence de frottement3
21.2.1 Équation du mouvement
21.2.2 Vibrations libres
21.2.3s forcées en régime permanent4
21.3s avec frottement visqueux 318
21.3.1 Équation du mouvement
21.3.2 Vibrations libres
21.3.3s forcées en régime harmonique 32
21.3.4ss dans le cas d'une force périodique imposée 331
21.3.5 Vibrations dans le cas d'une force imposée quelconque2
21.3.6s forcées dans le cas d'un mouvement imposé au support3
21.4s avec frottement sec 336
21.4.1 Équations du mouvement
21.4.2 Vibrations libres7
21.5 Amortissement visqueux équivalent9
21.5.1 Introduction
21.5.2 Travail de la force imposée et énergie dissipée dans le cas
d'un amortissement visqueux 340 Table des matières XVIII
21.5.3 Amortissement structural 340
21.5.4 Frottement sec2
21.5.5t fluide3
21.5.6 Conclusion5
Exercices6
Commentaires
CHAPITRE 22 Mouvement de rotation d'un solide
autour d'un axe fixe 347
22.1 Équations générales 34
22.1.1 Introduction
22.1.2 Paramètres de situation8
22.1.3 Cinématique9
22.1.4 Cinétique 350
22.1.5 Actions mécaniques exercées sur le solide 351
22.1.6 Application du principe fondamental de la dynamique2
22.2 Exemples de mouvements de rotation autour d'un axe4
22.2.1 Solide en rotation soumis uniquement à la pesanteur
22.2.2 Pendule de torsion6
22.3 Problème de l'équilibrage des rotors7
22.3.1 Équations générales d'un solide non équilibré en rotation 35
22.3.2 Actions mécaniques exercées sur l'axe du rotor 36
22.3.3 Principe de l'équilibrage 360
Exercices2
Commentaires4
CHAPITRE 23 Mouvement plan sur plan d'un solide 365
23.1 Introduction
23.2 Mouvement d'un parallélépipède se déplaçant sur un plan incliné 36
23.2.1 Paramètres de situation et cinématique 36
23.2.2 Cinétique du mouvement6
23.2.3 Actions mécaniques exercées sur le parallélépipède7
23.2.4 Équations déduites du principe fondamental8
23.2.5 Mouvement sans frottement9
23.2.6t avect sec 370
23.2.7t avec frottement visqueux1
23.3 Analyse du glissement et du basculement d'un parallélépipède
sur un plan incliné2
23.3.1 Introduction 37
23.3.2 Paramètres de situation et cinématique3
23.3.3 Équations générales4
23.3.4 Analyse des divers mouvements5
23.3.5 Conclusions9
23.4 Mouvement d'un cylindre sur un plan incliné 380
23.4.1 Introduction 38
23.4.2 Paramètres de situation et cinématique1 Table des matières XIX
23.4.3 Actions mécaniques exercées sur le cylindre 382
23.4.4 Equations générales 383
23.4.5 Analyse des divers mouvements5
23.5 Conclusions7
Commentaires8
CHAPITRE 24 Autres exemples de mouvements de solides 389
24.1 Solide en translation
24.1.1 Expressions générales d'un solide en translation
24.1.2 Solide libre en translation 391
24.2 Mouvement d'un solide reposant sur un chariot2
24.2.1 Introduction
24.2.2 Paramètres de situation3
24.2.3 Cinétique4
24.2.4 Analyse des actions mécaniques
24.2.5 Équations de la dynamique5
24.2.6 Analyse des divers mouvements 397
24.3 Mouvements couplés de deux solides 402
24.3.1 Introduction 40
24.3.2 Paramètres de situation et cinématique
24.3.3 Cinétique
24.3.4 Analyse des actions mécaniques exercées6
24.3.5 Équations déduites du principe fondamental de la dynamique 408
24.3.6 Analyse des équations déduites du principe fondamental9
Exercices 411
Commentaires2
CHAPITRE 25 Les équations de Lagrange 413
25.1 Généralités
25.1.1 Solide libre et solide lié
25.1.2 Torseurs cinématiques partiels
25.1.3 Coefficients de puissance5
25.1.4 Liaisons parfaites
25.2 Équations de Lagrange relatives à un solide indéformable 416
25.2.1 Introduction aux équations de Lagrange 41
25.2.2 Équations de Lagrange7
25.2.3 Cas où les actions mécaniques admettent une énergie potentielle 418
25.3s de Lagrange pour un ensemble de solides9
25.3.1 Équations dee pour chaque solide
25.3.2s de Lagrange pour l'ensemble (£>) 420
25.3.3 Cas où les paramètres de situation sont liés1
25.4 Applications 422
25.4.1 Mouvement d'un parallélépipède se déplaçant sur un plan incliné 42
25.4.2t de deux solides couplés3
25.4.3 Pendule double5
A.25 Annexe 43Table des matières XX
Exercices 434
Commentaires
PARTIE VI Méthodes numériques de résolution
des équations de mouvements 435
CHAPITRE 26 Résolution numérique des équations différentielles
du premier ordre7
26.1 Généralités
26.1.1 Le problème à conditions initiales données 43
26.1.2 Méthode générale de résolution8
26.1.3 La méthode d'Euler 43
26.2 Méthodes de résolution à pas séparés 440
26.2.1 Généralités 44
26.2.2 Méthodes de type Runge-Kutta2
26.2.3s de Romberg6
26.3s à pas liés9
26.3.1 Introduction aux méthodes à pas liés
26.3.2 Méthodes basées sur l'interpolation de Newton 45
26.3.3 Généralisation des méthodes à pas liés
26.3.4 Exemples de méthodes à pas liés3
26.3.5 Résultats 454
Exercices6
Commentaires
CHAPITRE 27 Procédures numériques de résolution des
équations de mouvements 457
27.1 Équation de mouvement d'un solide à un degré de liberté 45
27.1.1 Forme de l'équation de mouvement à un degré de liberté
27.1.2 Principe de la résolution numérique
27.1.3 Application au cas du mouvement d'un pendule pesant8
27.2 Équations de mouvements à plusieurs degrés de liberté 461
27.2.1 Forme des équations de mouvements à plusieurs degrés de liberté 46
27.2.2 Principe de la résolution 462
27.2.3 Trajectoires et vecteurs cinématiques
27.3 Mouvements de planètes et de satellites3
27.3.1 Mouvement d'une planète autour du Soleil
27.3.2t d'un satellite autour de la Terre7
27.3.3 Lancement et mouvement d'une sonde lunaire 468
27.4 Mouvement d'un solide sur un plan incliné9
27.5t de deux solides couplés 471
27.5.1 Équations du mouvement
27.5.2 Résolution analytique dans le cas de faibles amplitudes et
en l'absence de frottement4
27.5.3n numérique des équations de mouvement 476 Table des matières XXI
Exercices 480
Commentaires
PARTIE VII Solutions des exercices 481
3Chapitre 1 Espace vectoriel R3 e 2 L'espace géométrique6
Chapitre 4 Rappels sur les courbes 492 e 5 Torseurs4
Chapitre 6 Cinématique du point 500 e 7 Études de mouvements particuliers5
Chapitre 9e du solide9 e 10 Cinématique de solides en contact 51
Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques 523 e 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse 531
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides8 e 15 L'opérateur d'inertie 54
Chapitre 16 Torseur cinétique. Torseur dynamique. Énergie cinétique 55e 21 Dynamique d'un système à un degré de liberté
Analyse des vibrations 567
Chapitre 22 Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe 571 e 24 Autres exemples de mouvements 57
Chapitre 25 Les équations de Lagrange 596 Partie I
Eléments de Mathématiques
Cette partie introduit les principaux outils mathématiques nécessaires
à la mise en place des divers concepts utilisés en Mécanique des
3
Solides Rigides. L'espace vectoriel K des vecteurs en est la base. Cet
espace permet ensuite de formuler l'espace physique qui nous entoure,
l'espace géométrique, et d'en formaliser ses propriétés. La stratégie de
développement de cet ouvrage est fondée sur le formalisme des
torseurs. Une attention particulière doit donc être portée à cette
notion. CHAPITRE 1
3
Espace vectoriel R
3 1.1 DÉFINITION D E L'ESPACE VECTORIE L R
1.1.1 Vecteurs
3L'espace vectoriel M peut être défini comme étant l'espace des triplets (Ci,
C , C) où Ci, Ci, C3 sont trois réels rangés dans cet ordre. Less ainsi 2 3
définis sont appelés vecteurs et notés V . Soit :
V = (C C , C ). (1.1) U 2 3
Les nombres réels Ci, C2, C3 sont les composantes du vecteur V .
3L'espace vectoriel R est ensuite muni d'une loi de composition interne et
d'une loi de composition externe, définies ci-après.
1.1.2 Loi de composition interne ou somme vectorielle
La somme vectorielle associe aux vecteurs V et V un vecteur somme noté
V + ?' :
_ loi de composition _
V V, V e M — • V + V e M '
' interne
3Soit V = (C C, C) et V' = {c{, C \ C ') les deux vecteurs de R . La
U 2 3 2 3
somme vectorielle est définie par la relation :
V + V ={C+C{, C+C', C3+C3'). (1.2) { 2 23 4 Chapitre I Espace vectoriel R
L'élément neutre, noté Ô, est défini par :
Ô = (0,0,0) . (1.3)
Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes :
1. La somme vectorielle est commutative :
Vi + V2 = V + V\. (1.42
2. La somme vectorielle est associative :
(Vi + V) + V3= V\+(V + Vi). (1.5) 2 2
3. L'élément neutre est tel que :
V + Ô = V. (1.6
4. A tout vecteur V, correspond un vecteur opposé, noté -V , tel que :
V + (-V) = ô. (1.7)
1.1.3 Loi de composition externe ou multiplication par
un nombre réel
Cette loi est généralement appelée multiplication par un scalaire. Si a est un
nombre réel et V un vecteur, la loi de composition externe associe à F un vecteur
W noté aV :
_ , loi de composition
3 VaeR , VF e Mr • W = aVsR
vv fcR externe
Le vecteur W est dit colinéaire au vecteur V . Si le vecteur V est défini par ses
composantes V = (Q, C , C ), ler W est défini par : 2 3
W = (aQ, aC, aC). (1.8)
2 3
La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes :
1. Distributivité pour l'addition des scalaires :
(a, + a )V = aV + a V . (1.9) 2 { 2
2. Distributivité pour la somme vectorielle :
a{f\+V ) = aV\ + aV . (1.10
2 2
3. Associativité pour la multiplication par un scalaire :
a {a v) = (aa )V. (1.11) 1 2 l 23 5 1.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de R
1.2 DEPENDANCE E T INDEPENDANC E LINEAIRE
3 BAS E D E R
1.2.1 Combinaison linéaire
3Soit V\, V , ... , V,••, ... , V , p vecteurs de l'espace R . Considérons p 2 p
nombres réels : a\, a, ... , a ... , a. Les vecteurs ct\V\, aV2, . .. ,a{V\, 2 h p 2
3.. . , aV,sont des vecteurs de l'espace vectoriel R , ainsi que leur somme qui p p
définit le vecteur V :
p_ _ - _ _
V = a V\ +aV + ... +aV =J]a,F,. (1.12)
x 2 2 p p
;=i
Le vecteur V ainsi défini est appelé combinaison linéaire des vecteurs V\,V , 2
...,V .
P
1.2.2 Dépendance, indépendance linéaire
1.2.2.1 Définition
3Dans l'espace vectoriel R , p vecteurs V\,V, ... , V, sont linéairement
2 p
indépendants si et seulement si l'égalité
p _ _ _ _
^cijVi =aV\+aV + ... +aV =5 (1.13) x 22 p p
/=i
entraîne obligatoirement :
a =0, « =0, .. . , a =0. (1.14) x 2 p
Tous les ^ sont nuls.
Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants.
1.2.2.2 Propriétés
a. Sur l'indépendance
1. Un vecteu r V non nul est à lui seul linéairement indépendant.
2. Dans un système de vecteurs indépendants, aucun n'est le vecteur nul. En
effet, si l'on avait par exemple Vu = 0 , la relation (1.13) serait vérifiée avec
a * 0 .
k3
6 Chapitre 1 Espace vectoriel R
3. Dans un ensemble de vecteurs indépendants, tout sous-ensemble prélevé sur
ces vecteurs est indépendant.
b. Sur la dépendance
4. Si p vecteurs sont dépendants, au moins l'un d'entre eux est combinaison
linéaire des autres.
Considérons en effet p vecteurs V\, V2, . .., V .Si ces vecteurs sont linéai­
p
rement dépendants, la relation :
p _
^a,F/= Ô (1.15)
;=i
implique qu'au moins un des nombres réels a, n'est pas nul : a\ par exemple. La
relation précédente s'écrit :
Vi = -(a V + .. . +aV), (1.16) a] 2 2 p p
et il est alors possible de diviser par a\ (différent de zéro) et d'exprimer V\ sous
la forme :
(1.17)
Nous disons alors que V\ dépend linéairement des vecteurs V,Vi, .. . , V . 2 p
5. Si V\,V,...,V sontt dépendants, les vecteurs V\,Vi, 2 P
.. . , V , V i, ..., V , le sont aussi quels que soient les vecteurs p p+ p+r
V t V
R/?+I Î • • • 5 '+r • P
6. Théorème
Dans le sous-espace engendré par p vecteurs linéairement indépendants, tout
vecteur est représentable d'une façon unique comme combinaison linéaire de ces
p vecteurs.
Soit V\,V~2, .. . , V , p vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur V
p
s'écrit donc de manière unique sous la forme :
_ p
V=YaV. (1.18) j i i
1= 1
De ce théorème est déduit le résultat important suivant :
Une égalité vectorielle entre p vecteurs indépendants de la forme :
^a,Vi =^a}Vi (1.19) 3 1.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de R 7
est équivalente à p égalités scalaires entre les nombres réels :
«i = a{, a = a'j, ... , a =a' . (1.20) 2 p p
Cette propriété n'est plus vraie si les vecteurs sont dépendants.
3
1.2.3 Base de l'espace vectoriel R
La recherche de systèmes de vecteurs indépendants dans l'espace vectoriel R
se fait de la manière suivante.
Nous avons noté précédemment qu'un vecteur non nul est à lui seul
3linéairement indépendant. Nous choisissons donc un vecteur V\ non nul de R .
Nous recherchons ensuite un vecteur V tel que V\ et V soient linéairement
2 2
indépendants; puis un vecteur Vi tel que V\ , V , Vi soient linéairement indé­2
pendants; etc. Nous observons alors qu'il est possible de trouver un ensemble de 3
vecteurs linéairement indépendants (il existe une infinité de tels ensembles), et
que si nous ajoutons un quatrième vecteur VA , les quatre vecteurs V\ , V , K3 et 2
VA sont linéairement dépendants quel que soit le vecteur VA . L'espace vectoriel
3R est ainsi un espace de dimension 3.
Tout ensemble de 3 vecteurs linéairement indépendants est alors appelé base
3de l'espace vectoriel R .
Il résulte des propriétés énoncées précédemment :
31. Tout vecteur de R s'exprime (sous forme unique) comme une combinaison
linéaire des 3 vecteurs de la base.
2. L'ensemble des combinaisons linéaires des 3 vecteurs de base engendre
3l'espace vectoriel R .
3L'espace vectoriel R est donc entièrement déterminé par la donnée d'une base.
1.2.4 Composantes d'un vecteur
3Soit ë\, ë, <?3 trois vecteurs de R linéairement indépendants. Leur
2
3ensemble (b) = (ë , ë, ë ) constitue une base de l'espace R . D'après ce qui pré­t 2 3
3cède, tout vecteur V de R s'écrit de manière unique suivant :
V = Cë+Cë+Cë. (1.21)
i l 2 2 3 i
Les composantes (Ci, C, C) sont alors appelées les composantes du vecteur 2 3
relativement à la base (b). C, est la composante suivant ë,. 3 8 Chapitre 1 Espace vectoriel R
1.3 PRODUIT SCALAIRE
1.3.1 Définition
On appelle produit scalaire de deux vecteurs V et W une loi de composition
externe qui associe à ces deux vecteurs un nombre réel (dit scalaire) noté V-W:
VF , ÎVeRl ^ • V-W GR,
scalaire
ayant les propriétés suivantes :
(v\ + V)-W = VW+V-W, (1.22) 2 V 2
(aV)-W = a(f-W), (1.23
V-W = W-V, (1.24
V-V>0 si F*Ô . (1.25)
Les deux premières propriétés expriment la linéarité du produit scalaire par
rapport au vecteur V. En particulier 5 • V = 0.
La troisième propriété exprime que le produit scalaire est symétrique par
rapport à F et à W. Il en résulte que lete est aussi linéaire par
rapport à W.
Ces propriétés peuvent être résumées en disant que le produit scalaire de deux
vecteurs F, W est une forme linéaire symétrique associée aux vecteurs F et W.
1.3.2 Intensité ou norme d'un vecteur
On appelle intensité ou norme du vecteur V, que nous noterons lv\\, la racine
carrée positive du produit scalaire du par lui-même.
Soit:
1IIFIUVF^V^ , (1.26)
en notant :
2
F- F = F . (1.27
En particulier, nous avons :
llaFlUlallFll, (1.28)
I|F"I||-||F>|<||F I + II < Il fi II + 1^2 I • (1-29
Cette dernière inégalité est appelée inégalité triangulaire. 9 1.3 Produit scalaire
1.3.3 Expression analytique du produit scalaire dans une
base quelconque
Soit deux vecteurs V et V . Leurs expressions dans la base (ë, e, Çs) de t 2
3l'espace M sont:
F = C,ëi +Cë+Cë, (1.30) 2 2 3 3
F' = C,'e C e + Që 3 • (1-31
1+ 2 2
Le produit scalaire des deux vecteurs s'écrit :
V-v' =(Që+Ce+Cë)-(Cië+C'ë+Cië) . (1.32) i 22 33 l 22 3
En utilisant les propriétés (1.22) à (1.24), l'expression précédente s'écrit :
2 2V-V = C C[ë\ + C C ë + C C ë + (C,C + C C,')(ë, • h) .x 2 2 2 3 3 3 2 2 (133)
+ (c q + c c )(? • ë )+(c c; + c,Q )(e • ?i )•
2 3 2 2 3 3 3
Cette relation exprime le produit scalaire des deux vecteurs V et V dans une base
quelconque. Cette expression se simplifie en considérant des bases particulières
que nous introduisons ci-après.
1.3.4 Vecteurs orthogonaux
On dit que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit
scalaire est nul.
Soit:
V et W orthogonaux <=> V-W = 0. (1.34)
Théorème : Si n vecteurs (n = 2 ou 3) non nuls sont deux à deux orthogonaux, ils
sont linéairement indépendants. Si n = 3, les vecteurs constituent une base ortho­
3gonale de M .
1.3.5 Base orthonormée
Une base est orthonormée, si les vecteurs qui constituent cette base sont
orthogonaux deux à deux (base orthogonale) et si leurs normes sont égales à 1
(base normèe à 1).
Si la base (ê\, ë, ë ) est orthonormée, nous avons donc :
2 33 10 Chapitre I Espace vectoriel R
ê\ • ë = 0, ?2 • ?3 = 0, ?3 • ëj = 0, (1.35) 2
2 2 2
ë, =l , ë=l, ë=l. (1.36) 2 3
1.3.6 Expression du produit scalaire dans une base
orthonormée
Dans le cas d'une base orthonormée, l'expression (1.33) du produit scalaire se
simplifie et se réduit à :
V-V = C\C[ + C C' + C3C3 . (1.37)
2 2
Le produit scalaire est donc égal à la somme des produits des composantes
correspondantes des vecteurs.
La norme d'un vecteur s'écrit :
2 2 2
Il FI = yJQ + C + C . (1.38) 2 3
1.4 PRODUIT VECTORIEL
1.4.1 Définition
On appelle produit vectoriel de deux vecteurs V et W une loi de composition
3
interne dans R , qui associe à ces deux vecteurs un vecteur noté VAW et qui
est bilinéaire antisymétrique :
— — , produit — — -,
3V V, WeW • V A W e R .
vectoriel
De cette définition, il résulte que :
1. Le produit vectoriel est distributif à gauche et à droite pour la somme
vectorielle :
( V\ + V ) A W = V\ A W + V A w, (1.39) 2 2
V A ( Wi + W ) = V A Wi + V A w. (1.40) 2 2
2. Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un réel :
iav)AÏV = aivA ïv), (1.41)
V A (aw) — a(v A W). (1.42)
3. Le produit vectoriel est antisymétrique :
VAW = -{WA V) . (1.43) 1.4 Produit vectoriel
La dernière propriété, appliquée au produit vectoriel d'un vecteur par lui-
même, implique que :
y V = -(VA V). A
Il en résulte donc la propriété :
VAV = 0. (1.44)
De cette propriété, nous déduisons le théorème suivant : Deux vecteurs non
nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul.
En effet :
W colinéaire à V <=> W = aV o W A V = iaV) A V = aiV A V) = Ô.
1.4.2 Expression analytique du produit vectoriel dans
une base quelconque
Reprenons les expressions (1.30) et (1.31) des deux vecteurs F et V dans la
base (ë], ë, ) • Le produit vectoriel des deux vecteurs s'écrit : 2
VA V' = (C|ë, +Cë + C e ) A (Q'ë , +Cë +Cîë). (1.45) 2 2 3 3 2 2 }
En appliquant les propriétés de distributivité et d'associativité du produit
vectoriel, nous obtenons :
V A V = C\C[(ë\ A ë] ) + C\C' {ë\ A ë ) + CjC [ë] A ? ) 2 2 3 3
+ CC[{ë A ë\ ) + C C (ë A ë ) + C C\ {ë A ë ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3
+ C Ci'(? A ë\ ) + C C (ë A ë ) + C C (ë Aëj).
3 3 3 2 3 2 3 3 3
En utilisant la propriété d'antisymétrie, cette expression s'écrit sous la forme :
vA v = (c,c -cc[)(?, Aë ) + (c,c -c q)(ë, a?, ) ,
2 2 2 3 3 ( 46 )
+ (C C - C C )(ë A ë ). 2 3 3 2 2 3
Cette relation exprime le produit vectoriel de deux vecteurs dans une base
quelconque. Nous introduisons ci-après des bases particulières permettant de
simplifier cette expression.
1.4.3 Base directe
On appelle base directe, une base telle que :
ë\ A ë = ë , ë A ë = ë\, ë A ë\ = ë. (1-47)
2 3 2 3 3 2
La base est dite orientée dans le sens direct. 3 12 Chapitre 1 Espace vectoriel R
Une base directe est donc telle que le produit vectoriel des deux vecteurs donne
le troisième dans l'ordre 1, 2, 3, 1,2, etc.
1.4.4 Expression du produit vectoriel dans une base
directe
Dans le cas d'une base directe, l'expression ( 1.46) du produit vectoriel se réduit
à :
VAV =(CC^-CC)ë+(CCi-CC')ë+(CC!-CCi)ë . (1.48) 2 32i 3 ] i2 ] 1 2 3
L'expression précédente se retrouve aisément en écrivant le produit vectoriel
sous la forme d'un déterminant (d'un point de vue formalisme cette écriture est
toutefois incorrecte) :
e, e e
2 3
VAV = Cj c c3 2
C[ c c2 3
En développant ce déterminant suivant la 1ère ligne, nous retrouvons bien
l'expression (1.48).
Par ailleurs, on montre sans difficulté à partir de l'expression (1.48) que : Le
vecteur produit vectoriel de V et de V est un vecteur orthogonal au vecteur V et
au vecteur V .
1.4.5 Produit mixte
On appelle produit mixte de trois vecteurs V\ , V , Vj,, pris dans cet ordre, le
2
nombre réel défini par :
V\-{V AVI). (1.49)
2
Il est facile de montrer que, dans une base orthonormée directe, le produit
mixte est invariant par permutation circulaire des trois vecteurs :
V\ - {V A Vi)= V-{ViAV\ )= Vi-iV) A V) . (1.50) 2 2 2
1.4.6 Propriété du double produit vectoriel
Le double produit vectoriel de trois vecteurs peut s'exprimer par la relation :
V\ A(K AVi) = {V\-Vi)v -{V\-V )v . (1.51) 2 2 2 33 13 1.5 Bases Je l'espace vectoriel R
Cette égalité se vérifie aisément en exprimant les composantes de V\ A ( V A V3 ) ,
2
puis celles de (V\ • Vj) V2 — {V\ • V2 ) V3, , puis en vérifiant que ces composantes
sont égales.
3 1.5 BASES D E L'ESPACE VECTORIE L R
1.5.1 Base canonique
3La base Je l'espace R la plus utilisée est la base canonique définie comme
l'ensemble des trois vecteurs :
? = (1,0,0) , J = (0,1,0) , * =(0,0,1) , (1.52)
pris dans cet ordre.
Nous vérifions sans difficulté que l'ensemble (i,j, k) constitue une base
orthonormée directe :
— base orthonormée :
? • 7 = 0, j-k=0, k-ï = 0, (1.53)
2 2
7 =l, 7=1, P=l, (1.54
— base directe :
i/\j=k, JA,k=i, k Ai = j . (1-55)
La démonstration suppose que la base est exprimée (1.52) dans une base elle-
même orthonormée directe.
Par la suite, nous noterons X, Y, Z les composantes d'un vecteur V relati­
vement à la base canonique :
V = X l + Y] + Z k . (1.56)
1.5.2 Changement de base
Dans ce paragraphe, nous explicitons, d'abord sur un exemple, les relations de
3changement de base dans l'espace R et dans le cas de bases orthonormées
directes. Les relations obtenues seront ensuite généralisées.
1.5.2.1 Exemple de changement de base
Nous considérons la base orthonormée directe (b\) = (i\, j\ , k\) et nous
construisons à partir de cette base l'ensemble des trois vecteurs (/, J2, k) 2 25 Chapitre I Espace vectoriel R14
définis de la manière suivante :
= (1.57) J2 ^~ ^ -ii +*i)>
Nous vérifions aisément que l'ensemble (b) de ces trois vecteurs constitue une 2
base orthonormée directe.
Les relations (1.57) peuvent être écrites sous une forme pratique, dérivée de la
notation matricielle, suivant :
matrice colonne matrice colonne
de la base (2) de la base ( 1 )
matrice de
changement de base
ou sous forme contractée :
\
= A (1.59) J2 7i
en introduisant la matrice de changement de base :
(1.60)
Nous trouvons aisément les propriétés suivantes de la matrice de changement
de base :
— le déterminant de A est égal à 1 ;
— si nous exprimons j\, k\) en fonction de (i, j , k) à partir des 2 2 2
relations ( 1.57), nous obtenons : 3 15 1.5 Bases de l'espace vectoriel R
(1.61)
La matrice inverse de A est égale à la matrice transposée de A :
1A^A - (1.62)
Cherchons maintenant les relations qui existent entre les composantes d'un
vecteur V exprimées dans les deux bases considérées :
— dans la base (b\), nous avons :
(1.63) v = crrc^]c^%,
]+2 ]+
— dans la base (b), nous avons :
2
V = C^7 C^j C^k, (1.64)
2 + 2 2 + 2
En reportant la relation ( 1.61 ) dans l'expression ( 1.63), nous obtenons
soit :
En comparant ce résultat avec l'expression (1.64), nous obtenons :
(1.65)
En introduisant les matrices colonnes des composantes dans la base (b) et dans la
2
base (b]), l'expression (1.65) s'écrit donc : 3 16 Chapitre I Espace vectoriel R
(i
(2)"c, i rc,>"
,2 ) (1 ) C = A C (1.66) 2 2
,2) (1)
c J LQ. 3
De même, la relation inverse s'écrit :
(2)
[c, "
< N <2 ) (1.67) C =A' C2 2
(2,
(1)C J [c_ 3 3
1.5.2.2 Généralisation
Les résultats établis dans le paragraphe précédent sur un cas particulier se
généralisent et peuvent être explicités de la manière suivante.
Tout passage d'une base orthonormée directe à une autre base orthonormée
directe est caractérisée par une matrice carrée, de déterminant égal à 1 et telle
que la matrice inverse soit confondue avec la matrice transposée. Récipro­
quement toute matrice possédant ces propriétés représente un changement de
bases orthonormées directes.
son tSi (/], _/], k\) et (z' , J2, £2) deux bases orthonormées directes, le change­2
ment de base s'exprime sous la forme pratique :
'2 'l 'l '2
A (1.68) 72 =A 7i > 7i = ' 7
£ J \_k\] [_!<]] \ji2
2
Entre les composantes d'un vecteur dans les deux bases, nous avons des expres­
sions analogues :
(1 1(2) -,(2) r/-i» rr-1"> rr-1 V r
L| L] L| L|
(1.69)
1C = A C , C = A C2 2 2 2
_C J |_CJ |_CJ
3 3 3
EXERCICE S
1.1 Trouver les vecteurs unitaires colinéaires à un vecteur donné. Application au
cas du vecteur de composantes (2, -5 , 3) dans la base canonique.
1.2 Déterminer le paramètre a, de manière que les vecteurs V\ =(5 , 4, 3) et
V = (or, - 2, 1) soient orthogonaux. Les composantes des vecteurs sont données 2
dans une base orthonormée. 17 Commentaires
1.3 Trouver les vecteurs unitaires orthogonaux à deux vecteurs donnés.
Application au cas des vecteurs de composantes (2, -5 , 3) et (-2, 1, -3 ) dans la
base canonique.
1.4 Développer le produit scalaire (V\ + V )-{V\ - V); puis le produit vectoriel
2 2
(fi +V)A{VX-V). 2 2
1.5 Un vecteur V a pour composantes (4, -9 , 3) dans la base (1) = (i\, j\ , k\). On
considère la base (2) = (i, j , k) déduite de (1) par les relations : 2 2 2
*2=2/j , J=2] k=-k-
2 u 2{
Exprimer les composantes de V dans la base (2).
1.6 Les vecteurs V\ et V étant deux vecteurs connus, déterminer les vecteurs 2
V tels que :
V\ A fi> = fi A V.
Application au cas où : V\ = i - 4j et V = 5i +6j - 2k . 2
COMMENTAIRE S
3L'espace vectoriel R est l'espace dont les vecteurs sont caractérisés par
leurs trois composantes qui sont des nombres réels. L'espace vectoriel R
est un espace mathématique de caractère abstrait qui ne peut être repré­
senté de manière concrète. Par contre, sur cet espace sont définies diverses
opérations que le lecteur devra maîtriser parfaitement : somme vectorielle,
produit scalaire, produit vectoriel. Le produit scalaire conduit à la notion
d'orthogonalité de deux vecteurs et le produit vectoriel à la notion de
3colinéarité. L'espace vectoriel M est généré à partir d'une base constituée
de trois vecteurs linéairement indépendants. La base la plus utilisée est la
base canonique qui est orthonormée directe. Toute autre base orthonormée
directe est obtenue à partir de la base canonique à l'aide d'une matrice
carrée, de déterminant égal à 1 et dont la matrice inverse est lae
transposée. CHAPITRE 2
?
L espace géométrique
2.1 L'ESPACE GÉOMÉTRIQU E CONSIDÉR É COMME
3 ESPAC E AFFIN E D E L'ESPACE VECTORIE L R
2.1.1 L'espace géométrique
L'espace géométrique permet de caractériser l'espace physique qui nous
entoure. Cet espace est constitué de points, appelés points géométriques. L'affinité
permet de "formuler" l'espace physique (figure 2.1), en ramenant les opérations
3sur l'espace géométrique à des opérations sur l'espace vectoriel R , déjà intro­
duites dans le chapitre précédent.
3Ainsi, l'espace géométrique est l'espace affine associé à l'espace vectoriel R . Il
3 3est alors noté 6?(R ) et est lié à l'espace R de la manière qui suit.
1. On définit une application / qui à tout couple ordonné (A, B) de points
3 3géométriques de cî(R ) fait correspondre un vecteur V de R et un seul :
3VA eé?(R )
3FeR . (A, B)
3Vfie6î(R )
Nous avons donc :
(2.1) V = f(A, B).
C'est-à-dire que V est le résultat de l'application/sur le couple de points (A, B).
Le couple ordonné (A, B) est appelé bipoint d'origine A et d'extrémité B.
Enfin, il y a une contraction des notations, puisqu'il est de coutume d'écrire:
V = A~B au lieu de V = f(A,B). (2.2)
Il ne faut toutefois pas perdre de vue que la notation V = AB signifie que V est 19 2.1 L'espace géométrique considéré comme espace affine de l'espace vectoriel R
Espace géométrique
3 Espace vectoriel M
formulation
point géométrique vecteur
Figure 2.1. Formulation de l'espace physique.
3l'image dans l'espace R du bipoint (A, B) de l'espace géométrique.
Le bipoint (A, B) est représenté conventionnellement suivant le schéma de la
figure 2.2 distinguant l'origine A et l'extrémité B du bipoint.
2. L'application/est telle que pour tous les points A , B, C de l'espace géomé­
trique, nous avons la relation :
f(A,B) + f(B,C) = f(A,C), (2.3)
ou en notation contractée :
AB + BC = A~C, (2.4
Cette relation est connue sous le nom de relation de Chastes.
2.1.2 Conséquences
1. Si les points A et B sont confondus, l'expression (2.4) entraîne que :
A~B = Ô.
2. Si les points A et B sont distincts, AB * 0.
3. Si les points A et C sont confondus, l'expression (2.4) entraîne que :
A~B+BA = 0 soit BA = -A~B. (2.5)
Figure 2.2. Bipoint d'origine A et d'extrémité B. 20 Chapitre 2 L'espace géométrique
4. Il en résulte que la relation de Chasles s'écrit sous les formes équivalentes :
B~C = JC-A~B, (2.6)
A~B + BC + CÀ = 0. (2.7
5. Milieu d'un bipoint. Le point / est milieu du bipoint (A, B) ou du segment
AB si et seulement si :
~Â1 = TB. (2.8)
11 en résulte que si O est un point de l'espace géométrique, nous avons :
Ol = ±(OA + OB~). (2.9
6. Bipoints équipollents. Deux bipoints sont équipollents si et seulement si, ils
3ont la même image dans l'espace K .
(A, B) equipollent à (C, D) «• A~B = CD. (2.10)
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
2.1.3 Distance entre deux points
On appelle distance entre deux points A et B ou longueur du segment AB, la
norme du vecteur AB.
La distance entre les points A et B est notée d(A, B) et nous avons :
2
d(A, B) = AB = \\A~B\\ = \IAH . (2.11)
Les propriétés de la distance résultent de celles du produit scalaire et de la
3nonne de deux vecteurs de K :
— d(A, B) = 0 <=> A et B sont confondus,
— d{A, B) = d(B,A),
— d(A, B) < d(A, C) + d(C, B), l'égalité n'étant vérifiée que si le point C
appartient au segment AB.
2.1.4 Angle entre deux bipoints
La notion d'angle associée à celle de distance permet de repérer tous les points
géométriques de l'espace géométrique
L'angle /(figure 2.3) entre les deux bipoints (A, B) et (A, C) de même origine
et pris dans cet ordre, appelé aussi angle entre les vecteurs AB et AC est noté:
y = {A~B,A~c). (2.12) 2.1 L'espace géométrique considéré comme espace affine de l'espace vectoriel R" 21
Figure 2.3. Angle entre deux bipoints.
Cet angle orienté est défini par son cosinus et son sinus qui interviennent dans les
expressions du produit scalaire et du produit vectoriel des vecteurs AB et AC de
la manière suivante :
— produit scalaire :
Ail -JC = \\A~B\\\\Jc\\cosy = ABACcosy, (2.13)
— produit vectoriel :
A~B AA^ = u\\A~B\\\\A~c\\siny = u ABAC sin y. (2.14)
où w est le vecteur unitaire associé (figure 2.4) au bipoint unitaire {A, U) (ou à un
bipoint equipollent) orthogonal au plan (ABC) et tel qu'un observateur, placé les
pieds en A et la tête à l'extrémité U. doit tourner de sa droite vers sa gauche pour
diriger son regard deé B du premier bipoint vers l'extrémité C du
second.
L'expression du produit vectoriel oriente l'espace géométrique.
2.1.5 Repères
Le problème à résoudre est celui du repérage de la position d'un point M
quelconque de l'espace géométrique.
Nous choisissons un point O particulier de l'espace géométrique comme point
de référence (figure 2.5). A chaque point M deee correspond
3alors de façon biunivoque un vecteur OM de R image du bipoint (O, M). Le
vecteur OM permet donc de caractériser de façon unique la position du point M.
Figure 2.4. Orientation. ( 'hapitre 2 L'espace géométrique
géométrique
Figure 2.5. Repérage d'un point.
Ce vecteur est appelé vecteur position du point M. Ce vecteur est ensuite
caractérisé par ses composantes dans une base (b).
La donnée du point O et de la base (b) permet donc de caractériser la position
de tout point M de l'espace géométrique par la suite ordonnée des composantes du
vecteur OM dans la base (b).
L'ensemble constitué par un point O de l'espace géométrique et par une base
3(b) de l'espace vectoriel K s'appelle repère de l'espace géométrique. Nous le
noterons (Olb).
Le point O est appelé origine du repère. Les composantes du vecteur position
OM dans la base (b) sont appelées les coordonnées du point M dans le repère
{Olb).
2.2 SOUS-ESPACES DE L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE
DROITE, PLAN
2.2.1 Droite
Une droite (D), notée \A, V\) est l'ensemble (D) des points M de l'espace
géométrique, tels que le vecteur AM soit colinèaire au vecteur V\ (figure 2.6).
Ms(D) o A~M = aV\, VcreR. (2.15)
La droite (D) passe par le point A. Le vecteur V\ est appelé vecteur directeur
de la droite (D). On dit que (D) est la droite passant par le point A et de direction
V\ . Une droite (D) est définie par les seules données d'un point de la droite et
d'un vecteur directeur.
On appelle axe, une droite sur laquelle on a choisi un repère (à une dimension) :
un point O pour origine et un vecteur directeur V. 2.2 Sous-espaces de l'espace géométrique droite, plan 23
AM = aV\
Figure 2.6. Droite.
Nous noterons un tel axe Ox = (o, v). La représentation conventionnelle d'un
axe (figure 2.7) figurera l'origine O et le bipoint ayant pour image le vecteur V et
pour origine le point O. Le nombre réel a définissant la position du point M sur
l'axe :
OM=aV (2.16)
est appelé l'abscisse du point M sur l'axe Ox.
La longueur du segment OM est égale à \a\. Le bipoint (O, M) est dirigé dans
le sens positif si a > 0 , dans le sens négatif si a < 0.
2.2.2 Plan
Un plan (P), noté( A, V\, Vi) est l'ensemble (P) des points M de l'espace géo­
métrique, tels que le vecteur AM soit combinaison linéaire des vecteurs V\ et
Me(P) » A~M =a\ V\ +a V , Va^eM. (2.17)
2 2
On dit que (P) est le plan passant par le point A et de direction ( V\, V ) . 2
Il résulte des diverses notions introduites antérieurement que :
1. ff| et a sont les composantes du vecteur A M dans la base ( V\, V ) à deux 2 2
dimensions. Ce sont aussi les coordonnées du point M du plan (P) dans le repère
(O / VVi);
u
2. ct\V\ et «2^2 sont respectivement les projections du vecteur AM sur les
directions définies par V\ et V ; 2
Figure 2.7. Axe. 24 Chapitre 2 L'espace géométrique
Figure 2.8. Décomposition d'un bipoint.
3. si l'on introduit le point JVtel que:
jN = aV\, JjM = aVi, (2.18)
{ 2
la relation (2.16) s'écrit:
A~M = A~N + ~NM. (2.19
D'où la construction du point N sur la figure 2.8.
Le bipoint (A, N) est la projection du bipoint (A, M) sur l'axe (A,V\),\e bi­
point (N, M) est la projection sur l'axe (N, Vj).
Généralement (figure 2.9), on introduit dans la construction la projection (A, P)
du bipoint (A, M) sur l'axe [A, Vi), bipoint d'origine A et equipollent à (N, M).
Dans le cas où les vecteurs V\ et Vi sont orthogonaux, les projections consi­
dérées sont des projections orthogonales.
2.2.3 Droites et plans de mêmes direction s
2.2.3.1 Droites de même direction
Deux droites \ A, V\) et (B, Vi) ont même direction (ou sont parallèles), si et
seulement si les vecteurs V\ et Vj sont colinéaires.
Figure 2.9. Projection sur les axes. 25 2.2 Sous-espaces de l'espace géométrique droite, plan
Les deux droites {A, V\) et (B, V) ont donc même direction si et seulement si :
2
V\ = ÀV ouV\ AV = Ô. (2.20) 2 2
Si les points A et B sont distincts, les droites n'ont aucun point commun. Si les
points A et B sont confondus, les deux droites sont confondues.
2.2.3.2 Plans de même direction
Deux plans (A,V\,V) et (z?, V\ , V ) ont même direction (ou sont paral­2 2
lèles), si et seulement si les espaces vectoriels ayant pour bases ( V Vi) et u
( V\ , V ) sont confondus. 2
Les deux plans ont donc même direction si et seulement si, les vecteurs V\ et
V , pa r exemple, sont linéairement dépendants des vecteurs V\ et V : 2 2
V=W+A V , 2 2
V = P\V\ + pv.
2 22
Si les points A et B sont distincts, les plans n'ont aucun point commun. Si les
points A et B sont confondus, les deux plans sont confondus.
2.2.3.3 Droite parallèle à un plan
La droite {A, V) et le plan (B, V], V ) sont parallèles si et seulement si V est
2
linéairement dépendant de V\ et V, soit si et seulement si : 2
V=kV\ +pV . (2.22) 2
2.2.4 Droites et plans orthogonaux
2.2.4.1 Droites orthogonales
Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont
orthogonaux.
La droite (A, V\) est orthogonale à la droite (B, V) <=> V\ • V = 0 . (2.23) 2 2
2.2.4.2 Droites et plans orthogonaux
La droite (A, V) est orthogonale au plan (B, V\, V) si et seulement si le 2
vecteur V est orthogonal au vecteur V\ et au vecteur V .
2
Soit:
V -V] =0, V-V=0. (2.24) 226 Chapitre 2 L'espace géométrique
2.2.4.3 Plans perpendiculaires
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si une droite d'un des plans
est orthogonale à l'autre plan.
2. 3 REPÉRAGE D'UN POINT D E L'ESPACE
GÉOMÉTRIQU E
2.3.1 Axes de coordonnées
Nous avons vu (paragraphe 2.1.5) que chaque point M de l'espace géométrique
pouvait être caractérisé par rapport à un repère (O/b). La base (b) est constituée de
3trois vecteurs V\, F , K3 de l'espace R , linéairement indépendants. La position 2
3 du point M est alors caractérisée par le vecteur position OM de l'espace R
associé au bipoint (O, M). Ce vecteur s'écrit:
OM=a V\ +a V2+a Vi. (2.25) x 2 3
Les paramètres a\, a, «3 sont les composantes du vecteur position OM dans la 2
base ( V\, V\, F3 ) ou les coordonnées du point M dans le repère {oI V\,V2,V). 3
Les considérations des paragraphes précédents conduisent aux constructions
suivantes (figure 2.10). Le repère (o/ V\, V , K3 ) est représenté par les trois axes
2
{Ol V\), {Ol V) et (Ol V3). Sur chaque axe, nous portons les points N, P, Q 2
d'abscisses respectives a\, a, «3 ; don c tels que :
2
CW = £e, V\, ÔP = a V , ÔQ = a V}. (2.26)
2 2 3
Nous construisons ensuite l'extrémité R du bipoint (N, R) equipollent au bipoint
(O, P). Il en résulte que :
Œ = ŒV + M = ŒÏ + ÔP = aiV\+o: V . (2.27) 2 2
Le point M est alors l'extrémité du bipoint (R, M) equipollent au bipoint (O, Q).
Nous avons bien :
~ÔM = OR + R~M = OR + OQ = a V\ + a V + a F . (2.28)
x 2 2 y 3
Le bipoint (O, R) est la projection du bipoint (O, M) sur le plan {Ol V\, V2 ) .
Les bipoints (O, N), (O, P) et (O, Q) sont les projections respectivement sur les
axes (O/ V\), (O/ V) et (0/V3).
2
Dans le cas où les vecteurs V\, V et V sont orthogonaux, les projections sont
2 3
des projections orthogonales. 2.3 Repérage d'un point de l'espace géométrique 27
Figure 2.10. Projections d'un point.
2.3.2 Repère orthonormé direct
Le repère (O/ V\, V2, V$) est un repère orthonormé direct si et seulement si
les vecteurs V\, Vi, V3 constituent une base orthonormée directe.
Nous avons alors :
-2 - 2 - 2
1. V\ = 1, V2 = 1, V3 = 1 • Les vecteurs sont des vecteurs unitaires.
2. V\-V = 0, ^2^3=0, FFl=0. Les axes (OJV\), (0/V2) et
2 3
(0/ V3) sont orthogonaux deux à deux. On dit que l'ensemble des 3 axes est un
trièdre trirectangle.
3. V\ A Vi = Vi, V2 A V3 = V\, Vi A V\ = V2 • Le trièdre est orienté dans
le sens direct : un observateur ayant les pieds au point O et la tête à l'extrémité de
l'axe 03 doit tourner de sa droite vers sa gauche pour diriger son regard de
l'extrémité 1 vers l'extrémité 2 (figure 2.11). L'orientation du trièdre est inchangée
dans une permutation circulaire des indices.
2.3.3 Coordonnées cartésiennes
Les repères utilisés sont généralement des repères orthonormés directs dont la
3
base est la base canonique de l'espace M , soit :
Vi=1, V=], Vi=k. (2.29)
2
Par la suite, les axes seront notés :
Ôi = {Oj), OJ = (Oj), te = {0,k), (2.30Chapitre 2 L'espace géométrique 28
gauche
droite
Figure 2. II. Trièdre orthonormé direct.
et le repère :
{Oxyz) = (o/ï,j,k). (2.31)
Les points N, P, Q (figure 2.12) du paragraphe 2.3.1 ont des abscisses respec­
tives sur les axes, notées x,y, z et appelées coordonnées cartésiennes du point M.
Le vecteur image du bipoint (O, M) s'écrit :
0~M = xl + yj + zk . (2.32)
Les coordonnées cartésiennes du point M sont les composantes dans la base
3canonique de M , du vecteur OM.
Figure 2.12. Trièdre cartésien. 2.4 Equations du plan et de la droite 29
2.4 ÉQUATIONS D U PLAN E T D E LA DROITE
2.4.1 Equation cartésienne d'un plan
Nous cherchons l'équation cartésienne du plan ( A , V\, Vi ) :
— passant par le point A de coordonnées cartésiennes x , y, Z dans le repère
A A A
cartésien (o/i ,j, k) ;
— de direction définie par les vecteurs V\ et Vi de composantes respectives
(X\, Y\,Z\) et (Xi, Y, Z2) dans la base canonique (/',_/, k). 2
Nous avons donc :
OA = x i + y j + zk,
A A A
V] = Xj + YJ + Z k, (2.33) x
V = XJ + Y] + Zk. 2 2 2 2
Le plan (A,V\,V) est l'ensemble des points Mtels que : 2
A~M = a\ V\ +a V, Va,,ff eM. (2.34)
2 2 2
L'équation cartésienne du plan est la relation qui permet d'exprimer les
coordonnées cartésiennes (.v, v, z) du point M:
OM = xï + y] + zk . (2.35)
En explicitant le vecteur AM, nous avons:
A~M = ÔM-(M = (x-x )ï + (y- y)] + (z-z )k. (2.36A A A
Puis en reportant cette expression dans (2.34), et en égalant les composantes
respectives en / , j et k . nous obtenons :
x-x = cx\X\ + aX, A 2 2
y-y =a<Y +a Y , (2.37) A x 2 2
z-z = ct\Z\ +aZ. A 22
Ces équations sont les équations paramétriques du plan.
L'équation cartésienne s'obtient en éliminant les paramètres a\ et a. Soit : 2
(Z, Y - K, Z ) (x - x ) + ( X, Z - Z, X ) ( y - y ) + ( Y X - X Y ) ( z - z ) = 0.
2 2 A 2 2 A { 2 x 2 A
(2.38)
L'équation cartésienne d'un plan est donc de la forme:
ax + by + cz + d = 0,
avec (2.39)
a = ZY-YZ, b = XZ-ZX, ] 2 x 2 x2x2
c = Y\X -XY, d = -ax -by -cz. 2 X 2 A A AChapitre 2 L'espace géométrique 30
Plan passant par trois points non alignés
Pour trouver l'équation du plan passant par les trois points A, B, C de coordon­
o n s e
nées respectives (x, y, z ), (.v#, vg, z ), (xc\ .v'o ~c)- ramène au cas
A A A B
précédent, en exprimant que le plan cherché est le plan passant par le point A et
de direction définie, par exemple, par les vecteurs AC et AB :
fi -> 4C = (x - x ) 1 + (y -y)j +(z-z)k, c A c A cA
fi> - > AB = (x -x)l + (y -y)] + (z -z)k.
B A B A B A
En reportant les composantes de ces vecteurs dans l'équation (2.38), nous obte­
nons l'équation du plan.
Plans particuliers
— Plan (Oxy) = (O, /" ,y ) : les vecteurs V\ et V sont les vecteurs /' et y. L'équa­2
tion vectorielle du plan s'écrit :
xî + yj + zk =a î + a ] , Vor,, a eR , (2.41) x 2 2
et les équations paramétriques sont :
x = a, y = a , r=0, Va a sR. (2.42) ] 2 u 2
— On trouve des équations analogues pour les plans (Oyz) et (Oxz).
2.4.2 Equations cartésiennes d'une droite
Nous cherchons l'équation de la droite (A, V\) passant par le point A et de di­
rection V\. Avec des notations déjà utilisées, l'équation vectorielle (2.15) conduit
aux trois équations paramétriques :
x - x =aX\, A
y-y =aY (2.43) A u
z - z = a.Z\. A
Si X\, Y\ et Z| sont différents de zéro, ces équations conduisent à l'un des couples
d'équations :
y-yA=-^-(x-x ), z-z=^-(y-y), x - x = ^-{z - z),
A A A A A
(2.44 )
Z-Z A =4r(x-x), x-x=^-(y-y), y - y = -^-( z - z), A A A A A
équations que l'on peut mettre sous la forme :
x - x _ y - y _ z-zA A A
(2.45 )
A-, " r, z,
Une droite est donc définie par deux équations cartésiennes. 2.5 Changement de repère 31
Cas particuliers
— Si X\ = 0, les équations de la droite sont :
x - x = 0,
A
Y , . (2.46)
x
ZZy-yA =-^-(-A)-
C'est l'équation d'une droite contenue dans le plan x = x. A
- Nous obtenons des équations analogues dans le cas de droites contenues
dans les plans y = y (K, = 0) ou z = z (Z| = 0).
A A
2. 5 CHANGEMENT DE REPERE
Nous ne considérons dans ce paragraphe que le cas de repères orthonormés
directs.
2.5.1 Cas général
Nous considérons deux repères (figure 2.13):
(r,)=(Qwi)=(0i/wi,Êi),
(T ) = (0 x y z ) = {0/ïJ,k). 2 2 2 2 2 2222
Le problème à résoudre est :
Connaissant les coordonnées dans le repère (T) d'un point M quelconque de 2
l'espace géométrique, trouver les coordonnées de M exprimées dans le repère
<T\).
Figure 2.13 Changement de repère. 32 Chapitre 2 L'espace géométrique
(l) (1)
Les coordonnées de M dans le repère (T\): .r (M), (M), z (M), sont
les composantes dans la base , k\ ) du vecteur position 0\M , soit :
0) {]) (l)
ÔfÂ7 = x (M) ï+y(M) y, + z (M ) it,. (2.47)
]
{2) (2) {1
Les coordonnées de M dans le repère (72): x (M), y(M), ZHM), sont
les composantes dans la base {i,j, k) du vecteur position 0M , soit : 2 2 2 2
i2) (2)
Oj = x°-\M) ï + y (M) ] + z (M) k. (2.48) 2 2 2
Entre les vecteurs C\M et 0M , nous avons la relation: 2
OfM = OfÔ + ThM . (2.49) 2
En introduisant les coordonnées dans le repère (T\) du point 0 origine du repère 2
0) 0) (l)
(72): x(O), y(O), z(0), le vecteur Of0 s'écrit: 2 2 2 2
m w il)
O\O =x {0 )ï +y {O )J +z(0)k\. (2.50) 2 2 x 2 x 2
En reportant les expressions des vecteurs 0\M, 0M et 0\0 dans la relation
2 2
(2.49), nous observons que, pour exploiter cette relation, il est nécessaire
d'appliquer l'expression de changement de base (1.67) aux composantes du
vecteur 0M . Les composantes sont alors toutes exprimées dans la base
2
(/j,yj, k\). La relation (2.49) conduit alors à la relation de changement de coor­
données :
(X (2)
~x \M) ~x (M)~ V'>(o)" 2
{l) i2)= y (M) y (M) (2.51)
(,, (2,
z (M ) _z (M) _
coordonnées du coordonnées du matrice coordonnées du
point M point 0 transposée de point M 2
exprimées dans ( T ) exprimées dans ( 7",) changement de base exprimées dans (7\)
t
où A est la matrice de changement de base définie par l'expression ( 1.62).
Si les repères (T\) et (7*2) ont même origine, les point 0\ et Oj sont confondus
et la relation précédente est confondue avec l'expression (1.63). Nous sommes
ramenés à chercher la matrice de changement de base dans le cas de repères ayant
même origine.
2.5.2 Repères ayant un axe confondu
Soit le repère (7j) = (0//J , /|, k\). Nous faisons subir (figure 2.14) à ce repère 2.5 Changement de repère 33
Figure 2.14. Repères ayant un axe confondu.
(T\) une rotation d'angle / dans le sens direet autour de la direction k\. Nous
obtenons le trièdre (T) = {OI i,J2- bj) • Nou s noterons :
2 2
cA{r)(o/MJt) ^ . (oihjJ). 22
Entre les vecteurs de base, nous avons des relations linéaires du type :
Il =0|] /'| +LI\ ]\ +^3*i, 2
= a a a
Jl i\ h + 22J\ + 2i k\. (2.52)
k =k\. 2
Nous cherchons les expressions des coefficients ay, en considérant que les bases
e t
*i) \*2>J2> k\) sont orthonormées directes. Soit:
/] • i = cos/, 2
Jl h =cos/,
(2.53)
A = s n
'l '2 ^1 ' ¥•
h A J2 = h sin /.
Le calcul de ;'| • i , en tenant compte de (2.52) conduit à :
2
i]-7 =J-(a ï+ a,.7i + fl|3 h ) = "î1 • 2 ] u l 2
Soit en comparant à (2.53) :
ci\ | = cos y. (2.54)
Nous obtenons de même :
a (2.55) À Jl = 22 =COS/. 34 Chapitre 2 L'espace géométrique
- _ op = sin/,
A
a k si n S01t 256'l h =a\ih- \iJ\ = \ " „ (-)
«13 =0 .
_ - _ a->] = - sin/,
A Sl n S0lt 257Ji h = -«2 1 *1 + «2371 = *t " „ (-)
«23 = 0.
Les relations (2.52) s'écrivent donc :
ii = i\ cos / + j \ sin / ,
j =-/jsin/ + 7iCos/ , (2.58)
2
*2=*1-
La matrice de changement de base est :
cos / sin/ 0
A = -sin/ cos/ 0 . (2.59)
0 0 1
La relation inverse de changement de base s'écrit en transposant l'expression
(2.58):
i\ = ii cos / - J2 sin / ,
y'i = i sin / + j cos / , (2.60) 2 2
2.5.3 Repères quelconques ayant même origine
Nous allons montrer qu'il est toujours possible de passer d'un repère (Ox\y\Z\)
à un repère (Oxyz) de même origine mais quelconque par rapport au premier,
2 2 2
en effectuant trois rotations successives (figure 2.15).
1. La première, d'angle y/ autour de la direction k\, transforme le
repère initial {Ol i\,j\,k\) pour aboutir au repère (0/i^,j^, k\) :
{iu¥)
(o/U,*. ) * • {oih,Kk).
Le changement de base s'écrit :
/3 = i\ cos ^ + j] sinif/,
< y'3 = -/] sint// + j] cosif/, (2.61)
ou
73 = \ 7i » (2-62) 2.5 Changement de repère 35
en introduisant la matrice de changement de base :
cost// sin(// 0
\ = -smi// cos^ 0 . (2.63) ¥
0 0 1
2. La deuxième rotation, d'angle Vautour de la direction î, conduit ensuite au
3
repère (OIk ) • 2
v{oih,h,h) ' {oih,h,k). 2
Le changement de base s'écrit :
h,
• h = ) i cos G + k\ sin f?, (2.64)
k = -jj sin 6 + k\ cos (9, 2
ou
H ^3
J4 = ^0 h , (2.65)
_k \ [jti_
2
Figure 2.15 Angles d'Euler. 36 Chapitre 2 L'espace géométrique
en introduisant la matrice de changement de base :
"1 0 0
Af,= 0 cosf? sin 0 . (2.66)
0 -sinf? cosû
Le trièdre (0JC3>> z ) n'est pas quelconque par rapport au premier, puisque l'axe 4 2
Ox3 est contenu dans le plan {Ox\y\) du premier trièdre. Il est nécessaire
d'effectuer une troisième rotation pour le rendre quelconque.
3. La troisième rotation, d'angle ^autour de la direction k, conduit au second 2
repère (Oxyz), quelconque par rapport au premier : 2 2 2
(o/uM • (0/J2J2J2).
Le changement de base s'écrit :
i = «3 cos ç + J4 sin <p, 2
• J2 = -iT,smç+ ycosç?, (2.67) 4
h ,
ou
72 =K 74 , (2-68)
k
- l\ L*2_
en introduisant la matrice de changement de base :
cosç? sinç? 0
A,,, = -sin<p coscp 0 . (2.69)
0 0 1
Les trois angles de rotation ainsi introduits sont appelés les angles d'Euler : y/ est
l'angle de precession, 0 est l'angle de nutation, <p est l'angle de rotation propre.
Le changement de base exprimant (i,j, k) en fonction de îc\) intro­2 2 2
duit la matrice A de changement de base :
h =A J. • (2-70)
Cette relation peut être obtenue en combinant les relations (2.61), (2.64) et (2.67).
Elle peut être déduite des relations matricielles (2.62), (2.65) et (2.68). En effet
nous pouvons écrire à partir de ces relations :
ï (3 ? /, 2 3
A
72 = «> J4 =A ,(A 73 ) = A^(A (A 7i ))Ç E E ( /
k k k\ \_k\_ 2 2Exercices 37
ou en tenant compte de 1 associativite du produit matriciel :
J2 = (A A\ ) 7, . (2.71)
<p 0 Vf
_k \ L*l. 2
La comparaison des relations (2.70) et (2.71) conduit à:
A = A AA . (2.72) V 0 W
La matrice de changement de base est égale au produit des trois matrices dans
l'ordre: 3ème rotation, 2ème rotation, 1ère rotation. Le calcul conduit à:
cos^cos<3-sin^cos6'sin^ sin (</cos (P +cos (//cose? sin çs> sine? sin <p
A= -cos(^sin#>-sin^cos6>cosçc> - sin y/ sin <p + cos t// cos 0 cos ç sin#cos<)9 .
sin i// sin 0 -cos((/sin# cos (9
(2.73)
EXERCICES
2.1 Trouver les coordonnées de la projection H orthogonale d'un point M sur la
droite (D) (figure 2.16). Les coordonnées x, y, z du point M sont connues et la
droite (D) passe par le point O origine et a pour vecteur directeur V.
Application au cas où le vecteur directeur V a pour composantes (1, -2 , 3)
dans la base canonique.
2.2 Trouver l'équation de la droite passant par le point a (-1,2, 1) et orthogonale
au plan passant par les trois points A , B (2, 3, -1) , C (-3 , 4, -2) .
2.3 Montrer que le triangle ayant pour sommets les points de coordonnées
cartésiennes :
A (y/2,0, -Jî), B {l, yfî, l), C (-1, -V2 , -l) ,
est un triangle isocèle rectangle en A.
M(x,y, z)
Figure 2.16. Projection d'un point sur une droite. Chapitre 2 L'espace géométrique 38
Figure 2.17. Parallélépipède quelconque.
2.4 Calculer la surface du triangle ABC, dont les sommets ont pour coordonnées
cartésiennes :
/4 (-1,-2,-1) , 5(2,2,-1), C(3,2, 1).
2.5 Calculer le volume d'un parallélépipède quelconque figure (2.17), construit
sur les bipoints (A, B), (A, Q et {A, D).
Application au cas des points de coordonnées cartésiennes :
A (0,0,0), 5(3,2,1), C ( 1, 1,2), D (-1,-1 , 2).
2.6 Calculer la distance d'un point D au plan passant (figure 2.18) par trois points
A, B etC.
Application au cas des points de coordonnées cartésiennes :
A (0,0,0), B(ï,2,3), C(2, 1,1), D(-2,-l,-3).
2.7 Trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les quatre points A, B,
C et D soient coplanaires.
2.8 Soit un trièdre orfhonormé direct (7j) = (O/i\,j\, k\). On fait subir à ce triè­
dre une rotation de 30° autour de l'axe (O, îj) : on obtient le trièdre {Ol i\,j, /V). 3 2
On fait ensuite subir à ce nouveau trièdre une rotation de 45° autour de l'axe
Figure 2.18. Distance d'un point à un plan.

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