Aperçu sur les mathématiques babyloniennes - article ; n°4 ; vol.3, pg 301-314

De e.m. bruins (auteur)
Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Année 1950 - Volume 3 - Numéro 4 - Pages 301-314
14 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : samedi 7 janvier 2012
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E.M. Bruins
Aperçu sur les mathématiques babyloniennes
In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1950, Tome 3 n°4. pp. 301-314.
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Bruins E.M. Aperçu sur les mathématiques babyloniennes. In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1950,
Tome 3 n°4. pp. 301-314.
doi : 10.3406/rhs.1950.2857
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1950_num_3_4_2857Aperçu sur les mathématiques babyloniennes
Les études relatives aux textes mathématiques babyloniens,
amorcées par F. Thureau-Dangin, ont été résumées dans les ouvrages
suivants :
0. Neugebauer, Mathemalische Keilschrifttexte (M. K. T.),
I, II, III, Berlin, 1935-38 ;
F. Thureau-Dangin, Textes mathématiques babyloniens, Leiden,
1938;
О. Neugebauer et A. Sachs, Mathematical cuneiform texts,
New Haven, 1945.
L'édition de Thureau-Dangin, sauf une introduction générale,
ne donne que la transcription accadienne des textes et leurs tra
ductions sans commentaire détaillé. D'autre part les éditions
M. K. T. de Neugebauer ne séparent pas toujours très nettement
dans leurs conclusions les hypothèses du commentateur du contenu
authentique des textes. De plus, chacun des tomes II, III conte
nant des corrections relatives aux textes publiés dans le(s) tome(s)
précédent(s), l'ouvrage de Neugebauer exige un effort assez consi
dérable pour pénétrer le contenu des textes et leur interprétation.
Les textes mathématiques de la Mission de Suse (1) nous don
nant des informations supplémentaires importantes, il semble utile
de donner une esquisse générale des mathématiques babyloniennes
d'après l'ensemble des textes connus.
1. La notation des nombres
On désigne une unité par un clou généralement en position
verticale. Une dizaine s'écrit par un « chevron ». Le système de base
dix, qui semble être le plus fondamental et le plus primitif, a
(1) Les tablettes mathématiques de Suse (provenant des fouilles de la Mission archéo
logique française en Iran), encore inédites et dont nous assumons la publication en co
llaboration avec Mlle M. Rutten.
T. III. — 1950 19 302 revue d'histoire des sciences
donné lieu aux signes spéciaux mi et lemu pour cent et mille
(lemu s'écrit comme dix mi). On écrit donc :
Fig. I
Les textes mathématiques utilisent d'autre part le système de
position de base 60. Pour distinguer les différentes unités sexagé
simales, lorsque la séparation n'était pas rendue évidente par la posi
tion des dizaines après des unités, ou bien on écrivait les signes en
les séparant par un espace vide plus grand (Q), ou bien on utilisait
un signe spécial de séparation (M). Plus tard on rencontre aussi ce
signe de séparation pour désigner l'espace vide, comme nous écr
ivons le « zéro ».
1 7 <T1 /. /. л q
<Ш \\ ,.3o:ii.4».o M.
Tf < i <«ТП « l.c. о.ъъ.ю АО 4Щ.
M : signe de séparation Q : sans sans signe zéro de final, séparation АО 6484 : zéro médial
Fig. 2
Au temps des Séleucides on employait, semble-t-il, ce signe tout
comme le zéro médial, initial ou final est utilisé dans le système
décimal. Les problèmes A, В des textes de Suse montrent qu'à
l'époque des soukkals on n'avait pas encore le moyen d'exprimer
20 — 20 = « 0 », et que l'on ne possédait pas un nombre entier zéro.
Par deux fois on rencontre :
« 20 de 20 soustrais et de 2 soustrais 30, tu vois 1,30 »
c'est-à-dire que l'on n'exprime pas le 20 — 20 = « 0 » explicitement. APERÇU SUR LES MATHÉMATIQUES BABYLONIENNES 303
De même, dans les textes contenant des séries de problèmes
obtenus en faisant varier les données on ne rencontre ni zéro
ni nombres négatifs ; mais, en considérant la différence X — Y,
on dit que X excède Y par a, que X est égal à Y et que X est
inférieur à Y de b pour exprimer les équations :
X — Y=a, X — Y=0, X — Y= — b
Pour faciliter les calculs les Babyloniens avaient composé des
tables de réciproques, de carrés et de cubes, des tables de multi
plication, de sommes de et de cubes ainsi que des tables
formées par les constantes mathématiques qui apparaissent souvent
dans les calculs, etc.
2. Classification du matériel
Une difficulté devant laquelle on se trouve placé est que les
divers textes ne sont pas de même valeur scientifique. Nous en don
nerons quelques exemples.
I. — Considérons le texte BM 85194, qui contient un grand
nombre de problèmes relatifs aux travaux d'un architecte. On
trouve entre autres :
a) Le calcul du volume d'un tronc de cône dont on connaît la
hauteur h et le périmètre des sections supérieure b et inférieure a.
Le calcul se fait par la formule :
,r 1 , fb2 a2\ 1 1 V = - Л 1- = 7Г ~ 3 4*' -
2 \12 12j 12
c'est-à-dire en prenant la valeur moyenne des volumes de deux
cylindres ayant la même hauteur h et dont les bases sont respect
ivement les sections supérieure et inférieure ; ce n'est là, évidemment,
qu'une formule approximative qui ne donne jamais la réponse
exacte.
b) Le même texte contient le calcul du volume d'un tronc de
pyramide à base carrée. Des données il s'en suit que (fig. 3) a = 10,
b = 7 et on calcule le volume par la ц
formule :
]
n'a Il pas est les évident dimensions que correctes cette formule mais Fig. 7— з 304 revue d'histoire des sciences
il va de soi qu'il faut, à cause de a — b = 3, reconstruire la formule
générale comme étant :
v j 17° + b\ 1 (a—b
qui est une formule exacte.
Cette formule a été vraisemblablement obtenue par interpolation.
Si l'on corrige le volume d'un bloc ayant pour côté la longueur moyenne
— ~ — par une fraction d'un bloc dont le volume, disparaissant pour
h
a = 6, a pour côté — - — on obtient
le facteur X se détermine en posant b = 0 et supposant connue la formule
ô ha2 pour la pyramide,
= "4 + i X d0nC X = l I
Malheureusement jusqu'à présent on n'a trouvé sur aucune tablette
la formule к ha2.
Ces deux calculs a et b n'utilisent en principe qu'une interpola
tion assez grossière qui n'oblige pas à admettre une science mathé
matique bien développée. Notons encore que le texte contient la
solution correcte du problème suivant :
c) Calculer la longueur s d'une parallèle à la base d'un trapèze
(fig. 4). On détermine s par la
/i formule
s = a — {a — b) -
' ч qui est évidente si l'on tient compte
de la proportion
Fig. 4 {a — s) : (a — b) = h : H APERÇU SUR LES MATHÉMATIQUES BABYLONIENNES 305
d) Sauf une erreur de calcul évidente, on trouve le calcul
d'une corde s d'un cercle connaissant le périmètre du cercle с et
la flèche a relative à la corde par la
formule (fig. 5)
d= -c;{n~3) s = v/d2 — {d- 2a) Ó
et de même le problème inverse : recher
che de a, connaissant s, se trouve résolu
par la formule correcte
Fig. 5
e) Le calcul de l'aire d'un segment
de cercle de longueur d'arc b = 1 et de corde s = 50 se fait par la
formule
Cette dernière formule est évidemment une interpolation grossière,
mais qui donne des résultats corrects pour les
cas extrêmes. En effet on a
s< b< s + 2a s
Fig. 6 donc
b f^> s -j- a
En corrigeant l'aire du rectangle (fig. 6) sa par Xa2 on obtient
О = b{b — s) — \{b — s)2
et pour le demi-cercle on а с = 3, s = 2, О = 1 ~ donc X = ^
Dans les Meirica (I, 30), de Heroon, on voit que les « Anciens »
mesuraient les segments de cercle plus petits qu'un demi-cercle par la
formule très inexacte
2 I Is + a) ) a
en utilisant le théorème approché suivant lequel le périmètre est égal à
3 fois le diamètre. On ne peut presque pas douter de la méthode par laquelle
la formule babylonienne a été construite ; la formule donnée par e) est
d'ailleurs beaucoup plus exacte que la formule de Heroon, Metrica, I, 31. REVUE D'HISTOIRE DES SCIENCES 306
On voit donc, que dans les textes traitant de problèmes pra
tiques, on se contentait d'interpolations parfois très grossières dans
les cas qui auraient exigé l'usage de formules plus compliquées
pour être traités correctement.
II. — Dans les textes purement mathématiques on voit aussi
des choses inattendues.
Considérons le texte VAT 6505. Il s'agit là de douze problèmes :
A calculer la valeur réciproque de a + h
On utilise la formule
1 1 1

par exemple
4.10;-L = 6; 6x4 = 24; 24 + 1 =25; JL =2.24;
6x2.24 = 14.24
Ce problème résolu on peut trouver les valeurs réciproques de
8.20; 16.40; 33.20; 1.6.40; 2.13.20; etc.
simplement par des divisions successives de 14.24, à savoir :
7.12; 3.36; 1.48; 54.27; etc.
Mais le scribe qui trace cette tablette n'opère pas ainsi ; il
considère les problèmes séparés et recommence le calcul à chaque
fois.
Souvent il arrive que le scribe ne choisit pas le chemin le plus
court car il démontre la méthode de calcul.
A mon avis il faut entendre le calcul du carré de 12 par
-L = 5 52 = 25 122 = 2.24
comme un calcul, montrant comment on pourra parfois réduire les opé
rations à des calculs utilisant des nombres plus petits.
3. Les opérations en sexagésimales
a) Les opérations d'addition et de soustraction n'offrent pas de
difficultés. La multiplication peut être effectuée d'une manière
analogue à celle du système décimal, mais on peut simplifier .
SUR LES MATHÉMATIQUES BABYLONIENNES 307 APERÇU
les calculs en observant que multiplier par 10, 12, 15, 20, 30 revient
à diviser par 6, 5, 4, 3, 2 et à augmenter la valeur de position de la
sexagésimale. Dans les calculs, qui ne précisent pas la valeur
absolue ceci amène d'importantes simplifications :
par exemple 302 = 15, 152 = - . 15 = 3.45
422 = - . 42 + 2 x (42) = 28 + 1.24 = 29.24
о
b) La division pourra se faire en « fendant » les nombres mais le
Babylonien la réduit à une multiplication en déterminant la valeur
réciproque du diviseur. Les nombres réguliers, c'est-à-dire qui ne
contiennent que les facteurs premiers 2, 3, 5, auront des inverses
à nombre de sexagésimales fini. Pour faciliter le calcul on utilisait
des tables d'inverses de nombres réguliers ; mais au moment même où
un diviseur irrégulier entrait dans les opérations, on était forcé
de se contenter d'une valeur approximative ; ainsi, le texte
YBC 10529 donne les valeurs de - pour n = 56 à n = 1 . 20 avec
n
quelques sexagésimales.
Le calcul de 1/67 se devrait faire, tout comme dans le système
décimal :
1.7 50 x 1.7 = 50 + 5.50 = 55.50
3x1.7= 3.21 _l_
59 . 1 1 reste 49 quotient 53
40 x 1.7 = 40 + 4.40 = 44.40
3x1.7= 3.21
48. 1 reste 59 quotient 53 . 43
etc.
c) De VAT 6598 j'ai déduit que les bornes supérieure et infé
rieure d'une racine carrée se calculaient par les formules :
d2 = a2 + b% ou (d _ a) (rf + a) = b2
b2
d = a + -——
a + a
donc
b2 b2
2 a + b 2 a 308 revue d'histoire des sciences
et dans le cas
d? = a2 — b2
de même
a — - -< d<a — —
la — b la
Dans le premier problème de BM 34568 il faut voir, je crois, le
calcul par interpolation entre a et a + b par les formules :
1 2 a
d = a + Xo ; X = —
X b
où l'on devait extraire le facteur lambda d'une table de réciproques.
Le calcul de la racine carrée de 2 peut être fait en considérant
la diagonale d'un carré dont le côté est 30. En omettant le zéro
final on a :
2fois302 = 30 422 = 29.24
A2
d2 = 30 = 422 62 d > 42 + ^ то л = 42>24 +
v/2> 1.24.48
Partant de nouveau de 42.24, on obtient y/2 ~ 1 .24.51 . 10,
soit la valeur donnée par YBG 7289.
d) Les calculs d'intérêts composés exigent en fait la solution
d'équations exponentielles. Pour les Babyloniens le problème
fondamental était de trouver le nombre « d'années et de jours »
au bout duquel le capital et ses intérêts formaient le double du
capital initial ; ils se servaient, pour cela, de l'interpolation linéaire.
АО 6770 indique, qu'il faut déterminer l'excès après quatre ans
et le défaut après trois ans. Puis la tablette contient le résultat :
2.33.20 à soustraire des quatre années complètes.
Si l'on fait le calcul d'après un taux d'intérêt 0. 12 le résultat
exact est, en prenant la solution de
(1 + 0.12)* = 2 x = 3.48.0...
L'interpolation linéaire nous donne
(1.12)* — 2
= 0.12.46.40 (1.12)* — (1.12)8
ce qui donne pour le temps à écouler 3.47.13.20. années au lieu
de 3.48. Le résultat du texte, comme Neugebauer l'a indiqué, APERÇU SUR LES MATHÉMATIQUES BABYLONIENNES 309
se trouve en multipliant par 12 le résultat de l'interpolation, exprimé
en années :
12 x (0.12.'46.40) =1/5 x (0.12.46.40) =2.33.20
ce qui représente le nombre des mois à soustraire des quatre
années.
Ajoutons que le texte Qde la Mission de Suse nous donne un
problème d'intérêt composé et d'annuités. Le taux d'intérêt est
de 3/7. On suit le processus d'augmentation par l'intérêt et de dimi
nution par l'annuité, en calculant les sommes après chaque année.
4. Les problèmes d'algèbre
Les problèmes d'algèbre sont formulés en général en termes
géométriques.
a) Les équations linéaires à plusieurs inconnues n'offrent pas
de difficultés.
b) Une équation quadratique
ax2 — bx = с
se transforme par le changement de variable X = ax, en
X2 — bX = ac
équation que l'on résout par
/7W~
,. b
On rencontre souvent les équations formulées comme
1
x + a. - = S
x
ce qui suggère l'emploi de tables de réciproques pour obtenir la
•solution au cas où le discriminant n'est pas le carré d'un nombre
régulier.
Aujourd'hui on trouve une table de réciproques sur la règle à calculer.
Il est remarquable qu'en général on transforme l'équation quadratique
en une relation linéaire entre x et \(x pour obtenir la solution par le
moyen indiqué.
La plupart des équations quadratiques résultent par élimina
tion d'un système d'équations à deux inconnues, ou même parfois

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