Etude de deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec terme de source relatif à la fonction ou à son gradient, Study of two elliptic quasilinear problems with a source term involving the function or its gradiant

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Sous la direction de Marie-Françoise Bidaut-Veron
Thèse soutenue le 07 décembre 2009: Tours
Dans ce manuscrit de thèse nous présentons des nouveaux résultats concernant l’existence, la non-existence, la multiplicité et la régularité des solutions positives pour deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec conditions de Dirichlet dans un domaine borné. Dans le chapitre 1 d’introduction, nous décrivons les deux problèmes que nous allons étudier et nous donnons les principaux résultats. Le premier, d’inconnue u, comporte un terme de source de gradient à croissance critique. Le second, d’inconnue v, contient un terme source d’ordre 0. Dans le chapitre 2 nous donnons des nouveaux résultats de régularité des solutions renormalisées utiles pour notre étude. A l’aide d’un changement d’inconnue, nous établissons un lien précis entre les problèmes en u et v. Le chapitre 3 est consacré à montrer ce lien et à donner une première application. Dans les chapitres 4 et 5 nous traitons de l’existence de solutions, la solution extrémale et sa régularité, l’existence d’une deuxième solution bornée du problème en v. Dans le chapitre 6 nous démontrons un résultat d’existence pour le problème en v avec des données mesures de Radon bornées quelconques. Dans le chapitre 7 nous obtenons des nouveaux résultats pour le problème en u en utilisant la connexion entre ces deux problèmes.
-Multiplicité des solutions
-P-Laplacien
In the thesis manuscript we present new results concerning existence, nonexistence, multiplicity and regularity of positive solutions for two elliptic quasilinear problems with Dirichlet data in a bounded domain. In chapter 1 we describe the two problems which we study in the sequel and we give the main results. The first one, of unknown u, involves a gradient term with natural growth. The second one, of unknown v, presents a source term of order 0. In chapter 2 we give new regularity results for renormalized solutions. Thanks to a change of unknown we establish a precise connection between problems in u and v. Chapter 3 is devoted to show this connection and to give a first application. In the chapters 4 and 5 we treat existence solutions, extremal solution and its regularity, the existence of a second bounded solution for the problem in v. In chapter 6 we prove a result of existence for the problem in v with general bounded Radon measures data. In chapter 7 we obtain new results for the problem in u by using the connection between these two problems.
Source: http://www.theses.fr/2009TOUR4018/document
Publié le : lundi 19 mars 2012
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´EIVERSITUNFRANC¸OISRABELAIS
TOURSDE

´EcoleDoctorale:Sant´e,Sciences,Technologies
LaboratoiredeMath´ematiquesetPhysiqueTh´eorique

TH`ESEpre´sente´epar:
HAMIDABDELydarHasoutenuele:7d´ecembre2009

pourobtenirlegradede:Docteurdel’universite´Fran¸cois-Rabelais
Discipline/Sp´ecialite´:Math´ematiquesPures

Etudededeuxproble`mesquasiline´aireselliptiques
avectermedesourcerelatifa`lafonctionoua`son
tneadigr

TH`ESEdirig´eepar:
BIDAUT-VERONMarie-Fran¸coise
:TEURSRORAPPIreneoLAPERSOUPLETPhilipe
:YJURBARLESGuy
BIDAUT-VERONMarie-Fran¸coise
MURATFran¸cois
IreneoLAPERAlainTPRIGNESOUPLETPhilipe
VERONLaurent

Professeura`l’Universite´deTours

Professeura`l’Universite´AutonomadeMadrid
Professeura`l’Universite´ParisXIII

Professeura`l’Universite´deTours
Professeura`l’Universite´deTours
Professeura`l’Universite´ParisVI
Professeura`l’Universite´AutonomadeMadrid
Maˆıtredeconf´erencesa`l’Universite´Paris-Est
Professeura`l’Universite´ParisXIII
Professeura`l’Universite´deTours

2

Je

edie´d

ettec

tha`ese`

Mestr`eschersparentsKhaledetAmal

Mach`erefemmeAbir

Mesch`eressœursSahar,Taghrid,WaadetSiran

Meschersfr`eresHilaletFiras

MesneveuxHadietJawad

Mesgrandsparents

onclesMestanteset

Mesenseignantstoutaulongdemes´etudes

i

ii

tsenmeRemerci

Recevez,MadameleProfesseurMarie-Fran¸coiseBidaut-Ve´ron,mesplussinc`eresremer-
cimentspouravoirdirige´cetteth`esedanslacontinuite´demonstagedeMaster2.Pour
l’attentionquevousm’avezport´ee,votregrandedisponibilite´,votrepatienceetvotre
soutienmoraljevousexprimetoutemareconnaissanceetmonprofondrespect.Votre
exp´erienceetvosgrandescompe´tencesontpermisl’accomplissementdecetravail.
LesprofesseursIreneoPeraletPhilipeSoupletonteul’extrˆemegentillessed’accepter
deleurjugerpatiencecetraetvailpetourd’enl’intˆe´retreeˆtlesqu’ilsrapponortporteurs.te´a`Jecelestravaremercieil.vivementpourleursefforts,
Jetiensa`remercier´egalementGuyBarles,Fran¸coisMurat,AlainPrignetetLaurent
V´erond’avoiraccepterdefairepartiedemonjury.
Ungrandmercivaa`monprofesseurdel’universite´libanaiseMoustafaJazarquia
sumeredonnerconfianceetm’aencourage´pourpoursuivremes´etudessup´erieures.Je
leAhmadremercieElSopoufiurpm’aourvsooirncoaidenseteille´sondesvuppenirorta`paTourternels.Jetoutauremercielong´egdealemenmestquatleresProfessann´eeseur
e.ncraFenMercia`touslesmembresdulaboratoiredeMathe´matiquesetPhysiqueth´eorique,
quim’ontpermisdetravaillerdansdetr`esbonnesconditions.Jeremercieenparticulier
lessecr´etairesAnne-MarieetBernadette.Jeremercie´egalementmescolle`guesdubureau
Ali,Ola,RamietThierry.
Jevoudraisremerciertousmesamis,maisilm’estimpossibledelescitertousici.
J’aiuneattentiontr`esparticuli`erea`MoustafaElhaj,MouhammadHawashetleDocteur
SalahElraiidem’avoirsupport´e,danstoutlessensduterme,toutaulongdecetteth`ese.
JevoudraisremerciermesparentsKhaledetAmaletmafamilleenti`erequi,deloin,
atoujourssum’offrirsonsoutien,sacompr´ehension,sesencouragements,sapatienceet
sonaffection.Aeuxjed´ediecetteth`ese.

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Etudededeuxproble`mesquasiline´aireselliptiques
avectermedesourcerelatifa`lafonctionoua`son
tneadigr

e´esum´R

Danscemanuscritdeth`esenouspr´esentonsdesnouveauxr´esultatsconcernantl’exis-
tence,lanon-existence,lamultiplicite´etlare´gularite´dessolutionspositivespourdeux
proble`mesquasilin´eaireselliptiquesavecconditionsdeDirichletdansundomaineborne´.
Danslechapitre1d’introduction,nousde´crivonslesdeuxprobl`emesquenousallons
´etudieretnousdonnonslesprincipauxr´esultats.Lepremier,d’inconnueu,comporte
untermedesourcedegradienta`croissancecritique.Lesecond,d’inconnuev,contient
untermesourced’ordre0.Danslechapitre2nousdonnonsdesnouveauxre´sultatsde
r´egularite´dessolutionsrenormalis´eesutilespournotre´etude.
Al’aided’unchangementd’inconnue,nous´etablissonsunlienpr´ecisentrelesprobl`emes
enuetv.Lechapitre3estconsacre´a`montrercelieneta`donnerunepremi`ereapplication.
Dansleschapitres4et5noustraitonsdel’existencedesolutions,lasolutionextr´emale
etsar´egularit´e,l’existenced’unedeuxi`emesolutionborn´eeduprobl`emeenv.Dansle
chapitre6nousd´emontronsunr´esultatd’existencepourleprobl`emeenvavecdesdonn´ees
mesuresdeRadonborn´eesquelconques.Danslechapitre7nousobtenonsdesnouveaux
r´esultatspourleprobl`emeenuenutilisantlaconnexionentrecesdeuxprobl`emes.

Motscle´s:proble`mesquasilin´eaireselliptiques,p-Laplacien,mesuresdeRadonborn´ees,
p-capacit´e,topologiee´troite,topologiefaible∗,solutionrenormalis´ee,solutionatteignable,
solutionminimaleborn´ee,solutionextr´emale,r´egularite´,multiplicite´,deuxi`emesolution
born´ee,fonctionnelled’Euler,solutionsemi-stable,ge´om´etriedecol,suitesdePalais-
Smale.

v

vi

Studyoftwoellipticquasilinearproblemswitha
sourceterminvolvingthefunctionoritsgradient

acttrAbs

Inthethesismanuscriptwepresentnewresultsconcerningexistence,nonexistence,
multiplicityandregularityofpositivesolutionsfortwoellipticquasilinearproblemswith
Dirichletdatainaboundeddomain.Inchapter1wedescribethetwoproblemswhichwe
studyinthesequelandwegivethemainresults.Thefirstone,ofunknownu,involves
agradienttermwithnaturalgrowth.Thesecondone,ofunknownv,presentsasource
termoforder0.Inchapter2wegivenewregularityresultsforrenormalizedsolutions.
Thankstoachangeofunknownweestablishapreciseconnectionbetweenproblems
inuandv.Chapter3isdevotedtoshowthisconnectionandtogiveafirstapplication.
Inthechapters4and5wetreatexistencesolutions,extremalsolutionanditsregu-
larity,theexistenceofasecondboundedsolutionfortheprobleminv.Inchapter6we
provearesultofexistencefortheprobleminvwithgeneralboundedRadonmeasures
data.Inchapter7weobtainnewresultsfortheprobleminubyusingtheconnection
betweenthesetwoproblems.

Keywords:ellipticquasilinearproblems,p-Laplacien,boundedRadonmeasures,p-
capacity,narrowtopology,weak∗topology,renormalizedsolution,reachablesolution,
minimalboundedsolution,extremalsolution,regularity,multiplicity,secondbounded
solution,Eulerfunction,semi-stablesolution,geometryofMountainPath,Palais-Smale
es.sequenc

vii

ivii

Tabledesmati`eres

1Introduction:Pre´sentationdusujet&Organisationdelath`ese
1Probl`emes´etudi´es................................
1.1Changementd’inconnueset´equivalenceformelle...........
1.2Complexite´...............................
1.3Historique................................
2Descriptionparchapitredesr´esultatsprincipaux...............
2.1Connexionentrelesprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)............
2.2Etudeduprobl`eme(Pv,λ)sansmesure................
2.3Probl`eme(Pv,λ)avecmesureetretoursurleprobl`eme(Pu,λ)....
3Listedespublications..............................

2Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables
2.1Introduction...................................
2.2Notionsdesolutions..............................
2.2.1Solutionsrenormalis´ees.........................
2.2.2Solutionsatteignables.........................
12.2.3SecondmembredansL(Ω)etine´galite´detypePicone........
2.3R´egularite´....................................
2.3.1R´egularite´debase...........................
2.3.2R´esultatsdere´gularite´.........................
2.3.3Preuves.................................

3Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)
3.1Introduction...................................
3.2Changementponctueldefonctions......................
3.2.1D´efinitionsetpropri´et´es........................
3.2.2Exemples................................
3.3Preuvedesth´eor`emes3.1.1et3.1.2......................
3.4Lecasβconstant,glin´eaire..........................
3.4.1Quelquespropri´et´esdeλ(f).....................
13.4.2PreuveduTh´eor`eme3.1.3.......................

ix

1335677111351

12323232923013233353

491545456516172737

x

4

5

6

7

Tabledesmati`eres

Existencedesolutionspourleproble`me(P).81
,λv4.1Introduction...................................83
4.2L’intervalled’existencepourλ.........................84
4.3Egalite´desintervalles..............................86
4.3.1Convexite´................................86
4.3.2Casou`gaunecroissancelente....................93

Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextre´male101
5.1Introduction...................................103
5.2Outilstechniques................................104
5.2.1Fonctionnelled’Euler..........................104
5.2.2Fonctionslie´esa`getleurscomportementsasymptotiques......108
5.3Existenced’unedeuxie`mesolutionvariationnelleborn´ee...........112
5.4SolutionExtr´emale...............................120
5.4.1Existencelocale.............................121
5.4.2Existenceglobale............................123
5.4.3R´egularite´................................124
´Etudeduprobl`eme(P)avecdonn´eesmesuresquelconques133
,λv6.1Introduction...................................135
6.2Preuves.....................................136

Applicationsauprobl`eme(P)sansetavecdonne´esmesures145
u,λ7.1Applicationsetr´esultats............................147
7.1.1Probl`eme(P)sansdonn´eemesure.................147
u,λ7.1.2Probl`eme(P)avecmesure......................150
u,λ7.2Significationde(7.1.1)entermedeβetremarques.............151
7.3Extensionsetapplications...........................153
7.4Unr´esultatd’existencepourdesope´rateursplusge´n´eraux.........158

1erpitCha

&IntroOrganiductisatonio:nPrde´esenlatthati`eseondusujet

iremaSom1Probl`emese´tudi´es..........................
1.1Changementd’inconnueset´equivalenceformelle........
1.2Complexite´.............................
1.3Historique..............................
2Descriptionparchapitredesr´esultatsprincipaux.......
2.1Connexionentrelesproble`mes(Pu,λ)et(Pv,λ).........
2.2Etudeduproble`me(Pv,λ)sansmesure..............
2.3Probl`eme(P)avecmesureetretoursurleproble`me(P).
u,λ,λv3Listedespublications........................

2

3

1

335677111315

2

Chapitre1.Introduction:Pr´esentationdusujet&Organisationdelath`ese

3

L’objectifdecetravailestdepre´senterdesnouveauxr´esultatsconcernantl’existence,
lanon-existence,lamultiplicite´etlare´gularite´dessolutionspositivesdedeuxclasses
d’´equationsauxde´riv´eespartielleselliptiquesnonlin´eairesfaisantintervenirl’op´erateur
p−Laplaciensurundomaineborne´r´egulier.Grˆacea`unchangementd’inconnue,nous
´etablissonsunlienpre´cisentrecesdeuxclassesdeprobl`emes.Cetteconnexionserale
pointcle´dansnotree´tude.

1Probl`emes´etudi´es
SoitΩundomaineborne´r´egulierdeRN(N≥2)et1<p≤N.Consid´eronslesdeux
proble`meselliptiquesnonlin´eairessuivants
(P)−Δpu=β(u)|u|p+λf(x)dansΩ,(1.1)
u,λu=0sur∂Ω,
et(Pv,λ)−Δpv=λf(x)(1+g(v))p−1dansΩ,(1.2)
v=0sur∂Ω.
u`o•λestunr´eelstrictementpositif.
•βestunefonctiond´efiniesurunintervallequelconque[0,L)satisfaisant
β∈C0([0,L)),L≤∞,etβestpositive,β≡0.(1.3)
•gestunefonctiond´efiniesurunintervallequelconque[0,Λ)satisfaisant
g∈C1([0,Λ)),Λ≤∞,g(0)=0etgestcroissante,g≡0.(1.4)
•festunefonctiond´efiniesurΩsatisfaisant
f∈L1(Ω),f≥0presquepartoutdansΩ.(1.5)

.3)(1.4)(1

.5)(1

1.1Changementd’inconnueset´equivalenceformelle
Enpartantduprobl`eme(Pu,λ)avecβsatisfaisant(1.3),consid´eronslechangement
d’inconnuev(x)=Ψ(u(x)),ou`Ψestd´efiniepourtoutt∈[0,L)par:
ttΨ(t)=eγ(θ)/(p−1)dθ,ou`γ(t)=β(θ)dθ.(1.6)
00NotantΛ=Ψ(L),ilestclairqueΨestunebijectionde[0,L)sur[0,Λ).Nousd´efinissons
sur[0,Λ)lafonctionsuivante:
τ∈[0,Λ)→g(τ)=eγ(Ψ−1(τ))/(p−1)−1.(1.7)

4

1.Proble`mes´etudi´es

Lafonctiongsatisfait(1.4).Formellement,nousavons
v=Ψ(u)u=eγ(u)/(p−1)u=eγ(Ψ−1(v))/(p−1)u=(1+g(v))u,
suiteparet

−Δpv=−div(|v|p−2v)=−div(eγ(u)|u|p−2u)
=−div(|u|p−2u)eγ(u)−γ(u)eγ(u)|u|p
=(−Δpu−β(u)|u|p)eγ(u)=λf(x)(1+g(v))p−1.
Doncnousobtenonsformellementleprobl`eme(Pv,λ).D’autrepart,eneffectuantlechan-
gementdevariablez=Ψ−1(s)noustrouvons
β(Ψ−1(s))ds=β(z)Ψ(z)dz=γ(z)eγ(z)/(p−1)dz=(p−1)g(τ).
τΨ−1(τ)Ψ−1(τ)
000pourtoutτ∈[0,τ).
D’ou`1τ−1
g(τ)=p−10β(Ψ(s))ds,
donc(p−1)g(τ)=β(Ψ−1(τ))=β(t)avect=Ψ−1(τ).
Aussi1−τds=τe−γ(Ψ−1(s))/(p−1)ds=Ψ(τ)e−γ(z))/(p−1)Ψ(z)dz=Ψ−1(τ),
01+g(s)00
dsdoncΨ−1=Hou`τ
H(τ)=01+g(s)∀τ∈[0,Λ).(1.8)
Cequipermetd’effectuerlechangementinverse:sigestunefonctionquisatisfait(1.4),
nousconsid´eronslafonctionHd´efiniepar(1.8)etonnoteL=H(Λ)puisnousd´efinissons
sur[0,L)unefonctionβpar:
t∈[0,L)→β(t)=(p−1)g(H−1(t)).(1.9)
Lafonctionβsatisfait(1.3)etH−1=Ψ.Dansleprobl`eme(Pv,λ),effectuonslechangement
d’inconnueu(x)=H(v(x))nousobtenonsleprobl`eme(Pv,λ).
DoncilyaunebijectionTentrelaclassedesfonctionsβsatisfaisant(1.3)etlaclasse
desfonctionsgsatisfaisant(1.4)etunecorrespondanceformelleentrelesdeuxprobl`emes
(Pu,λ)et(Pv,λ).
Danslescasou`L=∞,lesfonctionsγetΨsontbienconnuesdansl’´etudeduprobl`eme
(Pu,λ).DanslecasΛ=∞lafonctionHestconnuedansl’e´tudede(Pv,λ),maiselleest

Chapitre1.Introduction:Pr´esentationdusujet&Organisationdelath`ese

5

apparemmentrarementutilis´eepourobtenirleprobl`eme(Pu,λ),mˆemedanslecasp=2.
Notrepremierbuta´ete´de1do,pnnerun∞sensa`cechangementd’inconnue.Parexemple,
danslecasL=∞,siu∈W0(Ω)∩L(Ω)estunesolutionausensdesdistributions
duprobl`eme(Pu,λ)alorsΛ=∞etv=Ψ(u)∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)etelleestunesolution
ausensdesdistributionsduproble`me(Pv,λ),ou`gestd´efiniepar(1.4).A`partdecette
situation,unesolutionduprobl`eme(Pu,λ)n’estpasn´ecessairementr´eguli`eremˆemepour
desfonctionsβetfquisontborn´eesetparsuitev=Ψ(u)risquefortementd’avoirmoins
der´egularite´puisquevcroˆıtbeaucoupplusvitequeu.Celaestmontre´parl’exemple
explicitedelasous-sectionsuivante.

1.2Complexite´
L’exempleleplussimpleestlafonctionconstanteβ=p−1:
−Δpu=(p−1)|u|p+λf(x)dansΩ,
.10)(1u=0sur∂Ω.
Posonsv=eu−1.Formellementnousobtenonsleprobl`eme
−Δpv=λf(x)(1+v)p−1dansΩ,
.11)(1v=0sur∂Ω.
etnouspouvonsrevenirdevversuparu=ln(1+v).
Unexemple,duˆa`[16],montrequecettecorrespondanceestpluscompliqu´ee:consid´erons
f=0etΩ=B(0,1),p<N,l’´equation1.10admetlasolutionu0≡0,correspondanta`
v0≡0;maiselleadmetuneinfinite´d’autressolutions.Eneffet,pourtoutm∈(0,1),la
nfonctioum(x)=ln(1−m)−1(|x|−(N−p)/(p−1)−m),(1.12)
appartienta`W01,p(Ω),sasingularite´logarithmiqueen0n’apparaˆıtpasdansD(Ω)etelle
estsolutionduprobl`eme(1.10)dansD(Ω).Lafonctionvm=eum−1satisfait
−Δpvm=Km,Nδ0dansD(Ω),
vm=0sur∂Ω,
ou`δ0estlamassedeDiracconcentr´eeen0,etKm,N>0,doncvm∈W01,p(Ω).
Celamontrequel’apparitiondedonn´eesmesurespr´esenteunevraiecomplexite´,maiselle
nousapermisa`suivrelad´emarchesuivante:
´Etape1.Nouspr´ecisonsuneconnexionentrelesprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ),avecla
possibilite´del’apparitiondedonn´eesmesures.
´Etape2.Nous´etudionslesproble`mes(Pv,λ)sansouavecdonn´eesmesures.

6

1.Proble`mes´etudi´es

´Etape3.Noustironslescons´equencessurleprobl`eme(Pu,λ).
Deplus,nousallonscommencerpar´etablirdesr´esultatsdenon-existencedesolutions
pourleprobl`eme(Pu,λ),puisnousd´eduisonslescons´equensessur(Pv,λ)avecetsans
donn´eesmesures.Grˆacea`cet´echange,nousobtenonsdesnouvellesr´esultatsd’existence
oudenon-existenceoudemultiplicite´oudere´gularit´e,nonseulementpourleprobl`eme
(Pu,λ)maisaussipourleprobl`eme(Pv,λ).
Avantdepre´senternosr´esultats,nousrappelonsquelquesr´esultatsd´ej`aconnuspour
lesprobl`emesdutype(Pu,λ)et(Pv,λ).

1.3Historique
l’exempleProbl`temeype(Pestu,λ).leBeaprobl`ucoupeme(Pd’aut).euPrsaorminttraeux,it´esnousdesmenprotiobl`emennonssqualessr´i-linesultat´eairsesdedon[4],t
u,λ[5]estpd´ourefinielecasursRp=tout2,en[15t],ier,[1a`6]vapoleursurder´seelsop´noerannteurs´ecesquasasi-iremenlin´eatpiresositg´iven´es,eraux,maisququiandestβ
bsurorn[0´,ee.∞Le),prtelleobl`queemelim(Pinu,λf)βa(t)´et>e´e´0t,vudioe´iradansussi[1les]pr´efour´perences=2danetsβcetplusartgice´nle.´eraPle,ourpdefinie>1
→∞tquelconque,le1probl`emea´ete´traite´dans[28]danslecasou`βestde´finiesurRtout
entier,etβ∈L(R)avecunedonn´eemesurequelconque,etdans[27]avecβdesigne
quelconque,avecdeshypoth`esesfortessur|β|.
Λ=Pr∞obl`estemetr(`esPv,λric).he,Lasurtlitt´outeraturequandsurgl’´estetudeconvdesexe,´equasur-lintions´eairdue,tpyp=e2(Petv,λf)daestnsbolern´caee.s
Troispointsessentielspeuventˆetreabord´espourcetypedeprobl`eme:
(1)D´eterminerl’intervalle[0,λ∗)deλpourlaquelleilexisteaumoinsunesolution
variationnellev∈W1,p(Ω),etl’intervalle[0,λ)deλpourlaquelleilexisteunesolution
minimaleborn´eev∈0W01,p(Ω)∩L∞(Ω).Ilestb´evidentque0≤λb≤λ∗≤∞.Naturel-
lement,unequestionimportantesepose:est-ce-queλ∗=λb?Quandλ∗<∞,quese
passe-t-ilpourλgrand?
(2)Lespropri´et´esder´egularite´delalimitedecessolutions,ditefonction1,pextr´emale:
est-elleunesolutionduprobl`emelimite,etdansquelsens?est-elledansW0(Ω),est-elle
?ee´ornb(3)L’existencededeuxsolutionsborn´eesdansW01,p(Ω)quandgestsouscritiquepar
rapporta`l’exposantdeSobolevQ∗=p∗−1,ou`p∗=pN.
p−NLespremiersmod`elestypesquionte´te´e´tudi´essontlecasdel’exponentielleg(v)=
qvre´−esultat1setdele[1cas1]etde[23la].Lepuisscaasnced’uneg(v)no=n-vlin.´eaDarite´nsgcespluscasg´ena´veceralepav=ec2,p=men2atio´ete´nnons´etudilee´s
∞deparla[6],solut[7]eiontplusextr´r´emaleecemmen,voirt[8[1]].etDelesnor´mef´breuxerencesartdaicnslestcetraitenartticlede.laLesr´traegulavarituxe´deL[18],(Ω)

Chapitre1.Introduction:Pr´esentationdusujet&Organisationdelath`ese

7

[19],[17],[8],[9]et[10]ontdonne´desextentionspourlecasge´n´eralp>1.Concernant
l’existenced’unedeuxie`mesolutionvariationnelleborn´ee,elleae´te´obtenuepourdesnon-
lin´earite´sdelaformed’unepuissancedetypeconcave-convexe,voir[2],[20].Dans[1],on
donnedesr´esultatspourunefonctiong´ene´raleconvexegdanslecasp=2.Cesr´esultats
serontreprisetpr´ecise´sdanslasuite.Dans[17],ondonnedesr´esultatsdanslecasd’une
puissanceetp>1.

2Descriptionparchapitredesr´esultatsprincipaux

Nousregrouponsnosr´esultatsensixchapitres:
-Chapitre2:”Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables”.
-Chapitre3:”Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)”.
-Chapitre4:”Existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ)”.
-Chapitre5:”Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale”.
-Chapitre6:”Etudeduprobl`eme(Pv,λ)avecdonn´eesmesuresquelconques”.
-Chapitre7:”Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures”.

2.1Connexionentrelesprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)
Chapitre2:Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables.
Danslechapitre2,nousrappelonsdesnotionsetdequelquespropri´et´eesdessolutions
renormalis´eesetsolutionsatteignablesduprobl`eme
−ΔpU=µdansΩ,
U=0sur∂Ω,
ou`µestunemesuredeRadonborn´eesurΩ.Nousr´ef´eronsprincipalementauxdeux
papiersr´ecents[14]et[13].
Notonsquel’unicite´dessolutionsdecette´equationresteunprobl`emeouvertlorsque
p=2,Netlapartiesinguli`eredeµestnon-nulle,voirlesr´esultatsr´ecentsde[24]et
[22];etc’estunegrandedifficulte´quenousrencontronsdansl’´etudedesprobl`emesavec
donn´eesmesures.Pourlessolutionsrenormalis´ees,ils’ajouteunedeuxi`emedifficult´equi
estlarestrictiondelastabilite´d’unesuitedesolutionsrenormalis´eesa`uneapproximation
particulie`repourlamesureµ.
Quandµ=F∈Lm(Ω)pourunm>1,nousdonnonsdesnouveauxr´esultatsde
r´egula1rite´danslelemme2.3.3etlaproposition2.3.4,ou`deplusFd´ependdeU.Quand
F∈Lloc(Ω)etF≥0,nouse´tablissonsdanslelemme2.3.6desestimationslocalespour
lesecondmembreFparrapporta`lasolutionU.

8

2.Descriptionparchapitredesr´esultatsprincipaux

Chapitre3:Connexionentrelesprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ).
Danslechapitre3,nousd´efinissonsunebijectionentrelaclassedesfonctionβsatisfai-
sant(1.3)etlaclassedesfonctiongsatisfaisant(1.4)etnousdonnonsquelquespropri´et´es
´ele´mentairesdecettebijection.D’apr`esl’expression(1.8),l’intervalle[0,L)ded´efinition
deβestdelongueurfiniesietseulementsi1/(1+g)∈L1((0,Λ)).Commecons´equence
de(1.9),βestcroissantesietseulementsigestconvexe.Nousdonnonsdesexemples
explicitesremarquables.Quelquesfonctionsβcorrespondenta`desprobl`emesbienconnus
env,parmilesquelles:
−Δpv=λfev,−Δpv=λf(1+v)Q,Q>p−1,
ou`βauneasymptote,ou
−Δpv=λf(1+v)Q,Q<p−1,−Δpv=λf(1+v)(1+ln(1+v))p−1,
ou`βestd´efiniesur[0,∞).
Ensuite,nousmontronsunr´esultatprincipalquidonnelethe´or`emesuivantde
connexionentrelesprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ).NotonsparMb(Ω)l’ensembledesmesures
deRadonborn´ees,Ms(Ω)lesous-ensembledesmesuresconcentr´eessurunensemble
+dep-capacite´nulle,ditessingulie`res;etMb(Ω)etMs+(Ω)sontlessous-ensemblesde
s.eositivpmesures

The´or`eme2.1(i)Soitgunefonctionsatisfaisant(1.4)etHetβlesdeuxfonctions
d´efiniespar(1.8)et(1.9).Supposonsquevestunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme
−Δpv=λf(x)(1+g(v))p−1+µsdansΩ,
v=0sur∂Ω,(2.1)
telleque0≤v(x)<ΛpresquepartoutdansΩ,o`uµs∈Ms+(Ω).Alorsilexisteunemesure
singuli`erepositiveαs∈Ms+(Ω),tellequeu=H(v)estunesolutionrenormalis´eedu
probl`emep
−Δpu=β(u)|u|+λf(x)+αsdansΩ,(2.2)
u=0sur∂Ω.
Deplussiµs=0,alorsαs=0.
SiΛ<∞,alorsµs=αs=0etu,v∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
SiL<∞=Λ,alorsαs=0etu∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
SiLµ=s∞=Λetgn’estpasborn´ee,alorsαs=0;sigestborn´ee,alorsαs=
(1+g(∞))p−1.
(ii)Soitβunefonctionsatisfaisant(1.3)etΨetglesdeuxfonctionsd´efiniespar
(1.6)et(1.7).Supposonsqueuestunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme(2.2),telle

Chapitre1.Introduction:Pr´esentationdusujet&Organisationdelath`ese

9

que0≤+u(x)<LpresquepartoutdansΩ,o`uαs∈Ms+(Ω).Alorsilexisteunemesure
µ∈Mb(Ω),tellequev=Ψ(u)estunesolutionatteignableduprobl`eme
−Δpv=λf(x)(1+g(v))p−1+µdansΩ,
v=0sur∂Ω;(2.3)
d’ou`l’´equationestsatisfaitedansD(Ω)etpluspr´ecis´ement,pourtouth∈W1,∞(R)telle
quehsoita`supportcompact,ettoutϕ∈D(Ω),ona
|v|p−2v.(h(v)ϕ)dx=λh(v)ϕf(x)(1+g(v))p−1dx+h(∞)ϕdµ.(2.4)
ΩΩΩDeplussiL<∞,alorsαs=0etu∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
SiΛ<∞,alorsαs=µ=0etu,v∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
SiL=∞etβ∈L1((0,∞)),alorsαs=0;siβ∈L1((0,∞)),alorsµ=eγ(∞)αsest
singuli`ere,etvestunesolutionrenormalis´ee.
Sip=2,oup=N,alorsentoutcasµestsinguli`ereetvestunesolutionrenormalis´ee.
Ceth´eor`emepr´eciseet´etendlargementlesr´esultatsde[1,the´or`emes4.2et4.3]ou`
p=2etβestd´efiniesur[0,∞)ettlim→+inf∞β(t)>0.Nosd´emonstrationssontdiff´erentes,
ellessontbas´eessurles´equationssatisfaitesparlestroncaturesdeuetv.Lefait
queαs=0quandβ∈L1((0,∞))am´eliorequelquesr´esultatsde[28].
Premie`reapplication.Consid´eronslecasβconstant´egala`p−1etlafonction
correspondanteg(v)=vetsupposonsquefsatisfait(1.5)avecf≡0.Nousdonnonsdes
r´esultatsd’existenceetd’unicite´pourleprobl`eme(1.11)envetnouslestraduisonssur
leprobl`eme(1.10)enu,enutilisantleth´eore`me2.1.Nousobtenonsdesr´esultatsdenon-
existencepourleprobl`eme(1.10)enuetnousd´eduisonsdesr´esultatsdenon-existence
pourleprobl`eme(1.11)env,enutilisant(i)duth´eor`eme2.1.L’existenceestli´eea`un
proble`medevaleurpropreaveclepoidsf,
−Δpw=λf(x)|w|p−2wdansΩ,
w=0sur∂Ω,
etpluspr´ecise´menta`sapremi`erevaleurpropred´efiniepar
|w|pdx
Ω0λ1(f)=w∈Winf1,p(Ω)Ωf|w|pdx.(2.5)
=0wNousmontronsler´esultatd’existenceetd’unicite´etder´egularite´suivant:

.5)(2

10

2.Descriptionparchapitredesr´esultatsprincipaux

The´or`eme2.21,pSupposonsqueg(v)=v.Si0<λ<λ1(f)alorsilexisteunesolution
Siuniquef∈vL0N/∈pW(Ω)0,(Ω)alorsduv0pr∈Loblk`(Ω)emepour(1.11).toutk>1.
Sif∈Lr(Ω),r>N/p,alorsv0∈L∞(Ω).

Enseservantduth´eore`me2.1,nousobtenonsler´esultatsuivantpourleprobl`emeenu:
Corollaire2.31,pSupposonsqueβ=p−1.u0Si0<λ<1,pλ1(f)alorsilexisteuneunique
Sifsolution∈LNu/0p∈(Ω)W,0alors(Ω)u0de∈L(1.10)k(Ω)telpleourquetoutek−>11.∈W0(Ω).
Sif∈Lr(Ω),r>N/p,alorsu0∈L∞(Ω).
Concernantlanon-existence,nous´etablissonspourleprobl`eme(1.10)lere´sultatsuivant:
The´oNr/`peme2.4Supposonsqueβ=p−1.Siλ>λ1(f)≥0,ouλ=λ1(f)>0et
f∈L(Ω),p<N,alorsleprobl`eme(1.10),n’admetpasdesolutionrenormalis´ee.
Enutilisant(i)duth´eor`eme2.1,nonsobtenonsler´esultatsuivantpourleprobl`eme
:.11)(1CoroNll/aipre2.5Supposonsqueg(v)=v.Siλ>λ1(f)≥0,ouλ=λ1(f)>0et
f∈L(Ω),p<N,alorsleprobl`eme(1.11),n’admetpasdesolutionrenormalis´ee.
Dansleth´eor`emesuivant,nouscitonsunr´esultatd’existenceounon-existencepourle
proble`me(1.11)avecdonn´eemesuredanslesecondmembre.Ceth´eor`emeestuncas
particulierd’unr´esultatplusg´en´eralquenous´etablironsdanslechapitre6ou`nous
´etudieronsdesproble`mesplusg´en´erauxavecdesdonne´smesuresquelconques.
The´or`eme2.6Supposonsquef+∈Lr(Ω),r>N/p.Si0<λ<λ1(f)alorspourtoute
mesurepositivesinguli`ereµs∈Ms(Ω),ilexisteunesolutionrenormalis´eevsduprobl`eme
−Δpvs=λf(x)(1+vs)p−1+µsdansΩ,(2.6)
vs=0sur∂Ω;
Siλ>λ1(f)≥0,ouλ=λ1(f)>0etf∈LN/p(Ω),p<N,alorsleprobl`eme(2.6),
n’admetpasdesolutionrenormalis´ee.

Enappliquant(i)duth´eore`me2.1,noustrouvonsunr´esultatdefortemultiplicite´de
solutionspourleprobl`eme(1.10):
Corollaire2.7Supposonsquef∈Lr(Ω),r>N/p.Si0<λ<λ1(f)alorsilexisteune
infinite´desolutionsus=ln(1+vs)∈W01,p(Ω)de(1.10),moisr´eguli`eresqueu0.

Chapitre1.Introduction:Pr´esentationdusujet&Organisationdelath`ese11

Extension.Lefaitquefned´ependpasdeuoudevn’estpasutilise´dansla
d´emonstrationduth´eor`emedeconnexion2.1,nousutiliseronsseulementl’hypoth`ese(1.5)
surf.Nouspouvonsdoncsupposerquefd´ependaussideuouv.Siuestunesolution
duprobl`emedelaforme
−Δpu=β(u)|u|p+λf(x,u),
ou`f(x,u)∈L1(Ω),f(x,u)≥0,alorsvv´erifieformellementl’´equation
−Δpv=λf(x,H(v))(1+g(v))p−1.
R´eciproquement,sivestunesolutionduproble`medelaforme
−Δpv=λf(x,v)(1+g(v))p−1,
alorsuestformellementunesolutionde
−Δpu=β(u)|u|p+λf(x,Ψ(u)).
Cequi´etendlargementledomainedesapplicationsdenotrere´sultat,voirlechapitre7.

2.2Etudeduproble`me(Pv,λ)sansmesure
Chapitre4:Existencedesolutionspourleproble`me(Pv,λ).
Danslechapitre4,nous´etudionsl’existenceounondessolutionsduproble`me(Pv,λ)
pourunefonctiongg´en´erale,sansdonn´eemesure.Ilestfaciledemontrera`l’aide1de,psur
etsoussolutionsquel’ensembledesλpourlaquelleilexisteunesolutiondansW0(Ω)
estunintervalle[0,λ∗)etl’ensembledesλpourlaquelleilexisteunesolutionminimale
vλ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)tellequevλL∞(Ω)<Λestunintervalle[0,λb).
Lapremi`ereinterrogationimportanteestdesavoirsiλb=λ∗.Notrer´esultatprincipal
decechapitrer´epondpositivementa`cettequestionlorsquegestconvexeauvoisinage
deΛ,sousdeshypoth`esesappropri´eessurf.Nous´etendonsler´esultatbienconnude[6]
relatifaucasp=2,etnousam´elioronsaussiler´esultatde[9]pourp>1.

fTh∈e´Lorr`(Ω)eme,r2>.8N/pSupp.Aosonslorsilqueexistegunsatisfaitr´eelλ∗(1.4)>0ettelgestqueconvexeauvoisinagedeΛ,et
(i)pourλ∈(0,λ∗)ilexisteunesolutionminimaleborn´eevλde(Pv,λ)telleque
vλL∞(Ω)<Λ.
(ii)pourλ>λ∗iln’existe∗pasdesolutionsrenormalis´eede(Pv,λ).
Enparticulieronaλb=λ.

12

2.Descriptionparchapitredesr´esultatsprincipaux

Doncpourλ>λ∗,nonseulementiln’existepasdesolutionsvariationnelles,maisencore
iln’existepasdesolutionsrenormalis´ees,cequiestnouveaupourp=2.Ilestremar-
quablequenotred´emonstrationutiliseleprobl`eme(Pu,λ)etelleestbas´eesurleth´eor`eme
d’´echange2.1.Unr´esultatplusg´en´eralestdonne´dansleth´eor`eme4.3.3.
Chapitre5:Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale.
Danslechapitre5,nouse´tudionsdeuxnouvellesquestionsimportantesquandΛ=∞.
Lapremi`ereportesurl’existenced’unedeuxie`mesolutionvariationnellequandgest
sur-line´aireetsous-critiqueparrapport`al’exposantdeSobolev.Pluspr´ecisement,nous
satisfaitgqueosonssuppg(s)p−1
MQ=slim→+∞supsQ<∞,(2.7)
pouruncertainQ<Q∗ou`
Q∗=p∗−1=N(p−1)+p(Q∗=∞sip=N).
p−NNousd´efinissonssurRunefonctionϕ:
ϕ(t)=(1+g(t+))p−1∀t∈R,
ou`t+=max(0,t).Nousconside´ronsuneprimitivedeϕ:
ttΦ(t)=ϕ(s)ds=(1+g(s+))p−1ds∀t∈R.
00Nousmontronsqu’ilexisteaumoinsdeuxsolutionsvariationnellesborn´eesdanslescas
duth´eor`emesuivant:
The´or`eme2.9Supposonsquegestd´efiniesur[0,∞),ett−lim→∞g(t)/t=∞,etqueg
satisfaitlaconditiondecroissance(2.7)avecQ<Q∗,etf∈Lr(Ω)avec(Q+1)r<p∗.
slorA(i)Sigestconvexeauvoisinagede∞,ilexisteλ0>0telquepourtoutλ<λ0,ilexiste
aumoinsdeuxsolutionsv∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)de(Pv,λ).
(ii)Sip=2etgestconvexe,ousif∈L∞(Ω)etgsatisfaitlaconditiond’Ambrosetti-
Rabinowitztϕ(t)
limt→∞infΦ(t)=k>p,
alorspourtoutλ∈(0,λb)ilexisteaumoinsdeuxsolutionsv∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)de
(Pv,λ).

Chapitre1.Introduction:Pr´esentationdusujet&Organisationdelath`ese

13

Notrere´sultatestnouveaumˆemepourp=2,am´eliorelesr´esultatsde[1]ou`les
contraintessurgsontfortes,etnospreuvessontsimplifi´ees.Danslecasp>1etgest
detypepuissance,ilr´esoutlaconjecturede[17]queλ0=λb.
Ladeuxi`emequestionestlar´egularite´delafonctionextr´emaled´efinie,quandλb<∞,
par∗v=λlimλbvλ.
Est-elleunesolutionduprobl`emelimite(Pv,λb),etdansquelsens?Est-ellevariationnelle,
est-elleborn´ee?
Sousdeshypoth`esesdeconvexite´nous´etendonsquelquesr´esultatsde[25],[29]et[1]
et,enparticulier,nousmontronsquelasolutionextr´emaleestborn´eedanslecasou`g
satisfait(2.7)avecQ<Q1ou`
N1)−p(Q1=(Q1=∞sip=N).
p−N

The´or`eme2.10Supposonsquegsatisfait(1.4)avecΛ=∞ett−lim→∞g(t)/t=∞,etg
estconvexeauvoisinagede∞;etf∈Lr(Ω),r>N/p.
Alorslafonctionextr´emalev∗=λlimλ∗vλestunesolutionrenormalise´ede(Pv,λ∗).
usplDe(i)SiN<p(1+p)/(1+p/r),alorsv∗∈W01,p(Ω).
SiN<pp/(1+1/(p−1)r),alorsv∗∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
(ii)Si(2.7)estsatisfaiteavecQ<Q1,etf∈Lr(Ω)avecQr<Q1,ousi(2.7)est
satisfaiteavecQ<Q∗,etf∈Lr(Ω)avec(Q+1)r<p∗,alorsv∗∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).

Lapreuver´esulteduth´eor`eme5.4.10,despropositions5.4.11,5.4.15et5.4.16.Sanshy-
poth`esedeconvexite´surg,nousobtenonsunr´esultatlocal,voirlethe´or`eme5.4.6.La
preuveestbas´eesurunr´esultatder´egularite´de[3]etl’ine´galite´deHarnackfaible.

2.3Probl`eme(Pv,λ)avecmesureetretoursurleproble`me(Pu,λ)
Chapitre6:Etudeduproble`me(Pv,λ)avecdonn´eemesurequelquonque
Danslechapitre6,nous´etudionsl’existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ)avec
donn´eemesuredanslesecondmembre,cequin´ecessiteuneconditiondecroissanceforte
surg:(2.7)avecQ<Q1.Nousobtenonsler´esultatsuivant:

The´or`eme2.11Supposonsquegestd´efiniesur[0,∞),etf∈Lr(Ω)avecr>N/p.
Soitµ∈Mb+(Ω)quelconque.

14

2.Descriptionparchapitredesr´esultatsprincipaux

(i)Supposonsque(2.7)estsatisfaitepourQ=p−1etMp−1λ<λ1(f),oupourun
Q<p−1etQr<Q1.Alorsleprobl`eme
−Δpv=λf(x)(1+g(v))p−1+µdansΩ,
v=0sur∂Ω,
admetunesolutionrenormalis´ee.
(ii)Supposonsquegsatisfait(2.7)pourunQ∈(p−1,Q1)etQr<Q1.ilexisteune
solutionrenormalis´eepourleprobl`emepr´ec´edentsiλet|µ|(Ω)sontsuffisammentpetits.

Plusg´en´eralement,nousdonnonsdesr´esultatsd’existencedesolutionsUdesigne
quelconquepourdesprobl`emesdelaforme
−ΔpU=λh(x,U)+µdansΩ,
U=0sur∂Ω,

ou`µ∈Mb(Ω),et
|h(x,U)|≤f(x)(1+|U|Q).
Dansleth´eor`eme6.1.1,nousam´elioronslesr´esultatsannonc´esdans[21]etnosd´emonstrations
sontpluspr´ecises.Danslaproposition6.1.2,nousdonnonsunr´esultatdenon-existence
base´surlelemme6.1.3dˆua`Ponce[26].
Chapitre7:Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)
Danslechapitre7,nousrevenonsauprobl`eme(Pu,λ)pourunβquelconquesatisfaisant
(1.3).Danslapremi`eresection,nousdonnonsdesr´esultatsd’existence,dere´gularite´,
d’unicite´oudemultiplicite´enutilisantleth´eor`eme2.1etlesr´esultatsdeschapitres4,5
et6.Notonsquel’exempledemultiplicite´desolutionsquenousavonscite´danslasection
1.2admetestununephinfi´enomnite´`enedesplusoglutions´en´erasli;βen∈/L1(0particulier,∞).Sidansλfle=cas0λfet=β0∈leL1pro(0,bl∞`)emealo(Prsu,λla)
solutiontrivialeestl’uniquesolutionde(Pu,λ).
Dansladeuxi`emesectionnousanalysonslesensdelaconditiondecroissance(2.7)surla
fonctiongentermesdeβ.Ila´ete´conjecture´quesiβsatisfaisant(1.3)avecL=∞,et
estcroissanteavectlim→∞β(t)=∞,lafonctioncorrespondantegsatisfaitlaconditionde
croissance(2.7)pourunQ>p−1(voir[1]et[12]).Nousmontronsquelaconjecture
estfausse,etnousdonnonsdesconditionssuffisantesassurant(2.7).
Danslatroisie`mesection,enremarquantquenouspouvons´etendreleth´eor`eme2.1
surdesfonctionsfquid´ependentdeu,nousdonnonsuneapplicationsimplesurcetteex-
tension,voirlecorollaire7.3.2.Aussinousdonnonsdanslecorollaire7.3.4uneapplication
duth´eor`eme2.1pourdesprobl`emesayantuneautrepuissancedutermegradiant.
Finalement,dansladerni`eresectionnousdonnonsunre´sultatd’existencepourdes
proble`mesplusge´n´eraux,voirleth´eor`eme7.4.1.

Chapitre1.Introduction:Pr´esentationdusujet&Organisationdelath`ese

3Listedespublications

15

Cesr´esultatsontdonne´lieua`troispublications:
1.”Correlationbetweentwoquasilinearellipticproblemswithasourceterminvolving
thefunctionoritsgradient”
C.HaR.ydarAcaAbd.delSci.HaPmid,aris,MaSer.rieIF346ran¸co(20ise08)B1ida25ut-V1-125e´r6.on
2.”Ontheconnectionbetweentwoquasilinearellipticproblemswithsourcetermsof
order0or1”
HaAcceydarpte´AbdansdelHaCommmid,unicaMarietionsFinran¸coCoisneBtempidaoraut-Vrye´Mraonthematics.
3.”Existenceandmultiplicityofsolutionsofquasilinearequationswithconvexornon
convexreactionterm”
HaAcceydarpte´AbdansdelHaContemid,mpoMararyrieFMatran¸hecomiseaticsBidaFut-Vundamene´rontalDirections,1-12.

16

3.

Liste

des

publications

Bibliographie

[1]crAbiticdealllagrouiowthB.,inDtheall’Agliogradient,A.,aJ.ndPDiffeerarlenI.,tialSomeEquatrions,emarks222on(1)el:2liptic1–62,pr20oblems06.with
[2]AmnonlinebrosettaritiesiA.,inBrezissomeelH.,lipticandprCeraoblems,miG.,J.Funct.CombinedAnal.,effe12cts2(2of)c:519onc–5ave43,1and994c.onvex
[3]Bidanonlineut-Vare´relonlipticM.F.pranoblems,dPJ.ohozaeAnal.vS.,Math.,84Nonexistenc:1–49e,r200esults1.andestimatesforsome
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17

18

iographieBibl

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[16]FeroneV.andMuratF.,Nonlinearproblemshavingnaturalgrowthinthegradient:
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[17]FerreroF.,Onthesolutionsofquasilinearellipticequationswithapolynomial-type
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SouthwestTexasStateUniv.

Sancinvolvingh´onM.,the

pR-eLaplagularitycian,ofPottheenextrtialemalAnal.,27solution(3)

:2of17–some224,20nonline07.ar

lipticel

oblemspr

20

Bibliographie

2erpitCha

Solutionsrenormalise´esetsolutions
nablesteigat

iremaSom2.1Introduction.............................
2.2Notionsdesolutions.........................
2.2.1Solutionsrenormalis´ees......................
2.2.1.1Capacit´esetMesuresdeRadon.............
2.2.1.2D´efinitiond’unesolutionrenormalise´e.........
2.2.1.3Equationssatisfaitesparlestronqu´eesd’unesolution
renormalis´ee.......................
2.2.1.4Stabilite´dessolutionsrenormalise´es..........
2.2.2Solutionsatteignables.......................
12.2.3SecondmembredansL(Ω)etine´galite´detypePicone.....
2.3Re´gularite´...............................
2.3.1Re´gularite´debase.........................
2.3.2Re´sultatsder´egularite´.......................
2.3.3Preuves...............................

21

23232323252728293031323335

22

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

23

2.1Introduction
Danscechapitrenouspr´ecisonslesnotionsdesolutionsquinousserontutilespour
´etablirnosre´sultatsdansleschapitressuivantes.Nousrappellonsdelad´efinitionet
dequelquespropri´et´esfondamentalesd’unesolutionrenormalis´ee,pourlesd´etailsnous
r´ef´eronsaupapierre´cent[13].Lespropri´et´eslesplusimportantesquiserontdespoints
cl´esdansnosd´emonstrationssontles´equationssatisfaitesparlestroncaturesd’uneso-
lutionrenormalise´e(voirlad´efinition2.2.11)etlastabilite´dessolutionsrenormalis´ees
sousunesortedeconvergencepr´ecisepourlesmesures(voirleth´eor`eme2.2.12).Une
deuxi`emenotiondesolutionsplusfaiblequelapr´ece´dentequiserautilis´eeestlasolution
atteignable,nousr´efe´ronsa`[12].
Danslasection2.2,nousdonnonsquelquespropri´et´esder´egularit´epourlessolutions
s.ee´malisrenorDanslasection2.3,nous´etablissonsdesr´esultatsder´egularite´standardquandlesecond
membreestdansLm(Ω)avecm>1,voirlelemme2.3.3´etendantdesre´sultatspr´ec´edents.
Danslaproposition2.3.4nousmontrons,enutilisantunargumentdebootstrappourcer-
tainscas,desr´esultatsder´egularite´sousdeshypoth`esesdecroissancesurlesecond
membreavecunpoidsf∈Lr(Ω)avecr>1.Finalement,enadaptantl’ide´ede[7,Pro-
position2.1],nousmontronsdanslelemme2.3.6uneestimationlocaleparrapporta`U
dusecondmembrede−ΔU=F,lorsqueF∈Ll1oc(Ω)etF≥0.

2.2Notionsdesolutions
2.2.1Solutionsrenormalis´ees
2.2.1.1Capacit´esetMesuresdeRadon
Toutd’abord,nouscitonsquelquesoutilsn´ecessairespourintroduirelanotiondes
solutionsrenormalis´ees.Pourplusded´etailsnousr´ef´eronsa`l’articledebase[13].
De´finition2.2.1ond´esigneparlap-capacite´d’unensembleB⊆Ωparrapporta`Ωla
quantite´capp(B,Ω)donne´par
1.Lap-capacite´d’unensemblecompactKdeΩestd´efiniepar
capp(K,Ω)=inf|ϕ|pdx:ϕ∈D(Ω),ϕ≥1surK
Ω2.Lap-capacite´d’unensembleouvertOdeΩestd´efiniepar
capp(O,Ω)=supcapp(K,Ω),Kcompact,K⊆O
3.Lap-capacite´d’unensembleBdeΩestd´efiniepar
capp(B,Ω)=infcapp(O,Ω),Oouvert,B⊆O

24

2.2.Notionsdesolutions

Maintenant,notonsparMb(Ω)l’espacedesmesuresdeRadonsurΩayantuneva-
riationtotaleborn´ee.Pourµ∈Mb(Ω),onnoteparµ+,µ−et|µ|sapartiepositive,sa
partienegativeetsavariationtotalerespectivement.OnnoteMb+(Ω)lesous-ensemble
demesurespositives.
Unemesureµ∈Mb(Ω)estditeabsolumentcontinueparrapporta`lap-capacite´si
µ(B)=0pourtoutbor´elienB⊆Ωtelquecapp(B,Ω)=0.+SoitM0(Ω)l’ensemble
desmesuresabsolumentcontinuesdeMb(Ω).OnnoteM0(Ω)lesous-ensemblede
mesuresabsolumentcontinuespositives.
Onditq’unemesureµ∈Mb(Ω)estsinguli`ereparrapporta`lap-capacite´siilexiste
unbor´elienE⊂Ω,aveccapp(E,Ω)=0,telqueµ(B)=µ(B∩E)pourtoutbore´lien
B⊆Ω.Onditqueµestconcentr´eesurunensembledecapacite´nulle.L’ensembledes
mesuressingulie`resestnote´parMs(Ω).OnnoteMs+(Ω)lesous-ensembledemesures
singuli`erespositives.
Soitµ∈Mb(Ω).Parmilespropri´et´esprincipalesdesmesuresdeRadonborne´es,lesdeux
suivantessontbienconnues:
1.Ilexisteuneuniquecoupledemesures(µ0,µs)avecµ0∈M0(Ω)etµs∈Ms(Ω)
ueqtelleµ=µ0+µs,
(voir[16,Lemme2.1]).Deplus,siµ≥0alorsµ0≥0etµs≥0.
2.To−1ute,pmesureµ∈Mb(Ω)appartienta`M0(Ω)sietseulementsiµ∈L1(Ω)+
W(Ω)(voir[9,Th´eore`me2.1]).Celaveutdirequesiµ∈M0(Ω),ilexiste
h∈L1(Ω)etg∈(Lp(Ω))N,telqueµ=h−div(g)ausensdesdistributionseton
aΩϕdµ=Ωhϕdx+Ωg∙ϕdx,
pourtoutϕ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).Notonsquecetted´ecompositionn’estpasunique
puisqueL1(Ω)∩W−1,p(Ω)={0}.
Remarque2.2.2Enparticulier,pourh=0,onobtientuneformuled’int´egrationpar
:artiespdiv(g)ϕdx=−g∙ϕdx,
ΩΩpourtoutg∈(Lp(Ω))Ntellequediv(g)∈L1(Ω)etpourtoutϕ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
Grˆacea`[10],cetteformulealieupourtoutg∈(Lp(Ω))Netϕ∈W01,p(Ω)satisfaisant
div(g)ϕ≥GpresquepartoutdansΩ,pourunecertainefonctionG∈L1(Ω).
Mentionnonslesdeuxtypessuivantsdeconvergencedemesure:
De´finition2.2.31.Onditqu’unesuitedemesureµn∈Mb(Ω)convergee´troitement
versµ∈Mb(Ω)si
n→lim∞Ωϕdµn=Ωϕdµ,(2.2.1)

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

25

pourtoutefonctionϕcontinueetborn´eesurΩ.OnnoteCb(Ω)l’ensembledesfonc-
tionscontinuesetborn´eessurΩ.
2.Onditqu’unesuitedemesureµn∈Mb(Ω)convergefaiblement∗(ouvague-
ment)versµ∈Mb(Ω)si(2.2.1)estsatisfaitepourtoutefonctionϕcontinueet
a`supportcompactdeΩ.OnnoteCc(Ω)l’ensembledesfonctionscontinueseta`
supportcompactdeΩ.
Remarque2.2.4Laconvergence´etroitedesmesuresimpliquelaconvergencefaible∗,
maislar´eciproquen’estpasvraie.Siµn≥0onalacaract´erisationsuivante:µnconverge
versµpourlatopologie´etroitedesmesuressietseulementsiµn(Ω)convergeversµ(Ω)
etlasuiteµnconvergeversµfaiblement∗.Enparticulier,siµn≥0,alorsµnconverge
versµpour∞latopologie´etroitedesmesuressietseulementsi(2.2.1)estsatisfaitepour
toutϕ∈C(Ω).

2.2.1.2D´efinitiond’unesolutionrenormalise´e
Pourtoutk>0ets∈R,ondesigneparTk(s)lafonctiontroncatured´efiniepar
Tk(s)=max(−k,min(k,s))
Grˆacea`[4,Lemme2.1],onobtientunoutilimportantquivaˆetreutilise´pourd´efinir
unesolutionrenor1,pmalis´ee:lad´efinitiondugradientd’unefonctionayanttouteslestron-
caturesdansW0(Ω).
De´finition2.2.5Soituunefonctionmesurabled´efiniesurΩetfiniepresquepartout,
tellequeTk(u)∈W01,p(Ω)pourtoutk>0.Alorsilexiste(voir[4,Lemme2.1])une
fonctionmesurablev:Ω→RNtelleque
Tk(u)=vχ{|u|≤k}presquepartoutdansΩ,pourtoutk>0,
cettefonctionestuniqueausensdel’´equivalencepresquepartout.Ond´efinitlegradient
udeuparu=v.
Maintenant,nouspouvonsrappelerunepremi`ered´efinitiond’unesolutionrenormalis´ee:
De´finition2.2.6Soitµ∈Mb(Ω).Unefonctionuestditesolutionrenormalis´eedu
eme`oblpr−Δpu=µdansΩ,(2.2.2)
u=0sur∂Ω,
silesconditionssuivantessontsatisfaites:
(i)uestmesurableetfiniepresquepartoutdansΩ,tellequeTk(u)∈W01,p(Ω)pourtout
.0>k

262.2.Notionsdesolutions
(ii)legradientuintroduitdanslad´efinition2.2.5,v´erifie
|u|p−1∈Lq(Ω),pourtout1≤q<N;(2.2.3)
1−N(iii)Siw∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)etsiilexistek>0,etw+∞etw−∞dansW1,r(Ω)∩L∞(Ω),
avecr>N,tellesque
w=w+∞presquepartoutsur{u>k},
w=w−∞presquepartoutsur{u<−k},
alors|u|p−2u.wdx=wdµ0+w+∞dµs+−w−∞dµs−.(2.2.4)
ΩΩΩΩNousprincipedonnodunsmaxlesimreummapourrqueslessuivsolutioantesnsquirenormalisconcernen´eest:l’existence,l’unicite´ounonetle
Remarque2.2.7Siuestunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme(2.2.2)alorselleest
solutionausensdesdistributionsdansΩ,c’esta`dire:
−Δpu=µdansD(Ω)(2.2.5)
Deplus,sip>2−1alorsu∈W01,q(Ω)pourtoutq<(p−1)N.
R´eciproquement,siNu∈W01,p(Ω)estunesolutiondedeN(2−.12.5)alorsµ∈W−1,p(Ω)⊂
Mb(Ω),etuestunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme(2.2.2)quiestuniqued’apr`es[9].
uneRemarquesolution2.r2.enor8malisPour´ee,touted’apr`esmesure([13]).µ∈EnMbce(Ω)quilecproncobler`emenelepr(2.2.2)obl`emeadmetd’unicitaue´moinsou
non,ondistinguelescassuivants:
1)Siµ∈M0(Ω),c’esta`direlapartiesinguli`ereestnulle,alorscettesolutionestunique,
[9].es`d’apr2)Siµ∈/M0(Ω),c’esta`direlapartiesinguli`ereµs=0,alorsondistingueencoredeux
:asc(i)Sip=2oup=Nalorscettesolutionestunique,pourlesd´etailsnousr´ef´eronsa`
[15].(ii)Sip=2,Nalorsl’unicite´desolutionsresteunprobl`emeouvert;voirlesr´esultats
re´centsde[27],[23].
Danslecasdel’unicite´lanotiondesolutionrenormalis´eeco¨ıncideaveclasolutionau
distributions.dessensRemarque2.2.9Principedumaximumfaible:Soituunesolutionrenormalis´ee
de(2.2.2).Siµ≥0alorsu≥0.Eneffet,soitu−=min(u,0)etw=(Tk(u))−=Tk(u−),
pourk>0.Lafonctionwestunefonctionadmissibledans(2.2.4)avecw+∞=0et

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

27

w−∞=−k.Deplusµs−=0etµ0≥0,carµ≥0.Doncenconsid´erantwcommefonction
testdans(2.2.4)nousobtenons:
|u|p−2u∙Tk(u−)dx=Tk(u−)dµ0≤0,
ΩΩparsuite,
ΩTk(u−)W01,p(Ω)=Tk(u−)pdx≤0
doncTk(u−)=0,pourtoutk>0,etparcons´equenseu−=0;autrementditu≥0.
Remarque2.2.10Soituunesolutionrenormalis´eede(2.2.2),etµ=µ0+µsl’unique
d´ecompositiontellequeµ0∈M0(Ω)etµs∈Ms(Ω).
(i)Siu≥0presquepartoutdansΩ,alorslapartiesinguli`erev´erifie
,0≥µsvoir[13,Definition2.21].Dans[25],ceph´enom`eneestappele´le”PrincipeduMaximum
inverse”.Plusg´en´eralement,siuestminore´paruneconstanteMpresquepartoutdans
Ω,alorsonaencoreµs≥0.Eneffetu−Aestlocalementunesolutionrenormalis´ee,et
ond´eduitd’apr`es[6,Theorem2.2].
(ii)Siu∈L∞(Ω),alorsu=TuL∞(Ω)(u)∈W01,p(Ω),doncµs=0etµ=µ0∈M0(Ω)∩
W−1,p(Ω).

2.2.1.3Equationssatisfaitesparlestronque´esd’unesolutionrenormalis´ee
Dans[13],lesauteursdonnenttroisautresd´efinitionsd’unesolutionrenormalise´e,
´equivalentesa`lad´efinition(2.2.6).Parmilesquellesnousrappelonsuned´efinitionqui
donneexplicitementles´equationssatisfaitesparlestronqu´eesd’unesolutionrenormalis´ee.
Ces´equationsjouerontunrˆolecapitaldanslesd´emonstrationsdenosr´esultats.
De´finition2.2.11Soitµ∈Mb(Ω).Unefonctionuestditesolutionrenormalis´eedu
probl`eme(2.2.2)siusatisfaitlesconditions(i)et(ii)delad´efinition2.2.6,etsila
conditionsuivanteestsatisfaite:
(iv)Pourtoutk>0ilexisteαk,βk∈M0+(Ω),concentr´eessurlesensembles{u=k}
et{u=−k}respectivement,tellesque1α,pk→µs+etβk→µs−´etroitementlorsquek→∞
ettellesquepourtoutk>0etϕ∈W0(Ω)∩L∞(Ω),
|u|p−2u∙ϕdx=ϕdµ0+ϕdαk−ϕdβk,(2.2.6)
{|u|<k}{|u|<k}ΩΩ
autrementditnousobtenonsl’´equationsatisfaiteparTk(u)pourtoutk>0:
−Δp(Tk(u))=µ0,k+αk−βkdansD(Ω),(2.2.7)
ou`µ0,k=µ0{|u|<k}estlarestrictiondeµ0surl’ensemble{|u|<k}.

28

2.2.Notionsdesolutions

2.2.1.4Stabilite´dessolutionsrenormalise´es
Parmilesgrandesdifficult´esqu’onrencontredansl’e´tudedessolutionsrenormalis´ees
desprobl`emesavecdonn´eemesuresontleshypoth`esesrestrictivespourlastabilite´.Le
th´eore`medestabilite´suivantest´etablidans[13].Cer´esultatserafr´equemmentutilis´e
dansnosde´monstrations.

The´or`eme2.2.12([13])Soitµ=µ0+µs+−µs−,avecµ0=F−divg∈M0(Ω),µs+,µs−∈
Ms+(Ω).Soit
µn=Fn−divgn+ρn−ηn,(2.2.8)
avecFn∈L1(Ω),gn∈(Lp(Ω))N,ρn,ηn∈Mb+(Ω).
Supposonsque(F)convergeversFfaiblementdansL1(Ω),(g)convergeversgforte-
mentdans(Lp(Ω))nNet(divgn)estborn´eedansMb(Ω),et(ρn)nconvergeversµs+et(ηn)
convergeversµs−pourlatopologie´etroitedesmesures.SoitUnunesolutionrenorma-
ee´lis−ΔpUn=µndansΩ,
Un=0sur∂Ω.
Alorsilexisteunesous-suite(Uν)convergeantpresquepartoutdansΩversunesolution
renor1,pmalis´eeUduprobl`eme(2.2.2).Deplus(Tk(Uν))convergeversTk(U)fortementdans
.(Ω)W0

Remarque2.2.13QuelquesresultatsdeconvergencepourlesfonctionsUnsont´etablis
dans[13],sansutiliserleshypoth`esesdeconvergencedel’approximation(2.2.8)impos´ees
dansleth´eor`emedestabilite´pr´ec´edent.Pluspr´ecis´ement,ilsuffitdesupposerqueµn
estborne´dansMb(Ω)(voir[13,Section5.1]),pourmontrerque|Un|p−1estborn´eedans
Lτ(Ω)pourtoutτ<NN−pet|Un|p−1estborn´eedansLτ(Ω)pourtoutτ<NN−1etqu’il
existeunesous-suite,nomme´encoreUn,etunefonctionUtellesque

Un→UpresquepartoutdansΩ,

Un→UpresquepartoutdansΩ,

et|Un|p−2Un→|U|p−2UfortementdansLτ(Ω),
pourtoutτ<NN−1.

estintrRemarqueoduite2.et2.´14etudi´Deeedansmani`er[6].eanaloNousgue,l’utiliseruneonsnotionaudechapitresolutions5(prropenormalisosition´ees5.4.6).locales

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

29

2.2.2Solutionsatteignables
Unedeuxi`emenotiondesolutionfaiblequiserautilise´edansl’undenosr´esultats
principauxestlanotiondessolutionsatteignables.Pourplusdede´tailsnousre´f´eronsa`
[12,Theorems1.1and1.2].
De´finition2.2.15Soitµ∈Mb(Ω).UnefonctionUestditesolutionatteignabledu
probl`eme(2.2.2)siellesatisfaitl’unedesconditions(´equivalentes)suivante:
(i)Ilexisteϕn∈D(Ω)etUn∈W01,p(Ω),tellesque
−ΔpUn=ϕndansW−1,p(Ω),
telque(ϕn)convergeversµpourlatopologiefaible∗deMb(Ω),et(Un)convergeversU
presquepartoutdansΩ.
(ii)UestmesurableetfiniepresquepartoutdansΩ,tellequeTk(U)appartienta`W01,p(Ω)
pourtoutk>0,etilexisteM>0telque
|Tk(U)|pdx≤M(k+1)pourtoutk>0,
Ωet|U|p−1∈L1(Ω),et
−ΔpU=µinD(Ω).(2.2.9)
(iii)UestmesurableetfiniepresquepartoutdansΩ,tellequeTk(U)appartienta`W01,p(Ω)
pourtoutk>0,etilexisteµ0∈M0(Ω)etµ1,µ2∈Mb+(Ω),tellesque
µ=µ0+µ1−µ2,
etpourtouth∈W1,∞(R)tellequehaunsupportcompact,etpourtoutϕ∈D(Ω)
|U|p−2U∙(h(U)ϕ)dx=h(U)ϕdµ0+h(∞)ϕdµ1−h(−∞)ϕdµ2.
ΩΩΩΩ(2.2.10)
Remarque2.2.16Toutesolutionatteignablesatisfait
|U|p−1∈Lτ(Ω)pourtoutτ∈[1,N/(N−1)),
et(lerepr´esentantcapp-quasicontinu)Uestfinicapp-quasipartoutdansΩ,d’apr`es[12,
Theorem1.1]et[13,Remark2.11].
Deplus,d’apr`es[12],pourtoutk>0,ilexisteαk,βk∈M0+(Ω),concentr´eessurles
ensembles{U=k}et{U=−k}respectivement,convergeantfaiblement∗versµ1,µ2,
quelestel−Δp(Tk(U))=µ0,k=µ0{|U|<k}+αk−βkdansD(Ω).
Ilest´evidentquetoutesolutionrenormalis´eeestunesolutionatteignable.Lesnotions
co¨ıncidentpourp=2etp=N.

302.2.Notionsdesolutions
Finalement,donnonslad´efinitionsuivante:
De´finition2.2.17SoitH:Ω×R×RN→R,unefonctiondeCarath´eodoryetµ∈
Mb(Ω).Nousdironsqueuestunesolutionduprobl`eme
−Δpu=H(x,u,u)+µdansΩ,
u=0sur∂Ω,
siH(x,u,u)∈L1(Ω)etelleestsolutionausensconsid´er´e.
2.2.3SecondmembredansL1(Ω)etine´galite´detypePicone.
Danscettesous-sectionnousdonnonsquelquespropri´et´esd’unesolutionrenormalise´e
danslecasparticuliero`ulesecondmembreestdansL1(Ω).Toutd’abordnotonsque,
danscecas,lanotiondesolutionrenormalis´eeco¨ıncideaveclesnotionsdesolutions
atteignables,etlasolutiond’entropieintroduitedans[4],etlanotiondesolutionobtenue
commelimited’approximationsSOLAdonn´eedans[14],1voirencore[9].Celaestduea`
l’unicite´desolutionsquandlesecondmembreestdansL(Ω).
FDe´∈finiL1ti(Ω)ontel2le.2.1que8UNousestunenotonspsolutionarWrenor(Ω)malisl’esp´eeacedudesprobl`emefonctionsUtellequeilexiste
−ΔpU=FdansΩ,(2.2.11)
U=0sur∂Ω.
AlorsUestunique,nousposonsU=G(F).(2.2.12)
Demani`ereanalogue,nousnotonsWloc(Ω)l’espacedesfonctionsUtellesqueilexiste
F∈Ll1oc(Ω)tellequeUestunesolutionrenormalis´eelocalede−ΔpU=FdansΩ.
Remarque2.2.19Leth´eor`eme2.2.12impliqueenparticulier:
Si(Fn)convergeversFfaiblementdansL1(Ω),etUn=G(Fn),alorsilexisteune
sous-suite(Uν)etunefonctionmesurableUtelleque(Uν)convergepresquepartoutvers
U,etU=G(F).
1)RemarqueLepri2.nc2.ip20edeGrˆacceoma`parl’unicitaisoe´net:lastabilit´e,onpeutd´eduire:
SiU1etU2∈W(Ω)etF1=−ΔpU1≥−ΔpU2=F2presquepartoutdansΩ,alors
U1≥U2presquepartoutdansΩ.
Eneffet,consideronsvn=G(Tn(F1))etwn=G(Tn(F1))∈W01,p(Ω),pourtoutentier
n≥obtenons1.Parwle≤prv.incipDe’aprdu`eslamaximumremarquefaible(2.2.19voirilparexisteexempledeux[24,Lsous-suitesemmevA.0.7]),etwnousqui
ννnnconvergentrespectivementversG(F1)=U1etG(F2)=U2presquepartoutdansΩ.Donc

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

31

U2)2L≤eU1pri.ncipedumaximum:
dansSiΩU.En∈Weffet,(Ω)telnouslequeavonsFF=≡−0ΔpUpuisque≥0Uet≡U0.≡Soit0Falors1=Umin>(0F,pr1)∈esqueL∞par(Ω)toutet
,p1U1D’au=trGe(Fp1)art,∈Wnous0(Ω)avons.PF1uisque≡0,F1donc≤FU,1≡alors0.UDe1≤plus,UpFar1=le−prΔpincipU1e≥de0;cdoompncarparaison.le
suiteprincipUe>du0presquemaximumparforttout(voirdansΩ.[29])nousavonsU1>0presquepartoutdansΩ.Par

Maintenantnousd´eduisonsuneformefaibledel’ine´galite´detypePicone:

,p1pLemmartoute2dans.2.2Ω1,etSoitVU≡0∈.WA0lors(Ω)U,p(et−VΔp∈V)W/Vp(Ω)−1,∈telLles1(Ω)queetU≥0et−ΔpV≥0presque
|U|pdx≥UpV1−p(−ΔpV)dx.(2.2.13)
ΩΩ,p1etPrFneuv=e.min(L’inF´,egan)lit∈e´eLst∞(Ω)conn,etueVpnour=GV(F∈n)Wp0our(Ω)n,≥vo1.irparNousavexempleonsV[1n].>So0;itetF=−ΔpV,
|U|pdx≥UpVn1−p(−ΔpVn)dx.
ΩΩ1D’aD’aprutre`eslapartr,laemarquesuite2.2Fn.19,con(Vvn)ergeconvforteergementpresqueversFpartdansoutvLers(Ω),uneet(solutioVn)nestrenormacroissanlist´eee.
wde−Δpv=−ΔpV;etparunicit´e,w=V.Deplus,parleprincipedemaximumnous
avonsV>0.Donc,parlelemmedeFatouUpV1−p(−ΔpV)∈L1(Ω),etnousd´eduisons
l’in´egalite´(2.2.13).

2.3R´egularite´
Danscettesectionnousrappelonsquelquesre´sultatsder´egularite´debasepourles
solutionsrenormalis´eesduprobl`eme(2.2.2)etnousdonnonsdesr´esultatsdere´gularite´
pourleprobl`eme
−Δpu=h(x,u)dansΩ,(2.3.1)
u=0sur∂Ω,
ou`h:Ω×R→RunefonctiondeCarathe´odory,sousdesconditionsdecroissancesurh.

322.3.R´egularite´
2.3.1R´egularite´debase
renorNousmalis´eeucommen¸del’co´nsequatiparonr´(2esumer.2.2)quiquelquessontbienr´esuconnltatsusdedarns´egulalecaritse´pp<ourN,vuneoirso[4],lution[13]
etplusd´elicatsdanslecasp=N,voir[15]etq[20].Rappelonsque,voirparexemple[5],
pour0<q<∞l’espacedeMarcinkiewiczM(Ω)estd´efinipar
Mq(Ω)=:Ω−→R:∃C<∞telque|{x∈Ω:|f(x)|>k}|≤Ck−qpourtoutk>0.
Dans[13],danslecasp<N,lesauteursdonnentdesestimationsdeuetdesongradient
udanslesespacesdeMarcinkiewiczMσ1(Ω)etMθ1(Ω)respectivement,ou`σ1=(pN−−1)pN
etθ1=(pN−−1)1N.Ilsdonnent´egalementdesestimationsdeudansMr(Ω)pourtoutr>1
etdeudansMs(Ω)pourtouts<N,danslecasp=N.Maisdanslecasp=N,
unedomar´inegularΩ:itlee´smaauteursximalesuppestodosennnt´eequeparRN[1\5]Ωetestg[20],´eomen´impetriquementosantplusdensede,rc´eg’estularita`e´diresurle
KN(Ω)=infr−N|B(x,r)\Ω|:x∈RN\Ω,r>0>0.
enotOnN−11
BMO(Ω)=f∈L(Ω):B(sa,rup)⊂ΩrB(a,r)f−|B(a,r)|B(a,r)fdxdx<∞
Proposition2.3.1Soit1<p≤N,etµ∈Mb(Ω).Soituunesolutionrenormalis´eedu
probl`eme(2.2.2).Sip<N,alorspourtoutk>0,
|{|u|>k}|≤C(N,p)k−(p−1)N/(N−p)(|µ|(Ω))N/(N−p),
|{|u|>k}|≤C(N,p)k−N(p−1)/(N−1)(|µ|(Ω))N/(N−1).
Sip=N,alorsu∈BMO(Ω),et
|{|u|>k}|≤C(N,KN(Ω))k−N(|µ|(Ω))N/(N−1).
Commescons´equence,onobtientdesestimationsdeuetdesongradientdansdes
ux.optima(Ω)LespacesProposition2.3.2Soit1<p≤Netµ∈Mb(Ω).Soituunesolutionrenormalis´ee
duprobl`eme(2.2.2).Sip<N,alorspourtoutσ∈(0,NN−p)etθ∈(0,NN−1),ilexiste
C(N,p,σ),K(N,p,θ)>0qu’onpeutcalculerexplicitement,tellesque
(|u|(p−1)σdx)σ1≤C(N,p,σ)|Ω|σ1−(NN−p)|µ|(Ω)(2.3.2)
Ω(|u|(p−1)θdx)θ1≤K(N,p,θ)|Ω|θ1−(NN−1)|µ|(Ω)(2.3.3)
Ω

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

33

Sip=N,alorsσ>0estarbitraire,etlesconstantesd´ependentdeKN(Ω).Sip>2−1,
NalorsU∈W01,q(Ω)pourtoutq<(p−1)N.
Deplus,danstoutlescas,pourtoutNβ−>11onal’estimationsuivante
|u|p|µ|(Ω)
Ω(1+|u|)βdx≤β−1(2.3.4)
2.3.2R´esultatsder´egularite´
Danslelemmesuivantnousmontronsdesr´esultatsder´egularite´d’unesolutionrenor-
malis´eequelconqueu=G(F)∈W(Ω)quandlesecondmembreF∈Lm(Ω),avecm>1.
NousdonnonsdesestimationsdeuetsongradientdansdesespacesLkoptimales.Nous
amdonn´elio´eesronsdanslesr[21´],esulta[22]tspdeour[8],des[17],solutio[2],ns[11]Uet∈Wnous1,p´(Ω).etendonsDesestlesimatioestimationsdansnsdulesgesparadiencest
deMarcinkiewicz(oudeLorentz)sontdonn´ees0dans[19],[3].
Lemme2.3.3Soit1<p≤N.SoitU=G(F)unesolutionrenormalis´eeduprobl`eme
(2.2.11)avecF∈Lm(Ω),1<m<N.Notons
pNm=Np−N+p.
(i)Sim>N/p,alorsU∈L∞(Ω).
(ii)Sim=N/p,alorsU∈Lk(Ω)pourtoutk≥1.
(iii)Sim<N/p,alorsUp−1∈Lk(Ω)pourk=Nm/(N−pm).
(iv)|U|(p−1)∈Lk(Ω)pourk=Nm/(N−m).Enparticuliersim≤m,alorsU∈
W01,p(Ω).

Enutilisantcelemme,nousmontronsdesr´esultatsder´egularite´pourlessolutionsdu
proble`me(2.3.1)sousdesconditionsdecroissancesurh.Lapropositionsuivante´etenddes
r´esultatsbienconnuesdanslecasp=2,f≡1etunr´esultatde[18]pourpquelconque
etlecasline´aireQ=p−1,ou`lasolutionUestsuppos´eedansW01,p(Ω).
Proposition2.3.4Soit1<p≤N.SupposonsqueUunesolutionrenormalis´eedu
probl`eme(2.3.1),c’esta`direh=h(x,U)∈L1(Ω)etU=G(h).Supposonsqueh
satisfaitl’hypoth`ese:
|h|≤f(x)(|U|Q+1)presquepartoutdansΩ,
avecf∈Lr(Ω),r>1etQ>0.
Supposonsd’abordp<N;alors

34

2.3.R´egularite´

(i)SiQ≥p−1etQr<Q1(d’ou`r>N/p),alorsU∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
(ii)SiQ>p−1etQr=Q1et|U|p−1∈Lσ(Ω)pouruncertainσ>N/(N−p),alors
U∈W01,p(Ω)etU∈Lk(Ω)pourtoutk≥1.
(iii)SiQ≥p−1etsiU∈W01,p(Ω),et(Q+1)r<p∗,alorsU∈L∞(Ω);si(Q+1)r=p∗,
alorsU∈Lk(Ω)pourtoutk≥1.
(iv)SiQ<p−1etr>N/p,alorsU∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
(v)SiQ<p−1etr=N/p,alorsU∈W01,p(Ω)etU∈Lk(Ω)pourtoutk≥1.
(vi)SiQ<p−1etr<N/petQr<Q1,alorsUk∈L1(Ω)pourtoutk<d=
Nr(p−1−Q)/(N−pr).Danscecas,si(Q+1)r<p∗alorsU∈W01,p(Ω);si(Q+1)r≥p∗,
t1alors|U|∈L(Ω)pourtoutt<θ=Nr(p−11,N−Q)/(N∞−(Q+1)r).N(N−1)m/(N−m)
1Supposonsmaintenantp=N,alorsU∈W0(Ω)∩L(Ω),et|U|∈
L(Ω)pourtoutm<min(r,N).
Remarque2.3.5Nousdonnonsuncontreexemplepour(ii)delapropositionpr´ec´edente
lorsquel’hypoth`eseU∈Lσ(Ω)pouruncertainσ>N/(N−2)n’estpassatisfaite,les
deuxautreshypoth`esesQ>p−1etQr=Q1sontsatisfaites,etU∈W01,2(Ω):soit
p=2etΩ=B(0,1);ilexisteunefonctionradialestrictementpositveU∈LN/(N−2)(Ω)
queletel−ΔU=UN/(N−2)dansΩ,
U=0sur∂Ω,(2.3.5)
aveclimx→0|x|N−2|ln|x||(N−2)/2U(x)=cN>0,voir[26].AlorsU∈Lσ(Ω)pourtout
σ>N/(N−2).LafonctionUsatisfaitl’´equation−ΔU=fUQavecQ=NN−2>1=
p−1,f≡1,etdoncU∈W01,2(Ω),carsinonnousd´eduisonsqueU∈L∞(Ω)d’apr`es
(iii),car(Q+1)r=2NN−−22<2∗.
LafonctionUsatisfaitaussi−ΔU=fUQavecQ=1,f=U2/(N−2)∈LN/2(Ω),etona
U∈W01,2(Ω)maiscen’estpasuncontreexemplepourlecaslin´eaireQ=p−1carelle
nesatisfaitpasl’hypoth`eseU∈Lσ(Ω)pouruncertainσ>N/(N−2).
DanslelemmesuivantnousdonnonsdesestimationslocalesdusecondmembreF
quandF∈Ll1oc(Ω)etF≥0.Cetyped’estimationsestdonne´dans[7]pourdesfonc-
tionscontinuesetsur-harmoniquesdansRN.Suivantl’id´eede[7,Proposition2.1],nous
montronslelemmesuivant,quicomple`teleprincipedumaximumstrict:
Lemme2.3.6SoitU∈Wloc(Ω)telleque−ΔpU=F≥0presquepartoutdansΩ.Pour
toutx0∈Ωettoutρ>0tellequelabouleB(x0,4ρ)⊂Ω,ettoutσ∈(0,N/(N−p)),il
existeuneconstanteC=C(N,p,σ),telleque
Fdx≤CρN(1−1/σ)−pU(p−1)σdx.(2.3.6)
1/σ
B(x0,ρ)B(x0,2ρ)

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

35

SiU∈Wl1oc,p(Ω)ousiU=G(F)estunesolutionglobale,alorsilexisteuneconstante
C=C(N,p)telleque
Fdx≤CρN−pinfessB(x0,ρ)Up−1.(2.3.7)
B(x0,ρ)

2.3.3Preuves
,p1p∗Notonspar∗CN,ppNlameilleureconstantedel’injectiondesobolevdeW0(Ω)dans
L(Ω),avecp=N−p:
(|w|p∗dx)p/p∗≤CN,p|w|pdx∀w∈W01,p(Ω)(2.3.8)
ΩΩRappelonsl’in´egalite´deYoungavecδ>0:soit1<s,q<∞,s1+q1=1.Alors,pour
touta,b≥0etδ>0ona:
ab≤δas+C(δ)bq,(2.3.9)
ou`C(δ)=(δs)−q/sq−1.
Nousdonnonslesde´monstrationsdespropositions2.3.1et2.3.2danslecasp<N.
Lecasp=Nestplusd´elicat,pourcelanousr´ef´eronsa`[15]et[20].
Preuvedesproposition2.3.1et2.3.2.NotonsparV=|µ|(Ω)lavariationtotale
deµ.Pourk>0,consideronsTk(u)commefonctiontestdans(2.2.2)onobtient
|Tk(u)|pdx≤kV(2.3.10)
ΩEstimationdeu:Enutilisantl’in´egalite´deSobol`ev(2.3.8)
|{|u|≥k}|≤k−p∗|Tk(u)|p∗dx≤k−p∗(CN,p|Tk(u)|pdx)p∗/p
ΩΩetencombinantavecl’in´egalite´(2.3.10),onobtient
|{|u|≥k}|≤(CN,pV)p∗/pk(p∗/p)−p∗=(CN,pV)N/(N−p)k−(p−1)N/(N−p)(2.3.11)
Decettein´egalite´ond´eduitque|u|p−1∈Mσ1(Ω),ou`σ1=NN−p,avec
supkσ1mes|u|p−1>k≤(CN,pV)σ1
0>k11Soitmaintenant0<σ<σ1,etnotonsCσ,σ1=(σ1σ−1σ)σ(σσ1)σ1(σ1σ−11).Pourσ≥1ona
l’estimationsuivante,d’apr`eslesdeuxestimationsdu[5,LemmeA.2]:
(|u|(p−1)σdx)σ1≤Cσ,σ1|Ω|σ1−σ11(supkσ1mes|u|p−1>k)σ11
0>kΩ

36

2.3.R´egularite´

etencombinantlesdeuxin´egalit´espr´ec´edentesonobtient
111(|u|(p−1)σdx)σ≤Cσ,σ1CN,p|Ω|σ−σ1V.
ΩPour0<σ<1,d’apr`esl’in´egalite´deH¨olderpuisenutilisant[5,LemmeA.2]
(|u|(p−1)σdx)σ1≤|Ω|σ1−1|u|p−1dx
ΩΩ1−σ≤C1,σ1|Ω|σ1−1|Ω|σ11(supkσ1mes|u|p−1>k)σ11
0>k11−≤C1,σ1CN,p|Ω|σσ1V.
Donconobtientl’estimation(2.3.2)avecC(N,p,σ)=CN,pmax(Cσ,σ1,C1,σ1).
Estimationdeu:Grˆace`al’estimation(2.3.11),onal’´estimationsuivantepour
toutk,η>0(voir[4,Lemme4.2]):
kV|{|u|≥η}|≤+(CN,pV)N/(N−p)k−(p−1)N/(N−p).
pηEnfixantηetenconsid´erantlesecondmembredel’in´egalite´pr´ec´edentecommefonctionde
N−pNN−p
k,cettefonctionadmetunminimumsur(0,+∞)pourk0=((p−1)N)p(N−1)(CN,p)p(N−1)ηN−1VN1−1
(p−1)NNN−p
etlavaleurminimaledecettefonctionestC(N,p)ηN−pVN−1ou`C(N,p)>0peutˆetre
calcul´ee,etonobtient
|{|u|≥η}|≤C(N,p)VN/(N−1)η−(p−1)N/(N−1)
Decettein´egalite´ond´eduitque|u|p−1∈Mθ1(Ω),ou`θ1=NN−1,avec
supηθ1mes|u|p−1>η≤C(N,p)Vθ1
0>ηDonc,commepourl’estimationdeu,pourtout0<θ<θ1onobtient
(|u|(p−1)θdx)θ1≤C(N,p,θ)|Ω|θ−θ1(supηθ1mes|u|p−1>η)θ1
111
0>ηΩ11θθθou`C(N,p,θ)=max(Cθ,θ1,C1,θ1),avecCθ,θ1=(θ1−1θ)θ(θ1)θ1(θ1−11).D’ou`onal’estimation
(2.3.3)avecK(N,p,θ)=C(N,p,θ)C(N,p)θ11.
Pourl’estimation(2.3.4),soitβ>1etconsid´eronslafonctionr´eelled´efiniepar
s11dtφβ(s)=(1+|t|)β=β−1(1−(1+|s|)β−1)sign(s),
0

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

37

nousavonsφβ∈C1(R,R)avecφβ(s)=(1+|1s|)βpourtouts∈R.Deplus,puisqueβ>1,
ona|φβ(s)|≤β−11.Consid´eronslafonctionw=φβ(Tk(u)),c’estunefonctionadmissible
d’apre`s(i)delad´efinition(2.2.6)avecw+=φβ(k)etw−=φβ(−k).Donc,puisque
|φβ|≤γ=β−11,d’apr`es(2.2.4)onobtient
|u|p+−
{|u|≤k}(1+|u|)βdx≤γ|µ0|(Ω)+γµs(Ω)+γµs(Ω)
suitepar|u|p|µ|(Ω)
{|u|≤k}(1+|u|)βdx≤β−1
d’ou`nousd´eduisonsl’´estimation(2.3.4).
Preuvedulemme2.3.3.Nousavonsm∈(1,N/p)pourp<N,etm=1pour
.N=p•Toutd’abord,supposonsque1<m<N/p,wdoncp<N.Soitε>0etk>0.
Utilisonslafonctiontestφβ,ε(Tk(U)),ou`φβ,ε(w)=(ε+|t|)−βdt,pourunre´eldonne´
β<1.Nousobtenons0
|Tk(U)|p
(ε+|Tk(U)|)βdx=Fφβ,ε(Tk(U))dx≤|F||φβ,ε(Tk(U))|dx
ΩΩΩMais|φβ,ε(s)|=(β−1)−1(ε1−β−(ε+|s|)1−β)sign(s)
=(1−β)−1(ε1−β−(ε+|s|)1−β)≤(1−β)−1(1+|s|)1−β,
carβ<1.D’ou`l’in´egalite´
|Tk(U)|p−11−β
Ω(ε+|Tk(U)|)βdx≤(1−β)Ω|F|(ε+|Tk(U)|)dx(2.3.12)
Posonsη=(p−1)m∗=(p−1)mN/(N−m)etalors
η∗=ηN=(p−1)Nm,
N−ηN−pm
etchoisissonsη∗β
β=1−m,α=1−p.
Nousavonsβ<1etdoncα>0.Deplus,ensubstituantη∗etmparleursvaleurs,nous
nsouvtroβ=1−(m−1)(p−1)N=N−pm−(pm−m−p+1)N
N−pmN−pm
=Np(1−m(Np−N+p)/Np)=Np(1−m/m)=Np(m−m),
N−pmN−pmm(N−pm)

38

2.3.R´egularite´

Donc,nouspouvonsconclurequeβ,α∈(0,1)p∗ourm∗<m,etβ≤0≤α−1pour
m≥m.D’autrepart,calculonsαenfonctiondeηetp:
pαp−11N−pm1pp
η∗=η∗+m=Nm+1−m=1−N=p∗,
doncα=pη∗∗.
LafonctionUk,ε=((ε+|Tk(U)|)α−εα)sign(U)appartienta`W01,p(Ω)∩L∞(Ω),avec
∗(ε+|Tk(U)|)1−β=(εα+|Uk,ε|)1α−β=(εα+|Uk,ε|)αmη,
Tk(U)Tk(U)
Uk,ε=α−1(ε+|Tk(U)|)1−α=α−1(ε+|Tk(U)|)β/p,
donc,d’apre`s(2.3.12)puisenutilisantl’in´egalite´deH¨older,nousobtenons
p|Uk,ε|pdx=αp|Tk(U)|dx≤C0|F|(εα+|Uk,ε|)η∗/αmdx
ΩΩ(ε+|Tk(U)|)βΩ
≤C0FLm(Ω)((εα+|Uk,ε|)η∗/αdx)m1,(2.3.13)
Ω∗∗ou`C0=(1−β)−1αp>0.NotonsY=(εα+|Uk,ε|)η/αdx.Remarquonsqueα=pη∗
Ωetutilisonsl’ine´galite´(a+b)s≤2s−1(as+bs),pourtouta,b≥0ets≥1puisutilisons
l’in´egalite´deSobolev(2.3.8)puis(2.3.13)noustrouvons
∗Y=(εα+|Uk,ε|)p∗dx≤2p∗−1(εαp∗|Ω|+|Uk,ε|pdx)
ΩΩ≤2p∗−1(εαp∗|Ω|+(CN,p|Uk,ε|p∗dx)p∗/p)
∗Ω∗p∗
≤C1(εαp+FLm(Ω)((εα+|Uk,ε|)pdx)pm
Ω=C1(εαp∗+FLp∗m/p(Ω)Yp∗/pm)
ou`C1=2p∗−1max(|Ω|,(CN,pC0)p∗/p).Nousavonsp∗<pm,carm<N/p;doncutilisons
∗l’in´egalite´deYoung(2.3.9)poura=Yp∗/pm,b=FLpm/p(Ω),s=pm/p∗etq=s/(s−1)=
1/(1−(1/s))=1/(1−(p∗/pm)),nousobtenons
Y≤C1(εαp∗+δY+C(δ)FLp∗mq/(Ωp))
=C1(εη∗+δY+C(δ)FL1/m((Ωp/p)∗−1/m)).
Enchoisissant0<δ<C1−1,noustrouvonsunenouvelleconstanteC>0quinede´pend
nideε,nidek;telleque
(εα+|Uk,ε|)p∗dx≤C(εη∗+FL1/m((Ωp/p)∗−1/m)).(2.3.14)
Ω

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

39

∗D’autrepart,|Tk(U)|η≤(ε+|Tk(U)|)η∗=(εα+|Uk,ε|)p∗et1/(p/p∗−1/m)=η∗/(p−1);
donc∗∗|Tk(U)|ηdx≤C(εη∗+FLηm/((Ωp)−1)).
Ωetcecipourtoutε>0.Faisonstendreεvers0,nousd´eduisonsl’estimation
|Tk(U)|η∗dx≤CFLη∗m/((Ωp)−1),
ΩetparlelemmedeFatou,nousobtenonsl’estimationsuivanteavecuneautreconstante
C:(N−pm)/Nm
|U|(p−1)Nm/(N−pm)dx≤CFLm(Ω).(2.3.15)
ΩD’o`u(iii).
•Supposonsdeplusquem<m.Combinons(2.3.13)et(2.3.14),etutilisonslarelation
∗ηp11(pm/p∗)−1+1=1−p∗/pm=p∗(p−1)
nousobtenonsavecunenouvelleconstanteC>0:
p|Tk(U)|βdx≤CFLm(Ω)(εη∗+FL1/m((Ωp/p)∗−1/m))
Ω(ε+|Tk(U)|)
≤CFLm(Ω)(εη∗/m+FL1/m((Ωp/p)∗−1/m)m)
1=C(εη∗/mFLm(Ω)+FL(mpm(Ω/p)∗)−1+1)
C(εη∗/mFLm(Ω)+FLpηm∗/p(Ω∗)(p−1)),
etenfaisanttendrekvers∞,parlelemmedeFatounousd´eduisons
p|U|dx≤C(FLm(Ω)εη∗/m+FLη∗mp/p(Ω)∗(p−1)).(2.3.16)
Ω(ε+|U)|)β
D’autrepart,nousavonsη<p,et1/(p/p∗−1/m)=η∗/(p−1),d’ou`
∗∗pηηβ=1−m=p−p∗,
doncensubstituantη∗etp∗parleursvaleursnoustrouvons
βη=pη(1−η∗/p∗)=ηN=η∗.
p−ηp−ηN−η

).3.16(2

40

2.3.R´egularit´e

Parl’in´egalite´deH¨olderavecl’exposantp/ηetsonconjugue´p/(p−η),puisenutilisant
(2.3.16)et(2.3.15)noustrouvonsuneautreconstanteC>0,d´ependantdeΩtelleque
|U|η
|U|ηdx=(ε+|U)|)βη/p(ε+|U)|)βη/pdx
ΩΩη|U|pη/p∗1−η/p
≤Ω(ε+|U)|)βdxΩ(ε+|U)|)dx
≤C(FLm(Ω)εη∗/m+FLη∗mp/p(Ω)∗(p−1))η/p(εη∗+FLη∗m/((Ωp)−1))1−η/p
etpassonsa`lalimitelorsqueε−→0,nousd´eduisons
|U|ηdx≤CFLθm(Ω),
Ωou`η∗pηη∗ηη∗ηη
θ=(p∗(p−1))p+(p−1)(1−p)=p−1(p∗+1−p),
onsvanousdoncθ=η∗(η(N−p)+1−η)=η∗N−η=η,
p−1pNpp−1Np−1
doncnousobtenonsl’estimation
|U|(p−1)Nm/(N−m)dx≤CFLm(Ω)(2.3.17)
(N−m)/Nm
Ωd’ou`(iv)pourm<m.
•Supposonsm≥m,p<N.Danscecas,ilestfaciledev´erifierque
m≤p∗⇔m≥m,
parsuiteparl’injectiondeSobolevW01,p(Ω)s’injectecontinumentdansLm(Ω).Alors
Lm(Ω)⊂W−1,p(Ω),donc,parunicit´e,U∈W01,p(Ω)etelleestunesolutionvariationnelle.
tecisemen´prPlusLm(Ω)⊂W−1,Nm/(N−m)(Ω).
Sim=m,alorsNm/(N−m)=p,etnousd´eduisons(2.3.17).Sim>m,alorsd’apre`s
[21],[22],U∈W1,(Ω)avec=(p−1)Nm/(N−m),etnousobtenons(2.3.17),et(iii)
r´esultepourm≥m;et(i)et(ii)parl’injectiondeSobolev.Uneautred´emonstration
danslecasm>N/pestdonn´eedans[24].
•Supposonsm>1etp=N.AlorsLm(Ω)⊂W−1,Nm/(N−m)(Ω),d’ici(2.3.17)est
satisfaitesim<N,etalorsU∈L∞(Ω).

).3.17(2

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

41

Preuvedelaproposition2.3.4.Sip=N,alorsU∈Lσ(Ω)pourtoutσ≥1
d’apr1,Ne`slapro∞position2.3.2,alorsf(x)|U|Q∈LmN−(Ω)1pourτtoutm∈(1,r),alorsU∈
W0(Ω)∩L(Ω)d’apre`slelemme2.3.3,et|U|∈L(Ω)pourτ=Nm/(N−m).
Danstoutelasuitenoussupposonsquep<N.
(i)D’abordnoussupposonsqueQr<Q1.
Soitk∈(0,1)telleque
1QQ(N−p)
r>k+Q1=k+N(p−1).
Alorsf(x)|U|Q∈Lm0(Ω)avecm0=1/(1−k)>1.Prenonsksuffisammentpetitepour
qu’onaitm0<N/p,donch(x)∈Lm0(Ω),alorsparlelemme2.3.3,|U|s1∈L1(Ω)avec
s1=(p−1)Nm0/(N−pm0).Alorsf(x)|U|Q∈Lm1(Ω),ou`
11Q1p
m1−r=p−1m0−N.(2.3.18)
suitearP111Q1p1
m1−m0=1−r+p−1m0−N−m0
Q(N−p)Q1p1
<1−k−N(p−1)+p−1m0−N−m0
1Q=p−1(m0−1)<0,

d’icim1>m0.
Sim1>N/palorsnousd´eduisonsdirectement(i)parlelemme2.3.3.
Sim1=N/palorsU∈Lγ(Ω)pourtoutγ≥1,d’apr`eslelemme2.3.3,etdanscecasnous
pouvonschoisirγassezlargepourobtenirf(x)|U|Q∈Lν(Ω),pouruncertainν>N/p
carQr<Q1etnousd´eduisons(i).
Sim1<N/palorsnousd´efinissonsm2enfonctiondem1delamˆemefa¸conquenousavons
d´efinim1enfonctiondem0etainsidesuitenouscontinuonsaveclamˆemediscussion.
Pourtoutn∈Ntellequef(x)|U|q∈Lmn(Ω)etmn<N/p,nouspouvonsd´efinirmn+1
par11Q1p
m−r=p−1m−N,(2.3.19)
n+1netnousmontronsquemn<mn+1.Simn<N/ppourtoutn,alors,lasuite(mn)nadmet
unelimitecarelleestunesuitestrictementcroissanteetmajor´ee.Etalors
11Q1p
m−r=p−1m−N.(2.3.20)

42

2.3.R´egularite´

SiQ=p−1alorsr=pN,cequiestimpossiblecar(p−1)r<Q1sietseulementsi
r>pN.QuandQ>p−1,nousobtenonsm=(Q/(p−1)−1)/(Qp/N−1/r).Deplus,
ilestfaciledev´erifierqueQr<Q1sietseulementsip−Q1−1<NQp−r1.Donc,puisque
Qp1Qp1p1
N−r=N(p−1)−r>N−r>0
carQr<Q1,nousobtenonsm<1,cequiestimpossible.
Alorsapre`sunnombrefinid’´etapesn¯,nousarrivonsa`mn¯>N/p,doncnousobtenons
(i)parlelemme2.3.3.
(ii)SupposonsqueQ>p−1etQr=Q1,doncp<N,et|U|p−1∈Lσ(Ω)pourun
certainσ>N/(N−p).Posons
σ=(1+θ)N/(N−p)avecθ>0,etm0=(1+θr)/(1+θ)>1.
NousavonsQr/(r−m0)=(p−1)σ,etparl’in´egalite´deH¨olderpourl’exposantr/m0
:nsobtenonous(f|U|Q)m0dx≤frdx|U|Qr/(r−m0)dx,
m0/r1−m0/r
ΩΩΩdoncnousavonsf(x)|U|Q∈Lm0(Ω).
Sim0≥N/palorsU∈L∞(Ω)sil’in´egalite´eststricteetU∈Lk(Ω)pourtoutk≥1.
Sim0<N/palorsnousde´finissonsm1parlarelation(2.3.18),etdoncf(x)|U|Q∈Lm1(Ω)
etm0<m1.Etainsidesuitepourtoutn∈Ntellequef(x)|U|q∈Lmn(Ω)etmn<N/p,
nouspouvonsd´efinirmn+1parlarelation(2.3.19)etlasuiteeststrictementcroissante.
Simn<N/ppourtoutnalorselleaunelimitemdonne´parlarelation(2.3.20).Mais
enutilisantl’hypoth`eseQr=Q1,avecuncalculsimplenoustrouvonsm=1,cequiest
impossible.D’o`u(ii).
(iii)Nousmontrons(iii)enutilisant[18,Propositions1.2and1.3].Eneffetl’´equation
peuts’´ecriresouslaforme
−ΔpU=K(x)(1+|U|p−1),
u`oQ|K(x)|≤f(x)(1+|Up|−1)≤f(x)(1+|U|Q−p+1).
(1+|U|)
Si(Q+1)r≤p∗alorsK(x)∈Ls(Ω)pouruncertains≥N/p,alorsU∈L∞(Ω)si
l’in´egalite´eststricte,etU∈Lk(Ω)pourtoutk≥1danslecasd’´egalit´e.
Maintenantnoustraitonslecasstrictementsous-lin´eaireQ<p−1.Alors
|h(x)|≤f(x)(|U|q+1)=f(|U|qχ{|U|≥1}+|U|qχ{|U|<1}+1)≤f(|U|p−1+2),

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

43

d’icinouspouvonsconclure(iv)commedans(iii).Sir=N/p,alorsnousavonsQr<Q1,
etmoyennantlamˆemeproc´edureite´ratived´ej`autilis´ee,nouspouvonsconstruireune
suitestrictementcroissantemnquitendversmdonne´parlarelation(2.3.20).Donc
(p−Q1−1)(m1−Np)=0,parsuitem=N/p.Alorsh(x)∈Ls(Ω)pourtouts<N/p,d’ou`
U∈W01,p(Ω)etnousde´duisons(v)parlelemme2.3.3.Sir<N/palorsm<N/p.Donc
parlelemme2.3.3,Uk∈L11,p(Ω)pourk<(p−1)Nm/(N−pm)=θ.Si(Qp+−11)r<τQ1,
alorsm>m,doncU∈W0(Ω).Si(Q+1)r≥Q1,alorsm≤m,donc|U|∈L(Ω)
pourtoutτ<Nm/(N−m)=θ.Alorsnousavons(vi).
mationsPreuv(2e.3.6)duetlemm(2.3e.7)2.p3.o6ur.desDafnso[7,nctionProcopntinositionueet2.1],lessur-harmoauteursniqueontdansdoRnnNe´.lesEnestfaiti-
nouspouvonsadaptercesestimationspourtoutesolutionrenomalis´eelocaleU∈Wloc(Ω)
avec−ΔpU=F≥0.
Toutd’abordnotonsqu’unetellesolutionsatisfaitUp−1∈Llσoc(Ω)pourtoutσ∈0,NN−p.
Soitx0∈Ωandρ>0tellequeB(x0,4ρ)⊂Ω.Soitζ∈D(R)a`valeursdans[0,1],telle
queζ(t)=1pour|t|≤1,0pour|t|≥2.DefinissonssurΩunefonctionξρpar
ξρ(x)=ζ(|x−x0|/ρ)six∈B(x0,4ρ),
0six∈Ω\B(x0,4ρ),.
Nousavonsξρ∈D(Ω)tellequeξρ(x)=1pour|x−x0|≤ρ,0ailleurs.Deplus|ξρ(x)|≤
ρ−1|ζ(|x−x0|/ρ)|pourρ≤x≤2ρetξρ=0ailleurs,donc|ξρ|≤Cρ−1surΩ,pour
unebornesup´erieureC>0de|ζ|surΩ.Consid´eronsϕρ=ξρλavecλ>0suffisament
largequiserafixe´ult´erieurement.Soitσ∈(1,N/(N−p))etα∈(1−p,0).Nousposons
Uε=U+ε,pourtoutε>0.Soitk>ε.Alorsnouspouvonsprendre
φ=Tk(Uε)αξρλ

commefonctiontest.D’ou`
FTk(Uε)αξρλdx+|α|Tk(Uε)α−1ξρλ|(Tk(U)|pdx
ΩΩ≤λTk(Uε)αξρλ−1|(Tk(U)|p−2(Tk(U)ξρdx
Ω≤λTk(Uε)αξλρ−1|(Tk(U)|p−1|ξρ|dx
Ω=λTk(Uε)α−1ξρλ(|(Tk(U)|p−1Tk(Uε)ξρ−1|ξρ|)dx
{ξρ=0}
≤|α|Tk(Uε)α−1ξρλ|(Tk(U)|pdx+C(α,λ)Tk(Uε)α+p−1ξλρ−p|ξρ|pdx,
2ΩΩ1−penutilisantl’in´egalite´(2.3.9)avecδ=|α|/2λ,a=|(Tk(U)|,b=Tk(Uε)ξρ−1|ξρ|et

44

q=p.Parsuite

2.3.R´egularite´

|α|FTk(Uε)αξρλdx+Tk(Uε)α−1ξρλ|(Tk(U)|pdx
2ΩΩ≤C(α)Tk(Uε)α+p−1ξρλ−p|ξρ|pdx.
ΩAlorsfaisonstendreεvers0etkvers∞.Posonsθ=(p−1)σ/(p−1+α)>1,prenons
λsuffisammentlargepuisutilisonsl’in´egalite´deH¨olderpuisenutilisantlespropri´et´esde
ξρ,nousobtenons
FUαξρλdx+|α|Uα−1ξρλ|U|pdx
2ΩΩ≤CU(p−1)σξρλdxξρλ−pθ|ξρ|pθdx
1/θ1/θ
Ωζpsup1/θ
≤C1ρ−pU(p−1)σξρλdx(dx)1/θ
suppξρB(x0,2ρ)

Parcons´equent,
FUαξρλ+|α|Uα−1ξρλ|U|p≤CρN/θ−pU(p−1)σξρλdx
1/θ
Ω2Ωsuppξρ
avecunenouvelleconstanteCdependantedeαetλ.
Maintenantnousprenonsφ=ξρλcommefonctiontest.Noustrouvons
Fξρλdx≤λξρλ−1|U|p−2U.ξρdx
ΩΩ1/p1/p
≤λUα−1ξλ|U|pdxU(1−α)(p−1)ξλ−p|ξρ|pdx.
ΩερΩερ
Puisque>p−1,nouspouvonsfixerunα∈(1−p,0)tellequeτ=σ/(1−α)>1.Alors
quandε→0,nousd´eduisons
1/θp+1/τp
Fξρλdx≤CU(p−1)σξρλdx
Ωsuppξρ
×ξρλ−θp|ξρ|θpdxξλρ−τp|ξρ|τpdx.
1/θp1/τp
ΩΩ

Chapitre2.Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables

Mais1/θp+1/τp=1/σ=1−(1/θp+1/τp),d’ou`

45

1/σ
Fξρλdx≤CU(p−1)σξρλdxρN(1−1/σ)−p
Ωsuppξρ
etnousd´eduisons(2.3.6).Parailleurs,siU∈Wl1oc,p(Ω),d’apre`sl’in´egalite´deHarnack
faible,ilexisteC=C(σ,N,p)telleque

11/(p−1)σ
ρNB(x,2ρ)U(p−1)σdx≤CinfessB(x0,ρ)U,
0d’ou`nousobtenons(2.3.7)enfixantσ.
SiU=G(F)consid´erantFn=min(F,n)etUn=G(Fn),lasuite(Un)estcroissante
parleprincipedecomparaisonetsatisfait(2.3.7),etUaussiparpassage`alalimite
ut.rtopapresque

46

2.3.

R´egularite´

Bibliographie

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3erpitCha

Connexionentrelesdeuxprobl`emes
(Pu,λ)et(Pv,λ)

iremaSom3.1Introduction.............................
3.2Changementponctueldefonctions................
3.2.1D´efinitionsetproprie´t´es......................
3.2.2Exemples..............................
3.3Preuvedesth´eor`emes3.1.1et3.1.2...............
3.4Lecasβconstant,glin´eaire....................
3.4.1Quelquespropri´ete´sdeλ1(f)...................
3.4.2PreuveduThe´ore`me3.1.3.....................

49

5154545661717273

50

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

51

3.1Introduction
SoitΩundomaineborne´r´egulierdeRN(N≥2)et1<p≤N.Nousd´esignons
parBl’ensembledesfonctionsβd´efiniessurunintervallequelconque[0,L),L≤∞;
tnsatisfaisaβ∈C0([0,L)),L≤∞,etβestpositive,β≡0.(3.1.1)
OnnoteGl’ensembledesfonctionsgd´efiniessurunintervalequelconque[0,Λ),Λ≤∞;
tnsatisfaisag∈C1([0,Λ)),Λ≤∞,g(0)=0etgestcroissante,g≡0.(3.1.2)
Danslasection3.2decechapitre,on´etablitunecorrespondancedeBsurGetondonne
quelquesproprie´t´es´el´ementairesdecettecorrespondance.Pourunβ∈Bdonne´,on
consid`eredeuxfonctionsγetΨde´finies,par
ttγ(t)=β(s)ds,Ψ(t)=eγ(s)/(p−1)ds,(3.1.3)
00pourtoutt∈[0,L).
Ennotant,Λ=Ψ(L),onpeutd´efinirunefonctiong∈G,par
g(τ)=eγ(Ψ−1(τ))/(p−1)−1=1τβ(ψ−1(s))ds,(3.1.4)
1−p0pourtoutτ∈[0,Λ).
R´eciproquement,pourung∈Gdonne´onconsid`erelafonctionHd´efiniepar
τdsH(τ)=1+g(s),(3.1.5)
0pourtoutτ∈[0,Λ).
EnnotantL=H(Λ),onpeutd´efinirunβ∈B,par
β(t)=(p−1)g(H−1(t)),(3.1.6)
pourtoutt∈[0,L)etonmontrequeH−1=Ψ.
OnnotecettebijectionentreBetGparT:
T:B←→G.
LesfonctionsΨetHapparaˆıssentdansl’´etudededeuxprobl`emessuivants
(Pu,λ)−Δpu=β(u)|u|p+λfdansΩ(3.1.7)
u=0sur∂Ω,

.1.4)(3.1.5)(3

.1.6)(3

).1.7(3

52

Intro3.1.duction

et(Pv,λ)−Δpv=λf(x)(1+g(v))p−1dansΩ(3.1.8)
v=0sur∂Ω,
ou`β∈B,g∈G,λestunr´eelstrictementpositiveetfunefonctionv´erifiant:
f∈L1(Ω),f≥0presquepartoutdansΩ.(3.1.9)
Enfait;enpartantduprobl`eme(3.1.7)avecβ∈B,paruncalculformelsimplelechange-
mentdefonctionv(x)=Ψ(u(x))conduitformellementauprobl`eme(3.1.8)ou`g=T(β).
R´eciproquement,enpartantduprobl`eme(3.1.8)avecg∈G;lechangementdefonction
u(x)=H(v(x))conduitformellementauprobl`eme(3.1.7)ou`β=T−1(g).
Ensuite,nousdonnonsquelquesexemplesexplicitesdeβquidonnegoubienlecompor-
tementdegetr´eciproquement.Lelien´etantformelentrelesdeuxprobl`emes(3.1.7)et
(3.1.8),notrebutprincipalestdedonnerunsensa`celien:c’estlesujetdelatroisi`eme
sectiondecechapitre.
Danslasection3.3,on´etablitunlienpre´cisentrecesdeuxprobl`emesavecl’apparition
possibledemesures.Pluspre´cisement,cettesectionestconsacr´eea`lad´emonstrationdes
deuxr´esultatsprincipauxsuivants:
The´or`eme3.1.1Soitβunefonctionv´erifiant(3.1.1).Supposonsqueuestunesolution
renormalis´eeduprobl`eme
−Δpu=β(u)|u|p+λf(x)+αsdansΩ,(3.1.10)
u=0sur∂Ω,
telleque0≤u(x)<LpresquepartoutdansΩ,o`uαs∈Ms+(Ω),alorsilexisteµ∈Mb+(Ω)
tellequev=Ψ(u)estunesolutionatteignableduprobl`eme
−Δpv=λf(x)(1+g(v))p−1+µdansΩ,(3.1.11)
v=0sur∂Ω,
ou`g=T(β1),.∞Enparticuliervsatisfaitl’´equationdansD(Ω)etpluspr´ecisement,pour
touth∈W(R)tellequehaunsupportcompact,ettoutϕ∈D(Ω),
|v|p−2v.(h(v)ϕ)dx=λh(v)ϕf(1+g(v))p−1dx+h(∞)ϕdµ.(3.1.12)
ΩΩΩDeplus,siβ∈L1((0,L))alorsµ=eγ(L)αsestsinguli`ere,etvestunesolutionrenorma-
ee.´lisSiβ∈/L1((0,L))alorsαs=0.
Sip=2oup=N,alorsdanstouslescasµestsinguli`ereetvestunesolutionrenorma-
ee.´lisDanslesensinverseonaler´esultatsuivant:

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

53

The´or`eme3.1.2Soitgunefonctionv´erifiant(3.1.2).Supposonsquevestunesolution
renormalis´eeduprobl`eme(3.1.11)telleque0≤v<ΛdansΩavecµ=µs∈Ms+(Ω).
Alorsilexisteαstellequeu=H(v)estunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme(3.1.10),
ou`β=T−1(g).
Deplus,αs=0,siµs=0,ouΛ<+∞,ouΛ=+∞etlimg(k)=+∞.
∞+→kSiΛ=+∞etk→lim+∞g(k)<+∞alorsαs=µs/(1+g(+∞))p−1,ou`g(+∞)=k→lim+∞g(k).
Notrepremi`ereapplicationdecesr´esultatsapparaˆıtdansl’´etudeduprobl`eme(3.1.7)dans
lecasparticulierou`β=p−1avecf≡0v´erifiant(3.1.9)etsonproble`mecorrespondant
(3.1.8)ou`g(v)=v:c’estlesujetdelasection3.4.L’existenceestli´eea`unprobl`emede
valeurpropreavecpoidsf,
−Δpw=λf(x)|w|p−2wdansΩ,
w=0sur∂Ω.(3.1.13)
pluspre´cis´ementa`sapremie`revaleurpropre
Ω|w|pdx
Ω0λ1(f)=w∈Winf1,p(Ω)f|w|pdx.(3.1.14)
=0wetonmontreler´esultatsuivant:

).1.13(3

.1.14(3)

The´or`eme3.1.3Soitβ(u)≡p−1,etg(v)=vsatransform´eeparT.
(i)Si0<λ<λ1(f)alors1,pilexisteunesolutionuniqueu0v0∈W011,p,p(Ω)de(3.1.8),doncune
solutionuniqueu∈W(Ω)de(3.1.7)tellequee−1∈W(Ω).
Sif∈LN/p(Ω),0alorsu00,v0∈Lk(Ω)pourtoutk>1.0
Sif∈Lr(Ω)avecr>N/p,alorsu0etv0∈L∞(Ω).
Deplus,sif∈Lr(Ω)avecr>N/p,alorspourtoutemesureµs∈Ms+(Ω),ilexiste
unesolutionrenormalis´eevsde
−Δpvs=λf(x)(1+vs)p−1+µsdansΩ,(3.1.15)
vs=0sur∂Ω;
doncilexisteuneinfinite´desolutionsus=ln(1+vs)∈W01,p(Ω)de(3.1.7),moins
r´eguli`erequeu0.
(ii)Siλ>λ1(f)≥0,ouλ=λ1(f)>0etf∈LN/p(Ω),alors(3.1.7),(3.1.8)et(3.1.15)
n’admettentpasdesolutionsrenormalis´ees.

54

3.2.Changementponctueldefonctions

3.2Changementponctueldefonctions
3.2.1D´efinitionsetpropri´et´es
DanscettesoussectionondonneunecorrespondanceentrelaclassedesfonctionsB
satsfaisant(3.1.1)etlaclassedesfonctionsGv´erifiant(3.1.2).
Soitβ∈B.Pourtoutt∈[0,L)ond´efinit
ttγ(t)=β(s)ds,Ψ(t)=eγ(s)/(p−1)ds
00Ilest´evidentquelafonctionΨeststrictementcroissante,parcons´equenseelleadmet
unefonctionr´eciproqued´efiniesurΨ([0,L))=[0,Λ),Λ=Ψ(L)≤∞.Introduisonsla
fonctionsuivante
ττ∈[0,Λ)→g(τ)=eγ(Ψ−1(τ))/(p−1)−1=1β(Ψ−1(s))ds(3.2.1)
1−p0

aonsAlor

Propsatisfaitositl’hypionoth3.`2.ese1Soit(3.1.2)βvet´onerifiantaΨ−1(3.1.1)=H,etogu`laHestfonctionladfonction´efinied´parefiniep(3.2.1).arA(3.1.5).lorsg

Preuve.OnmontrequeH=Ψ−1eneffectuantlechangementdevariablesimples=
:)τΨ(

1−τdsτdsΨ(τ)Ψ(τ)dτ−1
H(τ)=1+g(s)=eγ(Ψ−1(s))/(p−1)=eγ(τ))/(p−1)=Ψ(τ)
000

L’expression(3.1.5)nousapermisd’obtenirΨ−1enfonctiondeg.Grˆacea`cette
expression,onobtientlar´eciproque:consideronsunefonctiong∈G.Ilest´evidentque
lafonctionHeststrictementcroissante,parcons´equentelleadmetunefonctionr´eciproque
d´efiniesurH([0,Λ))=[0,L),L=H(Λ)≤∞.Introduisonslafonctionsuivante
t∈[0,L)→β(t)=(p−1)g(H−1(t)).(3.2.2)

aonsAlorProposition3.2.2Soitgv´erifiant(3.1.2),alorslafonctionβd´efiniepar(3.2.2)satisfait
(3.1.1)etonaH−1=ψ.

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

55

Remarque3.2.3Ennotantτ=Ψ(t)onobtientlesrelationssuivantes:
β(t)=(p−1)g(τ),1+g(τ)=eγ(t)/(p−1)(3.2.3)
etparsuiteβestcroissantesietseulementsigestconvexe.Nousremarquonsquela
corr´elationentregetβn’estpasmonotone;nousavonsseulement:sig1≤g2,alors
β1≤β2.
Maintenant,notonsquelquespropri´et´es´el´ementairesdecettecorrespondance
Proposition3.2.4Soit(β,g)∈B×G,tellequeg=T(β).Onalespropri´et´essuivantes
L=∞=⇒Λ=∞.(3.2.4)
L<∞⇐⇒1/(1+g(s))∈L1((0,Λ))(3.2.5)
Λ<∞⇐⇒eγ(θ)/(p−1)∈L1((0,L))(3.2.6)
γ(L)<∞⇐⇒β∈L1((0,L))⇐⇒gestborn´ee(3.2.7)

Preuve.OnremarquefacilementqueΨ(t)≥tpourt∈[0,L),d’ou`onobtient(3.2.4).Les
g([0,Λ))=0,eγ(L),mˆemepourL=∞,onconclutγ(L)<+∞⇐⇒gestborn´ee.Par
deuxpropri´et´es(3.2.6),(3.2.5)sed´ecoulentdirectementdesde´finitionsdeΨetH.Puisque
ladefinitiondeγondeduitγ(L)<∞⇐⇒β∈L1((0,L)),d’ou`ona(3.2.7).
Remarque3.2.5Puisquegestcroissante,alorselleadmetunelimitefinieouinfinie
lorsquekΛ,donc(3.2.7)est´equivalentea`
v−lim→Λ(1+g(v))p−1=eγ(L)<+∞
Danslapropositionsuivanteondonnequelquesrelationsentrelescomportementsdeβ(t)
lorsquet→Letg(ss)lorsques→Λ:
Proposition3.2.6onalespropri´et´essuivantes
(i)tlim→Linfβ(t)>0=⇒tlim→Λinfg(s)/s>0.
(ii)t−lim→Lβ(t)=∞=⇒s−lim→Λg(s)/s=∞.Lar´eciproqueestvraiesiβestcroissanteau
L.devoisinagePreuve.(i)Siliminfβ(t)>0alorsilexisteC>0etδ∈(0,L)tellesqueβ(t)≥Cpour
toutt∈(δ,L),part→Lsuite(p−1)g(s)≥Cpourtouts∈(ψ(δ),Λ).Enintegrantde0a`s
onobtient(p−1)g(s)≥Cspourtouts∈(ψ(δ),Λ).
(ii)Supposonst−lim→Lβ(t)=∞.Puisques→Λ⇔t=H(s)→H(Λ)=L,alors
11s→limΛg(s)=p−1H(s)→limH(Λ)β(H(s))=p−1t→limLβ(t)=+∞;
donc,parlar`egledel’Hˆopital,onas−lim→Λg(s)/s=∞.

56

3.2.Changementponctueldefonctions

esExempl2.2.3Danscettesoussection,nousdonnonsquelquesexemplesexplicitesdeβetg,pour
lesquellesonpeutcalculerleursfonctionscorrespondantesparlatransformationT.Nous
donnonsquelquesexemplespourlesquelleslecalculesttr`esdifficile,maiscesontdesbons
mod`elesliantlecomportementdeβauvoisinagedeLetgauvoisinagedeΛ.Lecalcul
estplusfacileenpartantd’unefonctiondonn´eeg,oncalculeuenutilisant(3.1.5)etβ
)..2.2(3parLesexemplesmontrentquelacorr´elationestsensibleparrapporta`β:unepetite
perturbationsurβpeutimpliqueruneforteperturbationsurg.
Lesexemples1,2,5,6sontremarquables,puisqu’ilsconduisenta`des´equationsbien
connuesenv.L’exemple10estunmod`elequiconduita`unnouveautyped’´equationen
v,presentantunesingularit´e.Lefl`eche↔indiquelelienformelentrelesdeuxprobl`emes
.vetuen1◦)Casou`βestd´efiniesur[0,∞)(L=∞=Λ).
1)βconstante,glin´eaire:
Soitβ(u)=p−1,d’apr`es(3.1.3)ona
γ(t)=β(u)du=(p−1)t,Ψ(t)=eγ(s)/(p−1)ds=esds=et−1
ttt
000etd’apr`es(3.2.1)ona
1v−11v
g(v)=p−10β(Ψ(t))dt=p−10(p−1)dt=v
doncv=eu−1,u=Ψ−1(v)=ln(1+v)etonal’´equivalenceformelledesdeuxproble`mes:
−Δpu=(p−1)|u|p+λf(x)↔−Δpv=λf(x)(1+v)p−1.
2)gestdetypepuissanceetsous-lin´eaire:
Soit0<Q<p−1;posonsα=Q/(p−1)<1,etβ(u)=(p−1)α,alors
(1+(1−α)u)
(1−α)u=(1+v)1−α−1et(1+g(v))p−1=(1+v)Q.Eneffet,ona
t(p−1)α
γ(t)=(1+(1−α)s)ds=((p−1)α/(1−α))ln(1+(1−α)t)
0=(p−1)ln(1+(1−α)t)α/(1−α)
doncet

Ψ(t)=teln(1+(1−α)s)α/(1−α)ds=t(1+(1−α)s)α/(1−α)ds
00=(1+(1−α)t)1/(1−α)−1

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

57

d’ou`v=Ψ(u)=(1+(1−α)u)1/(1−α)−1etΨ−1(v)=u=1−1α((1+v)1−α−1),parsuite
d’apre`slad´efinition(3.2.1),ontrouve
1+g(v)=eγ(Ψ−1(v))/(p−1)=eγ(u)/(p−1)=eln(1+(1−α)u)α/(1−α)
=(1+(1−α)u)α/(1−α)=(1+v)α
donc(1+g(v))p−1=(1+v)Qet
(p−1)αpQ
−Δpu=1+(1−α)u|u|+λf(x)↔−Δpv=λf(x)(1+v);
Danscetexemple,ilestclairquegn’estpasborne´eetelleestconcave,doncβest
d´ecroissante,etβ(u)∼C/uauvoisinagede∞,doncβ∈L1((0,∞)).
3)βestdetypepuissance,gestdetypelogarithmique.
(i)Soitβ(u)=(p−1)um,m>0,alorsg(v)∼Cv(lnv)m/(m+1),avecC=(m+
1)m/(m+1).Eneffet,ona
γ(t)=(p−1)umdu=((p−1)/(m+1))um+1etv=Ψ(u)=em+1ds
tusm+1
00+1mIntegronsparpartiesl’int´egraleI(u)=us−(m+1)esm+1/(m+1)ds,enposantU=esm+1et
1+1mV=s−(m+1),doncU=smesm+1etV=−1s−montrouveque
mI(u)=s−(m+1)em+1ds=e+1u−mem+1+1em+1ds
usm+1(m+1)−1um+1usm+1
mmm11J(u)=esm+1ds=−e(m+1)−1+u−meum+1+mI(u)
doncum+1m+1
1+1muPosonsZ(u)=u−mem+1.OnaZ(u)→∞etI(u)→∞siu→∞.Mais
+1mI(u)u−(m+1)eum+11
0→==Z(u)(1−mu−(m+1))eumm+1+1um+1−m
lorsqueu→∞.Donc,parlar`egledel’HˆopitalonconclutqueI(u)/Z(u)tendvers0si
u→∞.Ilenre´sulteque
1−J(u)e(m+1)I(u)
Z(u)=−Z(u)+mZ(u)+1
+1mutendvers1siu→∞;c’esta`direJ(u)∼Z(u)a`l’infini.Parsuitev=Ψ(u)∼u−mem+1
a`l’infini.Deplus,ona
um+1um+1
(lnΨ(u))Ψ(u)em+1u−mem+1u→∞
um=umΨ(u)=umΨ(u)=Ψ(u)−→1,

58

3.2.Changementponctueldefonctions

donc,parlare`gle1/de(m+1l’Hˆ)opitalontrouvequelnv=lnΨ(u)∼um+1/(m+1)oubien,
uMain∼((temna+nt,1)lnd’aprv)e`s(3.2.1)a`etl’infini.l’expressiondeγ,ona
1+g(v)=eγ(u)/(p−1)=eumm+1+1=umu−meumm+1+1,
cequieste´quivalenta`l’infinia`((m+1)lnv)m/(m+1)v=Cv(lnv)m/(m+1).
(ii)Danslesensinverse,soit1+g(v)=(1+Cv)(1+ln(1+Cv))m/(m+1),avecm>
0,C>0,alorsonobtientexactement
Cu=(m+1)((1+ln(1+v))1/(m+1)−1),
etβ(u)=(p−1)C((1+mC+u1)m+m+C1m+Cu),
alorsβ(u)∼Kumauvoisinagede+∞,avecK=(p−1)Cm+1(m+1)−m.Eneffet,en
posantθ=ln(1+Cs)onobtient
vdsu=H(v)=0(1+Cs)(1+ln(1+Cs))m/(m+1)
ln(1+Cv)dθ
=0C(1+θ)m/(m+1)
=mC+1((1+ln(1+Cv))1/(m+1)−1)
1/(m+1)1/(m+1)Cu
d’oD’au`prC`esula=d(´mefinitio+1)((n1(3+.2.2ln(1)de+Cβ,v))onaβ(u)−=1)(,p−donc1)g(1(v+).ln(1+CalculonsCv))g(v)on=tro1+uvme+1.
g(v)=C(1+ln(1+Cv))m/(m+1)+Cm(1+ln(1+Cv))−m1+1
1+m=C(1+mC+u1)m+mC+m1(1+mC+u1)−1
=C(1+mC+u1)m+m+C1m+Cu

4)βestdetypeexponentiel,gestdetypelogarithmique.Ondonnelestroisexemples
:tsnasuiv•Soitβ(u)=(p−1)eu,alorsg(v)∼vlnvauvoisinagede∞.Eneffet:
tγ(t)=(p−1)(eu−1),Ψ(t)=e−1eesds.
0

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

59

Integronsparpartiesl’int´egraleI(u)=ue−seesds,enposantU=ees,V=e−setdonc
0sU=esee,V=−e−s;onobtient
I(u)=e−seeds=e−e−uee+eeds
usuts
00u=e−ee−u+eΨ(u)
etenutilisantlar`egledel’HˆopitalonconclutqueI(u)/eeu−utendvers0lorsqueu→∞.
uIlenr´esultequev=Ψ(u)∼ee−u−1auvoisinagede∞.Deplus,ona
u(lnΨ(u))Ψ(u)ee−u−1u→∞
eu+1=eu+1Ψ(u)=Ψ(u)−→1,
donc,d’apr`eslar`egledel’Hˆopital;lnv=lnΨ(u)∼eu+1auvoisinagede∞.Finalement,
aon1+g(v)=eγ(u)/(p−1=eeu=eeu−u−1eu+1∼vlnv,
auvoisinagede∞.
•Soitβ(u)=(p−1)(eu+1),alorsoncalculeexactement1+g(v)=(1+v)(1+ln(1+v))
etu=ln(1+ln(1+v)),eneffetγ(t)=(p−1)(t+et−1)et
uuusv=Ψ(u)=e−1eseeds=e−1(ee−e)=ee−1−1,
0d’ou`ontrouveuet
uu1+g(v)=eγ(u)/(p−1=eu+e−1=ee−1eu=(1+v)(1+ln(1+v)),
etlesdeuxprobl`emessuivantsenuetvsontformellement´equivalents:
p−Δpu=(p−1)(eu+1)|u|+λf(x)↔−Δpv=λf(x)((1+v)(1+ln(1+v)))p−1.
u•Soitβ(u)=(p−1)(eeu+u+eu+1),onv´erifiequeee+1v=eee−eeet1+g(v)∼
vlnvln(lnv))auvoisinagede∞.Eneffet:
ttsγ(t)=(p−1)(esee+es+1)ds=(p−1)(ee+et+t−(e+1)),
0et

ussev=Ψ(u)=e−(e+1)ee+e+sds
0uesseu
=e−(e+1)eeeeesds=e−(e+1)(ee−ee),
0

60

3.2.Changementponctueldefonctions

d’ou`ontirel’expressiondevenfonctiondeuet
uu1+g(v)=eγ(u)/(p−1=e−(e+1)eee+eu+u=e−(e+1)eeeeeueu
=e−1(1+ev)(e+ln(1+ev))(ln(e+ln(1+ev))
∼vlnvln(lnv),
auvoisinagede∞.
2◦)Casou`βauneasymptote(L<∞),maisgestd´efiniesur[0,∞).C’est
lecasou`1/(1+g(s))∈L1((0,∞)).
5)gestdetypepuissanceetsur-lin´eaire:
SoitQ>p−1;posonsα=Q/(p−1)>1,etβ(u)=(p−1)α/(1−(α−1)u),avec
L=1/(α−1),nousv´erifionsque(1+g(v))p−1=(1+v)Qet(α−1)u=1−(1+v)1−α.
Lecalculestplusfacileenpartantdeg,ontrouve
vdsu=H(v)=(1+s)α
0d’ou`L=H(∞)=1/(α−1)puisqueα>1,etu=1−1α((1+v)1−α−1)etβ(u)=
(p−1)g(v)=(p−1)α(1+v)α−1=(p−1)α/(1+v)1−α=(p−1)α/(1−(α−1)u).Donc
(p−1)αpQ
−Δpu=1−(α−1)u|u|+λf(x)↔−Δpv=λf(x)(1+v).
Unautreexempleestlecasβ(u)=2(p−1)tguavecL=π/2,ou`1+g(v)=1+v2,et
u=Arctgv.Lecalculestsimpleenpartantdeg.
6)gestdetypeexponentiel:
Soitβ(u)=(p−1)/(1−u)avecL=1,alorspourtoutt∈[0,1)
tdsγ(t)=(p−1)=−(p−1)ln(1−t),
s−10etpourtout0≤u<1ona
uv=Ψ(u)=e−ln(1−s)ds=−ln(1−u),
0doncΛ=+∞,u=1−e−vet1+g(v)=eγ(u)/(p−1)=e−ln(1−u)=e−lne−v=evetdonc:
1−p−Δpu=|u|p+λf(x)↔−Δpv=λf(x)e(p−1)v.
u−17)gestdetypelogarithmique:

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

61

Soitβ(u)=(p−1)k/(1−u)k+1,k>0avecL=1,alorsonobtientg(v)∼kv(lnv))(k+1)/k
auvoisinagede∞.R´eciproquement,si1+g(v)=(1+kv)(1+ln(1+kv))(k+1)/k,alors
β(u)=(p−1)(k/(1−u)k+1+(k+1)/(1−u)),doncβ(u)∼(p−1)k/(1−u)k+1au
voisinagede1.Lescalculssontanaloguesa`cellesdel’exemple3.
Remarquonsqueβaunesingularite´plusfortequecelledel’exemple6,maisgaune
te.lenpluscroissance8)gestdetyped’uneexponentielleforteeev:
Soitβ(u)=p−1(1−(lne)−1)avecL=1,alors1+g(v)=eev−v−1,u=1−e1−ev.
1−u1−u
Lecalculestsimpleenpartantdeg,ona
vvvsu=H(v)=ee−eesds=e(e−1−e−e)=1−e1−e
0doncu1lorsquev∞,parsuiteL=1.Deplusonobtienteev−1=(1−u)−1et
ev=ln1−eu.Calculonsg(v)enfonctiondeuontrouve
evvg(v)=(ev−1)ee−v−1=ee−1(1−e−v)=(1−u)−1(1−(ln)−1),
u−1d’ou`onobtiontβ(u)=(p−1)g(v).
Remarquonsqueβaunesingularite´dumeˆmetypequel’exemple6.
3◦)Casou`βetgontdesasymptotes(L<∞etΛ<∞).
9)SoitQ>0.Posonsα=Q/(p−1)>0,etβ(u)=(p−1)α/(1−(α+1)u),avec
L=1/(α+1),onobtient(1+g(v))p−1=(1−v)−QavecΛ=1et(α+1)u=1−(1−v)α+1:
(p−1)αpλf(x)
−Δpu=1−(α+1)u|u|+λf(x)↔−Δpv=(1−v)Q

10)β(u)=(p−1)u/(1−u2)avecL=1,alors1+g(v)=1/cosvavecΛ=π/2et
u=sinv.

3.3Preuvedesthe´or`emes3.1.1et3.1.2
Cettesoussectionestconsacr´eea`lad´emonstrationdesthe´or`emes3.1.1et3.1.2.Tout
d’abord,notonslesdifficult´esli´eesaup-Laplacien.Laconnexionentrelesprobl`emes(Pu,λ)
et(Pv,λ)induitdesmesures,alorsnousnepouvonspasutiliserdesapproximationspardes
fonctionsr´egulie`res,parcequel’unicite´desolutionsduprobl`eme(2.2.2)n’estpasassur´ee
lorsquelapartiesingulie`redelamesureestnonnulle,voirlaremarque2.2.8.Pourcela
nousutilisonslese´quationssatisfaitesparlestroncatures,voirlad´efinition2.2.11.Dans
l’articledeMalusa[7],l’auteurautilise´ces´equationspoursimplifierlad´emonstrationdu
r´esultatdestabilite´de[4].

62

3.3.Preuvedesth´eor`emes3.1.1et3.1.2

Remarque3.3.1(i)Siv∈W01,p(Ω),alorsu=H(v)∈W01,p(Ω).Eneffetu≤v,et
u=v/(1+g(v)).
(ii)SiL=∞ettlim→∞infβ(t)>0,etuestunesolutionrenormalis´eede(Pu,λ)alors
u∈W01,p(Ω);eneffetβ(t)≥m>0pourt≥K0>0,donc
|u|pdx=|u|pdx+|u|pdx
≤1β(u)|u|pdx+|TK0(u)|pdx.
Ω{u>K0}{u≤K0}
mΩΩRemarque3.3.2(i)Siuestunesolutionduprobl`eme(3.1.10),ou`0≤u(x)<L
presquepartout1,pdansΩ,etsiL<∞,alorsαs=0d’apr`eslaremarque2.2.10,et
u=TL(u)∈W0(Ω)∩L∞(Ω).
Demˆeme,sivestunesolutionde(3.1.11),1,pou`0≤v(x)<ΛpresquepartoutdansΩ,et
Λ<∞,alorsµs=0,etv=TΛ(v)∈W0(Ω)∩L∞(Ω).
(ii)Siuestunesolutionrenormalis´eede(3.1.10),alorslap-capacite´del’ensemble
{u=L}est0.Celar´esulteparexemplede[4,remarque2.11]pourL=∞,etpar[4,pro-
position2.1]appliqu´eea`(u−L)+siL<∞.Demˆeme,sivestunesolutionrenormalis´ee
de(3.1.11),alorslap-capacite´del’ensemble{v=Λ}est0.

Pourlad´emonstrationdesth´eor`emes3.1.1et3.1.2,one´tablitlestroislemmessui-
:tsanv

Lemme3.3.3Soit+(β,g)∈B×Gtellequeg=T(β).PourtoutK∈(0,L),k∈(0,Λ),
soientαK,µk∈M0(Ω)tellesque:
µk=(1+g(k))p−1αK,pourk=Ψ(K).(3.3.1)
Alors,ona:
∗+(i)mesurSiµeskclorsqueonvergekversΛ,µsalor∈sMαs(Ω)cponverourgela´etrtopolooitementgie´etr(roiteespe(respctivementectivementfaiblementfaible∗))verdess
Kunαs∈Ms+(Ω)lorsqueKL.Pluspr´ecis´ement,αs=0,siµs=0ouk→limΛg(k)=+∞.
Sik→limΛg(k)<+∞alorsαs=µs/(1+g(Λ))p−1,ou`g(Λ)=k→lim+∞g(k).
(ii)Siβ∈L1((0,L))etαKconverge´etroitement(respectivementfaiblement∗)versun
++´αetrs∈oiteM(rsesp(Ω)elorctivementsqueKfaible∗)L,desalorsmesurµkces,onverou`geversµs∈Ms(Ω)pourlatopologie
µs=(1+g(Λ))p−1αs=eγ(L)αs.

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

63

Lemme3.3.4Supposonsqueuestunesolutionrenormalis´eeduproble`me(3.1.10),ou`
0≤u(x)<LpresquepartoutdansΩetconsid´eronsv=Ψ(u).PourtoutK>0,k>0
ilexisteαK,µk∈M0+(Ω)tellesque:
(i)Lesfonctionstronqu´eesTK(u),Tk(v)satisfaisentles´equations
−ΔpTK(u)=β(TK(u))|TK(u)|p+λfχ{u<K}+αKdansD(Ω),(3.3.2)
−ΔpTk(v)=λf(1+g(v))p−1χ{v<k}+µkdansD(Ω),(3.3.3)
(ii)PourtoutK∈(0,L),enposantk=Ψ(K)onalarelation(3.3.1).
(iii)lasuitedemesures(αK)0<K<Lconvergepourlatopologie´etroitedesmesuresversαs
L.Klorsque

R´eciproquementonalelemmesuivant:
Lemme3.3.5Supposonsquevestunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme(3.1.11),ou`
0≤v(x)<Λpresque+partoutdansΩetconsid´eronsu=H(v).Pourtoutk>0,K>0
ilexisteµk,αK∈M0(Ω)tellesque:
(i)Lesfonctionstronqu´eesTk(v),TK(u)satisfontrespectivementles´equations(3.3.3),
(3.3.2).(ii)Pourtoutk∈(0,Λ),enposantK=H(k)onalarelation(3.3.1).
(iii)µkconvergeversµspourlatopologie´etroitedesmesureslorsquekΛ.
Preuvesdeslemmes3.3.3,3.3.4et3.3.5.
Preuvedulemme3.3.3Posonszk=(1+g(k))1−p,K=H(k),onaαK=zkµk.
Puisquegestcroissantesur(0,Λ)alorselleadmetunelimite(finieouinfinie)lorsque
kΛ.Notonsg(Λ)=klim→Λg(k),danslesdeuxcasou`Λestfinieounon.Donczkadmet
unelimiteavec
0sik→limΛg(k)=+∞,
Λ→kklim→Λzk=(1+g(Λ))1−p=zsilimg(k)=g(Λ)<+∞.
Maintenant,pourtoutφ∈Cb(Ω)(respectivementφ∈Cc(Ω)),ona
ΩφdαK=zkΩφdµk
Donc,parlaconvergence´etroitedeµkversµsonde´duitqueΩφdαKconvergevers0si
k→limΛg(k)=+∞etzΩφdµssik→limΛg(k)<+∞lorsqueKL.D’ou`,onconclutqueαK

64

3.3.Preuvedesth´eor`emes3.1.1et3.1.2

convergee´troitement(respectivementfaiblement∗)dansMb(Ω)vers0sik→limΛg(k)=+∞
etzµssik→limΛg(k)<+∞.D’ou`(i).
Pour(ii),lasuitezk−1=(1+g(k))p−1=eγ(K)admetunelimitefinie´egalea`(1+g(Λ))p−1=
eγ(L)sietseulementsigestborn´ee,cequieste´quivalenta`β∈L1((0,L)),d’apr`es(3.2.7).
D’ou`(ii).
Preuvedulemme3.3.4:Supposonsqueuest1une,psolutionrenormalise´ede(3.1.10).
PourtoutK>0,consid´eronslafonctionTK(u)∈W0(Ω).
D’apr`eslad´efinition2.2.11ilexisteαK∈M0+(Ω),concentre´esurl’ensemble{u=K},
quiconvergee´troitementversαslorsqueK→+∞,telleque
|TK(u)|p−2TK(u).ψdx=(β(u)|u|p+λf)ψdx+ψdαK
Ω{U<K}Ω
=(β(TK(u))|TK(u)|pψdx+λfψdx+ψdαK(3.3.4)
Ω{u<K}Ω
pourtoutψ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).End’autretermesonobtientl’´equation(3.3.2)ve´rifie´
parlatroncatureTK(u).
Consideronsmaintenantlechangementdefonctionv=Ψ(u),ona0≤v<Λ.Pour
K∈(0,L),soitk=Ψ(K)∈(0,Λ).Alors,puisqueΨeststrictementcroissante,ona
Tk(v)=v=Ψ(u)siv=Ψ(u)≤k,
ksiv=Ψ(u)>k;
=Ψ(u)siu≤K,
Ψ(K)siu>K;
doncTk(v)=Ψ(TK(u)).Parcons´equentparleth´eor`emeded´erivationfonctionscom-
pos´ees(chainrule),Tk(v)∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)carΨestcontinuesur(0,L)etTK(u)∈
W01,p(Ω)∩L∞(Ω)avecTK(u)L∞(Ω)≤K<L.Deplus,ona
Tk(v)=Ψ(TK(u))TK(u)=eγ(TK(u))/(p−1)TK(u)
=eγ(u)/(p−1)TK(u).(3.3.5)
PuisqueΨestunebijectionde(0,L)sur(0,Λ),alorsTk(v)∈W01,p(Ω)pourtoutk∈
(0,Λ).SiΛ=∞,onpeutdoncd´efinirlegradientdev,avecv=eγ(u)/(p−1)u,d’apr`es
lad´efinition2.2.5et(3.3.5).DanslecasΛ<∞,onaim´ediatementv∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)
cardanscecasΨestborne´.
γ(ChercT(u))honsmaintenant1l’,p´equation∞v´erifi´eeparTk(v).Soitϕ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω),etψ=
eKϕ;onaψ∈W0(Ω)∩L(Ω)avec
ψ=(eγ(TK(u))γ(TK(u))ϕ)TK(u)+eγ(TK(u))ϕ
=(eγ(TK(u))β(TK(u))ϕ)TK(u)+eγ(TK(u))ϕ

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

65

Consideronsψcommefonctiontestdans(3.3.4),onobtient
eγ(TK(u))|TK(u)|p−2TK(u).ϕdx+eγ(TK(u))(β(TK(u))|TK(u)|pϕdx
ΩΩ=eγ(TK(u))(β(TK(u))|TK(u)|pϕdx+λfψdx+ψdαK
Ω{u<K}Ω
Donc,entenantcomptelarelation(3.3.5),onobtient
|Tk(v)|p−2Tk(v).ϕdx=λfeγ(TK(u))ϕdx+eγ(TK(u))ϕdαK
Ω{U<K}Ω
Puisque{u=K}={v=k}etαKestconcentr´eesur{u=K},enutilisantlad´efinition
(3.2.1)deg,onadonc
|Tk(v)|p−2Tk(v).ϕdx=
Ωλfeγ(TK(u))ϕdx+eγ(TK(u))ϕdαK
{U<K}Ω∩{u=K}
=λf(1+g(v))p−1ϕdx+eγ(K)ϕdαK
{v<k}Ω∩{u=K}
=λf(1+g(v))p−1ϕdx+ϕ(1+g(k))p−1dαK
{v<k}Ω
=λf(1+g(v))p−1ϕdx+ϕdµk
{v<k}Ω
o`uµk=eγ(K)αK=(1+g(k))p−1αK.D’ou`onobtientl’´equation(3.3.3)v´erifi´eeparla
troncatureTk(v).
Ilnousrestea`d´emontrerlapartie(iii),pourcelaondistinguelesdeuxcasL=+∞et
:∞+<LCas1:L=+∞.Onobtientimm´ediatementlaconvergencedeαKversαspourla
topologie´etroitedesmesureslorsqueK+∞=L.
1,pCas2:L<+∞.D’apr`eslaremarque2.2.10,onaαs=0,etu=TL(u)∈W0(Ω)∩
L∞(Ω).DeplusTK(u)convergefortementversudansW01,p(Ω)lorsqueKL..Consi-
deronsψ=TK(u)dans(3.3.4),onobtient
|TK(u)|pdx=β(TK(u))|TK(u)|pdx+λfTK(u)dx+KαK(Ω)
ΩΩ{u<K}
D’autrepart,lasuiteβ(TK(u))|TK(u)|p=β(u)|TK(u)|pcroitsiKcroitversLet
convergepresquepartoutversβ(u)|u|p∈L1(Ω),d’ou`parlethe´or`emedeconver-
gencedomin´eeonobtientlaconvergencefortedansL1(Ω)deβ(TK(u))|TK(u)|pvers

66

3.3.Preuvedesth´eor`emes3.1.1et3.1.2

β(u)|u|plorsqueKL.Deplus,onaλfχ{u<K}convergeversλffortementdans
L1(Ω)lorsqueKL,puisquef∈L1(Ω)etu<LpresquepartoutdansΩ.
Parcons´equent,onobtient
KlimLKαK(Ω)=
KlimL(|TK(u)|pdx−β(TK(u))|TK(u)|pdx−λfTK(u)dx)
ΩΩ{u<K}
=|u|pdx−β(u)|u|pdx−λfudx=0,
ΩΩΩdoncαKconvergevers0pourlatopologie´etroitedesmesureslorsqueKL.Donc,
danslesdeuxcasou`Lestfinieounon,αKconvergeversαspourlatopologie´etroitedes
mesureslorsqueKL.
Preuvedulemme3.3.5:Supposonsquev1est,punesolutionde(3.1.11).Pourtout
k>0,onconsid`erelafonctiontronqu´eeTk(v)∈W0(Ω).
D’apr`eslad´efintion2.2.11,ilexisteµk∈M0+(Ω),concentr´eesurl’ensemble{v=k},qui
converge´etroitementversµslorsquek→+∞,tellequeTk(v)satisfaitl’´equation(3.3.3),
c’esta`dire
|Tk(v)|p−2Tk(v).ϕdx=λf(1+g(v))p−1ϕdx+ϕdµk(3.3.6)
Ω{v<k}Ω
pourtoutϕ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
Maintenant,onconside`relechangementdefonctionu=H(v),ona0≤u<L.Pourk∈
(0,Λ),soitK=H(k).AlorsTK(u)=H(Tk(v)),etparlar`egledesfonctionscompos´ees
tienobtonTK(u)=H(Tk(v)Tk(v)=(1+g(Tk(v))−1Tk(v)
=(1+g(v))−1Tk(v)(3.3.7)
D’o`u,voirlad´efinition2.2.5,onpeutd´efinirlegradientdeupar
u=(1+g(v))−1v
Cherchonsmaintenantl’e´quationsatisfaiteparTK(u).Soitψ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω),et
ϕ=(1+g(Tk(v))1−pψ;onaϕ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)avec
ϕ=(1−p)(1+g(Tk(v)))−pg(Tk(v))ψ)Tk(v)+(1+g(Tk(v))1−pψ
Consideronsϕcommefonctiontestdans(3.3.6),onobtient
(1+g(Tk(v))1−p|Tk(v)|p−2Tk(v).ψdx=
Ω(p−1)g(Tk(v))(1+g(Tk(v)))−p|Tk(v)|pψdx
Ω+λf(1+g(v))p−1(1+g(Tk(v))1−pψdx+(1+g(Tk(v))1−pψdµk
{v<k}Ω

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

67

Enutilisantlarelation(3.3.7),lade´finition(3.2.2)deβ,etqueTk(v)=vsur{v=k}=
{u=K},onde´duit
|TK(u)|p−2TK(u).ψdx=β(TK(u))|TK(u)|pψdx
ΩΩ+λfψdx+(1+g(Tk(v))1−pψdµk,
{U<k}Ω
orµkestconcentr´eesurl’ensemble{v=k},donc
(1+g(Tk(v))1−pψdµk=(1+g(Tk(v))1−pψdµk
ΩΩ∩{v=k}
=(1+g(k)1−pψdµk=ψdαK
Ω∩{v=k}Ω
ou`αKestdonn´eeparlarelation(3.3.1).Parcons´equent,onobtientl’´equation(3.3.2)
satsfaiteparTK(u).
Pourmontrerlapartie(iii),ondistinguelesdeuxcasΛ=+∞etΛ<+∞.SiΛ=
+∞,alorslaconvergenceestimm´ediate.SiΛ<∞,alorsµs=0,etv=TΛ(v)∈
W01,p(Ω)∩L∞(Ω),.DeplusTk(v)convergefortementversvdansW01,p(Ω)lorsquekΛ.
Consideronsϕ=Tk(v),dans(3.3.6),onobtient
|Tk(v)|pdx=λf(1+g(v))p−1vχ{v<k}dx+kµk(Ω)
ΩΩD’autrepart,parleth´eore`medeconvergencemonotone,f(1+g(v))p−1vχ{v<k}converge
fortementdansL1(Ω)versf(1+g(v))p−1v∈L1(Ω)lorsquekΛ,puisquev<Λpresque
partoutdansΩ.Alors
limkµk(Ω)=lim(|Tk(v)|pdx−λf(1+g(v))p−1vχ{v<k}dx)
kΛkΛΩΩ
=|v|pdx−λf(1+g(v))p−1vdx=0,
ΩΩdoncµkconverge´etroitementvers0dansMb(Ω)lorsquekΛ.D’ici,danslesdeuxcas
ou`Λestfiniouinfini,onaµkconvergeversµspourlatopologiee´troitedeMb(Ω)lorsque
.ΛkApr`esavoird´emontre´leslemmes3.3.3,3.3.4et3.3.5,onvalesutiliserpourd´emontrer
lere´sultatprincipaldecechapitre:lesth´eor`emes3.1.1et3.1.2.
(UV)Preuveduth´eore`me3.1.1.Soituunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme
(3.1.10).Soitg=T(β)etv=Ψ(u),donc0≤v(x)<ΛpresquepartoutdansΩ.
Reprenonstouteslesnotationsdulemme3.3.4.

68

3.3.Preuvedesth´eor`emes3.1.1et3.1.2

Soitψ=eγ(TK(u))−1=(1+g(Tk(v))p−1−1.Onaψ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)avec
ψ=γ(TK(u))eγ(TK(u))TK(u)
=β(TK(u))eγ(TK(u))TK(u)
Consideronsψcommefonctiontestdansl’´equation(3.3.2)satisfaiteparlatronque´e
TK(u),onobtient
β(TK(u))|TK(u)|peγ(TK(u))dx=
Ωβ(u)|u|pψdx+λfψdx+ψdαK
{u<K}{u<K}Ω
=β(TK(u))|TK(u)|p(eγ(TK(u))−1)dx+λfψdx+ψdαK
Ω{u<K}Ω
d’ou`
β(TK(u))|TK(u)|pdx=λfψdx+ψdαK
Ω{u<K}Ω
parsuite,enutilisantl’expressiondeψetlefaitqueαKestconcentr´eesur{u=K}=
{v=k},onobtient
β(TK(u))|TK(u)|pdx=λfψdx+ψdαK
Ω{u<K}Ω
=λf((1+g(v))p−1−1)dx+((1+g(k))p−1−1)dαK
{v<k}Ω
=λf((1+g(v))p−1−1)dx+µk(Ω)−αK(Ω).
{v<k}
parcons´equentλ{v<k}f((1+g(v))p−1dx+µk(Ω)est´egala`
β(TK(u))|TK(u)|pdx+λfdx+αK(Ω)(3.3.8)
Ω{v<k}
Puisqueβ(u)|u|p∈L1(Ω),f∈L1(Ω)etαKconverge´etroitement,onde´duitque
laquantite´(3.3.8)estuniformementborne´eparrapporta`K.Donc,ilexisteM>0
ind´ependantedektelleque:
λf((1+g(v))p−1dx+µk(Ω)≤M(3.3.9)
}k<v{Ilenre´sultequeΦ=f(1+g(v))p−1∈L1(Ω),parlelemmedeFatou,etquelasuitedes
mesuresµkestuniformementborne´eparrapporta`kdansMb(Ω).Alorsilexisteune
suite(kn)quiconvergeversΛtelleque(µkn)convergeversunemesureµ∈Mb+(Ω)pour

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

69

latopologiefaible∗deMb(Ω).
Maintenant,soitvn=Tkn(v),alors(vn)convergeversv=Ψ(u)presquepartoutdans
Ω.Deplus,vnestsolutiondel’´equation(3.3.3)pourk=kn.Doncvnestsolutionde
:ionequat´l’−Δpvn=ηndansD(Ω)
avecηn=f(1+g(v))p−1χ{v<kn}+µkn≥0.D’apr`es(3.3.9)onaηn(Ω)≤M.Parsuite,
voirremarque2.2.13,nousobtenonsa`unesous-suitepr`es:
vn→vpresquepartoutdansΩ,
vn→vpresquepartoutdansΩ,
|vn|p−1estborn´eedansLτ(Ω)pourtoutτ<N,
1−N|vn|p−2vn→|v|p−2vfortementdansLτ(Ω)pourtoutτ<N.
1−NAlorsvsatisfaitl’´equation
−Δpv=Φ+µdansD(Ω);(3.3.10)
doncµestuniquementdetermin´e,etµkconvergepourlatopologiefaible∗deMb(Ω)vers
µlorsquekΛ.Alorsvestunesolutionatteignabledel’´equation(3.3.10).Posons
µ.+Φ=MPremiercas:p=2oup=N.Alors,parunicite´desolution,onsaitquevest
unesolutionrenormalis´eedel’e´quation(3.3.10).Ilexistem∈M0+(Ω)etηs∈Ms+(Ω)
tellesqueM=m+ηs,etd’apr`esladefinitiond’unesolutionrenormalis´ee,pourtout
k>0,ilexisteηk∈M0+(Ω)concentr´eesurl’ensemble{v=k},quiconvergeversηspour
latopologie´etroitedesmesures,et
−ΔpTk(v)=m{v<k}+ηkdansD(Ω),
aussiaonmais−ΔpTkn(v)=Φkn+µkndansD(Ω),
avecΦkn=λf(1+g(v))p−1χ{v<kn}.Donconobtient
Φkn−m{v<kn}=ηkn−µkn,
etpuisquelepremiermembredel’´egalite´Φkn−m{v<kn}estconcentre´surl’ensemble
{v<kn}etlesecondηkn−µknestconcentre´surl’ensemble{v=kn},alorstouslesdeux
sontnulles,parsuiteΦkn=m{v<kn}etηkn=µkn.Ilenre´sultequeηkn=µkn,etµ=ηs,
et−Δpv=f(1+g(v))p−1+ηsdansD(Ω);

70

3.3.Preuvedesth´eor`emes3.1.1et3.1.2

doncausensdesolutionrenormalis´ee;avecµkconvergeversηspourlatopologie´etroite
desmesuresetµ=ηsestsingulie`re.
Casg´eneral.SiΛ<+∞alorsL<∞,u,v∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω),etµ=α=0,et
u,vsontdessolutionsvariationnellesde(Pu,λ)et(Pv,λ).
Montronslesr´esultatsdanslecasΛ=+∞.D’apr`es[3],ilexistem∈M0(Ω)etη∈
Mb+(Ω)tellesqueM=m+η,etilexisteunesuite(kn)quitendvers∞,tellequeil
existeunemesureMkn∈W−1,p(Ω)∩Mb(Ω)telleque−ΔpTkn(v)=MkndansD(Ω),et
ηkn=Mkn{v=kn}∈M0+(Ω)etMkn=m{v<kn}+ηkn,
et(ηkn)convergefaiblement∗versM;etpourtouth∈W1,∞(R)tellequehaunsupport
compact,etpourtoutϕ∈D(Ω)
|v|p−2v.(h(v)ϕ)dx=h(v)ϕdm+h(∞)ϕdη.(3.3.11)
ΩΩΩMaisMkn=m{v<kn}+ηkn=Φχ{v<kn}+µkn,
d’ou`ηkn=µknetm{v<kn}=Φχ{v<kn},et{v=∞}estdecapacite´0,doncm=Φ,et
µ=η,donc(3.1.12)estsatisfaite.
Deplus,siβ∈L1((0,L)),alorsµ=eγ(L)αsd’apr`es(ii)dulemme3.3.3,doncµest
singuli`ere;etµkconvergepourlatopologie´etroitedesmesures,doncvestunesolution
renormalis´eede(3.1.11).SiL=∞etβ∈L1((0,∞)),alorsd’apr`es(3.2.7)etlaremarque
3.2.5,celaest´equivalenta`v−lim→Λg(v)=∞,d’ou`αs=0par(i)dulemme3.3.3.
(VU)Preuveduth´eore`me3.1.2.Soitvunesolutionrenormalis´eede(3.1.11),ou`
0≤v(x)<ΛpresquepartoutdansΩ.Soitβ=T−1(g)etu=H(v)donc0≤u<L
presquepartoutdansΩ.
1Soitφ(s)=1−(1+g(s))p−1.Lafonctionϕk=φ(Tk(v))estunefonctionadmissibledans
(3.1.11),doncontrouve
pg(v)|v)|p
{u<K}β(u)|u|dx=(p−1){v<k}(1+g(v))pdx
=λf(1+g(v))p−1ϕkdx+φ(k)dµk
{v<k}Ω
≤λf(1+g(v))p−1dx+dµk≤C
ΩΩou`C>0estind´ependantedek;alorsβ(u)|u|p∈L1(Ω).
D’apr`es(i)dulemme3.3.3,onaαKconverge´etroitementversunαs∈Ms+(Ω).Puisque

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

71

Tk(u)∈W01,p(Ω),elleestencoreunesolutionrenormalis´eedel’e´quation(3.3.2).D’apr`es
[4,Theorem3.4]ilexisteunesous-suiteconvergenteversunesolutionrenormalis´eeUde
−ΔpU=β(u)|u|p+λf+αs

etTk(u)convergepresquepartoutdansΩversu,donc(lerepre´sententquasicontinude)
Uest´egala`u.
Terminonscettesectionparquelquesremarques,ou`nouscommentonslesr´esultats
desth´eor`emes3.1.1et3.1.2:

Remarque3.3.6Sousleshypoth`esesduth´eor`eme3.1.1,ona
1.Siγ(Lβ)∈L1((0,L)),cequiest´equivalenta`gestborn´eed’apr`es(3.2.7);alorsµ=
eαsestsinguli`ereetsideplusL<∞,doncαs=0,alorsµ=0.
2.Siβ∈/L1((0,L)),cequiest´equivalenta`gnonborn´eed’apr`es(3.2.7);alorsαs=0,
maisonnesaitriensurµ.Donc,leprobl`eme(3.1.10)n’apasdesolutionrenorma-
lis´eepourαs=0.

Remarque3.3.7Sousleshypoth`esesduth´eor`eme3.1.2,ona
1.SiΛ<∞,cequiimpliqueL<∞,alorsαs=µs=0.
2.SiΛ=∞et−γg(∞)estborn´ee,cequiest´equivalenta`β∈L1((0,∞))d’apr`es(3.2.7),
alorsαs=eµs

3.4Lecasβconstant,glin´eaire
Danscettederni`eresectiondecechapitrenousmontronslesr´esultatsduth´eore`me
3.4.1,concernantlesdeuxprobl`emes(3.1.7)et(3.1.8),ou`f≡0,etβ(u)≡p−1,et
g(v)=vsafonctioncorrespondante:
p−Δpu=(p−1)|u|+λf(x)dansΩ,(3.4.1)
u=0sur∂Ω.

et

).4.1(3

et−Δpv=λf(1+v)p−1dansΩ,
v=0sur∂Ω.(3.4.2)
D’abord,notonsquelquespropri´et´esdelapremi`erevaleurpropreλ1(f)de´finiepar(3.1.14):

72

3.4.Lecasβconstant,glin´eaire

3.4.1Quelquespropri´et´esdeλ1(f)
(i)Soitf∈L1(Ω),f≥0,f≡0,telleque
λ1(f)>0.
SoitC>0.Alorspourtoutv∈W01,p(Ω),ona
f(C+|v|)p−1∈W−1,p(Ω)∩L1(Ω),
enparticulierf∈W−1,p(Ω).
Eneffet,pourtoutε>0,lafonctionh(r)=(C+r)p−(1+ε)rpadmetunmaximumsur
[0,∞),doncilexisteM=M(ε,p,C)>0telleque
(C+r)p≤(1+ε)rp+Mpourtoutr≥0,
doncpourtoutε>0,ilexisteKε=K(ε,p,C)>0tellequepourtoutv,w∈W01,p(Ω):
ε+1f(C+|v|)pdx≤(1+ε)f|v|pdx+Mε|Ω|≤λ(f)vLpp(Ω)+Mε|Ω|(3.4.3)
1ΩΩdoncenutilisant(3.4.3,puisl’in´egalite´(x+y)θ≤xθ+yθpourtoutx,y≥0et0≤θ≤1,
tienobtonf(C+|v|)p−1|w|dx≤f(C+|v|)pdxf|w|pdx
1/p1/p
1ΩΩΩ1/p
≤λ1(f)1/pΩf(C+|v|)pdxwLp(Ω)
(1+ε)1/pp/p
≤(p1+p1vLp(Ω)+Kε)wLp(Ω)
)f(λ11+ε1/pp−1
=(λ1(f)vLp(Ω)+Kε)wLp(Ω)(3.4.4)
ou`Kε=(Mε|Ω|)1/p/λ1(f)1/p.Doncf(C+|v|)p−1∈W−1,p(Ω)∩L1(Ω),enparticulier
f∈W−1,p(Ω),etavecdesnouveauxεetKε,
)f(λ1f(C+|v|)p−1W−1,p(Ω)≤1+εvpL−p1(Ω)+Kε.(3.4.5)
(ii)Sif∈Lr(Ω),avecr≥N1/p,,palorsλ1(f)>0,etλ1(f)estatteinteparunecertaine
premi`ere∞fonctionpropreφ1∈W0(Ω)duprobl`eme(3.1.13),d’apr`es[6].Sir>N/p,alors
φ1∈L(Ω),d’apr`eslapropkosition2.3.4,etφ1estlocalementH¨oldercontinue,d’apr`es
[2].Sir=N/p,alorsφ1∈L(Ω)pourtoutk≥1.
(iii)Si0∈Ωetf(x)=1/|x|p,alorsf∈LN/p(Ω),maisλ1(f)>0d’apr`esl’in´egalite´
deHardy,donn´eeparλ1(f)=((N−p)/p)petλ1(f)n’estpasatteinte.

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

73

3.4.2PreuveduTh´eor`eme3.1.3
Lesr´esultatsduth´eor`eme3.1.3sontceuxquenousavons´enonce´danslechapitre
d’introductionparlesthe´or`emes2.2,2.4et2.6etlescorollaires2.3,2.5et2.7.
Nouscommen¸conspard´emontrerler´esultatd’existence,d’unicite´etder´egularite´du
th´eore`me2.2:
Th´eor`eme3.4.1Si0<λ<λ1(f)alorsleprobl`eme(3.4.2)admetunesolutionpositive
uniquev∈W01,p(Ω).Sideplusfsatisfaitf∈Lr(Ω),r>N/p,alorsv∈L∞(Ω).Si
f∈LN/p(Ω),alorsv∈Lk(Ω)pourtoutk>1.
Preuve.ExistenceetR´egularite´:Supposons0<λ<λ1(f).Alorsf∈W−1,p(Ω)
d’apre`s(i)delasoussection3.4.1,doncv1=G(λf)∈W01,p(Ω)etv1≥0,d’apr`esla
remarque2.2.20.Onaf(1+v1)p−1∈W−1,p(Ω),d’apr`es(i)delasoussection3.4.1.Par
unprocessusd’it´erationnousd´efinissonsvn=G(λf(vn−1+1)p−1∈W01,p(Ω),alors
−Δpvn=λf(vn−1+1)p−1dansW−1,p(Ω).(3.4.6)
D’apr`eslaremarque2.2.20,ond´eduitquelasuitevnestcroissante.
Consideronsvncommefonctiontestdans(3.4.6),alorsd’apr`es(3.4.3)ilexisteuneconstante
C()>0ind´ependantedentelleque
|vn|pdx=λf(vn−1+1)p−1vndx
ΩΩ≤λf(vn+1)pdx
Ωλ(1+ε)p
≤λ1(f)Ω|vn|dx+λC().
etalorsλ(1+)p
(1−λ1(f))Ω|vn|dx≤λC().
Choisissonstelleque0<<λ1(f)−λ,parsuite1−λ(1+)>0,alorsonconclutque
λλ1(f)
(vn)est1b,porn´eedansW01,p(Ω).Lasuitevnestd´ecroissante,doncelleconvergefaiblement
dansW0(Ω),etpresquepartout1,pdansΩversv=supvn.
Maintemant,pourtoutw∈W0(Ω),ona
f(vn−1+1)p−1w≤f(1+v)p−1|w|=h,
etnousavonsh∈L1(Ω)d’apre`s(3.4.4),donc
f(vn−1+1)p−1f(1+v)p−1faiblementdansW−1,p(Ω).

74

3.4.Lecasβconstant,glin´eaire

Mais,d’apr`es[8],l’op´erateur(−Δp)−1estcompactdeW−1,p(Ω)dansLq(Ω)pourtout1≤
q<pN/(N−p).DoncilexisteunesoussuitedevnquiconvergefortementdansLq(Ω)for
anyq,1≤q<pN/(N−p)etpresquepartoutdansΩversw=(−Δp)−1(λf(v+1)p−1)∈
W01,p(Ω).MaislasuitevnconvergeversvpresquepartoutdansΩ,alorsv=w∈W01,p(Ω)
etdoncvestunesolutionde

−Δpv=λf(v+1)p−1inW−1,p(Ω).

Lar´egularite´estobtenueparlaproposition2.3.4.
Unicite´:L’unicite´estbas´eesurlelemmedutypePicone2.2.21.Nousnousinspirons
del’in´egalite´deDiaz-Saa,voir[5],ennotantqueladifficulte´dansnotresituationestque
lesecondmembren’estpasborne´etparsuiteunesolutionn’estpasassezr´egulie`re,mˆeme
ellen’estpasne´cessairementborn´ee.
Soientv,v¯∈W01,p(Ω)deuxsolutionspositivesde(3.4.2).Notonsque0n’estpassolution
duproble`me(3.4.2),donctoutesolutionde(3.4.2)estnonidentiquementnulle,doncpar
leprincipedumaximumfortonav,v¯>0.
D’apr`eslelemme2.2.21applique´pourU=vetV=v¯,nousd´eduisonsquevp(−Δpv¯)/v¯p−1
ecva|v|pdx≥vp(−Δpv¯)/v¯p−1dx,
ΩΩD’autrepart,puisque−Δpv∈W−1,p(Ω)∩L1(Ω)et(−Δpv)v≥0,nousobtenons
p(−Δpv)vdx=|v|dx,voirlaremarque(2.2.2).Parconse´quent
ΩΩ−ΔpvΔpv¯pΔpv¯p
I=(vp−1+v¯p−1)vdx=(−Δpv)vdx+v¯p−1vdx
ΩΩΩ=|v|pdx+vp(Δpv¯)/v¯p−1dx≥0;
ΩΩ−Δpv¯Δpvp
etparsym´etrieJ=(v¯p−1+vp−1)v¯dx≥0.Donc
Ω−ΔpvΔpv¯pp
I+J=(p−1+p−1)(v−v¯)dx≥0.
v¯vΩ

partutreD’a

I+J=λf((1+1)p−1−(1+1)p−1)(vp−v¯p)dx≤0
vvΩ

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

75

doncI+J=0.Parcons´equentv=v¯sur{f>0}.DeplusI=J=0,carI,J≥0.Donc
I=|v|pdx+vp(λf(1+v¯)p−1)/v¯p−1dx
ΩΩ=|v|pdx−v(λf(1+v¯)p−1)dx
Ω{f>0}
=|v|pdx+v(Δpv¯)dx
ΩΩ=|v|pdx−|v¯|p−2v¯∙vdx
ΩΩ=(|v|p−2v−|v¯|p−2v¯)∙vdx.
ΩDemeˆmeJ=(|v¯|p−2v¯−|v|p−2v)∙v¯dx.Donc
ΩI+J=(|v|p−2v−|v¯|p−2v¯)∙(v−v¯)dx=0.
ΩIlenr´esultequev=v¯,voir[8,LemmeA.0.5].
Parleth´eor`eme3.4.1nousobtenonsler´esultatsuivant
Corollaire3.4.2Si0<λ<λ1(f)alorsilexisteuneuniquesolutionu0∈W01,p(Ω)de
(3.4.1)tellequeeu0−1∈W01,p(Ω).Sif∈LN/p(Ω),alorsu0∈Lk(Ω)pourtoutk>1.Si
f∈Lr(Ω),r>N/p,alorsu0∈L∞(Ω).
Preuve.Toutesolutionrenormalis´eeude(3.4.1)satisfait(p−1)|u|p∈L1(Ω),donc
u∈W01,p(Ω).Siλ<λ1(f),ilexisteunesolutionuniquev0∈W01,p(Ω)de(3.4.2)parle
th´eore`me3.4.1.Alorsparlethe´or`eme3.1.2,u0=H(v0)estunesolutionrenormalise´ede
(3.4.1)tellequev0=Ψ(u0)=eu0−1∈W01,p(Ω).
R´eciproquement,siuestunesolutionrenormalis´eede(3.4.1),tellequev=Ψ(u)∈
,p1W0(Ω),alorsparlethe´or`eme3.1.1,ilexisteunemesureµ∈Mb+(Ω)tellequevestune
solutionatteignablede
−Δpv=λf(1+v)p−1+µ.
Puisquev∈W01,p(Ω),alorsF=λf(1+v)p−1+µ∈W−1,p(Ω)etdonc
µ=F−λf(1+v)p−1∈W−1,p(Ω)+L1(Ω)=M0(Ω).
Alorsparl’existenceetl’unicite´dessolutionsde(2.2.2)lorsqueµ∈M0(Ω),vestencore
unesolutionrenormalis´ee.Commedanslade´monstrationduth´eor`eme3.1.1danslecas
p=2ouN,ond´eduitqueµ∈Ms+(Ω).Doncµ∈M0(Ω)∩Ms+(Ω)={0},doncµ=0
etv=v0,alorsu=u0.
Lar´egularite´r´esultedufaitqueu0≤v0.
Maintenantnousmontronsler´esultatdenon-existenceduth´eor`eme2.4:

76

3.4.Lecasβconstant,glin´eaire

The´or`eme3.4.3Siλ>λ1(f)≥0,ouλ=λ1(f)>0etf∈LN/p(Ω),alorsleprobl`eme
(3.4.1)n’admetaucunesolutionrenormalis´ee.
Preuve.Supposonsque1,puestunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme(3.4.1).D’apr`esla
remarque3.3.1,u∈W0(Ω).
(i)Soitψ∈D(Ω),avecψ≥0.Prenonsϕ=ψpcommefonctiontestdansleproble`me
enu,nousobtenons
(p−1)|u|pψpdx+λfψpdx=pψp−1|u|p−2u.ψdx
ΩΩΩ≤p|u|p−1|ψ|ψp−1dx
Ω≤|ψ|pdx+(p−1)|u|pψpdx;
ΩΩenutilisantl’in´egalite´deYoungab≤app+bpp,ou`p=p/(p−1);applique´epoura=
|u|p−1ψp−1etb=|ψ|.D’ou`
λfψpdx≤|ψ|pdx;
ΩΩpardensit´enousmontronsqueλ≤λ1(f).Enparticuliersiλ1(f)=0alorsiln’existepas
desolutionpourtoutλ>0.
(ii)Supposonsquef∈LN/p(Ω)etλ=λ1(f)>0.Onsaitqueλ1(f)estatteintepar
,p1unecertainepremi`erefonctionpropreφ1∈W0(Ω)(voir(ii)delasoussection3.4.1).
ppConsid´eronsφ1,ona
|φ1|dx=λ1(f)fφ1dx.(3.4.7)
ΩΩConsid´eronsunesuitedefonctionspositivesψn∈D(Ω)convergenteversφ1fortement
dansW01,p(Ω).Prenonsψnp∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)commefonctiontestdansleproble`meen
etrouvon,u(p−1)|u|pψnpdx+λ1(f)fψnp−1dx=pψnp−1|u|p−2u.ψndx.(3.4.8)
ΩΩΩPourtoutefonctionφ∈W01,p(Ω),nousposons
L(u,φ):=(p−1)|u|pφp+|φ|p−pφp−1|u|p−2u.φ,
L1(u,φ):=(p−1)|u|pφp+|φ|p−pφp−1|u|p−1|φ|,
presquepourtoutx∈ω.Donc0≤L1(u,φ)≤L(u,φ).D’apr`es(3.4.8),
L1(u,ψn)dx+λ1(f)fψnpdx≤L(u,ψn)dx+λ1(f)fψnpdx=|ψn|pdx;
ΩΩΩΩΩ

Chapitre3.Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)

77

Enutilisantlaconvergencefortedeψn∈D(Ω)versφ1dansW01,p(Ω),onpeutextraire
unesoussuitequiconvergepresquepartoutdansΩpuisutiliserlelemmedeFatoupour
conclurel’in´egalite´
L1(u,φ1)dx+λ1(f)fφ1pdx≤L(u,φ1)dx+λ1(f)fφ1pdx=|φ1|pdx,
ΩΩΩΩΩparsuite,enutilisant(3.4.7),nousobtenonsL1(u,φ1)=L(u,φ1)=0presquepartout
dansΩ.SoitA={x∈Ω:φ1=0},alorsnonstrouvons
u=0presquepartoutdansA
etppp−1p−1
(p−1)|u|φp1−p|u|pφ−11+1=0presquepartoutdansΩ\A(3.4.9)
|φ1||φ1|
PosonsX=||uφ|1φ|1alors,ensubstituantdans(3.4.9),onobtient
(p−1)Xp−pXp−1+1=0avecX≥0,
quiadmetdansR+unesolutionuniqueX=1carp>1,alors
|u|φ1=(p−1)|φ1|presquepartoutdansΩ\A
MaisL(u,φ1)=0,alors
|u|pφ1p+(p−1)p−11p|u|pφ1p−p|u|p−2u.φ1φ1p−1=0
1)−p(suiteparetp|u|pφ1p−p|u|p−2u.φ1φ1p−1=0
1−pbienoup|u|p−2φ1p−2u(1uφ1−φ1)=0presquepartoutdansΩ\A(3.4.10)
1−pD’autrepartu=0presquepartoutdansΩ\A:eneffet,siu(x)=0alorsφ1(x)=0,
puisqueL(u,φ1)=0doncx∈A.Parcons´equent,puisqueφ1>0nouspouvonsconclure
quep−11uφ1−φ1=0presquepartoutdansΩ\A,d’apr`es(3.4.10).Alors
u=(p−1)φ1presquepartoutdansΩ\A
φ1etpuisqueu=φ1=0presquepartoutdansA,ilenr´esulte
u=(p−1)φ1=(log(φ1p−1))presquepartoutdansΩ
φ1alorsu=log(φ1p−1)+k,oubienφ1p−1=eu−k≥e−kpresquepartoutdansΩ,cequiest
ossible.impEnappliquantleth´eore`me3.1.2nousobtenonslecorollaire2.5:

78

3.4.Lecasβconstant,glin´eaire

Corollaire3.4.4Siλ>λ1(f)≥0,ouλ=λ1(f)>0etf∈LN/p(Ω),alorsleproble`me
(3.4.2)n’admetaucunesolutionrenormalis´ee.

Preuve.Si(3.4.2)admetunesolutionrenormalis´eevalorsu=ln(1+v)estunesolution
renormalis´eeduprobl`eme(3.4.1),d’apr`eslethe´or`eme3.1.2.
Finalement,admettonsprovisoirementlere´sultatsuivantconcernantleprobl`emelin´eaire
envavecunedonn´eemesureµs∈Ms+(Ω):
−Δpv=λf(x)(1+g(v))p−1dansΩ,
v=0sur∂Ω.(3.4.11)
The´or`eme3.4.5Si0<λ<λ1(f),pourtoutemesureµ∈Mb+(Ω),ilexisteaumoins
unesolutionrenormalis´eevduprobl`eme(3.4.11).

Ceth´eor`emeestuncasparticulierd’unr´esultatplusge´n´eralquiseradonne´dansle
chapitre6parlethe´or`eme6.1.1ou`noustraiteronsdesnon-lin´earit´esplusge´n´eralesavec
unedonn´eemesuredeRadonborn´eequelconquesanshypothe`sedesigne.Notonsquece
r´esultatsera´etablipourunemesurenonn´ecessairementsinguli`ere;cela´etendle
r´esultat[1,Theorem2.6]relativeaucasduLaplacien,c’esta`direp=2,etou`lamesure
consid´er´eeestsinguli`ere.
Commecons´equencedesth´eor`emes3.4.5et3.1.2nousobtenonsler´esultatdemulti-
plicite´suivant:
Corollaire3.4.6Supposonsquef∈Lr(Ω),r>N/p.Si0<λ<λ1(f)alorsilexiste
uneinfinite´desolutionsus=ln(1+vs)∈W01,p(Ω)of(1.10),moisr´eguli`erequeu0.

Preuve.Pourchaqueµs∈Ms+(Ω)ilexisteunesolutionrenormalis´eevsde(3.4.11)
parleth´eor`eme3.4.5,doncus=ln(1+vs)∈W01,p(Ω)estunesolutionde(3.4.1),parle
th´eore`me3.1.2.

Bibliographie

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criticalgrowthinthegradient,J.Diff.Equ.,222(2006),21-62.
[2]CuestaM.,Eigenvalueproblemsforthep-Laplacianwithindefiniteweights,Electro-
nicJ.Diff.Equ.33(2001),1-9.
[3]DalMasoG.,andMalusaA.,Somepropertiesofreachablesolutionsofnonlinear
ellipticequationswithmeasuredata,Ann.ScuolaNorm.sup.Pisa,25(1997),375-
6.39[4]DalMasoG.,MuratF.,OrsinaL.,andPrignetA.,Renormalizedsolutionsofelliptic
equationswithgeneralmeasuredata,Ann.ScuolaNorm.Sup.Pisa,28(1999),741-
8.80[5]D´ıazJ.I.,andSa´aJ.E.,Existenceetunicite´desolutionspositivespourcertaines
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[7]MalusaA.,Anewproofofthestabilityofrenormalizedsolutionstoellipticequations
withmeasuredata,Asympt.Anal.43(2005),11-129.
[8]PeralI.,Multiplicityofsolutionsforthep-Laplacian,InternationalCenterforTheo-
reticalPhysics,Trieste1997.

79

80

Bibliographie

Cha4erpit

Existencedesolutionspourle
probl`eme(Pv,λ).

iremaSom4.1Introduction.............................
4.2L’intervalled’existencepourλ...................
4.3Egalite´desintervalles........................
4.3.1Convexite´..............................
4.3.2Casou`gaunecroissancelente..................

81

8384868693

82

Chapitre4.Existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ).

83

4.1Introduction
L’objectifdecechapitreestl’´etudedel’existencedesolutionspositivesduproble`me
(Pv,λ)sansmesure:
(Pv,λ)−Δpv=λf(x)(1+g(v))p−1dansΩ,(4.1.1)
v=0sur∂Ω,
pourunefonctiongpositivequelconquesatisfaisantl’hypothe`se
g∈C1([0,Λ)),Λ≤∞,g(0)=0etgestcroissante,g≡0.(4.1.2)
sousdeshypothe`sesconvenablessurfquiestpositiveetaumoinsintegrablesurΩ.
Nousallonsv´erifierquel’ensembledeλpourlaquelleilexisteunesolutiondans
W01,p(Ω)(respectivementW(Ω))estunintervalle[0,λ∗)(resp1ec,ptivement[0,λr))etl’en-
sembledeλpourlaquelleilexisteunesolutionvλdansW0(Ω)∩L∞(Ω)telleque
vλ∞<Λestunintervalle[0,λb).
DaLns(Ω)lasection4.3,nousessayonsder´epondrea`deuxquestionsprincipalesquipeuvent
naturellementseposer,quisontlessuivantes:
(1)Quanda-t-onλb=λ∗=λr?
(2)Siλ∗<∞,quesepasse-t-ilpourλ>λ∗?
Danslasous-section4.3.1,nous´etablissonsdesr´esultatssousdeshypoth`esesde
convexite´surgouH×(1+g),ou`Hestd´efiniepar(3.1.5),voirleth´eor`eme4.3.3.
Notrer´esultatestuneextensiondur´esultatbienconnude[2],relatifaucasp=2.Le
pointcle´dansleraisonnementde[2]estuneine´galite´delaforme
−ΔpΦ(v)≥(Φ(v))p−1(−Δpv),(4.1.3)
quiestformellementsatisfaitepourunefonctionvsurΩetpquelconquesiΦestune
fonctionconcavesurR.Dans[2,Lemme2],danslecasp=2,lesauteursontmontre´
cettein´egalite´ausensque
−Φ(v)Δζdx≥Φ(v)(−Δv)ζdx,∀ζ∈C2Ω,ζ=0sur∂Ω,
ΩΩsousleshypoth`esessuivantessurΦetv:
•Φ∈C2(R)estconcavetellequeΦborn´eeetΦ(0)=0.
•v∈L1(Ω)estunesolutiontr`esfaiblede−Δv=f∈L1(Ω,ρ(x)dx)avecv=0sur
∂Ω,ou`ρestladistanceaubord∂Ω,danslesensque
−vΔζdx=fζdx,∀ζ∈C2Ω,ζ=0sur∂Ω.
ΩΩ

84

4.2.L’intervalled’existencepourλ

Danslecasp=2,iln’yapasdenotiondesolutiontr`esfaible.Dansleth´eore`me4.3.1
nousconsid´eronsunesolutionrenormalis´eequelconquev∈W(Ω)telleque−Δpv≥0
etnousmontronsl’ine´galite´(4.1.3)dansL1(Ω)pourunchoixparticulierdeΦ,voirla
..3.24queremarDanslasous-section4.3.2,nousdonnonsquelquesr´esultatsr´epondantauxdeuxques-
tions(1)et(2)sanshypoth`esesdeconvexite´surg,danslecasΛ=∞etou`gesta`
:tenlecroissanceg(τ)p−1
MQ=limsupQ<∞(4.1.4)
τ→∞−τpouruncertainQ∈(0,Q1),ou`
1)−p(NQ1=,(Q1=∞sip=N).(4.1.5)
p−N

.1.5)(4

4.2L’intervalled’existencepourλ
Nouscommen¸consparunr´esultatd’existencesimple,ou`gsatisfaitseulement(4.1.2),
Λ≤∞,sansaucuneconditiondecroissanceparrapporta`unepuissance,sousl’hypoth`ese
G(f)∈L∞(Ω)ou`Gestd´efinipar(2.2.12)derlad´efinition2.2.18.Cettehypoth`esefaible
surfestsatisfaiteenparticulierquandf∈L(Ω),r>N/p.
Proposition4.2.1Supposons(4.1.2)etG(f)∈L∞(Ω).Alorsilexisteλ0>0telleque
pourtout0<λ≤λ0,leprobl`eme(Pv,λ)admetunesolutionminimaleborn´eevλtelle
quevλL∞(Ω)<Λ.
telleR´queecipr(oP)quement,admetsiuneL=Hsolution(Λ)r<enor∞,(enmalisp´ee,aralorsticulierG(sif)Λ∈<L∞∞)(Ω)et.siilexisteλ>0
,λvPreuve.Soitw=G(f)∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).Soita>0telqueawL∞(Ω)<Λ.Soit
λ0=a((1+g(awL∞(Ω))))−(p−1)etλ≤λ0fix´e.Alors
−Δp(aw)=af(x)=λ0f(x)((1+g(awL∞(Ω))))(p−1)≥λ(1+g(aw))p−1
puisquegcroissante.Ilexisteunesolutionminimalevinterm´ediaireentrelasous-solution
0etlasur-solutionaw,obtenuecommelimitecroissanλted’unsch´emaite´ratif.Eneffet,
en1,ppartantdelasous-solutionv0=0,nouspouvonsd´efinirunesuitedefonctionsde
W0(Ω)∩L∞(Ω)par:
vn=G(λf(x)(1+g(vn−1))p−1),n≥1.(4.2.1)
Parleprincipedecomparaisonnousavons
0=v0≤v1≤...≤vn−1≤vn≤...≤v=aw.

.2.1)(4

Chapitre4.Existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ).

85

Doncnouspouvonsextraireunesoussuitequiconvergeversunesolutionvλ∈W01,p(Ω)∩
L∞(Ω)duprobl`eme(Pv,λ)tellequevλL∞(Ω)≤awL∞(Ω)<Λ.Enfaittoutelasuite
convergecarelleestcroissante.Deplus,vλestlasolutionminimale,puisquepourtoute
solutionvλnouspouvonsconstruirelesch´emaenconsiderantlafonctionv=vλcomme
lution.osur-sR´eciproquement,soitvunesolutionde(Pv,λ).Alorsu=H(v)estunesolutionde
(Pu,λ)(ou(1.1))avecβ=T−1(g),d’apr`esleth´eor`eme3.1.2.Notonsw=G(f),nous
onsva1−Δpu≥λf=λ(−Δpw)=−Δp(λp−1w)dansL1(Ω),
donc,parleprincipedecomparaison,λp−11w≤upresquepartoutdansΩ.Maisu≤L,
puisqueHestcroissante,doncλ1/(p−1)G(f)≤LpresquepartoutdansΩ.D’ou`G(f)∈
∞.(Ω)LRemarque4.2.2Ilestclairquel’existencepourλpetitestvalablemˆemesig(0)>0.
Remarque4.2.3Ler´esultatinverseestoptimalcommelemontrel’exemplesuivant:
prenonsf=1/|x|pavec0∈Ω,alorsG(f)∈L∞(Ω).Pourλ>0quelconque,onsaitq’il
n’yapasdesolutionsduprobl`eme
−Δpv=|xλ|p(1+v)QdansΩ,
v=0sur∂Ω.
pourQ>p−1;danscecasL<∞.Parcontreparleth´eor`eme3.1.3,pourQ=p−1et
0<λ<λ1(f),ilexisteunesolution;danscecasH(∞)=∞.
Remarque4.2.4QuandΛ<∞,etgauneasymptoteenΛ,ilpeutexisterdessolutions
avecvL∞(Ω)=Λ.Consid´eronsl’exemple9duparagraphe3.2de[1]avecp=2et
Ω=B(0,1).Danscetexemplenousavons
1+g(v)=(1−v)−Q,Q>0,etβ(u)=Q(1−(Q+1)u).
Pourλ=2((N−2)Q+N)/(Q+1)2,leprobl`eme(Pu,λ)admetlafonctionu=(1−
r2)/(Q+1)commesolution.Alorsv=Ψ(u)=1−r2/(Q+1)∈W01,2(Ω),etvL∞(Ω)=1.
L’ensembledesλ≥0pourlaquelleleprobl`eme(Pv,λ)admetunesolutionde´penda
prioridelar´egularite´dessolutions.Nousintroduisonstroisclassesdesolutions.Dansle
casΛ<∞lanotiondesolutiontientcomptedufaitque0≤v(x)<Λpresquepartout
.ΩdansDe´finition4.2.5(i)SoitSrl’ensembledesλ≥0telleque(Pv,λ)aunesolutionrenor-
malis´eev,autrementditv∈W.
(ii)SoitS∗1,pl’ensembledesλ≥0telleque(Pv,λ)aunesolutionvariationnellev,
c’esta`direv∈W0(Ω).
(iii)SoitSbl’ensembledesλ≥0telleque(Pv,λ)aunesolutionrenormalis´eevborn´ee
tellequevL∞(Ω)<Λ.

86

4.3.Egalite´desintervalles

Remarque4.2.6LesensemblesSr,S∗,Sbsontdesintervalles:
Sr=[0,λr),S∗=[0,λ∗),Sb=[0,λb)avecλb≤λ∗≤λr≤∞.(4.2.2)
Enalorseffetvλsiestλ0uneappartientsur-solutiona`l’undede(Pcv,λes)trpoisourtoutensembles,λ<λ0et.vλEntr0eestlaunesous-solutionsolutionde0(Petv,λv0λ),,
00ilsch´existeemait´eruneatifsolution(4.2.1).Enminimaleparvticulierm,λ0de(l’applicPv,λ),ationobtenueλ→vcm,λommeestcruneoissante,limitecrdansoissantelesensdu
quesiλ1≤λ2alorsvm,λ1≤vm,λ2presquepartoutdansΩ.
Dans1,plecasΛ=∞,Sbestl’ensembledeλ≥0telleque(Pv,λ)admetunesolution
λv∈≤Wλ∗0(Ω)puisque∩L∞toute(Ω).solutionPourrtoutλenormalis<λb´eeilbornexiste´eeestunedanssolutionW1,p(Ω)minimaled’apr`esborlanr´eeemarvλ.queEt
b02.2.10.SiΛ<∞,alorsλr=λ∗,puisqueSr=S∗,d’apr`eslaremarque2.2.10.Deplus
λ∗<∞.Eneffettoutesolutionvde(Pv,λ)satisfaitλp−11G(f)≤v<Λpresquepartout
dansΩ,etG(f)≡0.

4.3Egalite´desintervalles
Laquestionprincipaleestdesavoirsiλb=λ∗=λr,commenousl’avonsmontre´dans
lecasquandg(v)=v,parleth´eor`eme3.1.3duchapitre3,ou`λ∗=λ1(f).Ila´ete´montre´
quandgestd´efiniesur[0,∞)etconvexedans[2]pourp=2.Nouscommen¸conspar
´etablirdesre´sultatssousdeshypoth`esesdeconvexit´e.

4.3.1Convexite´
Dans[2],pourp=2,lesauteursontutilise´sunem´ethodebas´eesurlatransformation
u=H(v),meˆmesileprobl`eme(Pu,λ)n’´etaitpasintroduit.Enutilisantles´equations
satisfaitesparlestroncaturescommedanslad´emonstrationduth´eor`eme3.1.2,nous
pouvons´etendrelepointcle´delapreuve:

The´or`eme4.3.1Soientg1,g2∈C1([0,Λ))deuxfonctionscroissantes,avec0<g2≤g1
sur[0,Λ).Soitv∈W(Ω)telleque−Δpv≥0presquepartoutdansΩ,et0≤v<Λ
presquepartoutdansΩ.Soient
τdsτds
H1(τ)=0g1(s),H2(τ)=0g2(s),
queosonsSupp0≤g2◦H2−1≤g1◦H1−1sur[0,H1(Λ)).(4.3.1)

.3.1)(4

Chapitre4.Existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ).

Alorsv¯=H2−1(H1(v))∈W,etv¯≤v,et
1−p−Δpv¯≥g2(v¯)(−Δpv)dansL1(Ω).
)v(g1

87

(4.3.2)

Preuve.Poursimplifier,nouspouvonssupposerqueg1(0)=1,sanspertedeg´ene´ralit´e.
Soitu=H1(v),etF=−Δpv.Appliquonsleth´eor`eme3.1.2avecg=g1−1et
f=Fg1(v)1−p≤F,noustrouvonsquelafonctionuestunesolutionrenormalis´eede
−Δpu=β1(u)|u|p+Fg1(v)1−pdansΩ,
u=0sur∂Ω,
ou`β1(u)=(p−1)g1(v)=(p−1)g1(H1−1(u)).Soit
v¯=H2−1(u)=(H2−1◦H1)(v)
alorsv¯≤v,carg2≤g1.Posonsβ2(u)=(p−1)g2(v¯)=(p−1)g2(H2−1(u)),nouspouvons
irerec´β1(u)|u|p=β2(u)|u|p+η,
ecvaη=(β1(u)−β2(u))|u|p
=(p−1)(g1(H1−1(u))−g2(H2−1(u)))|u|p.
Parl’hypoth`ese(4.3.1)nousobtenonsg1(v)≥g2(v¯)≥0,c’esta`dire0≤β1≤β2,par
suite0≤β2(u)|u|p≤β1(u)|u|p∈L1(Ω),
doncη∈L1(Ω)etη≥0;donc
−Δpu=β2(u)|u|p+f¯
avecf¯=Fg1(v)1−p+η.Parlelemme3.3.4,lestroncaturesTk(v),TK(u),Tk(v¯)satisfont
respectivementles´equations
−ΔpTk(v)=Fχ{v<k}+µk,
p−ΔpTK(u)=β1(TK(u))|TK(u)|+Fg1(v)1−pχ{u<K}+αK,
−ΔpTk(v¯)=f¯g2(v¯)p−1χ{v¯<k}+µ¯k,
dansD(Ω),ou`
αK=g1(v)1−pµk,µ¯k=(g2(k)/g1(k))p−1µk.

88

4.3.Egalite´desintervalles

Commedanslapreuveduth´eor`eme3.1.1,nousobtenonsf¯g2(v¯)p−1∈L1(Ω),et
f¯g2(v¯)p−1χ{v¯<k}convergeversf¯g2(v¯)p−1fortementdansL1(Ω).Deplusµkconvergevers0
pourlatopologie´etroitedesmesureslorsquek→Λ,donck→limΛµk(Ω)=0;etg2(k)≤g1(k),
donclimµ¯k(Ω)=0,etµ¯kconvergevers0pourlatopologie´etroite.Alorsparth´eor`eme
2.2.12,v¯estunesolutionrenormalis´eede
−Δpv¯=f¯g2(v¯)p−1dansΩ,
v¯=0sur∂Ω.
Alors−Δpv¯∈L1(Ω),etv¯satisfait(4.3.2).
Remarque4.3.2L’hypoth`ese(4.3.1)est´equivalentea`laconcavite´delafonctionφ=
H2−1◦H1;et(4.3.2)signifieque
−Δpφ(v)≥(φ(v))p−1(−Δpv)dansL1(Ω).
Sinousconsid´eronsunefonctionconcavequelconqueΦl’in´egalite´(4.1.3)estformelle.
PourlechoixparticulierΦ=φ,l’in´egalite´n’estpasformelle,puisqu’iln’yapasde
mesuresquiapparaissent.
Notonsquecechoixparticulierjoueunrˆoleimportantdanslad´emonstrationdu[2,
Th´eor`eme3].
Maintenantnousdonnonsnotrer´esultatprincipal(quicouvreenparticulierleth´eore`me
2.8).Nousavonsaffaiblil’hypothe`sedeconvexite´degsur[0,Λ):
The´or`eme4.3.3Soitgsatisfaisant(4.1.2),etHestd´efiniepar(3.1.5)sur[0,Λ),et
f∈L1(Ω).DanslecasΛ=∞,L=H(Λ)=∞noussupposonsquef∈Lr(Ω),r>N/p.
Supposonsquepouruncertainλ>0ilexisteunesolutionrenormalis´eevde(Pv,λ)telle
que0≤v(x)<ΛpresquepartoutdansΩ.
SupposonsqueH×(1+g)estconvexesur[0,Λ),ouquegestconvexeauvoisinage
deΛ.Alorspourtoutε∈(0,1)ilexisteunesolutionborn´eew,tellequewL∞(Ω)<Λ
de−Δpw=λ(1−ε)p−1f(x)(1+g(w))p−1dansΩ,(4.3.3)
w=0sur∂Ω.
End’autrestermes,λb=λ∗=λr.

ΛdsPreuve.Premiercas:L=H(Λ)=(1+g(s))<∞.
0•D’abordsupposonsqueH×(1+g)estconvexesur[0,Λ).Nousprenonsg1=1+g
etg2=(1−ε)g1.Nousd´esironsappliquerlaproposition4.3.1pourg1etg2etleurs

Chapitre4.Existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ).

89

fonctio−ns1asso−ci1´esH1etH2.Nousa−v1onsH1=HetH2=H/(1−ε).En´ecrivantu=
(1−ε)H(H((1−ε)u))=H2(H((1−ε)u))noustrouvons
H2−1(u)=H−1((1−ε)u)=Ψ((1−ε)u).
Ilestfaciledev´erifierquelacondition(4.3.1)est´equivalentea`
(1−ε)ug(Ψ((1−ε)u)≤ug(Ψ(u)).
Entermedeu,cettein´egalite´signifiequelafonctionu−→uβ(u)estcroissante;en
termedevcelaveutdirequeH×gestcroissante.EtceciestvraiequandH×(1+g)
estconvexe,puisque(H×(1+g))=1+H×g.Alorsparleth´eor`eme4.3.1,lafonction
v¯=H2−1(H(v))=Ψ((1−ε)H(v))satisfaitdansL1(Ω)l’in´egalite´
−Δpv¯≥(g2(v¯))p−1(−Δpv)
1+g(v)
=((1−ε)(1+g(v¯)))p−1λf(x)(1+g(v))p−1
1+g(v)
=λ(1−ε)p−1f(x)(1+g(v¯))p−1.
Doncv¯estunesur-solutionpourleproble`me(Pv,ρ),avecρ=(1−ε)p−1λ.D’autrepart,
puisqueε∈(0,1)etΨ=H−1eststrictementcroissantealorsv¯(x)≤Ψ((1−ε)L)<
Ψ(L)=ΛpresquepartoutdansΩ.Parsuitev¯estborn´eeavecv¯L∞(Ω)<Λ.Doncil
existeunesolutionwde(4.3.3)tellequew≤v¯,d’ou`wL∞(Ω)<Λ.
•Maintenant,supposonsquegestconvexesur[A,Λ),avec0≤A<Λ.Fixonsd>A.
NouspouvonschoisirRsuffisammentpetitdefaconquelecercle(C)tangentaugraphede
1+gderayonRresteaudessusdugrapheetl’abscisseducentrecde(C)soitA<c≤dε,
puisque1+gestconvexeetcroissantesur[A,Λ).ChoisissonsRtr`espetittellequeR<2.
Notonsquedanslecasc=d,nousavonsg(d)=0.Danscecasnotonsparg1lafonction
sur[0,Λ)quivaut1+g(d)sur[0,d)et1+gsur[d,Λ).Danslecasg(d)>0,onconside`re
latangentehorizontalea`(C)aupointd’abscissecdelapartieinf´erieurede(C),elle
coupelegraphede1+genunpointd’abscisseBtellequec<B<d.SoitM=1+g(B),
nousconsideronsg1lafonctionsuivante
M,sur[0,c),
g1(s)=M+R−(R2+(s−c)2)1/2sur[c,d],
1+g,sur[d,Λ).
Doncnousconstruisonsunefonctionconvexecroissanteg1∈C1([0,Λ))tellequeg1≥1+g,
etM≤g1(s)≤M(1+2ε)sur[0,d],
g1(s)=1+g(s)sur[d,Λ).

90

4.3.Egalite´desintervalles

Nousposonsg2=(1−2ε)g1.Alors,parlaproposition4.3.1lafonctionv¯=H2−1(H1(v))=
Ψ1((1−2ε)H1(v))satisfait
−Δpv¯≥λf(x)Fp−1,ou`Fε=(1−ε)g1(v¯)(1+g(v)),
ε2g1(v)
etv¯≤v.Danslecasou`g(d)=0nousavons
•Sur[0,d],nousavonsg1(v¯)=g1(v)=1+g(d)alorspuisquegestcroissante
εFε=(1−)(1+g(v))≥(1−ε)(1+g(v¯)).
2•Sur[d,Λ),nousavonsg1=1+getdonc
εFε=(1−)g1(v¯)≥(1−ε)(1+g(v¯).
2Danslecasou`g(d)>0nousdistingonstroiscaspossibles
•Surl’ensemble{v¯≤v≤d},nousavonsM≤g1(v¯)etg1(v)≤M(1+ε),donc
ε)−(1Fε≥ε2(1+g(v¯))≥(1−ε)(1+g(v¯)).
)+(12•Surl’ensemble{d≤v¯≤v},nousavonsg1=1+g,doncensubstituantdansl’expression
deFεnoustrouvonsFε≥(1−ε)(1+g(v¯)).
•Surl’ensemble{v¯≤d≤v},nousavonsg1(v¯)≥1+g(¯v)etg1(v)=1+g(v)donc
Fε≥(1−ε)(1+g(v¯)).
Alors,danstoutlescas,nousavons
−Δpv¯≥λ(1−ε)p−1f(x)(1+g(v¯))p−1dansL1(Ω),
etnousconcluronscommepre´c´edemment.
Deuxi`emecas:L=∞.Danscecas,lasur-solutiond´ej`aconstruite¯vn’estpas
n´ecessairementborn´ee.Etendant[2],nouseffectuonsunargumentit´eratifde”bootstrapp”
base´surlelemme2.3.3etlaconcavite´deH1,afindeconstruireunesolutionborn´ee.
Puisqueg1estcroissantealorslafonctionH1estconcave,carH1=−g1/(g1)2.Donc
v−v¯v
H1(v)−H1(v¯)≤(v−v¯)H1(v¯))=g(v¯)≤g(v¯).(4.3.4)
11NousavonsH1(v¯)=(1−δ)H1(v),ou`δ=εouδ=2ε,donc(4.3.4)impliqueδg1(v¯)≤
v/H1(v).D’autrepart,puisqueL=∞alorsH(s)tendvers∞lorsques→∞,donc
v/H1(v)≤C(1+v)pouruncertainC>0.Parsuite
δ(1+g(v¯))≤δg1(¯v)≤C(1+v).

Chapitre4.Existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ).

91

Alors(1+g(v¯))p−1∈Lσ(Ω)pourtoutσ∈[1,N/(N−p)),carvestunesolutionrenor-
malis´ee.Puisquef∈Lr(Ω),r>N/p,parl’in´egalite´deH¨older,ilexistem1>1telleque
f(1+g(v¯))p−1∈Lm1(Ω).
Entrelasous-solution0etlasur-solutionv¯ilexisteunesolutionrenormalis´eewdu
proble`me(Pv,λε,1)ou`λε,1=(1−ε)p−1λ,telleque0≤w≤v¯.Donc,puisquegestcrois-
sante,−Δpw∈Lm1(Ω).
Sip=N,alorsw∈L∞(Ω)d’apr`eslelemme2.3.3etnousconcluronscommepr´ece´demment.
Danslasuitenoussupposonsp<N.Nousdistinguonslescassuivants:
•Sim1>N/palorsw∈L∞(Ω).
•Sim1=N/palorsw∈Lk(Ω)pourtoutk≥1.Donc,puisquer>N/p,nouspouvons
choisirksuffisammentlargepourobtenirf(1+g(w))p−1∈Ls(Ω)pouruns>N/p.Par
suitev¯∈L∞(Ω).
•Sim1<N/p.Posonsw1=w.Parlelemme2.3.3,w1(p−1)σ∈L1(Ω)avecσ=Nm1/(N−
pm1).Soitm2:
p111m=m+r−N.
12Nousavonsm1<m2.
Remplac¸ons1+gpar(1−ε)(1+g)nousconstruisonsdelamˆemefaconunesolution
w2de(Pv,λε,2)ou`λε,2=(1−ε)2(p−1)λ,tellequeg(w2)≤C(1+w1)).Parit´eration,
nousconstruisonsunesolutionwnof(Pv,λε,n)ou`λε,n=(1−ε)n(p−1)λ,tellequeg(wn)≤
C(1+wn−1)),doncf(1+g(wn))p−1∈Lmn(Ω),avec
p111mn−r=mn−1−N.
Ilexisteunentiern¯=n¯(r,p,N)tellequemn¯>N/p.Sinon,alorslasuitemnadmetune
limitefinieetnousobtenonsr=N/penpassanta`lalimitedanslarelationd’ite´ration.
Doncwn¯+1∈L∞(Ω)parlelemme2.3.3.Puisqueεestarbitraire,nousobtenonsune
solutionborn´eede(4.3.3).
Danslecasou`gestconvexesur[0,Λ),nousdonnonsler´esultatd’existencesuivant:
Th´eor`eme4.3.4Soitgsatisfaisant(4.1.2),etHestd´efiniepar(3.1.5)sur[0,Λ),et
f∈L1(Ω).DanslecasΛ=∞,L=H(Λ)=∞noussupposonsquef∈Lr(Ω),r>N/p.
Supposonsquepouruncertainλ>0ilexisteunesolutionrenormalis´eevde(Pv,λ)telle
que0≤v(x)<ΛpresquepartoutdansΩ.
Supposonsquegestconvexesur[0,Λ).Alorspourtoutε∈(0,1)ilexisteunesolution
born´eewtellequewL∞(Ω)<Λde
−Δpw=λf(x)(1+g(w)−ε)p−1dansΩ,
.3.5)(4w=0sur∂Ω.

.3.5)(4

92

4.3.Egalite´desintervalles

Preuve.Supposonsquegestconvexesur[0,Λ).Nousprenonsg1=1+getg2=g1−ε,
alors(4.3.1)estsatisfaite,cargestcroissanteetH1≤H2.Appliquonslaproposition
4.3.1,noustrouvonsque¯v=H2−1(H1(v))estunesur-solutionduprobl`eme(4.3.5).Alorsil
existeunesolutiondewof(4.3.5),telleque0≤w≤v¯=H2−1(H1(v)).Parcontradiction,
noustrouvonsseulementquew(x)≤v¯(x)<ΛpresquepartoutdansΩ,,maispas
wL∞(Ω)<Λ.
NousavonsH1(v)=H2(v¯),d’ou`
¯v11v¯11
H1(v)−H1(v¯)=0(g2(s)−g1(s))ds=0(g1(s)−ε−g1(s))ds
¯vdsv¯ds
=ε0g1(s)(g1(s)−ε)≥ε0g1(s)2.
Alors,pourA>0fix´e,ilexisteC(A)>0tellequeH1(v)−H1(v¯)≥C(A)ε,presque
partoutsurl’ensemble{v¯>A}.MaisH1satisfait(4.3.4),doncg1(v¯)≤v/εC(A)surcet
ensemble.Parsuite,ilexisteCε>0telqueεg1(v1)≤Cε(1+v),ou`v1=w.Enremplac¸ant
gparg−nε,eteneffectuantunnombrefinid’´etapes,commedanslade´monstrationdu
th´eor`eme4.3.3danslecasL=∞,noustrouvonsunesolutionborne´ede(4.3.3),puisque
ire.rbitraaestεCommecons´equencenousobtenonslere´sultatdenon-existencesuivant:
Corollaire4.3.5Soitgsatisfaisant(4.1.2),etHestd´efiniepar(3.1.5)sur[0,Λ),et
f∈L1(Ω).DanslecasΛ=∞,L=H(Λ)=∞noussupposonsquef∈Lr(Ω),
r>N/p.Supposonsquegestconvexesur[0,Λ).
Siλ∗<∞,alorspourtoutc>0,iln’yapasdesolutionduprobl`eme
−Δpv=λ∗f(x)(1+g(v)+c)p−1dansΩ,
v=0sur∂Ω.(4.3.6)
Preuve.Supposonsqu’ilexisteunesolutionde(4.3.6)pouruncertainc>0.Alors
−Δpv=λ∗(1+c)p−1f(x)(1+g(v))p−1dansΩ.
)c+(1Appliquonsleth´eor`eme4.3.4pourlafonctiong/(1+c)etε=c/2(1+c),ilexisteune
solutionborn´eewtellequewL∞(Ω)<Λ,duprobl`eme
−Δpw=λ∗f(x)(1+g(w)+c/2)p−1dansΩ,
w=0sur∂Ω.
Nousprenonsα>0telqueα≤c/2(1+g(w)L∞(Ω)).Alors
(1+g(w)+c/2)p−1≥(1+g(w)+α(1+g(w)L∞(Ω)))p−1
≥((1+α)(1+g(w)))p−1.

Chapitre4.Existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ).

93

1−p∗yPardecesuitewproblest`emeunetellequesur-solutioynL∞de(Ω)(P≤v,λ)wouL`∞λ(Ω=)<λΛ(1,+ceα)qui,contdoncreditillaexisted´efinitiounendesolutioλ∗n.

4.3.2Casou`gaunecroissancelente
Danslecaslin´eaireg(v)=v,nousavonsmontre´queλ∗=λ1(f),voirleth´eor`eme
3.1.3duchapitre3.Danslasuite,nousconsid´eronsdesfonctionsgayantunecroissance
lente.Pluspr´ecisementgsatisfait(4.1.4)pouruncertainQ∈(0,Q1).

•CasQ≤p−1
Nousmontronsler´esultatsuivantquiestunevarianteduth´eore`me3.4.1,lorsqueg
estaupluslin´eaireauvoisinagede∞:
aveThce´oQr`=emep−41.3,.6c’estSoita`gdireunefonctioncontinuepositivesur[0,∞)satisfaisant(4.1.4)
0≤Mp1−/(1p−1)=limsupg(ττ)<∞,(4.3.7)
→∞−τSupposonsqueλ1(f)>0.Alors:
,p1(Pv,λ(i)).SiAutrMp−1ementλ<ditλ1(λf∗)≥ilMpexiste−−11λ1au(f)moinssiMp−une1>0solution;etλp∗=ositive∞siv∈MpW−01=(Ω)0.duprobl`eme
(ii)Si(1+g(v))/veststrictementd´ecroissante,alorslasolutionestunique.
Sif∈(iii)LNSi/pf(Ω)∈Letrp(Ω)<,Nr,>alorsN/p,toutealorssolutiontoutesolutionsatisfaitv∈satisfaitLkv(Ω)∈pLour∞(Ω)tout,kdonc>1λ.b=λ∗.
Preuve.SoitM>MtellequeMλ<λ(f).Ilestclairque,par(4.3.7),ilexiste
A>0telque(1+g(s))pp−−11≤M(A+s)p−11sur[0,∞).D´efinissonsv1=G(λf)∈
W01,p(Ω)pc−o1mme1dans,plecaslin´eaireduth´eor`eme3.4.1duchapitre3,etvn=G(λf(1+
g(vn−1)))∈W0(Ω).Par(3.4.5),noustrouvons
|vn|pdx≤λMf(A+vn−1)p−1vndx
ΩΩ≤λMλ(1(f+)ε)|vn|pdx+λKε,
Ω1avecL’unicitunee´d´nouvecouleellecodunstlemmeanteK2.2ε>.210,etcommenousdansleconcluronsth´eor`emecomme3.4.1dans,etlelathr´e´eorg`ularemeite´3.4.1est.
obtenueparlaproposition2.3.4,(iii).
appliqDansuonslelecastho´u`eorge`estmeso4.3.6us-lietn´moeairen,trerc’equesta`sidireλ1(gf)>satisfait0,alo(rs4.1λ∗.4)=av∞ec:Q<p−1,nous

94

4.3.Egalite´desintervalles

Corollaire4.3.7Soitgunefonctioncontinuepositivesur[0,∞)satisfaisant(4.1.4)
avecQ<p−1.Siλ1(f)>0,alorsλ∗=∞.
Preuve.En´ecrivantg(τ)p−1g(τ)p−1
τp−1=τQτp−1−Q,
onconclutquelimsupg(τ)=0,sigv´erifie(4.1.4)avecQ<p−1.D’ou`ler´esultat,par
τ→∞−τlethe´or`eme4.3.6.

sanssCommeupposerdansque[3],λ1(f)nous>o0etbtenonssansdeimpsors´eresultatdesshypothd’existence`esesdeppouretitessequelquessurfλo:nctionsf
Propsatisfaisantosition4.(4.1.4)3.8avecSuppQ∈osons(0,pque−p1)<etN,fet∈gLrune(Ω),r∈fonction(1,Nc/p)ontinue,avecpQrositive<Qsur.[0,∞)
1dL1(Ω)Alorpsourpdour=Ntoutr(λp−>10−ilQ)/existe(N−unepr).Ensolutionparrticulierenormalisλr´ee=v∞.deEn(Pvplus,λ)tellequev∈
(i)Si(Q+1)r≤p∗,alorsv∈W01,p(Ω),doncλ∗=∞.
(ii)Si(Q+1)r>p∗,alors|v|θ∈L1(Ω)pourθ=Nr(p−1−Q)/(N−(Q+1)r).
PreuvQe.Parl’hypoth`ese(4.1.4),ond´eduitqu’ilexisteM>0telque(1+g(t))p−1≤
M(1+t)pourtoutt≥0.
Pourtoutn∈Nfix´e,onpeut1,pappliquer∞lesr´esultatsstandarddeLeray-Lions,voir[4];
etond´eduitqu’ilexistevn∈W0(Ω)∩L(Ω)positivetelque
−Δpvn=λTn(f(x)(1+g(vn))p−1).
Pourunr´eeldonne´β<1,nousconsid´eronslafonction
s−β11
φβ(s)=0(1+|t|)dt=β−1(1−(1+|s|)β−1)sign(s),
nousavonsφβ∈C1(R,R)avecφβ(s)=(1+|1s|)βpourtouts∈R.Deplus,puisqueβ<1,
ona|φβ(s)|≤(1−β)−1(1+|s|)1−β.Nousprenonsφβ(vn)commefonctiontestdans
l’´equationsatisfaiteparvn,nousobtenons
p(1|+vvn|)βdx=λTn(f(x)(1+g(vn))p−1)φβ(vn)dx
ΩnΩ≤(1−β)−1λMf(1+vn)1−β+Qdx.
ΩPosonsα=1−β/petwn=(1+vn)α−1,ona
wn=α(1+vn)α−1vn=α(1+vn)−β/pvn,(4.3.8)

.3.8)(4

Chapitre4.Existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ).

95

nsobtenonousdonc1p|wn|pdx≤(1−β)−1λMf(1+wn)(1−β+Q)/αdx.(4.3.9)
αΩΩD’autrepart,enutilisantl’in´egalite´deH¨oldernoustrouvons
f(1+wn)(1−β+Q)/αdx≤c(fdx+f(wn)(1−β+Q)/αdx)
ΩΩΩ1/r
≤cfL1(Ω)+cfLr(Ω)wn(1−β+Q)r/αdx
ΩParsuite,par(4.3.9),ilexisteC>0telque
|wn|pdx≤C(fL1(Ω)+fLr(Ω)wn(1−β+Q)r/αdx).
1/r
ΩΩNouspouvonschoisir
β=((Q+1)r−p∗)/(r−p∗/p),
car1−β=(p∗(1−1/p)−Qr)/(r−p∗/p)=(Q1−Qr)/(r−p∗/p)>0,puisquer<N/p
etQr<Q1.Doncβ<1.Eneffectuantcettesubstitution,nousobtenons
1−β+Q=(Q+1)(r−p∗/p)−(Q+1)r+p∗
(r−p∗/p)
p∗(p−Q−1)
=pr−p∗
α=1−β/p=1−(Q+1)r−p∗=(p−Q−1)r.
pr−p∗pr−p∗
Donc(1−β+Q)r/α=p∗.Parcons´equent,parl’injectiondeSobolev
ppp∗/pr
|wn|dx≤C(fL1(Ω)+fLr(Ω)|wn|dx),
ΩΩavecunenouvelleconstanteC>0.
Puisquer>p∗/p,doncenutilisantl’in´egalite´deYoung(2.3.9)avecδ>0suffisamment
petitenousd´eduisonsque
(wn)estborn´eedansW01,p(Ω),etdoncdansLp∗(Ω).
Retournonsa`vnnousavonsvn≤1+vn=(1+wn)1/α,etchoisissons
d=p∗α=(p−1−Q)p∗r=Nr(p−1−Q)/(N−pr).
∗p−pr

96

4.3.Egalite´desintervalles

etnousconcluronsque(vnd)estborne´edansL1(Ω).Maintenant,soitσ=rd/(rQ+d).Il
estfaciledevoirque1<σ<r,doncparl’hypothe`sesurgetl’ine´galite´deH¨older
fσ(1+g(vn))(p−1)σ≤Mσfσ(1+vn)Qσ
ΩΩ≤Mσ(fr)σ/r((1+vn)d)(r−σ)/r
ΩΩIlenr´esultequeFn=Tn((f(x)(1+g(vn))p−1)estborn´eedansLσ(Ω).Alorsilexisteune
sous-suitenote´eencorevnquiconvergepresquepartoutversunefonctionmesurablev,voir
laremarque2.2.13.ParlelemmedeFatou,lafonctionF=((f(x)(1+g(v))p−1)∈Lσ(Ω).
Enutilisantlethe´or`emedelaconvergencedeVitali,ilestfaciledemontrerqueFn
convergefortementversFdansLs(Ω)pourtouts∈[1,σ).D’apr`eslaremarque(2.2.19),
ilexisteunesous-suite(vn)etunefonctionmesurablewtelleque
vn→wpresquepartoutdansΩ,
vn→wpresquepartoutdansΩ,
avecwestunesolutionrenormalis´eede−Δpw=F.Mais(vn)convergepresquepartout
dansΩversv.Alorsw=v.
Enplus,nousdistinguonslesdeuxcassuivants:
•Cas1:Si(Q+1)r≤1,pp∗alorsβ≤0.Dansce1,pcas|vn|≤|wn|,par(4.3.8).Alors
(vn)estborn´eedansW0(Ω),etparsuitev∈W0(Ω).
•Cas2:Si(Q+1)r>p∗,alorsβ>0,etconsid´eronsθ=β+dpd<p.Par(4.3.8)et
l’in´egalite´deH¨older
|vn|θdx=|wn|θ(1+vn)βθ/p
ΩΩp/θβθ/dp
≤|wn|pdx(1+vn)ddx;
ΩΩdonc(|vn|θ)estborn´eedansL1(Ω).ParlelemmedeFatou,onobtient|v|θ∈L1(Ω),
carlegradientconvergepresquepartout.
Remarque4.3.9(i)Nousallonsvoirdanslechapitre6,parleth´eor`eme6.1.1que
λr=∞dansunesituationbeaucoupplusg´ene´rale,ou`nousdonnonsdesr´esultats
d’existencepourunenon-lin´earite´nonn´ecessairementpositiveavecunemesuredeRadon
quelconque.Commeici,lefaitqueλr=∞seramontre´danslecassous-lin´eaire.
(ii)Lar´egularite´delasolutionconstruitedanslaproposition4.3.8estunpeuplusforte
quecellepr´evuepar(vi)delaproposition2.3.4.Nousnesavonspassitoutesolutionde
ceprobl`emealamˆemer´egularit´e.

Chapitre4.Existencedesolutionspourleprobl`eme(Pv,λ).

•CasQ∈[p−1,Q1)

97

Notredernierr´esultatdecechapitredonneuner´eponsea`laquestion(2)danslecas
ou`lafonctiongestsur-line´aire,c’esta`diregsatisfait(4.1.4)avecQ∈[p−1,Q1);et
sansimposerunehypoth`esedeconvexite´surg.C’estunecons´equencedirectedur´esultat
dere´gularite´delaproposition2.3.4:

Proposition4.3.10Supposonsquegestunefonctioncontinuepositivesur[0,∞)sa-
tisfaisant(4.1.4)avecQ∈[p−1,Q1)etf∈Lr(Ω)avecQr<Q1.
Alorstoutesolutionrenormalis´eede(Pv,λ)appartienta`W01,p(Ω)∩L∞(Ω).Doncλb=
λ∗=λr.

Q≥NRemarque−1et4.f3.∈11LrEn(Ω)p,r>articulier1,alorsquandλb=pλ∗==Nλ,r.sigsatisfait(4.1.4)pouruncertain

98

4.3.

Egalite´

des

intervalles

Bibliographie

[1]

[2]

[3]

[4]

AbdelHamidH.,Bidaut-Ve´ronM.F.,Ontheconnectionbetweentwoquasilinear
ellipticproblemswithsourcetermsoforder0or1,Accepte´dansCommunicationsin
ContemporaryMathematics.

BrezisH.,CazenaveT.,MartelY.,andRamiandrisoaA.,Blow-upforut−Δu=g(u)
revisited,Adv.Diff.Eq.1(1996),73-90.

PtermorrettawithA.naturandalgrSeguraowth,deJ.MLe´aonth.S.,PuresNonlineAppl.ar8el5(2liptic006e),465quations-492.havingagradient

LerayJ.andLionsJ.L.,Quelquesr´esultatsdeViˇsiksurlesprobl`emeselliptiques
nonlin´eairesparlesm´ethodesdeMinty-Browder,Bull.Soc.Math.France,93(1965),
.071-97

99

010

Bibliographie

5erpitCha

soExislutiotencenexd’tre´unemaledeuxi`emesolutionet

iremaSom5.1Introduction.............................103
5.2Outilstechniques...........................104
5.2.1Fonctionnelled’Euler........................104
5.2.2Fonctionslie´esa`getleurscomportementsasymptotiques...108
5.3Existenced’unedeuxi`emesolutionvariationnelleborn´ee...112
5.4SolutionExtre´male.........................120
5.4.1Existencelocale...........................121
5.4.2Existenceglobale..........................123
5.4.2.1Sansconvexite´......................123
5.4.2.2Avecconvexite´......................124
5.4.3Re´gularite´..............................124

110

210

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

310

5.1Introduction
Apr`esavoirdiscute´danslechapitrepr´ec´edentdel’intervalledesλpourlesquelson
al’existencedesolutionduprobl`eme(Pv,λ),nouspoursuivonsnotre´etudedesquestions
classiquesquiseposentpourcetypedeprobl`eme.Danscechapitre,nousnousint´eressons
auxdeuxquestionssuivantes:
Question1:Quand-est-cequ’ilexisteunedeuxi`emesolutionvariationnelleborn´eedu
proble`me(Pv,λ)?
Question2:LorsqueΛ=∞etλb<∞,quepeut-ondiresurlar´egularite´delafonction
extr´emaled´efiniepar∗
v=λlimλbvλ,
ou`vλestlasolutionminimalede(Pv,λ)?Est-elleunesolutionduprobl`emelimite(Pv,λb),
etdansquelsens?Est-t-elleunesolutionvariationnelle,est-t-elleborn´ee?
SupposonsqueΛ=∞.Danstoutcechapitre,noussupposonsquegsatisfait
g∈C1([0,∞)),g(0)=0etgestcroissante,g≡0.(5.1.1)
Danslaplupartdenosr´esultatsnousallonssupposerunehypothe`sedecroissancesur
g(s)/s:
)s(gs−lim→∞s=∞.(5.1.2)
Cettederni`ereconditionexprimequegestsur-line´airea`l’infini.Nous´etablissonsd’abord
unr´esultatdemultiplicite´ensupposantenplusquegestsous-critiqueparrapporta`l’ex-
posantdeSobolev:
1−plimsupg(τ)Q<∞,pouruncertainQ∈(p−1,Q∗),(5.1.3)
τ→∞−τou`Q∗estd´efiniepar
Q∗=p∗−1=N(p−1)+p,(Q∗=∞sip=N).
p−NParailleursnousdonnonsdesre´sultatsd’existenceetder´egularite´delasolution
extr´emale,etenparticulierlorsquegsatisfait(5.1.3)avecQ∈(p−1,Q1)ouQ∈(p−
1,Q∗),ou`Q1estde´finipar(4.1.5).Pourchacundesr´esultats,leshypothe`sessurfsont
adapt´eesparrapporta`cellessurg;fsatisfaitaumoins
f∈L1(Ω)f≥0,f≡0.(5.1.4)
Leplanduchapitreestlesuivant:Danslasection5.3,nousallonsmontrerleth´eore`me
demultiplicite´suivantsousdeshypoth`esesdeconvexite´surgousouslaconditionbien
connued’Ambrosetti-Rabinowitz
)t(tϕtlim→∞infΦ(t)=k>p,(5.1.5)

410

ou`ϕestd´efiniepourtoutt∈Rpar:
ϕ(t)=(1+g(t+))p−1,

5.2.Outilstechniques

.1.6)(5

etΦestuneprimitivedeϕ:
ttΦ(t)=ϕ(s)ds=(1+g(s+))p−1ds.(5.1.7)
00Thnomialee´or`eme(5.1.3)5.1.1avecSoitQg<Q∗,etsatisfaisantf∈Lr(Ω)(5.1.1),avec((5.1.2)Q+1et)rla<cp∗.onditionAlorsdecroissancepoly-
(i)Sigestconvexeauvoisinagede∞,1alors,pilexiste∞λ0>0telquepourtoutλ<λ0,il
existeaumoinsdeuxsolutionsv∈W0(Ω)∩L(Ω)de(Pv,λ).
(ii)(5.1.5)Sipet=f2∈etL∞g(Ω)est,calorsonvexe,pourousitougtλsatisfait∈(0,laλb)cilonditionexisted’auAmbrmoinsosetti-Rdeuxabinowitzsolutions
v∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)de(Pv,λ).
r´Dansesultatlasdesecti[18]on,5.[22]4,etsous[1],desparhypleothth´`eoresese`mede5co.4.1nv0,exitlese´surpropgositnousions´5.4etendo.11,ns5.4.1certa5inset
5.4.16.Enparticulier,nousmontrons
The´or`eme5.1.2Supposonsquegsatisfait(5.1.1),(5.1.2)etgestconvexeauvoisinage
de∞;etf∈Lr(Ω),r>N/p.Alorslafonctionextr´emalev∗=λlimλ∗vλestunesolution
renormalis´eede(Pv,λ∗).Deplus
(i)SiN<p(1+p)/(1+p/r),alorsv∗∈W01,p(Ω).SiN<pp/(1+1/(p−1)r),alors
v∗∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).
(ii)Sigsatisfait(5.1.3)avecQ<Q,etf∈Lr(Ω)avecQr<Q,ousi(5.1.3)est
satisfaiteavecQ<Q∗,etf∈Lr(Ω)avec1(Q+1)r<p∗,alorsv∗∈W101,p(Ω)∩L∞(Ω).
Sanshypoth`esesdeconvexite´surg,nousobtenonsunre´sultatd’existencelocaleparla
r´proegulaporitsitione´de5[3.4.6],etvol’inir´egalelitthe´´eorde`emeHa5.4rnac.6.kfaLaible.de´moNousnstramontiontroestnsbadansse´elasurpropunosrit´ionesultat5.4.8de
unr´esultatglobalpourv∗souslaconditiond’Ambrosetti-Rabinowitz(5.1.5).

5.2Outilstechniques
5.2.1Fonctionnelled’Euler
Pour´etablirlamajorite´desr´esultatsdecechapitre,nousutilisonsunefonctionnelle
d’EulerJλassocie´auprobl`eme(Pv,λ)etquelquespropri´et´esimportantesdecettefonc-
tionnelledonn´eesdans[7].

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

510

.2.1)(5

Parleprincipedumaximum,leprobl`eme(Pv,λ)est´equivalenta`
−Δpv=λf(x)ϕ(v)=λf(x)(1+g(v+))p−1dansΩ,(5.2.1)
v=0sur∂Ω.
o`uϕestd´efiniepar(5.1.6).
Lorsquegestseulementcontinuesur[0,∞)alorsϕestcontinue,doncΦ∈C1(R),o`uΦ
estd´efiniepar(5.1.7).
Pourtoutf∈L1(Ω)ettoutv∈W01,p(Ω)telquefΦ(v)∈L1(Ω),nousposons
1Jλ(v)=pΩ|v|pdx−λΩfΦ(v)dx.(5.2.2)
EnparticulierlafonctionnelleJλestd´efiniesurW01,p(Ω)∩L∞(Ω).Danslasuite,nous
donndonnoe´nsdansq[7,uelquespropprooprisition´et´es2.1]impquiocrtaanracttes´deeriseJλen.paToutrticulierd’abl’ord´ene,rmengietdelaionnonssolutunionr´esultatmini-
male.

Proposition5.2.1([7])Supposonsquegsatisfait(5.1.1)etfsatisfait(5.1.4).Soit
λ>0telqueilexisteunesur-solutionv¯∈W01,p(Ω)de(Pv,λ).AlorsJλestd´efiniesur
K¯v=v∈W01,p(Ω):0≤v≤v¯
etatteintsonminimumsurKv¯enuncertainpointvquiestunesolutionde(Pv,λ).En
particuliersi0<λ<λb,alors

Jλ(vλ)=KvminJλ(v)≤0.
λRemarque5.2.2EnfaitnousavonsJλ(vλ)<0.EneffetsiJλ(vλ)=0,alorspourtout
t∈(0,1),Jλ(tvλ)≥0,donc
tp|vλ|pdx≥pλfΦ(tvλ)dx≥pλtfvλdx
ΩΩΩdoncfvλ=0,etf≡0,doncvλ=0sur{f>0},cequicontreditlefaitquevλ>0par
leprincipedumaximumfort.

Danslaproposition5.4.11nousmontronsdesre´sultatsder´egularite´pourlasolutionex-
tremalev∗.Danslade´monstrationnousutilisonslefaitquelasolutionminimalevλest
semi-stable,voir[7,D´efinition1.1]et[7,Proposition2.2].Par[7],lad´efinitiond’unefonc-
tionsemi-stableestdonn´eepourtoutefonctionv∈W01,p(Ω).Nous´etendonslade´finition
a`desfonctionsmoinsr´egulie`res:

610

5.2.Outilstechniques

De´finition5.2.3Unesolutionrenormalis´eevduprobl`eme(Pv,λ)estditesemi-stable
sila”d´eriv´eesecondedeJλestpositive”,danslesensquelaformequadratiqueJλ(v)
arpefinie´d

Jλ(v)(ψ,ψ):=|v|p−2(p−2)(v.ψ)2+|ψ|2dx
{v=0}|v|
−(p−1)λf(1+g(v))p−2g(v)ψ2dx,(5.2.3)

−(p−1)λf(1+g(v))p−2g(v)ψ2dx,
Ωsoitpositivepourtoutψ∈Avou`
Av=D(Ω)sip≥2;

etpour1<p<2,
Av={ψ∈D(Ω):∃C>0telque|ψ|≤Cvet|ψ|≤C|v|dansΩ}.

Cettede´finitionaunsenspuisquel’inte´graleI(v,ψ)=Jλ(v)(ψ,ψ)estbiend´efinie.
EneffetnousavonsI(v,ψ)≥0et
I(v,ψ)≤(p−1)|v|p−2|ψ|2dx
{v=0}
=(p−1)(|v|p−2|ψ|2dx+|v|p−2|ψ|2dx)
{|v|>1}{0<|v|≤1}
doncsip≥2,alors
p−122
I(v,ψ)≤(p−1)({|v|>1}|v||ψ|dx+{0<|v|≤1}|ψ|dx).
Si1<p<2alors
2p−1
I(v,ψ)≤(p−1)({|v|>1}|ψ|dx+C{0<|v|≤1}|v||ψ|dx).
doncI(v,ψ)<∞puisque|v|p−1∈L1(Ω)etψ∈D(Ω).
Quandv∈W01,p(Ω),(5.2.3)estvalablepourtoutψ∈W01,p(Ω),satisfaisant|ψ|≤Cvet
|ψ|≤C|v|dansΩ,pouruncertainC>0lorsquep<2.
Remarque5.2.4LanotationJλ(v)neveutpasdirequeJλestdeclasseC2env.
Maintenant,nousdonnonsquelquesremarquessurlapremi`ereetlasecondevariationde
lafonctionnelleJλ.

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

710

Lemme5.2.5Supposonsgunefonctioncontinuesur[0,∞)satisfaisant(5.1.3)avec
Q<Q∗etquef∈Lr(Ω)telleque(Q+1)r<p∗.Alorslafonctionnelled´efiniepar
(5.2.2)estdeclasseC1surW01,p(Ω)avec
Jλ(v)(w)=|v|p−2v.w−λfϕ(v)wdx,(5.2.4)
ΩΩpourtoutv,w∈W01,p(Ω).
Preuve.Onpeutfacilementadapterlesd´emonstrationsclassiquespourmontrerquela
nnellefonctiov→F(v)=ΩfΦ(v)dx,(5.2.5)
estdeclasseC1surW01,p(Ω).
Remarque5.2.6SigestdeclasseC1,alorsϕestdemˆemeclassesietseulementsi
g(0)=0.1,pParcons´equent,pourquelafonctionnelleFd´efiniepar(5.2.5)soitdeclasse
C2surW0(Ω)ilfautaumoinssupposerquegestdeclasseC1avecg(0)=0.
Parle[25,corollaire17.8],nousd´eduisonslelemmesuivant
Lemme5.2.7SoitgunefonctiondeclasseC1sur[0,∞)avecg(0)=0.Supposonsque
p=2,f∈L∞(Ω)etquegsatisfait(5.1.3)avecQ<Q∗.AlorslafonctionnelleJλestde
classeC2surH01(Ω).Ennotantparg¯leprolongementpar0degsurR,alorspourtout
v,w,ψ∈H01(Ω),nousavonsJλ(v)(w,ψ)´egalea`
w∙ψdx−λfg¯(v)wψdx(5.2.6)
ΩΩPreuve.Puisquegsatisfait(5.1.3)alorsg(t)≤c(1+tQ),pourtoutt≥0,avecQ<
2∗−1=(N+2)/(N−Q2)−.1Puisquegest4/(Ncon−v2)exesur[0,∞)alorN+2sg(2t)≥g4(t)+tg(t)≥tg(t),
d’ou`g(t)≤C1(1+t)≤C(1+t)carQ−1<N−2−1=N−2.Donc
|g¯(t)|=g¯(t)≤C(1+t4/(N−2)),(5.2.7)
etonconclutenappliquantle[25,corollaire17.8].
Finalement,nous´enon¸consunr´esultatimportantdonne´dans[16]quenousallons
utiliserdanslad´emonstrationdel’existenced’unedeuxi`emesolutionborn´eeduprobl`eme
(Pv,λ)pourλpetit:
The´or`eme5.2.8SoitXunespacedeBanachmunidelanorme.etsoitJ⊂R+un
intervalle.Nousconsid´eronsunefamille(Iλ)λ∈JdefonctionnellesdeclasseC1surXde
formelaIλ(u)=A(u)−λB(u),∀λ∈J

810

5.2.Outilstechniques

ou`B(u)≥0,∀u∈XettellequeA(u)→+∞oubienB(u)→+∞lorsqueu→∞.
Supposonsqu’ilexistedeuxpoints(v1,v2)dansXtellesque,enposant
Γ=γ∈C([0,1],W01,p(Ω)):γ(0)=v1,γ(1)=v2
laconditionsuivantesoitsatisfaitepourtoutλ∈J
cλ:=θ∈infΓt∈[0max,1]Iλ(θ(t))>max(Iλ(v1),Iλ(v2)).
Alors,pourpresqueλ∈J,ilexisteunesuite(vn)⊂Xtelleque
(i)(vn)estborn´eedansX,
(ii)Iλ(vn)→cλ,
(iii)Iλ(vn)→0dansledualX−1deX.

5.2.2Fonctionsli´eesa`getleurscomportementsasymptotiques
Danscettesous-sectionnousd´efinissonsquelquesfonctionsli´eesa`getnous´etudions
leurcomportementasymptotiquelorsquegestconvexea`l’infini,voirlelemme5.2.9.
Notonsquelafonctionhd´efiniepar(5.2.9)estintroduitedans[18].Danslaproposi-
tion5.2.10nousdonnonsunr´esultatsimplemaistr`esutiledansnotred´emonstrationde
l’existenceglobaleduthe´or`eme5.4.10etler´esultatdemultiplicite´duth´eor`eme5.1.1.
Lemme5.2.9Supposons(5.1.1)et(5.1.2)avecgconvexesur[A,∞)pouruncertain
A≥0.Pourtoutt≥0,soit
tj(t)=tg(t)−g(t)=(g(t)−g(s))ds,J(t)=tϕ(t)−pΦ(t),(5.2.8)
0tth(t)=g(s)(g(t)−g(s))ds=g(t)g(t)−g2(s)ds.(5.2.9)
00slorAtlim→∞j(t)=∞,(5.2.10)
t→lim∞j(t)/g(t)=∞,(5.2.11)
tlim→∞J(t)/ϕ(t)=∞,(5.2.12)
tlim→∞h(t)/j(t)=∞.(5.2.13)

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

910

Preuve.Parl’hypoth`ese(5.1.2)etlaconvexit´e,ona
tlim→∞g(t)=∞
(i)Puisquegestestconvexesur[A,∞),alorsgestcroissantesur[A,∞).Pourtout
t≥τ≥Anousavons
j(t)−j(τ)=(g(t)−g(s))ds+(g(t)−g(s))ds−(g(τ)−g(s))ds
τtτ
0τ0t=τ(g(t)−g(τ))+(g(t)−g(s))ds≥0,
τalorsjestcroissantesur[A,∞).
DoncjadmetunelimiteLquiappartienta`(−∞,∞].MontronsqueL=∞;eneffetsi
Lestfinie,alorsilexistet0telquetg(t)≤g(t)+|L|+1pourt≥t0,donc
g(t)+|L|+1tg(t)−g(t)+|L|+1
t=t2≤0
pourt≥t0,donc(g(t)+|L|+1)/testd´ecroissantesur[t0,∞),cequicontredit(5.1.2).
ncDotlim→∞j(t)=∞.
Danslecasou`g∈C2((0,∞))etg(t)>0sur[A,∞):parlar`egledel’Hˆopital,
tlim→∞j(t)/g(t)=tlim→∞j(t)/g(t)=tlim→∞t=∞.
Danslecasg´ene´ralgestconvexepourt≥A,doncgestcroissantesur[A,∞).Puisque
tlim→∞g(t)=∞alorspourtoutK>0,ilexistetK>A+2Ktelqueg(t)≥2g(A+2K)
pourt≥tK.Alorspourt≥tK,
j(t)=(g(t)−g(s))ds=(g(t)−g(s))ds+(g(t)−g(s))ds
tAt
0A+2K0tA
=Ag(t)−g(A)+(g(t)−g(s))ds+(g(t)−g(s))ds
A+2KAA+2K
≥−g(A)+(g(t)−g(A+2K))dscarg≥0etcroissante
A=−g(A)+2K(g(t)−g(A+2K))≥−g(A)+Kg(t),
donct→lim∞j(t)/g(t)=∞.
Maintenant,nousavonspourtoutt≥0,
J(t)=ϕ(t)+tϕ(t)−pΦ(t)
=(1+g(t))p−1+t(p−1)(1+g(t))p−2g(t)−p(1+g(t))p−1
=(p−1)(1+g(t))p−2(tg(t)−(1+g(t))).

011

5.2.Outilstechniques

ncDoJ(t)=(p−1)(1+g(t))p−2(j(t)−1)=ϕ(t)(j(t)−1)/g(t)(5.2.14)
parsuitetlim→∞J(t)/ϕ(t)=∞.Maist−lim→∞ϕ(t)=∞,doncparlar`egledel’Hˆopitalnous
nsnoeobttlim→∞J(t)/ϕ(t)=∞.
(ii)Maintenantnoustmontrons(5.2.13).Danslecasou`g∈C2((0,∞))etg(t)>0,
nousobtenonsh(t)=g(s)g(s)ds,etparlar`egledel’Hˆopital,
0tlim→∞h(t)/j(t)=t→lim∞h(t)/tg(t)=tlim→∞g(t)/t=∞.
Danslecasg´ene´ral,pourtoutC>0,ilexisteA1>Atelquethatg(s)≥2C,pour
s≥A1etilexisteB>5A1telqueg(t)≥2g(5A1)pourt≥B.Pourtoutt≥0,nous
onsvath(t)−Cj(t)=(g(s)−C)(g(t)−g(s))ds=I1+I2+I3,
0u`oI1=(g(s)−C)(g(t)−g(s))ds,I2=(g(s)−C)(g(t)−g(s))ds
A15A1
A01tI3=(g(s)−C)(g(t)−g(s))ds.
A51Pourt≥B,noustrouvons
1)I1=g(s)g(t)ds−(g(s))2ds−Cg(t)ds+Cg(s)ds
A1A1A1A1
0A1000
=g(t)g(A1)−(g(s))2ds−Cg(t)A1+Cg(A1)
0A1≥−(g(s))2ds−CA1g(t)cargestpositiveetcroissante.
0A512)I2≥C(g(t)−g(s))ds
A15A1
≥C(g(t)−g(5A1))dscargestcroissantesur[A,∞)
A1=4CA1(g(t)−g(5A1))≥2CA1g(t).

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

111

t3)I3≥C(g(t)−g(s))ds≥0cargestcroissantesur[A,∞).
5A1A1
Ilenr´esulteh(t)−Cj(t)≥−(g(s))2ds+CA1g(t)pourtoutt≥B.Maislimg(t)=
→∞t0∞,alorsh(t)−Cj(t)≥0pourtsuffisammentgrand.Donctlim→∞h(t)/j(t)=∞.
Ler´esultatsuivantserautilise´danslesdeuxsectionssuivantespour´etablirlamul-
tiplicite´parleth´eor`eme5.1.1etl’existenceglobaleduthe´or`eme5.4.10.Lapreuveest
simpleetnouvelle,nousutilisonsseulementlafonctionJd´efiniepar(5.2.8).Notons
quelapreuvedonne´edans[1]pourp=2nepeutpasˆetre´etendue,carelleutiliseune
fonctionpropreφ1duLaplacienetlefaitque
v∙φ1dx=v(−Δφ1)dxpourtoutv∈W01,2(Ω).
ΩΩProposition5.2.10Supposons(5.1.1)et(5.1.2)avecgconvexea`l’infini,etf∈L1(Ω).
Soit(λn)unesuiteder´eelsstrictementpositivetelsqueliminfλn=λ>0,et(vn)une
suitedesolutionsde(Pv,λn),telquevn∈W01,p(Ω),fΦ(vn)∈L1(Ω),etJλn(vn)≤c∈R.
Alors(Δpvn)estborn´eedansL1(Ω).
Preuve.Consid´eronsvncommefonctiontestdans(Pv,λn)nousobtenons
|vn|pdx=λnf(1+g(vn))p−1vndx;(5.2.15)
ΩΩdoncpJλn(vn)=|vn|pdx−pλnfΦ(vn)dx
ΩΩ=λnf((1+g(vn))p−1vn−pΦ(vn))dx
Ω=λnf(vnϕ(vn)−pΦ(vn))dx=λnfJ(vn)dx,(5.2.16)
ΩΩou`Jestde´finiepar(5.2.8).DoncfJ(vn)dx=λn−1pJλn(vn)≤λ−1pc.Par(5.2.12)du
Ωlemme5.2.9,ilexisteB>0telqueJ(t)≥ϕ(t)pourtoutt≥B.Parcons´equent
fϕ(vn)dx=fϕ(vn)dx+fϕ(vn)dx≤ϕ(B)fdx+λ−1pc.
Ω{vn<B}{vn≥B}Ω
Alorsfϕ(vn)dxestborn´ee,c’esta`dire(Δpvn)estborn´eedansL1(Ω).
Ω

211

5.3.Existenced’unedeuxi`emesolutionvariationnelleborn´ee.

5.3Existenced’unedeuxi`emesolutionvariationnelle
borne´e.
Cettesectionestconsacr´eea`lad´emonstrationdelamultiplicite´duth´eor`eme5.1.1.
Nousutilisonslafonctiond’EulerJλassoci´eea`(Pv,λ).Nousrencontronslesdeuxdiffi-
cult´eessuivantes:
1)Pourλpetit,Jλalage´om´etriedecolauvoisinagede0,maislafonctiongpeutˆetre
l´eg`erementsur-line´airec’esta`direellecroitplusvitequ’unedroitemaisn’estpasminor´ee
parunepuissancesqavecq>1.Et,danscecas,lessuitesdePalais-Smalenesontpas
n´ecessairementborn´eesdansW01,p(Ω);alorsnousutilisonsleth´eor`eme5.2.8donne´par
[16]pourmontrerqu’ilexisteunesuite(λn)convergentev1,persλ,tellequeJλnaunpoint
critiquevn,etnousd´eduisonsque(vn)estborn´eedansW0(Ω)d’apr`esnotrer´esultatde
laproposition5.3.1.
2)Pourλgrand,souslesmeˆmeshypoth`esessurfetg,iln’estpasgarantiquelafonc-
tionnelleJλaitlage´om´etriedecolauvoisinagedelasolutionminimalevλde(Pv,λ).
Pourassurercetteg´eome´trie,nousallonsimposerdeshypoth`esesplusfortessurfetg.
Pr´ecis∞ement,danslecasp=2etgn’estpasne´c´essairementconvexe,noussupposonsque
f∈L(Ω)etgsatisfaitlaconditiond’Ambrosetti-Rabinowitz(5.1.5).
Nouscommenconsparler´esultatcle´suivant:
Proposition5.3.1Supposons(5.1.1),(5.1.2)et(5.1.3),gconvexea`l’infini,etf∈
Lr(Ω)avec(Q+1)r<p∗.Soit(λn)unesuiteder´eelsstrictementpositivetelsque
limλn=λ>0,et(vn)unesuitedesolutionsde(Pv,λn)telquevn∈W01,p(Ω),et
Jλn(vn)≤c∈R.
Alors(vn)estborn´eedansW01,p(Ω).
Preuve.Par(5.2.16)nousavons
pJλn(vn)=λnΩf(vnϕ(vn)−pΦ(vn))dx=λnΩfJ(vn)dx,
ou`Jestd´efiniepar(5.2.8).Moyennantunem´etho1,pdede[17],nousallonsmontrerpar
contradiction,quelasuite(vn)estborn´eedansW0(Ω).
Supposonsque(vn)n’estpasborn´eedansW01,p(Ω),alorsilexisteunesous-suite,indic´ee
encoreparn,tellequenlim→∞vnW01,p(Ω)=∞.Consid´erons
1−wn=vnW01,p(Ω)vn.
DoncwnW01,p(Ω)=1,alorsilexisteunesous-suite(wn)quiconvergeversunefonctionw
faiblementdansW01,p(Ω)etfortementdansLk(Ω),pourtoutk<p∗.Pourtoutζ∈D(Ω),
In=|wn|p−2wnζdx=vn1W−1p,p(Ω)f(1+g(vn))p−1ζdx.
0ΩΩ

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

311

D’apr`eslaproposition5.2.10,(f(1+g(vn))p−1)estborn´eedansL1(Ω).AlorsIntendvers
0.D’autrepartIntendsvers|w|p−2wζdx.Donc−Δpw=0dansD(Ω),parsuite
Ω0.=wMaintenantnousd´efinissons
tn=inft∈[0,1]:Jλn(tvn)=s∈[0max,1]Jλn(svn).
Soitzn=tnvn.Nousobtenonssuccessivementdeuxconclusionscontradictoires:
(1)limn→∞Jλn(zn)=∞.
(2)Jλn(zn)estborn´ee.
:effetEn1)Supposonsquelimn→∞supJλn(zn)=M<∞.PourunK>0donn´e,posonsun=Kwn=
1−1−KvnW01,p(Ω)vn.Pourngrand0<KvnW01,p(Ω)≤1,carlimn→∞vnW01,p(Ω)=∞.Alors
pournsuffisammentgrand,
Jλn(un)≤s∈[0max,1]Jλn(svn)=Jλn(zn)≤M+1(5.3.1)
D’autrepartnlim→∞fΦ(un)dx=0.Eneffet,d’apr`esl’hypoth`ese(5.1.3)ilexisteC>0
Ωstelque,pourtouts≥0,(1+g(s))p−1≤C(1+s)Q.DoncΦ(s)=(1+g(τ))p−1dτ≤
0sC(1+τ)Qdτ=C(Q+1)−1((1+s)Q+1−1)pours≥0.Parsuite
00≤fΦ(un)dx≤Cf((1+un)Q+1−1)dx=Jn
ΩΩetpuisquef∈Lr(Ω)etun=KwnconvergefortementdansL(Q+1)r(Ω),car(Q+1)r<
p∗;alorsJntendvers0,enutilisantleth´eore`medeconvergencedomin´eedeLebesgue.
Doncnlim→∞fΦ(un)dx=0,d’ou`nlim→∞Jλn(un)=Kp/ppar(5.2.2).EnprenantKtelque
ΩKp/p>M+1,nousobtenonsunecontradictionavec(5.3.1).Donconobtient(1).
2)Commecons´equencede(1)nouspouvonsfacilementconclurequetn=0ettn=1
pourngrand.Eneffet:
•Par(1),pourngrandJλn(zn)>0donctn=0,carJλn(0)=0.
•Parhypoth`eseonaJλn(vn)≤cetencorepar(1)onaJλn(zn)>c,pourngrand.Si
tn=1pourunngrand,alorsc<Jλn(zn)=Jλn(vn)≤c,cequiestimpossible.
Alorstn∈(0,1)pournsuffisammentgrand.Puisquelafonction
t∈[0,1]−→tvn−→Jλn(tvn)

411

5.3.Existenced’unedeuxi`emesolutionvariationnelleborn´ee.

atteintsonmaximumentn∈(0,1),carJλn(zn)=t∈[0max,1]Jλn(tvn),alorssade´riv´eeestnulle
ent=tn.Parleth´eore`meded´erivationdefonctioncompos´ee,noustrouvonsquecette
d´eriv´eeest´egalea`Jλn(zn)(vn).DoncJλn(zn)(vn)=0.Parsuite,enmultipliantpartn,la
lin´earite´deJλn(zn)nousdonneJλn(zn)(zn)=0.Donc
Jλn(zn)(zn)=|zn|pdx−λnf(1+g(zn))p−1zndx=0,
ΩΩsuiteparetλn−1pJλn(zn)=f(znϕ(zn)−pΦ(zn))dx=fJ(zn)dx.
ΩΩD’apr`es(5.2.10)dulemme5.2.9,ilexisteB>0telquej(s)−1>0pours≥B,d’ou`
J(B)≤J(t)≤J(τ)pourtoutB≤t≤τpar(5.2.14).Depluszn≤vnpresquepartout
dansΩ,donc{zn>B}⊂{vn>B},alors

ΩfJ(zn)dx={zn≤B}fJ(zn)dx+{zn>B}fJ(zn)dx
0≥≤C(B)+{zn>B}f(J(zn)+|J(B)|)dx
≤C(B)+{vn>B}f(J(zn)+|J(B)|)dx
≤C(B)+{v>B}f(J(vn)+|J(B)|)dx
n≤C1(B)+fJ(vn)dx≤C+λn−1pc
Ωdonc(Jλn(zn))estborn´ee.Doncnous1,parrivonsa`montrer(1)et(2),cequiestunecontra-
diction.Alors(vn)estborne´edansW0(Ω).
Remarque5.3.2Ler´esultatpr´ec´edentnousserviraaussipourmontrerquelasolution
extr´emaleestborn´eesousl’hypoth`ese5.1.3,voirlaproposition5.4.16.
Preuveduth´eor`eme5.1.1.Pourtoutλ∈(0,λb)ilexisteaumoinsunesolution:la
solutionminimaleborne´evλ,tellequeJλ(vλ)<0,parlaproposition5.2.1etlaremarque
.2.5.2(i)Existenced’unedeuxi`emesolutionpourλsuffisammentpetit.
Toutd’abordmontronsqu’ilexisteunλ0∈(0,λb)telquepourtoutλ∈(0,λ0),Jλa
lag´eom´etriedecolauvoisinagedeu0=0.Par(5.1.3),parunsimplecalculilestfacile
devoirqu’ilexisteC>0telquepourtoutt∈R,
Φ(t)≤C(|t|+|t|Q+1).

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

511

Donc,pourtoutv∈W01,p(Ω)),onobtient
1Jλ(v)≥pΩ|v|pdx−λCfLr(Ω)(vLr(Ω)+vLQ(Q+1+1)r(Ω))
pardes1,pin´egalit´esdeH¨older.Notonsv=vW01,p(Ω)etutilisonslesinjectionsdeSobolev
deW0(Ω)dansLr(Ω)etL(Q+1)r(Ω),noustrouvonsunenouvelleconstanteC>0telle
que

1Jλ(v)≥vp−λCfLr(Ω)(v+vQ+1)
pp−11Q−p+1
≥v(v(−λCfLr(Ω)v)−λCfLr(Ω)).
pPour>0,soitλ0=(/p)Q+1−p/(p+)CfLr(Ω).Soitλ∈(0,λ0)etRλ=((p+
)λCfLr(Ω))−1/(Q+1−p).SurJλ(v):vW01,p(Ω)=Rλ,uncalculsimplemontreque
1ρ0=v(vp−1(−λCfLr(Ω)vQ−p+1)−λCfLr(Ω))>0.
pC’esta`direinfJλ(v):vW01,p(Ω)=Rλ≥ρ0>0.
D’autrepart,pourunefonctionv∈W01,p(Ω)strictementpositive,enutilisant(5.1.2)ilest
faciledemontrerqueJλ(tv)tendvers−∞lorsquet→+∞.Donc,pourtassezgrand,
lafonctionwλ=tvsatisfaitwλW01,p(Ω)>RλetJλ(wλ)<0.OnaencoreJλ(0)=0.
AlorsJλalag´eom´etriedecolauvoisinagede0,etenutilisantlelemmedugendarme
:nsobtenonouscλ=θ∈infΓt∈[0max,1]Jλ(θ(t))>0=max(Jλ(0),Jλ(wλ)),(5.3.2)
ou`Γ=θ∈C([0,1],W01,p(Ω)):θ(0)=0,θ(1)=wλ.
Soitλ1∈(0,λ0)fix´e.Montronsl’existenced’unesolutionauniveaucλ1.Parcontinuite´
parrapporta`λ,ilexisteδ>0telquelafamilledefonctions(Jλ)λ∈[λ1(1−δ),λ1(1+δ)]satisfait
encorelacondition(5.3.2):
cλ=θ∈infΓt∈[0max,1]Jλ(θ(t))>0=max(Jλ(0),Jλ(wλ1)).(5.3.3)
Par[16,the´or`eme1.1],pourpresquetoutλ∈[λ1(1−δ),λ1(1+δ],ilexisteunesuite
,p1(vλ,m)m∈NdeW0(Ω),telleque
,p11)(vλ,m)mestborn´eedansW0(Ω).
2)limJλ(vλ,m)=cλ.
→∞m

611

5.3.Existenced’unedeuxi`emesolutionvariationnelleborn´ee.

3)m→lim∞Jλ(vλ,m)=0dansW−1,p(Ω).
Parcompacite´del’injectiondeSobolevdeW01,p(Ω)dansL(Q+1)r(Ω),car(Q+1)r<p∗;
onpeutextraireunesoussuitequiconvergeversunefonctionvλfaiblementW01,p(Ω)et
fortementdansL(Q+1)r(Ω),etpresquepartoutdansΩ.Par(5.2.4):
−Δpvλ,m=Jλ(vλ,m)+λfϕ(vλ,m)dansW−1,p(Ω),
etparcompacite´
fϕ(vλ,m)→fϕ(vλ)fortementdansW−1,p(Ω),
)3pardonc,−Δpvλ,m→0+λfϕ(vλ)=λfϕ(vλ)fortementdansW−1,p(Ω).
L’ope´rateur(−Δp)−1:W−1,p(Ω)→W01,p(Ω)estcontinu,alors
vλ,m→(−Δp)−1(λfϕ(vλ))fortementdansW01,p(Ω),
orvλ,m→vλfaiblementW01,p(Ω),alors
−Δpvλ=λfϕ(vλ),
et(vλ,m)mconvergeversvλfortementdansW01,p(Ω).Et,parsuiteJλ(vλ)=cλetJλ(vλ)=
0.Parleprincipedumaximumvλestunesolutionpositivede(Pv,λ).
Donc,nousavonsmontre´quepourpresquetoutλ∈[λ1(1−δ),λ1(1+δ)],ilexisteune
solutionvλquiestunpointcritiquedeJλauniveaucλ.
Parcons´equent,ilexisteunesuite(λn)convergenteversλ1telqueilexisteunesolution
vn=vλnde(Pv,λn)avecJλ(vn)=cλn.Alors,voir(5.2.16),
Jλn(vn)=λnf(vnϕ(vn)−pΦ(vn))dx=cλn≤cλ+1.
ΩD’apr`eslaproposition5.3.1,(vn)estborne´edansW01,p(Ω).Donc,ilexisteunesous-suite
(vn)quiconvergeversunefonctionvfaiblementdansW01,p(Ω)etfortementdansLk(Ω)
pourtoutk<p∗,etpresquepartoutdansΩ.Alors
λnf(1+g(vn))p−1→λ1f(1+g(v))p−1fortementdansL1(Ω).
Parlaremarque2.2.19,vestunesolutionde(Pv,λ1).Et(f(vnϕ(vn)−pΦ(vn)))converge
versf(vϕ(v)−pΦ(v))fortementdansL1(Ω)alors(Jλn(vn))=(cλn)convergeversJλ(v),
doncJλ(v)=cλ.Parsuite,parlaproposition5.2.1et(5.3.3):
Jλ(vλ)≤0<cλ=Jλ(v).

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

711

Doncv=vλ.
(ii)Existenced’unedeuxi`emesolutionpourλ<λb.
Soitλ1<λbfix´e.Soitλ2∈(λ1,λb),etsoientvλ1,vλ2lessolutionsminimalesborn´ees
desprobl`emes(Pv,λ1)et(Pv,λ2)respectivement.Alors,d’apr`eslaproposition5.2.1,Jλ1
atteintsonminimumKvλ2enunpointv0quiestunesolutionde(Pv,λ1),carvλ2estune
sur-solutionpour(Pv,λ1).Mais,vλ1estlasolutionminimale,doncvλ1≤v0≤vλ2.
(ii)1:Casp=2etgestconvexe.Supposonsquep=2etgestconvexe.Notonsque
danscecasλb=λ∗.Nousmontronsquev0=vλ1etelleestunminimumlocalstrictde
Jλ1.Eneffet,d’apre`s[7,proposition2.2],vλ2estsemi-stable,doncpourtoutϕ∈H01(Ω),
|ϕ|2dx≥λ2fg(vλ2)ϕ2dx.
ΩΩPuisquegestconvexealorsgestcroissante,parsuiteg(vλ2)≥g(vλ1)presquepartout
ncDoΩ.dansλJλ1(vλ1)(ϕ,ϕ)=|ϕ|2dx−λ1fg(vλ1)ϕ2dx≥(1−1)|ϕ|2dx.
λΩ2ΩΩNotonsδ=1−λ1/λ2.Nousdistinguonsdeuxcas:
•Sig(0)=0alorsJλ1estdeclasseC2,d’apr`eslelemme5.2.7.Pourtoutw,ϕ∈
H01(Ω),ona
2
Jλ1(w)(ϕ,ϕ)−Jλ1(vλ1)(ϕ,ϕ)≤Jλ1(w)−Jλ1(vλ1)L2ϕH01(Ω),
111ou`L2estl’espacedesformesbilin´eairescontinuessurH0(Ω)×H0(Ω).Parcontinuite´
dew→Jλ1(w)deH0(Ω)surL2,ilexisteunε(δ)tellequeJλ1(w)−Jλ1(vλ1)L2<
002δϕ2H1(Ω)siw−vλ1H1(Ω)<ε(δ).Parcons´equent
Jλ1(w)(ϕ,ϕ)=Jλ1(vλ1)(ϕ,ϕ)+Jλ1(w)(ϕ,ϕ)−Jλ1(vλ1)(ϕ,ϕ)
δδ222≥δϕH01(Ω)−ϕH01(Ω)=ϕH01(Ω).
22Or,parlaformuledeTaylor-LagrangesurlesespacesdeBanach:
1Jλ1(vλ1+ϕ)−Jλ1(vλ1)=Jλ1(vλ1)(ϕ)+2Jλ1(w)(ϕ,ϕ)
ou`w=vλ1+θϕavecθ∈]0,1[.SiϕH01(Ω)<ε(δ)alorsw−vλ1H01(Ω)<ε(δ)etdonc
δδJλ1(vλ1+ϕ)−Jλ1(vλ1)≥Jλ1(vλ1)(ϕ)+ϕ2H01(Ω)=ϕ2H01(Ω),
22

811

5.3.Existenced’unedeuxi`emesolutionvariationnelleborn´ee.

carnousavonsJλ1(vλ1)=0,alorsvλ1estunminimumlocalstrictdansW01,p(Ω).D’autre
partJλ1(tvλ1)→−∞sit→+∞.AlorsilexisteRλ1>0etwλ1∈W01,p(Ω)avec
wλ1W01,p(Ω)>Rλ1telleque
0infJλ(v):v−vλ1W1,p(Ω)=Rλ1>Jλ1(vλ1)>Jλ1(wλ1).
DoncJλ1alag´eom´etrieducolauvoisinagedevλ1.Commedanslecasλpetit,nous
utilisonsler´esultatde[16]etnousprouvonsl’existenced’unesolutionde(Pv,λ1)auniveau
cλ1>Jλ1(vλ1),etdonccettesolutionestdiff´erentedevλ1.
•Sig(0)>0,alorsgn’estpasdeclasseC1.Consid´eronsunefonctiong¯declasseC1
tquivautgsur[0,∞)et−1/2sur]−∞,1[ettellequeg¯≥−1/2sur[1,0].D´efinissons
G(t)=g¯(s)ds.OnaG(t)=g¯(t),etellesatisfait(5.2.7)avecuneautreconstanteC.
0DonclafonctionnelleIλ1d´efiniepourtoutv∈H01(Ω)par:
Iλ1(v)=1|v|2dx−λ1f(x)(v+G(v))dx,
2ΩΩestdeclasseC2surH01(Ω)etIλ1(v)(w,ψ)estdonne´parl’expression(5.2.6).Nousre-
marquonsfacilementqueIλ1(v)=Jλ1(v),Iλ1(v)=Jλ1(v)etIλ1(v)=Jλ1(v)pourtoute
fonctionstrictementpositivev∈H01(Ω),puisqueg¯=gsur[0,∞).Donc
2Iλ1(vλ1)(ϕ,ϕ)=Jλ1(vλ1)(ϕ,ϕ)≥δϕH01(Ω),
etcommepourJλ1,onmontreque
δ2Iλ1(vλ1+ϕ)−Iλ1(vλ1)≥Iλ1(vλ1)(ϕ)+2ϕH01(Ω),
2pourϕH01(Ω)suffisammentpetit.OrIλ1(vλ1)=Jλ1(vλ1)=0;doncenutilisantlefait
queIλ1(tvλ1)=Jλ1(tvλ1)→−∞sit→+∞,nousd´eduisonsqueIλ1alag´eome´triede
colauvoisinagedevλ1.D’unemani`eresimilaireaucasλpetitmaisaveclafonctionnelle
Iλ1onmontrel’existenced’unesolutionv¯duprobl`eme
−Δv¯=λ1f(x)(1+g¯(v¯))dansΩ,
v¯=0sur∂Ω,
tellequeIλ1(v¯)>Iλ1(vλ1)=Jλ1(vλ1).Maisg¯≥−1/2,doncλ1f(x)(1+g¯(v¯))>0,etdonc
v¯>0.Parcons´equent¯vestunesolutionpositivede(Pv,λ1)tellequeJλ1(v¯)=Iλ1(v¯)>
Jλ1(vλ1).Doncv¯≡vλ1.
(ii)2:Caspquelconqueetgnonn´ecessairementconvexe.Supposonsquegsa-
tisfaitlacondition(5.1.5),sanshypoth`esedeconvexit´e,etf∈L∞(Ω).Siv0=vλ1
alorsnousavonsconstruitunedeuxi`emesolution.Danslasuitesupposonsquev0=vλ1.

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

911

Puisquef∈L∞(Ω),alorsvλ2etv0∈C1,αΩ¯,d’apr`es[23].D’apr`es[13,th´eor`eme5.2],
,p1v0estunminimumlocaldansW0(Ω):elleminimiselafonctionnelleJλ1dansuneboule
,p1B(v0,δ)deW0(Ω).
Grˆacea`(5.1.5),lessuitesdePalais-Smalesontborne´es.Eneffet,par(5.1.5),ilexiste
A>0telquepourtoutt>A:
tϕ(t)≥(k+p)Φ(t)/2.
,p1Soitvn∈W0(Ω)unesuitedePalais-Smale,c’esta`direvnsatisfaitlimJλ1(vn)=cet
ξn=Jλ1.(vn)tendvers0dansW−1,p(Ω).En´ecrivantvn=vn+−vn−etremarquantque
ϕ(s)=1pours≤0,noustrouvons
ξn(vn)=|vn|pdx−λ1fvnϕ(vn)dx
ΩΩ=|vn|pdx−λ1fvn+ϕ(vn+)dx+λ1fvn−dx
ΩΩΩdonc,enutilisantl’injectiondeSobolevetlefaitqueJλ1(vn)estborne´enousobtenons
p|vn|dx−ξn(vn)=λ1fvn+ϕ(vn+)dx−λ1fvn−dx
ΩΩΩ≥λ1fvn+ϕ(vn+)dx−λ1fL∞(Ω)vn−dx
p+k{vn≥A}Ω
≥λ1fΦ(vn)dx−CvnW1,p(Ω)
01p+k2{vn≥A}
=(|vn|pdx−λ1fΦ(vn)dx−Jλ1(vn))
2pΩ{vn<A}
−CvnW01,p(Ω)
p+k≥|vn|pdx−C(A)−(|c|+1)−CvnW1,p(Ω)
0p2Ωdonc,avecunenouvelleconstanteC>0,
p−kp2pvnW01,p(Ω)≤|ξn(vn)|+C(A)+(|c|+1)CvnW01,p(Ω)
≤ξnW−1,p(Ω)vnW01,p(Ω)+C(A)+(|c|+1)CvnW01,p(Ω)
≤C(1+vnW01,p(Ω))
donc(vn)estborn´eedansW01,p(Ω),cark>p.Maintenantnousmontronsl’existence
d’unedeuxi`emesolution:ilexisteunefonctionv˜=tv0tellequeJλ1(v˜)<Jλ1(v1)et
vλ1−v˜≥1+δ,carJλ1(tv0)→−∞sit→∞.Soit
c˜λ1=θ∈infΓt∈[0max,1]Jλ1(θ(t))≥max(Jλ1(vλ1),Jλ1(v˜))

012

5.4.SolutionExtr´emale

ou`Γ=θ∈C([0,1],W01,p(Ω)):θ(0)=vλ1,θ(1)=v˜.
Pourconclurenousdistinguonsdeuxcas:
•Sic˜λ>max(Jλ1(vλ1),Jλ1(v˜))alorsnousobtenonsl’existenced’unesolutionauniveau
c˜λenappliquantdirectementleth´eor`emeducolclassique.Cettesolutionestdiff´erentede
vλ1carc˜λ1>Jλ1(vλ1).
,p1•Sic˜λ=Jλ1(v1)alorsilexisteunesolutiondansW0(Ω)\B(vλ1,δ/2),parlavariantede
].[14

5.4SolutionExtre´male
Danscettesectionnoustraitonsl’existenceetlar´egularite´desolutionextr´emalepour
leprobl`eme(Pv,λ)lorsquegestsur-lin´eairesatisfaisant(5.1.1)et(5.1.2).
De´finition5.4.1Supposonsque0<λb≤λ∗≤λr<∞.Lafonction
∗v=λsupλbvλ,
ou`vλestlasolutionminimaleborn´eede(Pv,λ)estditeextr´emale.

Remarque5.4.2Supposonsquegestaumoinslin´eairea`l’infini:
)τ(gτlim−→∞infτ>0,
quiestsatisfaiteparexemplequandgestconvexe,g≡0.
Alorsλr<∞.Eneffetilexistec>0telque1+g(τ)≥c(1+τ)pourtoutτ∈[0,∞).
Si(Pv,λ)admetunesolutionrenormalis´ee,alorselleestunesur-solutionduprobl`eme
−Δpv=λc(p−1)f(x)(1+v)p−1dansΩ,
w=0sur∂Ω.
Alorsilexisteunesolutiondeceprobl`emeetparsuiteλ≤c1−pλ1(f)d’apr`esleth´eor`eme
3.4.1.

Pourgconvexeetsur-lin´eairev´erifiant5.1.2,lecasp=2ae´te´´etudie´dans[4],avec
f=1.Par[4,lemme5],lesauteursmontrentquelafonctionextr´emaleestunesolution
tr`esfaible.Danslelemmesuivantnous´etendonsleurr´esultata`desfonctionsfplus
gon´ent´eraimplesose´ensurreprenag,nmaistleurquid´emoutilisenstratioseulenmequintlan’utilisesur-linpas´earitl’hye´p(5oth.1.2`ese).deIlscoonnvtexitute´ilisqe´u’ilsla
convexite´degpourmontrerqueλ∗<∞.Parnotreremarque5.4.2laconvexite´n’estpas
n´ecessaire.

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

112

Lemme5.4.3([4])Supposonsp=2,f∈Lr(Ω),r>N/2etgsatisfait(5.1.1)et
(5.1.2).Alorsv∗estunesolutiontr`esfaiblede(Pv,λb),c’esta`direv∗∈L1(Ω),fg(v∗)∈
L1(Ω,ρdx)ou`ρestladistanceaubord∂Ω,et
−v∗Δζdx=λbf(1+g(v∗))ζdx,∀ζ∈C2Ω,ζ=0sur∂Ω.(5.4.1)
ΩΩPreuve.Soitλnλbetvn=vλ.L’hypoth`ese(5.1.2)impliquequ’ilexisteC>0tel
que1+g(t)≥2λλ1b(f)t−Cpourtoutnt≥0.Multiplionsl’e´quationsatisfaitepartvnpar
λblapremi`erefonctionpropreφ1>0dulaplacienaveclepoidsf,noustrouvons
λnΩf(1+g(vn))φ1dx=λ1(f)Ωfvnφ1dx≤2Ωf(1+g(vn)+C)φ1dx,
doncnousde´duisonsqueΩf(1+g(vn))φ1dxestborn´ee,donc(fg(vn))estborn´eedans
L1(Ω,ρdx).Utilisonslafonctiontestϕ=G(1),noustrouvons
Ωvndx=λnΩf(1+g(vn))ϕdx≤λnCΩf(1+g(vn))φ1dx,
parlelemmedeH¨opf;donc(vn)estborn´eedansL1(Ω).Alorsv∗∈L1(Ω)etsatisfait
..4.1)(5Remarque5.4.4Dans[18],l’auteuramontre´quev∗estplusr´eguli`erelorsque,deplus,
gestconvexe.Enparticulier,ilamontre´queg(v∗)∈L1(Ω),enutilisantlespropri´et´es
destabilite´dev∗.Doncv∗estunesolutionrenormalis´eede(Pv,λ∗)Danslecasp=2il
n’yapasunenotiondesolutiontr`esfaible.
Remarque5.4.5LorsqueG(f)∈L∞(Ω),lafonctionv∗estbiend´efiniea`valeursdans
[0,∞].Danslasuite,nousrallons´enoncerlesr´esultatsd’existencedelasolutionextr´emale
sousl’hypoth`esef∈L(Ω),r>N/p,maisquelquesr´esultats∞sontvalablespourles
derfonctions´egularite´moinsdelar´egulisolution`eresquiextr´emalesatisfaisentleshypoth(5.1.4)`esesavedecr´G(fegularit)∈e´Lsur(Ω)f.sontPourindisplesr´ensablesesultats
pournosd´emonstrations.

5.4.1Existencelocale
Sanshypoth`esedeconvexite´surgnousobtenonsunr´esultatd’existencelocale:
Proposition5.4.6Supposonsquef∈Lr(Ω),r>N/petgsatisfait(5.1.1),(5.1.2).
Alorsv∗estune1,psolutionrenormalis´eelocalede(Pv,λb).Enparticulier
(i)Tk(v∗)∈Wloc(Ω)pourtoutk>0,
(ii)v∗p−1∈Llσoc(Ω),pourtoutσ∈[1,N/(N−p)),
(iii)(|v∗|)p−1∈Llτoc(Ω),pourtoutτ∈[1,N/(N−1)),
∗satisfaitv(iv)−Δpv∗=λ∗f(1+g(v∗))p−1dansD(Ω).

212

5.4.SolutionExtr´emale

Pourlad´emonstrationnousutilisonslelemmesuivant:
Lemme5.4.7Supposonsquef∈L1(Ω),etgsatisfait(5.1.1).Soit(λn)unesuitede
re´elspositivestellequeliminfλn>0,et(vn)unesuitedesolutionsrenormalis´eesdu
probl`eme(Pv,λn).Alors
(i)(fg(vn)p−1)estborn´eedansLl1oc(Ω),
(ii)(vnp−1)estborn´eedansLlσoc(Ω),pourtoutσ∈[1,N/(N−p)).
Preuvedulemme5.4.7.Sif≡0surΩiln’yariena`de´montrer.Supposonsque
f≡0surΩ.Parlelemme2.3.6,pourtoutx0telqueB(x0,4ρ)⊂Ω,ilexisteuneconstante
C=C(N,p)telque
λnf(1+g(vn))p−1dx≤CρN−pminvnp−1
p−NB(x0,ρ)B(x0,ρ)
B(x0,ρ)fdxB(x0,ρ)
≤Cρfvnp−1dx,
ensupposonsquef≡0surB(x0,ρ).
Alorsilexistec=c(N,p,ρ,f,x0,liminfλn)>0telque
p−1p−1
B(x0,ρ)fg(vn)dx≤cB(x0,ρ)fvndx.
Par(5.1.1),ilexisteA>0telqueg(t)≥(2c)1/(p−1)tpourtoutt≥A,donc
fvp−1dx=fvp−1dx+fvp−1dx
p−11p−1
B(x0,ρ)nB(x0,ρ)∩{vn≤A}nB(x0,ρ)∩{vn>A}n
≤AB(x0,ρ)fdx+2cB(x0,ρ)fg(vn)dx
1≤Ap−1fL1(Ω)+2fvnp−1dx.
B(x0,ρ)
suitearPfvnp−1dx≤2Ap−1fL1(Ω),
B(x0,ρ)
tequensconparfg(vn)p−1dx≤cfvnp−1dx≤2Ap−1cfL1(Ω),
B(x0,ρ)B(x0,ρ)
etilenr´esulte(i).Deplusnousd´eduisonsque
minvnp−1≤c=c(N,p,ρ,f,g,x0);
B(x0,ρ)

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

312

doncparl’in´egalite´deHarnackfaible,nousobtenons(ii).
Preuvedelaproposition5.4.6.Soitλnλb,etvn=vλn.D’apr`eslelemme
5.4.7,(fg(vn)p−1)estborn´eedansLl1oc(Ω),et(vnp−1)estborn´eedansLlσoc(Ω),pourtout
σ∈[1,N/(N−p)).Alorsd’apr`es[2,Theorem3.2],ilexisteunesoussuiteconvegente
presquepartoutdansΩ.Etpuisque(vn)estcroissantedonctoutelasuiteconvergevers
v∗.Puisquegestcroissante,doncfg(v∗)p−1∈Ll1oc(Ω)parleth´eor`emedeconvergence
monotonedeBeppo-Levi,et(fg(vn)p−1)convergeversfg(v∗)p−1faiblementdansLl1oc(Ω);
donc(λnf(x)(1+g(vn))p−1)convergeversλbf(x)(1+g(v∗))p−1faiblementdansLl1oc(Ω).
Par[2,Theorem3.3],v∗estunesolutionrenormalis´eelocalede(Pv,λb).

5.4.2Existenceglobale
5.4.2.1Sansconvexite´
Ici,nousdonnonsunr´esultatd’existenceglobalesanshypoth`esedeconvexite´surg
maisenimposantsurglaconditiond’Ambrosetti-Rabinowitz(5.1.5):
Proposition5.4.8Supp∗osonsque1,pf∈Lr(Ω),r>N/petgsatisfait(5.1.1),(5.1.2)et
lacondition(5.1.5).Alorsv∈W0(Ω)etelleestunesolutionvariationnellede(Pv,λb).
Preuve.Soitλnλb,etvn=vλn.D’apr`eslaproposition5.2.1,
Jλn(vn)=p1|vn|pdx−λnfΦ(vn)dx≤0.
ΩΩPuisquevnsatisfait(5.2.15),alorsnousobtenons
λnΩf(vnϕ(vn)−pΦ(vn))dx=pJλn(vn)≤0.
Pk+arpl’hypoth`ese(5.1.5),pourε=(k−p)/2ilexisteB>0telquetϕ(t)≥(k−ε)Φ(t)=
(2)Φ(t)pourtoutt>B.Parsuite
Ωfvnϕ(vn)dx≤λnpΩfΦ(vn))dx
=p({vn≤B}fΦ(vn)dx+{vn>B}fΦ(vn)dx)
p2≤C+k+p{vn>B}fvnϕ(vn))dx,
pourunecertaineconstanteC>0.D’ou`onconclutquefvnϕ(vn)estborne´edansL1(Ω),
etdoncΩ|vn|pdxestborn´ee;alorsilexisteunesous-suiteconvergeantfaiblementdans
W01,p(Ω),etn´ece´ssairementversv∗.Parlaproposition5.4.6,v∗estunesolutionde(Pv,λb)
dansD(Ω),doncv∗estunesolutionvariationnelle.

124

5.4.SolutionExtr´emale

Remarque5.4.9Uncasparticulierpourlequellacondition(5.1.5)estsatisfaiteest
lorsquetg(t)
tlim→∞infg(t)=m>1.
Celar´esultedelar`egledel’Hˆopital,puisque(tϕ(t))/Φ(t)=1+(p−1)tg(t)/(1+g(t)))
psuppourostoute´quet>g(0t.)≤ParC(1suite+tlam),pretop´etendositionenc5.4.8orecamelle´eliordee[5].ler´esultatde[7],ou`enplusilest

5.4.2.2Avecconvexite´
Icinoussupposonsquegsatisfaisant(5.1.1)et(5.1.2)etconvexeauvoisinagede∞.
Notonsquedanscecasλb=λ∗=λr<∞d’apre`slethe´or`eme4.3.3etlaremarque5.4.2.
Commecons´equencedelaproposition5.2.10,nousmontronsquelafonctionextr´emale
estunesolutionde(Pv,λ∗):
The´or`eme5.4.10Supposons(5.1.1)et(5.1.2)avecgestconvexeauvoisinagede∞,et
f∈Lr(Ω)avecr>N/p.Alorslafonctionextr´emalev∗estunesolutionrenormalis´ee
de(Pv,λ∗).
Preuve.Soitλnλ∗,etvn=vλn.AlorsJλn(vn)≤0d’apre`sproposition5.2.1.Par
laproposition5.2.10,(fg(vn)p−1)estborn´eedansL1(Ω),et(vnp−1)estborn´eedansLσ(Ω),
pourtoutσ∈[1,N/(N−p)).Alorsvnconvergeversv∗presquepartoutdansΩ,voirla
3..2.12queremarParleth´eor`emedeconvergencemonotonedeBeppo-Levi,fg(v∗)p−1∈L1(Ω),et(fg(vn)p−1)
convergeversfg(v)p−1fortementdansL1(Ω);donc
λnf(x)(1+g(vn))p−1→λ∗f(x)(1+g(v))p−1fortementdansL1(Ω).
D’apr`esleremarque2.2.19,vestunesolutionrenormalis´eede(Pv,λ∗).

5.4.3R´egularite´
Danscettesectionnoussupposonsquegestconvexeauvoisinagede∞etnous
cherchonsd’autresinformationssurlar´egularite´dev∗enutilisantlasemi-stabilite´de
lasolutionminimaleborn´eede(Pv,λ),donn´eepar[6,proposition2.2].Nous´etendonsles
r´esultatsde[18]pourp=2etde[22]pourp>2avecf≡1.Icinousutilisonslafonction
hd´efiniepar(5.2.9),introduitepar[18].
Propositrion5.4.11Supposons(5.1.1)et(5.1.2)avecgconvexesur[a,∞)pouruna>0
etf∈L(Ω),r>N/p.Soithd´efiniepar(5.2.9).
slorA(i)f(1+g(v∗))p−1h(v∗)∈L1(Ω).(5.4.2)

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

512

(ii)SiN<N0=pp/(1+1/(p−1)r),alorsv∗∈L∞(Ω).EnparticuliersiN=palors
v∗∈L∞(Ω).
SiN>N0,alorsv∗p−1∈Lk(Ω)pourtoutk<σ¯,ou`1/σ¯=1−pp/N+1/r(p−1).
SiN=N0,alorsv∗∈Lk(Ω)pourtoutk≥1.
(iii)SiN<N1=p(1+p)/(1+p/r)alorsv∗∈W01,p(Ω).
SiN>N1,|v∗|p−1∈Lτ(Ω)pourtoutτ<τ¯ou`1/τ¯=1+1/(p−1)r−(p+1)/N.
SiN=N1,|v∗|∈Ls(Ω)pourtouts<p.
(iv)Sitlim→∞infh(t)/t>0,alorsv∗∈W01,p(Ω).Enparticuliercetteconditionestsatisfaite
sitlim→∞inf(g(t)−g(t)/t)>0.
Preuve.(i)Soitλnλ∗,etvn=vλn.D’apr`es[7,Proposition2.2],vnestsemi-stable.
Consid´eronsψ=g(vn)dans(5.2.3)avecλ=λnetv=vn,nousobtenons
|vn|pg2(vn)dx≥λnf(1+g(vn))p−2g(vn)g2(vn)dx.
ΩΩtOnconsid`erelafonctionS(t)=g2(s)ds,pourtoutt≥0.PrenonsS(vn),comme
0fonctiontestdans(Pv,λn),noustrouvons
|vn|pg2(vn)dx=λnf(1+g(vn))p−1S(vn)dx
ΩΩ

suitearPf(1+g(vn))p−2((1+g(vn))S(vn)−g(vn)g2(vn))dx≥0.
ΩMais(1+g(t))S(t)−g(t)g2(t)=S(t)−g(t)(g(t)g(t)−S(t))=S(t)−g(t)h(t).Donc
Ωf(1+g(vn))p−2(S(vn)−g(vn)h(vn))dx≥0,

c’est`adire
f(1+g(vn))p−2g(vn)h(vn)dx≤f(1+g(vn))p−2S(vn)dx
ΩΩOr,par(5.2.11)et(5.2.13)dulemme5.2.9nousavonstlim→∞h(t)/g(t)=∞,etpar(5.1.2)
onatlim→∞g(t)=∞,donc
S(t)g(t)g(t)+h(t)g(t)1
g(t)h(t)=g(t)h(t)=h(t)−g(t)→0sit→∞,

612

5.4.SolutionExtr´emale

doncilexisteA>0assezgrandtelqueS(t)≤(g(t)h(t))/2pourtoutt≥A.Alorsil
existeC=C(A)>0telque
f(1+g(vn))p−2g(vn)h(vn))dx≤C.
ΩPuisquet→lim∞g(t)=∞,doncilexisteB>0telque1+g(t)≤2g(t)pourt≥B,par
tequen´cons(f(1+g(vn))p−1h(vn))estborn´eedansL1(Ω),(5.4.3)
d’ou`nousd´eduisons(5.4.2).Alors,enutilisant(5.2.13)dulemme5.2.9nousobtenons
fg(v∗)p−1j(v∗)∈L1(Ω),
d’o`u,par(5.2.11)nousd´eduisons
fg(v∗)p−1g(v∗)∈L1(Ω).
Parconvexite´degsur[a,∞),pourtoutt≥anousavonsg(a)≥g(t)+(a−t)g(t)≥
g(t)−tg(t),cargcroissante.Doncg(tt)≤g(t)+g(ta)≤g(t)+g(aa)pourtoutt≥a.Par
tequen´consfg(v∗)p/v∗∈L1(Ω).
Enparticuliernousretrouvonsdenouveauque(f(1+g(v∗))p−1)∈L1(Ω),quia´ete´obtenu
dansleth´eor`eme5.4.10.
(ii)−(iii)Lar´egularite´dev∗d´ecouledel’estimationf(g(v∗))p/v∗∈L1(Ω).Nous
utilisonsunargumentdebootstrapenplusieurs´etapes:
Etaped’initiation.Prenonsσtelquer<σ<N/(N−p),nousavonsv∗p−1∈Lσ(Ω).
D´efinissonsθparθp=p−1+r1+σ1,nousavonsθ∈(1,p),et
1−θ=1−p−1=(p/θ)−(p−1)=θ(1+1)=θ(r+σ),
pp/θp/θprσprσ
doncp/(p−θ)=θp(rr+σσ).Parl’in´egalite´deH¨older
∗/p1(fg(v∗)p−1)θdx=(f∗1g(/pv))(p−1)θ(fθ/pv∗θ/p)dx
ΩΩv
≤fg(v∗)pdxθ/p(fθ/pv∗θ/p)p/(p−θ)dx1−θ/p
∗vΩΩfg(v∗)pθ/prσ/(r+σ)∗(p−1)rσ/(r+σ)1−θ/p
=Ωv∗dxΩfvdx
fg(v∗)pθ/prθ/p∗σ(p−1)θ/pσ
≤Ωv∗dxΩfdxΩvdx

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

712

Alorsfg(v∗)p−1∈Lθ(Ω)avecθ>1.
Sip=N,alorsparlelemme2.3.3,v∗∈L∞(Ω).Danslasuitenoussupposonsp<N.
Choisissonsσsuffisammentprocheder:
1>1−p(N−p),
Nrσnousobtenons1111p
θ=1+p(σ−r)>N.
Parlelemme2.3.3,puisqueθ<N/p,nousavons
v∗p−1∈Lσ1(Ω)avecσ1=Nθ/(N−pθ).
Pourσsuffisammentprocheder:
p−1>1−p(N−p),
Nrσ

noustrouvonsqueσ1>σ.
D´efinissonsθ1par1111
θ1=1+p(σ1−r).
Alorsθ1>θetnousmontronsquefg(v∗)p−1∈Lθ1(Ω),commepourθ.Danslasuitenous
discutonslapositiondeθ1parrapporta`N/petnouspouruivonsparunargumentde
.apotstrobBootstrap1.Nousdistinguonslestroiscassuivants:
Cas1:Siθ1<N/palorsv∗p−1∈Lσ2(Ω)avecσ12=θ11−Np,d’apre`slelemme(2.3.3).
Nousavonsσ2>σ1>σ>r.D´efinissonsθ1parθ12=1+p1(σ12−r1).Alorsθ2>θ1et
fg(v∗)p−1∈Lθ2(Ω),commedansl’´etaped’initiation.
Cas2:Siθ1=N/palorsv∗p−1∈Ls(Ω)pourtouts≥1.Prenonsk:kp=p−1+r1+s1,
avecsassezgrand;parexemples1<r1−p(NN−p).Alorsk>N/petfg(v∗)p−1∈Lk(Ω),
commedansl’e´taped’initiation.Alorsv∗p−1∈L∞(Ω).
Cas3:Siθ1>N/palorsv∗p−1∈L∞(Ω).
Etainsidesuite,nouspouvonsd´efinirdeuxsuitesstrictementcroissantes(σν)et(θν),
par11p111p
σν=θν−1−N=1+p(σν−1−r)−N,(5.4.4)
111111p1
θν=1+p(σν−r)=1+p(θν−1−N−r),(5.4.5)

812

5.4.SolutionExtr´emale

tantqueθν−1<N/p,tellesquev∗p−1∈Lσν(Ω)etfg(v∗)p−1∈Lθν(Ω).Ainsinousobtenons
unesuite(θν−1)strictementcroissantemajore´eparN/p,alors(θν−1)convergeversune
limitelθ≤N/p.Enpassanta`lalimitedanslarelationit´erative(5.4.5)nousobtenons
1p111lθ=1+p(lθ−N−r),
doncp11lθ=1+(p−1)r−N.
Donc11p+ppp
lθ≥p/N⇔1+(p−1)r≥N=N⇔N≥N0.
D’ou`onconclut
•SiN<N0alorsl’argumentit´eratifs’arrˆeteapre`sunnombrefinid’´etapesν¯avec
θν¯≥N/p.Alorsv∗p−1∈L∞(Ω).
•SiN≥N0alors(θν)convergeverslθet(σν)convergeversunelimitelσobtenueen
passanta`lalimitedans(5.4.4):
11p1p+p
lσ=lθ−N=1+(p−1)r−N.
Puisquev∗p−1∈Lσν(Ω)pourtoutνalorsv∗p−1∈Lk(Ω)pourtoutk<σ¯,ou`σ¯=lσ.
DanslecasN=N0onalσ=∞.Donclapreuvede(ii)estachev´ee.
pNBootstrap2.Danslecas1dubootstarp1siθ1≥Np−N+palorsv∗∈W01,p(Ω);
siθ1<Np<N/palorsnousobtenonsparlelemme2.3.3:(|v∗|p−1)∈Lτ1(Ω)
Np−N+p
avec1/τ1=1/θ1−1/N,etainsidesuiteonpeutd´efinirunesuitestrictementcroissante
par)τ(ν1/τν=1/θν−1/N,(5.4.6)
tantqueθν<Np,avec(|v∗|p−1)∈Lτ1(Ω).Lasuite(θν)convergeversune
NNpp−N+p
p11limitelθ≤Np−N+petlθ=1+(p−1)r−N.Donc
1Np−N+p11111+p
lθ≥Np=1−p+N⇔(p−1)r+p≥N⇔N≥N1.
D’ou`onconclut
•SiN<N1alorsl’argumentit´eratifs’arrˆeteapre`sunnombrefinid’´etapesν¯avec
pN,p1∗θν¯≥Np−N+p.Alorsv∈W0(Ω).

Chapitre5.Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextr´emale

912

•SiN<N1alorslasuite(τν)convergeversunelimitelτobtenueenpassanta`lalimite
:.6)(5.4dans11111+p
lτ=lθ−N=1+(p−1)r−N.
Alors(|v∗|p−1)∈Lτ(Ω)pourtoutτ<τ¯=lτ=(1+(p−11)r−(pN+1))−1.PourN=N1on
aτ¯=∞.Donclapreuvede(iii)estachev´ee.
(iv)Sitlim→∞infh(t)/t>0,alorsf(1+g(vn))p−1vndxestborn´eedansL1(Ω),en
Ωutilisant(5.4.3).Enmultipliant(Pv,λn)parvnnousobtenons
|vn|pdx=λnf(1+g(vn))p−1vndx≤C,
ΩΩdoncv∗∈W01,p(Ω).Celaestvraienparticulierquandtlim→∞infj(t)/t>0,d’apre`s(5.2.13)
.9.5.2mmeleduRemarque5.4.12Sip≥2,alorsv∗estsemi-stable.Eneffetvn=vλnsatisfait(5.2.3)
pourtoutψ∈D(Ω).Et(|vn|p−1)convergefortementdansL1(Ω)vers|v∗|p−1,donc
onpeutpassera`lalimiteenutilisantleth´eor`emedelaconvergencedomin´eedeLebesgue
etlelemmedeFatou.
Remarque5.4.13Sip=2,Ωstrictementconvexe,etf=1,alorsv∗∈W01,2(Ω),pour
toutefonctiongsatisfaisant(5.1.1)et(5.1.2),d’apr`es[19].Lapreuveutiliselefaitque
Jλ∗(v∗)≤0etl’identite´dePohozaev;lepointcle´estquev∗estr´eguli`ereauvoisinagedu
bord,d’apr`eslesr´esultatsde[20].
Danslecasg´en´er∗alp>1,p1avecf≡1,sionpeutmontrerquev∗estr´eguli`ereauvoisinage
dubord,alorsv∈W0(Ω).Eneffet,unr´esultatde[15]´etendl’identite´dePohozaev
aup-Laplacien.Pourfquelconqueonnepeutpasobtenirler´esultatparcettem´ethode,
mˆemepourp=2.
Remarque1,p5.4.14Danslecasexponentiel1+g(v)=ev,avecf≡1,ilae´te´montre´
quev∗∈W0(Ω),etv∗∈L∞(Ω)quandN<N2=4p/(p−1)+p,voir[11]et[12].Dans
lecasdepuissance,(1+g(v))p−1=(1+v)monalesmˆemeconclusions;siN≥N2,et
m<mc,ou`
cN−p−2−2(N−1)/(p−1)
m=(p−1)N−2(p−1)(N−1)+2−p
alorsonaencorev∗∈L∞(Ω),voir[10].Lesmˆemeconclusionsont´ete´montr´eesquand
lafonctiongsecomportecommeuneexponentielleouunepuissance,voir[24],[7],[21],
et[9].Anotreconnaissance,pourgg´en´eralonnesaitpassiv∗estborn´eepourNentre
N0=ppetN2,a`l’exceptionducasradial,voir[8].
Maintenantnousdonnonsdeuxcaspourlesquelleslasolutionextr´emaleestborne´e
quandgaunecroissancelente:

013

5.4.SolutionExtr´emale

Proposition5.4.15Supposonsquegsatisfait(5.1.1),(5.1.2et(5.1.3)pouruncertain
Q∈(p−1,Q1),etgestconvexeauvoisinagede∞,etf∈Lr(Ω)avecQr<Q1.
Alorsv∗∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)etelleestunesolutionvariationnelle(Pv,λ∗).

Preuve.Commedanslaproposition4.3.10,laconclusionr´esulteduth´eor`eme5.4.10
et(i)delaproposition2.3.4.
Commeconse´quencedelaproposition5.3.1nousobtenonsquelasolutionextr´emale
estborn´eesouslacondition(5.1.3)etf∈Lr(Ω)avec(Q+1)r<p∗,cequiach`evela
d´emonstrationduth´eor`eme5.1.2:

Proposition5.4.16Supposons(5.1.1),(5.1.2)et(5.1.3),gconvexeauvoisinagede∞,
etf∈Lr(Ω)avec(Q+1)r<p∗.Alorslasolutionextr´emalev∗∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)et
elleestunesolutionvariationnelle(Pv,λ∗).

Preuve.Consid´eronsλnλ∗,lasuitedesolutionsminimalesvn=vλnsatisfait
JWλn1(,pvn(Ω)),≤et0paconrvelargepropversositv∗ionspresque5.2.1.Dparto’aprut`esladanspropΩ,ositdoncionv∗5.3∈.1,W(1v,pn)(Ω)estetboellern´eeestdaunens
00solutionvariationnellede(Pv,λ∗).Alorsv∈L∞(Ω)d’apr`es(iii)delaproposition2.3.4.

Remarque5.4.17Danslecasp=N,leshypoth`esesdecroissancenesontpasn´ecessaires
danslespropositions5.4.15et5.4.16:pourtoutgsatisfaisant(5.1.1),convexeauvoisi-
nagede∞,etf∈Lr(Ω),r>1,nousavonsv∗∈W01,N(Ω)∩L∞(Ω),parlaproposition
5.4.11.Cependant,nousavonsbesoindel’hypoth`ese(5.1.3)pourunQ>N−1pour
obtenirler´esultatdemultiplicite´duth´eor`eme5.1.1.

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6erpitCha

´Etudeduprobl`eme(Pv,λ)avec
donn´eesmesuresquelconques

iremaSom6.16.2

Introduction.............................135
Preuves................................136

313

413

Chapitre6.´Etudeduprobl`eme(Pv,λ)avecdonn´eesmesuresquelconques

513

6.1Introduction
Danscechapitrenousdonnonsdesr´esultatsd’existenceetdenon-existencedesolu-
tionsrenormalis´eespourleprobl`emes(Pv,λ)avecmesureµ∈Mb+(Ω),µ=0:
−Δpv=λf(1+g(v))p−1+µdansΩ,(6.1.1)
v=0sur∂Ω
Enfait,ler´esultatd’existenceduth´eor`eme2.11estunecons´equenceduth´eore`mesuivant
quitraitel’existenceduprobl`emeplusge´n´eral:
−ΔpU=λh(x,U)+µdansΩ,(6.1.2)
U=0sur∂Ω,
ou`µ∈Mb(Ω)estarbitraire,sanshypoth`esedesigne;ethunefonctiondeCarath´eodory
deΩ×Ra`valeursr´eelsayantunecroissancelentepolynomialedelaforme
|h(x,U)|≤f(x)(K+|U|Q),(6.1.3)
avecQ>0etλ,K>0,etf∈Lr(Ω)avecQr<Q1,ou`Q1estdonne´par(4.1.5).
The´or`eme6.1.1Soitµ∈Mb(Ω),ethsatisfaisant(6.1.3)avecavecQ>0etλ,K>0,
etf∈Lr(Ω)avecQr<Q1.Alorsilexisteunesolutionrenormalis´eede(6.1.2)dans
l’undescassuivants:

Q=p−1etλ<λ1(f);(6.1.4)
0<Q<p−1;(6.1.5)
Q>p−1et(6.1.6)
λfLr(Ω)(λKfLr(Ω)+|µ|(Ω))(Q/(p−1))−1|Ω|1/r−Q/Q1≤C
pourunecertaineconstanteC=C(N,p,Q)pourp<N,etC=C(N,Q,KN(Ω))pour
.N=pCeth´eor`emeam´elioreunr´esultatannonce´dans[6,th´eor`eme1.1]pourQ>1,avecune
preuveincompl`ete.Notrer´esultattraitelecasg´en´eralQ>0,etdonnelesmeilleurs
informationsdanslecasQ=p−1.
Parlapropositionsuivantenousobtenonsdesre´sultatsdenon-existencedesolutions
renormalis´eesduprobl`eme(6.1.1):
Proposition6.1.2Soitµs∈Ms+(Ω)etf∈L1(Ω)unefonctionpositive.
(i)Pourtoutλ>λ1(f),ouλ=λ1(f)etf∈LN/p(Ω),p<N,iln’yapasdesolution
devositivep−Δpv=λf(1+v)p−1+µsdansΩ,
v=0sur∂Ω.(6.1.7)

613

vesPreu6.2.

(ii)Soitgd´efiniesur[0,∞)ettlim→∞infg(τ)/τ>0.Siλ>λr,iln’yapasdesolutionsv
de−Δpv=λf(1+g(v))p−1+µsdansΩ,
v=0sur∂Ω.
Danslad´emonstrationdelapropositionpre´c´edentenousutilisonsler´esultatsuivantde
Ponce[7],quiestunecons´equencedirecteduprincipedemaximumquandp=2,mais
n’estpassimplepourp=2,puisqu’onneconnaitpasunprincipedecomparaisonpour
:mesureslesLemme6.1.3SoithunefonctionCarath´eodorydeΩ×[0,∞)dans[0,∞).Soitµs∈
Ms+(Ω)etuunesolutionrenormalis´eepositivede
−ΔpU=h(x,U)+µsdansΩ,(6.1.8)
U=0sur∂Ω.
1Supposonsquet∈[0,usup(x)]h(x,t)=F(x)∈L(Ω).Alorsilexisteunesolutionrenormalis´ee
deVositivep−ΔpV=h(x,V)dansΩ,(6.1.9)
V=0sur∂Ω.

6.2Preuves
Lad´emonstrationdu[6,the´or`eme1.1]estincomple`te:l’approximationdelamesure
n’estpaspr´ecis´ee.Icinousdonnonsunepreuved´etaill´ee,valablepourtoutp≤N,ou`
nouspr´ecisonsl’approximationdelamesure.
Preuveduth´eor`eme6.1.1.Lad´emonstrationestpartag´eeenplusieurs´etapes:
Etape1:Constructiond’uneapproximationconvenabledeµ.Noussuivonsune
preuvede[3],voirencore[5].Soit
µ=µ1−µ2+µs+−µs−,
avecµ1=µ0+,µ2=µ0−∈M0+(Ω)etµs+,µs−∈Ms+(Ω),donc
µ1(Ω)+µ2(Ω)+µs+(Ω)+µs−(Ω)≤2|µ(Ω)|.
Parler´esultatde[4],pouri=1,2,µised´ecomposedelafa¸consuivante
µi=ϕiγi,avecγi∈Mb+(Ω)∩W−1,p(Ω)etϕi∈L1(Ω,γi).
Soit(Kn)n≥1unesuitecroissantedecompactesdeΩ,telleque∪n+=1∞Kn=Ωetsoit
ν1,i=T1(ϕiχK1)γietνn,i=Tn(ϕiχKn)γi−Tn−1(ϕiχKn−1)γi.

Chapitre6.´Etudeduprobl`eme(Pv,λ)avecdonn´eesmesuresquelconques

713

Enutilisantunesuiter´egularisante,ilexisteunefonctionpositiveφn,i∈D(Ω)telleque
φn,i−νn,iW−1,p(Ω)≤2−nµi(Ω),
pourtoutn≥1,voir[3].Alorshn,i=1nφk,i∈D(Ω)et(hn,i)convergefortementdans
L1(Ω)versunefonctionhi,ethn,iL1(Ω)≤µi(Ω).Ond´efinitlasuitedefonctions
nGn,i=(νk,i−φk,i)∈W−1,p(Ω)∩Mb(Ω).
1Nousavonsencore(Gn,i)convergefortementdansW−1,p(Ω)versunecertainefonction
Gi,etµi=hi+Gi,etGn,iMb(Ω)≤2µi(Ω).Pourlapartiesinguli`ere,parr´egularisation,
ilexisteunesuitedefonctionspositivesλn1etλn2∈D(Ω)convergeantrespectivementvers
µs+,µs−pourlatopologiee´troite,avecλn1L1(Ω)≤µs+(Ω),λn2L1(Ω)≤µs−(Ω).Alorsla
suited’approximationsdeµdefinepar
µn=hn,1−hn,2+Gn,1−Gn,2+λn1−λn2
satisfaitlesconditionsdestabilite´duth´eor`eme2.2.12,etdepluselleestborne´e
parrapporta`|µ|(Ω)paruneconstanteuniverselle:
|µn|(Ω)≤4|µ|(Ω).
Etape2:Leprobl`emed’approximation.Pourtoutn∈Nfix´e,nouscherchonsune
solutionvariationnellede

−ΔpUn=λTn(h(x,Un))+µn,(6.2.1)
enutilisantlethe´or`emedep1,pointfixedeSchauder.A`chaqueV∈W01,p(Ω)nousassocions
lasolutionU=Fn(V)∈W0(Ω)de
−ΔpU=λTn(h(x,V))+µn,
ou`Tnestlafonctiondetroncature.Enconsid´erantUcommefonctiontestnoustouvons
ULpp(Ω)≤λnUL1(Ω)+µnW−1,p(Ω)UW01,p(Ω),
doncUW01,p(Ω)≤Cnind´ependantedeV.
SoitBn=B(0,Cn)laboulederayonCndeW01,p(Ω).AlorsFnestd´efinie,continueet
compactedeBndansBn,doncelleadmetunpointfixeUn.
Etape3:Estimations:

813

vesPreu6.2.

Parl’estimation(2.3.2)delaproposition2.3.2,avecσ=Qr/(p−1),etparl’hypoth`ese
(6.1.3)nousavons
(|Un|Qrdx)(p−1)/Qr≤C0|Ω|λ|Tn(h(x,Un))|dx+|µn(Ω)|
ΩΩ≤C0|Ω|λfLr(Ω)(|Un|Qrdx)1/r+λKfL1(Ω)+4|µ|(Ω),
Ωou`=(p−1)/Qr−(N−p)/N,etC0=C0(N,p,Q,r)pourp<N,etC0=C0(N,Q,r,KN(Ω))
pourp=N.
ncDo(|Un|Qrdx)(p−1)/Qr≤a+b(|Un|Qrdx)1/r(6.2.2)
ΩΩu`oa=C0|Ω|(λKfL1(Ω)+4|µ|(Ω)),b=C0|Ω|λfLr(Ω).(6.2.3)
Demeˆme,nousavonsl’estimation
(|U|Qrdx)(p−1)/Qr≤a+b(|V|Qrdx)1/r(6.2.4)
ΩΩEtape4:Passagea`lalimite:Maintenantnousdistingonslescassuivants:
Cas1:Q<p−1.Danscecasona(p−1)/Qr>1/r,doncl’estimation(6.2.2)implique
qu’ilexisteuneconstanteC>0ind´ependantedentelleque(|Un|Qr)dx≤C,c’esta`
Ωdirean=|Un|Qrdxestborn´ee.(6.2.5)
ΩDonc,parl’hypoth`ese(6.1.3),lasuite(h(x,Un))estborn´eedansL1(Ω),donc(−ΔpUn)
estborn´eedansL1(Ω).
Alors,voirlaremarque2.2.13,(|Un|p−1)estborn´eedansLs(Ω)pourtouts∈[1,N/(N−p))
(pourtouts≥1sip=N)etilexisteunesous-suite,not´eeencoreUn,quiconvergepresque
partoutdansΩversunecertainefonctionmesurableU.Choisissonss>Qr/(p−1),et
soitk0d´efiniepar:
Q11k0=r+(p−1)s.
Alorsilestfaciledev´erifierquek0>1et(|h(x,Un)|)estborn´eedansLk0(Ω).Alors,
parlaconvergencepresquepartout,lelemmedeFatouetleth´eor`emedeconvergencede
Vitaliilr´esulteque
h(x,Un)→h(x,U)fortementdansLk(Ω),
pourtoutk<k0.Parsuite,enutilisantleth´eor`eme2.2.12,nouspouvonsconclurequeU
estunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme(6.1.2).

Chapitre6.´Etudeduprobl`eme(Pv,λ)avecdonn´eesmesuresquelconques

913

Cas2:Q=p−1.Supposonsqueλ<λ1(f).Danscecasnousmontronsencore
(6.2.5),parcontradiction.Supposonsque(6.2.5)n’estpasvrai.Alorsilexisteunesous-
suite,qu’oncontinuea`indicerparn,tellequean=|Un|(p−1)rdxtendvers∞.Posons
Ωwn=an−1/(p−1)rUn.Alorswn∈W01,p(Ω),wn(p−1)rdx=1,etsatisfait
Ω−Δpwn=an−1/r(−ΔpUn)=ηn+ϕn,(6.2.6)
ou`ηn=an−1/rλTn(h(x,Un))etϕn=an−1/rµn.Ilestfaciledevoirque(ϕn)convergevers0
fortementdansL1(Ω),puisqueµn(Ω)estborn´ee.Et(ηn)estborn´eedansL1(Ω),puisque
f∈Lr(Ω)et
|ηn|≤ψn=λf(Ca−n1/r+|wn|p−1).
Alors,voirlaremarque2.2.13,(|wn|p−1)estborn´eedansLs(Ω)pourtouts∈[1,N/(N−p))
etilexisteunesous-suite,not´eeencorewn,quiconvergepresquepartoutdansΩversune
certainefonctionmesurablew.
Alors,parlelemmedeFatouetlethe´or`emedeVitali,(|wn|(p−1)s)convergefortement
L1(Ω)vers|w|(p−1)s,pourtouts∈[1,N/(N−p)).Enparticulierpours=r,car
r<N/(N−p).D’ou`w≡0.
Et(ψn)convergefortementdansL1(Ω)versλf|w|p−1,d’ou`(ηn)convergefortementdans
∈L1(Ω)versunecertainefonctionη∈L1(Ω)avec|η|≤λf(x)|w|p−1presquepartout
dansΩ.Donc,parleth´eor`eme2.2.12,westunesolutionrenormalis´eeduprobl`eme
−Δpw=η,dansΩ,
.2.7)(6w=0sur∂Ω.
Par(i)delaproposition2.3.4,nousobtenonsw∈W01,p(Ω),puisquer>N/p.Alors
λ1(f)|w|pdx≤|w|pdx≤λf|w|pdx,
ΩΩΩdoncλ1(f)≤λ,cequicontreditl’hypoth`ese.Alorsnouspouvonsconclurea`l’existence
d’unesolutionrenormalis´eeduprobl`eme(6.1.2),commedanslecaspr´ec´edent.
Cas3:Q>p−1.Danscecas,(6.2.5)n’estpasn´ecessairementvraipourcettesuite
Un,maisnousconstruisonsunesuiteparticuli`ere(Un)satisfaisant(6.2.5):poustout
V∈W01,p(Ω)etU=Fn(V),nousavonsl’estimation(6.2.4).Posons
x(V)=(|V|Qrdx)(p−1)/Qr,
Ωnousobtenonsx(U)≤a+bx(V)Q/(p−1).PuisqueQ>p−1,alorslafonctiond´efiniepar
P(y)=a+byQ/(p−1)−y

140

vesPreu6.2.

admetunminimumaupointy0=((p−1)/bQ)(p−1)/(Q−p+1)etparuncalculsimpleon
aP(y0)=a−c(p,Q)b(1−p)/(Q−p+1),pourunecertaineconstantec(p,Q)>0.AlorsP(y)
admetaumoinsuneracinesiP(y0)≤0,cequiest´equivalenta`a(Q−p+1)/(p−1)b≤C(p,Q),
etunsimplecalculconduita`laconditionsuppos´eedans(6.1.6).Soity1=y(a,b,p,Q)la
pluspetiteracinedeP(y).Six(V)≤yalorsx(U)≤a+by1Q/(p−1)=y1.L’ensemble
An,y1=V∈W01,p(Ω),x(V)≤y1etUW01,p(Ω)≤Cn
estunsous-ensembleconvexeetferme´deW01,p(Ω).Alorsutiliso1,pnsleth´eor`emedeSchau-
derdansl’ensembleAn,y1noustrouvonsunesolutionUn∈W0(Ω)de(6.2.1)telleque
|Un|Qrdxestborn´ee.Etnousconcluonscommedanslescaspr´ece´dent.
ΩRemarque6.2.1DanslecasQ=p−1,lacondition(6.1.4)estoptimale,d’apr`esle
th´eor`eme3.1.3.Lapreuvedonn´eepourQ>p−1estvalablepourQ=p−1,maisla
condition(6.1.6)obtenuedanscecasn’estpasoptimale.
Remarque6.2.2L’hypoth`esedecroissancelente(6.1.3)estnaturelpourobtenirun
r´esultatd’existence.Parexemple,soitp=2<Netg(v)=vQpourunQ>0,et
soitµ=δalamesuredeDiracenunpointa∈Ω.Sivestunesolution,alorsv(x)≥
C|x−a|2−Nauvoisinagedea;alorsnousavonsn´ecessairement|x−a|(2−N)Qf∈L1(Ω);
alorsQ<N/(N−2)sif≡1.
Plusg´en´eralements’ilexisteunesolutionde(6.1.1),alorsfG(µ)∈L1(Ω),ou`G(µ)=u
estlasolutionde(2.2.2).Cetteconditionesttoujourssatisfaitesif∈Lr(Ω)pourun
certainr>N/2.
Preuvedulemme6.1.3.Soithˆ(x,t)=h(x,max(0,min(t,u(x))).Alors0≤hˆ(x,t)≤
F(x)pr1e,psqueparto∞utdansΩ.Parleth´eor`emedeSchauder,pourtoutn∈Nilexiste
Vn∈W0(Ω)∩L(Ω)positivetelleque
−ΔpVn=Tn(hˆ(x,Vn))inΩ.
Parlaremarque2.2.19,ilexisteunesous-suitenot´eeVnquiconvergepresquepartoutvers
unesolutionrenormalis´eepositiveVdel’´equation
−ΔpV=hˆ(x,V)dansΩ,
V=0sur∂Ω,
Ilrestea`montrerqueV≤u.Pourm>0fix´e,etn∈Nonconsid`erelafonction
ω=Tm((Vn−u)+).Soitcn=VnL∞(Ω),nousavons
Vn−u≥0sur{u≤Vn},
Vn−Tcn(u)=Vn−u≤0sur{Vn<u≤cn},
Vn−cn≤0sur{u>cn},

Chapitre6.´Etudeduprobl`eme(Pv,λ)avecdonn´eesmesuresquelconques

114

suitearP(Vn−Tcn(u))+=Vn−usiu≤Vn,
0siu>Vn,
qui´egalea`(Vn−u)+.Doncω=Tm((Vn−Tcn(u))+)∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω).Enremarquant
queω+∞=0sur{u>cn}etµs−=0,doncparlad´efinition2.2.4
|u|p−2u.ωdx=ωh(x,u)dx+ω+dµs+=ωh(x,u)dx
ΩΩΩΩD’autepart,ωestencoreadmissibledansl’´equationsatisfaiteparVn;donc
|Vn|p−2Vn.ωdx=Tn(hˆ(x,Vn))ωdx;
ΩΩrsalo|Vn|p−2Vn−|u|p−2u.Tm((Vn−u)+)dx
Ω=(Tn(hˆ(x,Vn)−h(x,u))Tm((Vn−u)+)dx
Ω≤(hˆ(x,Vn)−h(x,u))Tm((Vn−u)+)dx
Ω=(hˆ(x,Vn)−h(x,u))Tm((Vn−u)+)dx
{u≤Vn}
+(hˆ(x,Vn)−h(x,u))Tm((Vn−u)+)dx
}Vu>{ncar,0=•Sur{u≤Vn}onahˆ(x,Vn)=h(x,u).
•Sur{u>Vn}onaTm((Vn−u)+)=0.
ParlelemmedeFatouetleth´eor`emedeconvergencedomin´eedeLebesgue,1,pfaisons
tendrenvers∞pourmfix´e,puisquelestroncaturesconvergentfortementdansW0(Ω),
nsobtenonous|V|p−2V−|U|p−2U.Tm((V−U)+)dx≤0.
ΩAlorsTm((V−U)+)=0pourtoutm>0,doncV≤UpresquepartoutdansΩ.
Preuvedelaproposition6.1.2.Lelemme6.1.3ditques’ilexisteunesolution
duprobl`emeavecmesurealorsilexisteunesolutionduprobl`emesansmesure.D’ou`nous
obtenons(i)d’apr`esleth´eor`eme3.4.1et(ii)parlefaitλr<∞,d’apr`eslaremarque
.2.5.4

214

Remarque

32.6.

Une

application

re´sultatdenon-existence(dans

)initiales

eutp

eetrˆ

ee´ouvtr

dans

un

la

de

changement

de

cadreparabolique,

ositionoppr

1.3

de

iablerva

de

etyp

singularitlae´

[1],

voir

aussi

6.2.

Cole-Hopf

ortep

[2].

sur

les

Preuves

unourp

ees´donn

Bibliographie

[1]Ben-Artzi,M.andSouplet,Ph.andWeissler,F.B.,Thelocaltheoryforviscous
Hamilton-JacobiequationsinLebesguespaces,J.Math.PuresAppl.(9)81:343–
.02208,37[2]Ben-Artzi,M.andSouplet,Ph.andWeissler,F.B.,Surlanon-existenceetlanon-
unicite´dessolutionsduprobl`emedeCauchypourune´equationparaboliquesemi-
lin´eaire,C.R.Acad.Sci.ParisS´er.IMath.,329,371–376,1999.
[3]BoccardoL.,Gallou¨etT.,andOrsinaL.,Existenceanduniquenessofentropysolu-
NontionsLinfor´eaire,nonline13(5ar)el:5liptic39–55e1,19quations96.withmeasuredata,Ann.Inst.H.Poincare´Anal.
[4]DalMasoG.,Ontheintegralrepresentationofcertainlocalfunctionals,Ricerche
Mat.,32(1):85–113,1983.
[5]DroniouJ.,PorrettaA.,andPrignetA.,Paraboliccapacityandsoftmeasuresfor
nonlinearequations,PotentialAnal.,19(2):99–161,2003.
[6]Ann.GrenonInst.N.,H.PExistencoincarere´esultsAnal.forNonsemilineLin´eairare,el19liptic(1)e:1–11,quations2002.withsmallmeasuredata,
[7]PonceA.,Communicationpersonnelle.

314

414

Bibliographie

7erpitCha

Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sans
etavecdonn´eesmesures

iremaSom7.1Applicationsetr´esultats......................147
7.1.1Probl`eme(P)sansdonn´eemesure...............147
u,λ7.1.2Probl`eme(P)avecmesure...................150
u,λ7.2Significationde(7.1.1)entermedeβetremarques......151
7.3Extensionsetapplications.....................153
7.4Unr´esultatd’existencepourdesop´erateursplusg´en´eraux.158

7.27.37.4

514

614

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures

714

Danscechapitrenousd´eduisonsdesr´esultatsd’existenceoudenon-existence,de
r´egularite´etdemultiplicite´pourleprobl`eme(Pu,λ)a`partirdesre´sultatsquenousavons
obtenussurleprobl`eme(Pv,λ)enutilisantleth´eor`eme2.1.

7.1Applicationsetr´esultats
Lecasβ=p−1etg(v)=vae´te´´etudie´danslasection3.4duchapitre3par
leth´eor`eme3.1.3.Pourunefonctionquelconqueβsatisfaisant(3.1.1),nousassocions
lafonctiong=T(β)d´efiniepar(3.2.1).Nousavons´etabliquelquesr´esultatspourle
proble`me(Pv,λ)ensupposantquegestd´efiniesur[0,∞)etsatisfait(4.1.4):
1−pMQ=limsupg(τ)Q<∞(7.1.1)
τ→∞−τ

pouruncertainQ>0.
(3.2.4)Ra.ppRe´loecipronsquequemensiβt,estsidg´efinieestd´surefinie[0,s∞ur)[0a,lors∞)gaestlorsLenco<re∞d´siefinieetsseuleur[0,men∞t),si1d’a/(1pr`es+
g(v))∈L1((0,∞)).Lacondition(7.1.1)est´equivalentea`
)t(γetlim−→LsupΨQ(t)<∞.(7.1.2)

7.1.1Probl`eme(Pu,λ)sansdonn´eemesure
Nouscommen¸consparlapr´esentationdenosr´esultatsd’existence,der´egularite´etde
:e´ultiplicitmDanslecasou`gestlin´eaire,nousobtenonsler´esultatsuivant
Corollaire7.1.1Supposonsqueβsatisfait(3.1.1)avecL=∞etquegsatisfait(7.1.1)
avecQ=p−1etf≡0.
SiMp−1λ<λ1(f),alorsilexisteaumoinsunesolutionu∈W01,p(Ω)duprobl`eme
.)P(u,λSideplusf∈LN/p(Ω),p<N,alorsu∈Lk(Ω)pourtoutk>1.
Sif∈Lr(Ω),r>N/p,alorsu∈L∞(Ω);etsideplusβ∈/L1((0,∞))alorsilexisteune
infinite´desolutionsusde(Pu,λ)moinsr´eguli`eresqueu.
Si(1+g(v))/vest1,pstrictementd´ecroissante,alorsuestl’uniquesolutionde(Pu,λ)qui
satisfaitΨ(u)∈W0(Ω).

Preuve.Nousobtenonsd’unesolutionu∈W01,p(Ω)enappliquantleth´eor`eme3.1.2au
r´esultatduth´eor`eme4.3.6.Lar´egularite´re´sultedelaremarque3.3.1etdufaitqueu≤v.

814

7.1.Applicationsetr´esultats

L’unicite´s’obtientcommedanslapreuveducorollaire3.4.2danslecasβ=p−1.Laforte
multiplicite´estobtenuepar(i)duth´eor`eme2.11etleth´eor`eme3.1.2.Eneffetpourchaque
mesureµs∈Ms+(Ω)ilexisteunesolutionrenormalis´eeduproble`me(3.1.11)d’apr`es(i)
duth´eore`me2.11.Lafonctionus=Ψ(vs)estunesolutionrenormalis´eede(Pu,λ)d’apr`es
lethe´or`eme3.1.2.

Remarque7.1.2SiMp−1=0etλ1(f)>0alorsnousavons(i)pourtouttoutλ>0.
Enparticuliersigsatisfait(7.1.1)avecQ<p−1alorsMp−1=0.Danslecorollaire
suivantnousd´eduisonsdelaproposition4.3.8desr´esultatsd’existenceetdemultiplicite´
desolutionrenormalis´eepourtoutλ>0lorsquegsatisfait(7.1.1)sanssupposerque
λ1(f)>0.
Danslecasou`gestsous-lin´eaire,nousobtenonslecorollairesuivant
Corollaire7.1.3Supposonsqueβsatisfait(3.1.1)avecL=∞etgsatisfait(7.1.1)avec
Q<p−1,etf∈Lr(Ω)avecr∈(1,N/p)tellequeQr<Q1.
:slorA(i)Pourtoutλ>0,ilexisteunesolutionrenormalis´eeude(Pu,λ)tellequev=Ψ(u)
satisfaitvd∈L1(Ω)pourd=Nr(p−1−Q)/(N−pr),
etalorsud∈L1(Ω).Si(Q+1)r≤p∗,alorsu∈W01,p(Ω).
Si(Q+1)r>p∗,alors
|u|θ∈L1(Ω)pourθ=Nr(p−1−Q)/(N−(Q+1)r).
(ii)Siβ∈/L1((0,∞)))alorspourtoutλ>0,ilexisteuneinfinite´desolutionsusde
(Pu,λ)moinsr´eguli`eresqueu.

Preuve.(i)r´esulteparlaproposition4.3.8,leth´eore`me3.1.2etlefaitqueu≤vet
u=v/(1+g(v)).Lamultiplicite´estobtenuepar(i)duth´eore`me2.11etleth´eor`eme
.2.3.1Danslecasou`gsur-line´aireetsous-critique,nousobtenonsler´esultatsuivant
Corollaire7.1.4rSupposonsqueβsatisfait(3.1.1)avecL=∞etque(7.1.1)avecp−1<
Q<Q1,etf∈L(Ω)avecQr<Q1.
Alorspourtoutλ∈(0,λr),ilexisteunesolutionu∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)de(Pu,λ).
Sideplusβ∈/L1((0,∞)))alorspourλassezpetit(Pu,λ)admetuneinfinite´desolution
moinsr´eguli`eresqueu.
Preuve.Cecorollairer´esultedelaproposition4.3.10,(ii)duth´eor`eme2.11etleth´eor`eme
.2.3.1

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures

914

L’exempleexplicitedemultiplicite´de[7]a´ete´lamotivationessentiellepournotre
´etudedelaconnexionentre(Pu,λ)et(Pv,λ).Enfait,danslecasλf=0,leph´enom`enede
multiplicite´estplusg´en´eralgrˆacea`notrer´esultat.Commesimpleapplicationduth´eor`eme
3.1.2,mentionnonsler´esultatdemultiplicite´suivant:
Corollaire7.1.5Pourtoutβ∈/L1(0,∞),β≡0leprobl`eme
−Δpu=β(u)|u|pdansΩ,
u=0sur∂Ω,
admetuneinfinite´desolutionsrenormalis´ees.
Maintenant,noustraitonsl’existenced’unesolutionminimale,lafonctionextr´emale
etl’existenced’unedeuxi`emesolutionborn´eepourλpetit:
Corollaire7.1.6(i)Supposons(3.1.1),etf∈Lr(Ω),r>N/p.Alorspourλ>0
assezpetite,ilexisteunesolutionminimaleuλ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)de(Pu,λ),avec
uλL∞(Ω)<L.
(ii)Supposonsdeplusquetβ(t)estcroissante,etf≡0.Alorsilexisteλ∗>0telleque
pourtoutλ∈(0,λ∗)ilexisteunesolutionminimaleuλ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)de(Pu,λ)avec
uλL∞(Ω)<L.
Sideplustlim→Linfβ(t)>0alorspourtoutλ>λ∗leprobl`eme(Pu,λ)n’apasdesolution
renormalis´eeborn´ee.
Preuve.(i)r´esultedelaproposition4.2.1et(ii)r´esulteduth´eore`me4.3.3,puisquela
preuveestfaitesouslaconditiontβ(t)estcroissante.Lanon-existencere´sultede(ii)de
laproposition6.1.2.
Remarque7.1.7Par[3,remarque2.5],leprobl`eme(Pu,λ)n’apasdesolutionrenorma-
lis´eepourλassezgrandsitlim→∞infβ(t)>0,puisquedanscecasunesolutionrenormalis´ee
appartienta`W01,p(Ω),d’apr`eslaremarque3.3.1.
Parlesthe´or`emes5.1.2,et5.1.1etlaremarque3.3.1,nousobtenonsler´esultatsuivant:
Corollaire7.1.8Supposonsqueβsatisfait(3.1.1)etf∈Lr(Ω),r>N/p,f≡0.
SupposonsqueβestcroissanteauvoisinagedeLet
t−lim→Lβ(t)=∞,eteγ(t)/(p−1)∈L1(Ω).
(i)Alorsu∗=supuλestunesolutionde(Pu,λ),etu∗∈W01,p(Ω).Siunedesconditions
∗λλ(i),(ii)duth´eor`eme5.1.2estsatisfaite,alors
u∗L∞(Ω)<L.
(ii)Supposonsdeplusque(7.1.1)estsatisfaiteavecQ<Q∗,etf∈Lr(Ω)avec
(Q+1)r<p∗.Alorsilexisteλ0>0tellequepourtoutλ∈(0,λ0)ilexisteaumoins
deuxsolutionsde(Pu,λ)tellesqueuL∞(Ω)<L.
Quandp=2etβestcroissantenousavonsλ0=λ∗.

015

7.1.Applicationsetr´esultats

7.1.2Probl`eme(Pu,λ)avecmesure
Icinouspr´esentonslesr´esultats+quenousavonsobtenussurleproble`me(Pu,λ)avec
mesuresingulie`repositiveαs∈Ms(Ω):
−Δpu=β(u)|u|p+λf(x)+αsdansΩ,(7.1.3)
u=0sur∂Ω,
Nousavonsler´esultatdenon-existencesuivant
Corollaire7.1.9Supposonsqueβsatisfait(3.1.1)avecL=∞,fsatisfaisant1.5,f≡
slorA.0(i)Siβ∈/L1((0,∞))etαs=0alorsleprobl`eme(7.1.3)n’apasdesolutionrenorma-
ee.´lis(ii)Sip=2oup=Netslim→∞infg(s)/s>0alorsilexisteλrtellequeleprobl`eme
(7.1.3)n’apasdesolutionrenormalis´eepourtoutλ>λr.
Preuve.(i)Siβ∈/L1((0,∞)),alorsparleth´eor`eme3.1.1,αs=0si(7.1.3)admetune
solutionrenormalis´ee.
(7(.1.3)ii)etD(ans3.1le.11)casaupse=ns2renoouprmalis=´e,Nild’apry`aesleuneth´´eorequiv`emealence2.1.enEttroenclesodenclutuxparpro(bliie`)mesde
laproposition6.1.2.
n’existeRemarquepasde7.1.sol10ution(i)rEnenorpmalisarticulier´eepourdanstoutlecλas>λ10(.f)Dans=0,lesicpas=β2couonstantp=leNr´alorsesultatil
estvraipourpquelconque.
(ii)L’hypoth`eseslim→∞infg(s)/s>0estsatisfaitesitlim→∞infβ(t)>0,d’apr`es(i)dela
3.2.6.ositionoppr(iii)Ilestdifficileded´eduirelanon-existencepourprobl`eme(Pu,λ)enutilisantlesr´esultats
deEnfait,non-existencdansceecdeas,sisolutionsilexisterenorunemalis´solutioneessurrleenorprmoblalise`´meee(dePv(,λP)dans)lealorscasvβ=∈/Ψ(Lu1)((0n,’est∞)).
u,λpasn´ecessairementunesolutionrenormalis´eede(Pv,λ),a`l’exeptionducasp=2ou
.N=p

Remarque7.1.11Dans[8],l’auteurmontreunr´esultatd’existencepourleprobl`eme
avecdonn´eemesurequelconqueµ∈Mb(Ω)suivant:
−ΔpU=β(U)|U|p+µdansΩ,
U=0sur∂Ω,
sousleseulehypothe`seβ∈L1(R).Ildonneuncontre-exempleou`β∈/L1(R)etµest
unemassedeDiracmontrantquesonr´esultatd’existenceestoptimal,voirl’exemple2.3.

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures151

Dans(i)ducorollairepr´ec´edentnousam´elioronsetnous´etendonslanon-existencepour
toutβ∈/L1((0,∞))etαs=0.
Enappliquantsonr´esultatd’existence,enprolongeantβpar0,onobtientl’existencepour
leprobl`eme(7.1.3)quandβ∈L1((0,∞)).Parlecorollairesuivantnousretrouvonscette
existenceenappliquantnosr´esultats.Nousobtenonsdeplusunr´esultatd’unicit´e.
Corollaire7.1.12Supposonsqueβsatisfait(3.1.1)avecL=∞etβ∈L1((0,∞)).Soit
αs∈Ms+(Ω).
Alorsleprobl`eme(7.1.3)admetunesolutionrenormalis´eeuspourtoutλ≥0.
Deplus,siλf=0alors:
(i)Sip=2oup=Nalorsusestunique.
(ii)Siαs=0alorslasolutiontrivialeestl’uniquesolution.

7.2Significationde(7.1.1)entermedeβetremarques
Iln’estpasfaciledev´erifierlacondition(7.1.2),´equivalente`a(7.1.1).Lacondition
)t(βtlim−→LsupΨQ/(p−1)−1(t)<∞(7.2.1)
estsuffisantepourque(7.1.2)soitsatisfaiteetsideplusβestcroissantelesdeuxconditions
sont´equivalentes,enutilisantlar`egledel’Hˆopital.Eneffet
(eγ(t)/(p−1))γ(t)eγ(t)/(p−1)β(t)
(ΨQ/(p−1)(t))=Q(ΨQ/(p−1)−1(t))Ψ(t)=QΨQ/(p−1)−1(t).

Remarque7.2.1Siβ=β1+β2,ou`β1∈L1((0,L))etΛ2=∞etβ2satisfait(7.1.2),
(7.1.2).satisfaitβalorsEneffet,posonsv=Ψ(u),v1=Ψ1(u)etv2=Ψ2(u),nousavonsv2≤vet
1+qg(v)≤eγ(L)/(p−1)1+gq2(v2)≤eγ(L)/(p−1)1+gq2(v2).
vvv2Enparticulier(7.1.2)estsatisfaiteavecQ=p−1pourtoutefonctionβdecetteforme,
tellequeβ2estborn´ee.
Parlelemmesuivantnousdonnonsuneconditionsimplesurβquiassure(7.1.2):
Lemme7.2.2Supposonsqueβ∈C1([0,L)),etL=∞ouL<∞eteγ(θ)/(p−1)∈
L1((0,L)).Supposonsqu’ilexisteunQ>0telque
limsup(p−1)β(t)≤1−p−1.(7.2.2)
t−→Lβ2(t)Q

Alors(7.1.2)estsatisfaite.

215

7.2.Significationde(7.1.1)entermedeβetremarques

Preuve.Rappelonsqueβ(t)=(p−1)g(Ψ(t)).Alorspourtoutt∈(0,L):
(p−1)β(t)=g(Ψ(t))Ψ(t)=g(Ψ(t))eγ(t)/(p−1)=g(Ψ(t))g(Ψ(t)).
β2(t)(g(Ψ(t))2(g(Ψ(t))2(g(Ψ(t))2
Leshypoth`esessurβimpliquentΛ=∞et
(p−1)β(t)ggggQ
tlim−→supLβ2(t)=tlim−→Lsupg2(Ψ(t))=τlim−s→∞upg2(τ)≤1−p−1;
par(7.2.2).Doncpourθ=(p−1)/Q>0etτassezgrand
ggg2(τ)≤1−θ,

u`d’o(gθ)=θgθ−2(θ−1)g2+gg≤0,
c’esta`direg(p−1)/Qestconcaveauvoisinage∞,doncelleestaupluslin´eaire.
Remarque7.2.3D’apr`es[1],ilyabeaucoupdefonctions”´el´ementaires”croissantesβ
d´efiniessur[0,∞)quisatisfaisentlacondition(7.1.2)pourtoutQ>p−1.
Danslesexemplesm/(mde+1)lasection3.2.2,nousavonsvuquepourβ(u)=um,m>0,
g(v)=O(v(lnv))auvoisinagede∞.
Pourβ(u)=eu,g(v)=O(vlnv)auvoisinagede∞.
Pourβ(u)=eeu+u+eu+1,g(v)=O(vlnvln(lnv)).
Danstoutcescas,limsup(β/β2)(t)=0.
→∞−tβDadefiniens[1sur]et[0,[6],∞)lasatisfaitquestion(suiv7.1.2an)tpeourresteunouvcertaertein:Qest-ce>p-que−1.toDautenslefonctiolemmencrsuivoissanantet
nousmontronsquelaQcondition(7.1.2)n’estpastoujourssatisfaite,mˆemeavecQ
large,meˆmequandτestremplac´eeparuneexponentielle:
Lemme7.2.4Consid´eronsunefonctionF∈C0([0,∞))strictementconvexe,avec
s−lim→∞F(s)=∞.
Alorsilexisteunefonctionβ∈C0([0,∞)),croissanteavecβ(0)≥0,t−lim→∞β(t)=∞telle
quelafonctioncorrespondantegdonn´eepar(3.1.4)satisfait
)τ(gτlim−→∞supF(τ)=∞.(7.2.3)

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures

315

Preuve.Ilsuffitdemontrerl’existenced’unefonctiongquisatisfait(7.2.3)telleque
g∈C1([0,∞)),convexe,aveclimg(s)/s=∞,et
→∞−s1/(1+g(s))∈L1((0,∞)).
Eneffetsionconstruitunetellefonctiongalorssafonctioncorrespondanteβ=T−1(g)
estd´efiniesur[0,∞),d’apr`es(3.2.5)delaproposition3.2.4;elleestcroissantecargest
convexe,voirlaremarque3.2.3etelletendvers∞sit→∞,d’apr`es(ii)delaproposition
.6.3.2Toutd’abord,nousconstruisonsunefonctiongquiestseulementcontinue.SoitF
lacourberepre´sentativedeF.Posonsg(s)=0pours∈[0,1].Ilexistem1>1tel
quelalignedroitedepentem1passantpar(1,0)coupeFendeuxpointss1<s1.On
choisits1>s1telques1−1≥(1+g(1))em1,c’esta`dires1≥1+em1.Nousd´efinissons
g(s)=m1(s−1)pourtouts∈[1,s1].Alors
s1ds/(1+g(s)=m1−1ln(1+m1(s1−1)≥m1−1ln(1+m1em1)≥1,
1etlepoint(s1,g(s1))estendessousdeF.Parinductionpourtoutn≥1,nousconsid´erons
mn>2mn−1telquelalignedroitedepentemnpassantpar(sn−1,g(sn−1))coupelacourbe
FndefinieparnFendeuxpointssn<sn.Nousd´efinissonsg(s)=g(sn−1)+mn(s−sn−1)
pourtouts∈[sn−1,sn],ou`sn>snestchoisidesortequesn−sn−1≥(1+g(sn−1))emn
snetsn≥2sn−1.Alors
ds/(1+g(s)≥1.
s1−nLafonctiongsatisfait1/(1+g(s))∈L1((0,∞)),etg≥nFsur[sn,sn],etsn>sn>1,
doncellesatisfait(7.2.3);etg(sn)≥mn(sn−sn−1)≥mnsn/2,alorss−lim→∞g(s)/s=∞.
Finalementnousr´egularisonsgauxvoisinagesdespointssnetnousobtenonsunefonction
declasseC1etconvexe.

7.3Extensionsetapplications
1)Dansleth´eor`emedeconnexion2.1,nouspouvonssupposerquefd´ependausside
uouv.Siuestunesolutionduproble`medelaforme
−Δpu=β(u)|u|p+λf(x,u),
ou`f(x,u)∈L1(Ω),f(x,u)≥0,alorsvestformellementunesolutionde
−Δpv=λf(x,H(v))(1+g(v))p−1.
Inversement,sivestunesolutionduprobl`emedelaforme
−Δpv=λf(x,v)(1+g(v))p−1,

415

Extensions7.3.cationsappliet

alorsformellementuestunesolutionde
−Δpu=β(u)|u|p+λf(x,Ψ(u)).
Cequi´etendfortementledomainedesapplicationsdenotrere´sultat.

Remarque7.3.1Cetargumenta´ete´unpointessentieldanslapreuveduth´eor`eme4.3.1
(ceth´eor`emea´ete´lepointcle´pour´etablirleth´eor`eme4.3.3quicouvreenparticulierle
th´eor`eme2.8):nousutilisonslefaitque,pourtoutgsatisfaisant(4.1.2)avecΛ=∞,
ettoutv∈W(Ω),telleque−Δpv=F≥0,alorsu=H(v)∈Wetelleestunesolution
equation´l’de−Δpu=β(u)|u|p+Fe−γ(u).
Maintenant,nousdonnonsunexemplesimpled’application:
Corollaire7.3.2Soitω∈C1([0,∞))unefonctionpositiveetcroissante,etf∈
Lr(Ω),r>N/p.Consid´eronsleprobl`eme
−Δpu=(p−1)|u|p+λf(x)(1+ω(u))p−1dansΩ,
u=0sur∂Ω.
(i)Alorspourλ>0petit,ilexisteunesolutiondansW01,p(Ω)∩L∞(Ω).
(ii)Supposonsquelimsupω(t)p−1/ekt<∞pouruncertaink>0.
→∞−t1,pSir(k+1)<N/(N−p)alorspourλ>0petit,ilexisteuneinfinite´desolutionsdans
.(Ω)W01,pSir(k/p∞+1)<N/(N−p)etωestconvexe,ilexisteaumoinsdeuxsolutionsdans
W0(Ω)∩L(Ω).
Preuve.Posonsv=eu−1,alorsvsatisfaitl’´equation−Δpv=λf(x)(1+g˜(v))p−1
dansΩ,ou`1+g˜(v)=(1+v)(1+ω(ln(1+v))).Etg˜satisfait(7.1.1)avecQ=(p−1)(k+1),
etelleestconvexequandωestconvexe.Nousd´eduisonslesre´sultatsparlaproposition
4.2.1,etlesth´eor`emes2.1,2.11et5.1.1.

Remarque7.3.3Enparticulierpourtoutb>0,pourtoutf∈Lr(Ω),r>N/p,et
λ>0petit,leprobl`eme
−Δpu=|u|p+λf(x)(1+u)bdansΩ,
u=0sur∂Ω,
admetuneinfinite´desolutionsdansW01,p(Ω),dontunesolutionaumoinsestborn´eeet
deuxsolutionsaumoinssontborn´eessib≥p−1.

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures

155

(7.3.1)

2)Aussi,lethe´or`eme2.1recouvreetpre´ciseler´esultatr´ecentdemultiplicite´de[2,
th´eore`me3.1],relatifauxsolutionsradialesduprobl`emeavecuneautrepuissancede
:tadiengrCorollaire7.3.4SoitΩ=B(0,1).Consid´eronsleprobl`eme
−Δmw=c|w|q+λfdansΩ,
.3.1)(7w=0sur∂Ω,
avecm>1,c>0etq≥(m−1)N/(N−1),ou`festradialeet
f∈Lk(Ω),k>N(q−m+1)/q.
Alorsilexisteλ˜>0telquepourtoutλ<λ˜,leprobl`eme(7.3.1)dansD(Ω)admetune
infinit´edesolutionsradiales,dontunesolutionestdansC1Ω.
Preuve.Danslecasradial,leprobl`eme(7.3.1)faitintervenirlad´eriv´eew:
−r1−N(rN−1|w|m−2w)=c|w|q+λf.(7.3.2)
Consid´eronslechangementdefonctionsw=A|u|p/q−1uavecp=q/(q−m+1)et
A=(c/(p−1)−p/q.Nousavons
pm−12(m−1)−qq
q(m−1)−1=q−m+1−1=q−m+1=q−m+1−2=p−2,
donc|w|m−2w=Am−1|u|p(m−2)/q|u|p/q−1u=Am−1|u|p(m−1)/q−1u=Am−1|u|p−2u,
etAm−1=(c/(p−1)−p(m−1)/q=(c/(p−1)−p+1etc|w|q=cAq|u|p=c(c/(p−1)−p|u|p=
(p−1)(c/(p−1)−p+1|u|p=(p−1)Am−1|u|p.Doncensubstituantdans(7.3.2)eten
divisantparAm−1,l’e´quationser´eduitformellementa`
−r1−N(rN−1|u|p−2u)=(p−1)|u|p+ρf,(7.3.3)
ou`ρ=A1−mλ=(c/(p−1))p−1λ.
Puisquem>1ona1<q/(q−m+1)et
q≥(m−1)N/(N−1)⇔q/(q−m+1)≤N,
donc1<p≤N,.Parhypoth`ese,onaf∈Ls(Ω),s>N/p.Parleth´eore`me3.1.3,pour
toutρ<λ1(f)ou`λ1(f)estd´efiniepar(3.1.14),etpourtoutemesureµs∈Ms+(B(0,1))
ilexisteunesolutionrenormalis´eepositivevsduprobl`eme
−Δpvs=ρf(1+vs)p−1+µsdansΩ,
).3.4(7vs=0sur∂Ω;

615

applietExtensions7.3.cations

doncilexisteuneinfinit´edesolutionspositivesus=ln(1+vs)∈W01,p(Ω)de
−Δpus=(p−1)|us|p+ρfdansΩ.
Prenonsµs,a=aδ0,aveca>0.Alors(7.3.4)admetaumoinsunesolutionradialevs,a,
obtenuecommedansleth´eor`eme6.1.1parleth´eor`emedeSchauderpourlesfonctions
radiales.Alorsu=us,aestradiale,etr→u(r)satisfait(7.3.3)dansD((0,1)),d’ou`
u∈C1((0,1])etu(r)<0.Alors
1w(r)=−A|u|p/q−1uds∈C1((0,1]),
rw(r)≥0etwsatisfait(7.3.4)inD((0,1))avecλ=((p−1)/c)p−1ρ.
Deplusx→w(|x|)∈Lq(Ω\{0}),et{0}aunep-capacite´0puisquep≤N,donc
w∈W01,q(Ω),d’ou`|w|m−1∈Lp(Ω).Soitϕ∈D(Ω)etϕn∈D((Ω\{0})convergeant
versϕdansW01,p(Ω).Alors
|w|m−2w.ϕndx=Am−1|u|p−2u.ϕndx
ΩΩ=Am−1((p−1)|u|p+ρf)ϕndx=(c|w|q+ρf)ϕndx;
ΩΩetenpassanta`lalimite,noustrouvonsquewestunesolutionde(7.3.1)dansD(Ω).
Alorsilexisteuneinfinite´desolutionsradialesde(7.3.1)pourtoutλ<λ˜=((p−
1)/c)p−1λ1(f).Enconsid´erantµs,a=0,leprobl`emeenuadmetunesolutionradiale
born´eeu0∈C1([0,1]),donc(7.3.1)admetunesolutionradialew0∈C1Ω.
Remarque7.3.5Deplus,puisquev=vs,aestradiale,parleshypoth`esessurf,nous
pouvonssavoirlecomportementdessolutionssinguli`eresauvoisinagede0.Nousdistin-
:ascdeuxguons(i)Cas1.Siq>(m−1)N/(N−1),c’esta`direp<N,alorsilexistel>0telleque
limr(N−p)/(p−1)v(r)=letlimr(N−1)/(p−1)v(r)=l(p−N)/(p−1).
r→0r→0
ou`v(r)=v(|x|)=v(x).Eneffetv∈C1(B(0,1)\{0})estsolutionde
−Δpv=ρf(1+v)p−1dansD(B(0,1)\{0}).(7.3.5)
termesesrd’autEn−(rN−1|vr|p−2vr)r=rN−1ρf(1+v)p−1dansD((0,1)).
Consid´eronslechangementdevariable
v(r)=V(t),f(r)=F(t),t=r(p−N)/(p−1).

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures

715

AlorsV∈C1([1,∞))etsatisfait
−(|Vt|p−2Vt)t=ρF(t)(1+V)p−1dansD((1,∞)),
D’ou`Vestconcave.
Puisquef∈Lk(B(0,1))aveck>N/petvestsolutionde(7.3.5),singuli`ereen0alors
nousd´eduisonsd’apr`es[10]qu’ilexisteC1,C2>0tellesque
C1≤r(N−p)/(p−1)v(r)≤C2,
pourtoutx∈B(0,)\{0}avecassezpetit.D’ou`
C1≤V(t)/t≤C2,pourtsuffisammentgrande.
Maintenent,parlaconcavite´deVilestfaciledevoirquelafonction
t→h(t)=V(t)−V(1)=V(t)
t−1t−1
estd´ecroissante.En´ecrivanth(t)=Vt(t)(1−11/t)onpeutd´eduirequeh(t)estminor´eepar
C1/2pourtassezgrand.Alorsilexistel>0tellequet→lim∞h(t)=l.D’ou`tlim→∞V(t)/t=l.
cDonlimr(N−p)/(p−1)v(r)=l.
0→rPuisquevestconcaveettlim→∞V(t)/t=l>0nousobtenonstlim→∞Vt(t)=l,quiimplique
limr(N−1)/(p−1)v(r)=l(p−N)/(p−1).
0→rplusDel=(p−1)(N−p)−1|SN−1|−1/(p−1)a1/(p−1).
Eneffet,pourassezpetitetϕ∈D(B(0,1))ona
|v|p−2v.ϕdx=ρf(1+v)p−1ϕdx+|v|p−2v.xϕdS(7.3.6)
ΩΩ{|x|=}|x|
Orvestradiale,donc
|v|p−2v.xϕdx=|v()|p−2v()ϕ()dS
{|x|=}|x|{|x|=}
=N−1|v()|p−2v()ϕ()dS1
}=1|x{|quitendversLϕ(0)avecL=p−1|SN−1|ou`|SN−1|={|x|=1}dS1.Donc,
(N−p)lp−1
faisanttendrevers0dans(7.3.6)nousobtenons
−Δpv=ρf(1+v)p−1+Lδ0dansD(B(0,1)).

815

7.4.Unr´esultatd’existencepourdesop´erateursplusg´en´eraux

DoncL=a.D’ou`noustrouvonslavaleurdel.
Etu=v/(1+v),donc|u|p/q−1u=−((N−p)/(p−1)r)−p/q(1+o(1)).Siq>m,
qc’est<m,a`diralorsesiwq(r>)p,=Calorsr−(mw−q)est/(qb−morn+1´)ee,(1la+o(1singular)),aveite´cCapp=araCˆıt(Nau,m,niveq,auc).duSigrq=adientm−.1Si,
alorsw(r)=C(−lnr)−1(1+o(1)).
(ii)Cas2.Siq=(m−1)N/(N−1),alorsp=N.Danscecasnousutilisonsle
variabledechangementv(r)=V(t),t=−lnr,
ouvonstrnousetr→lim0(−lnr)−1v(r)=cNa1/(N−1)etr→lim0rv(r)=−cNa1/(N−1),
aveccN=|SN−1|−1/(N−1).
1−p/qN>Etm,|u|alorswu==C−((−r(ln−r)ln−(rN))−−1)(N/(−m1)−/1)(mr−−(1)N(1−m+)/(om(1−1))).(1Si+oN(1<)),m,avecalorsC=wCest(Nb,orm,n´cee).;Sisi
N=m,alorsw=C(ln(−lnr)(1+o(1)).

7.4Unr´esultatd’existencepourdesop´erateursplus
ge´n´eraux
Onconsid`ereleproble`menonlin´eairesuivant
−div(A(x,u,u))=B(x,u,u)+λfdansΩ(7.4.1)
u=0sur∂Ω,
ou`Ωestunouvertborne´dansRN,avecN>1,pestunr´eeltelque1<p<Net
A:Ω×R×RN→RNetB:Ω×R×RN→×RsontdeuxfonctionsdeCarath´eodory
v´erifiantleshypoth`esessuivantes:
(HA)Ilsexistentdeuxconstantesα>0,β0>0,etunefonctionpositiveb0∈Lp−N1
quetelles(A(x,s,ξ)−A(x,s,η))(ξ−η)>0,(7.4.2)
A(x,s,ξ).ξ≥α|ξ|p,(7.4.3)
|A(x,s,ξ)|≤β0(b0(x)+|s|p−1+|ξ|p−1)(7.4.4)
pourpresquetoutx∈Ω,pourtouts∈Rettoutξ,η∈RN,avecξ=η.

(HB)Ilsexistentdeuxconstantesγ>0etγ0≥0tellesque
−γ0A(x,s,ξ).ξ≤B(x,s,ξ)sign(s)≤γA(x,s,ξ).ξ

.4.5)(7

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures

pourpresquetoutx∈Ω,pourtouts∈Rettoutξ∈RN.
Finalement,onsupposequefv´erifie
f∈L1(Ω),f≡0

enotOn

915

.6)(7.4

Onnote|w|pdx
λ1(f)=w∈W0inf1,p(Ω)ΩΩ|f||w|pdx.(7.4.7)
=0wOnvamontrerler´esultatsuivantqui´etendlecorollaire7.1.1a`desop´erateursplus
g´en´eraux,etame´lioreunr´esultatde[16]ou`festsuppos´eedansLN/p(Ω).
SiThλe´1o(rf`)eme>07,.4alors.1pSuppourosonstoutλque>0lestellehypqueoth`eses(HA),(HB)et(7.4.6)soientv´erifi´ees.
γp−1λ<(p−1)p−1αλ1(f)(7.4.8)
ilexisteaumoinsunesolutionu∈W01,p(Ω)duprobl`eme(7.4.1),quiv´erifielar´egularite´
exponentiellesuivante(eθ|u|/(p−1)−1)sign(u)∈W01,p(Ω)(7.4.9)
pourtoutθ>0telque
θp−1λ<(p−1)p−1αλ1(f)(7.4.10)
Preuve.Onvasuivretr`esfid`elementles´etapesdelad´emonstrationdu[7,the´or`eme
2.1]aveclesdiff´erencessuivantes:
1)Dansleurd´emonstration,lesauteursconsid`erentunesuited’approximationquelconque
defquiconvergefortementLN/p(Ω).Ici,nousconsid´eronsuneapproximationparticulie`re
:fdefn=max(−n,min(f,n)).
deDansSobdeolel’v´etaetpela2codenlevurergde´nceemonstrforteatiodansn,lesLN/autpe(Ω)ursdelautilisensuitetl’ine´gd’approalite´deximaH¨tionolder,del’infe´pgouralite´
´fortetabliredal’ensLstimaN/ption(Ω)a`depriolari.suiteIlsontd’apprausosiximautilistione´l’inde´egfalitpe´ourdemoH¨noldetrerrl’et´laequi-incontegvergrabilitence´e
dansl’´etape5.Ici,dansl’e´tape2etlapreuvedelaconvergence(7.4.27)del’´etape5,
nousutilisonslefait|fn|≤fetquel’hypoth`eseλ1(f)>0implique
|f||v|pdx≤λ1(f)−1|v|pdx,(7.4.11)
ΩΩ

pourtoutv∈W01,p(Ω).
2)Dansl’´etape4nousdonnonsuned´emonstrationplussimpleenutilisantuneestimation
aprioridel’´etape2.Onpeutaussiadapterleurde´monstrationenutilisantlefaitque

016

7.4.Unr´esultatd’existencepourdesop´erateursplusg´en´eraux

|f|(C+|v|)p−1∈L1(Ω)pourtoutC>0etv∈W01,p(Ω)siλ1(f)>0(voirlasection
.1).3.4´Etape1:Approximation.Pourtoutn∈N∗,onde´finie
B(x,s,ξ)
fn=max(−n,min(f,n))=Tn(f),Bn(x,s,ξ)=1+1B(x,s,ξ)(7.4.12)
netconsideronsleproble`med’approximation
−div(A(x,un,un))=Bn(x,un,un)+λfndansΩ(7.4.13)
un=0sur∂Ω.
Puisque|Bn(x,s,ξ)|≤netAv´erifiel’hypoth`ese(HA),alorsd’apr`esle1r,pe´sultatclassique
deLerayetLions(voir[9])ilexisteaumoinsunesolutionun∈W0(Ω).Puisquele
secondmembredel’e´quationestborn´e,alorslasolutionunestborn´ee.
´Etape2:Estimationapriori.Fixonsunθ≥γquiv´erifie(7.4.10)etond´efinitla
nfonctiovn=((eν|un|−1)sign(un))/ν,ou`ν=θ/(p−1)(7.4.14)
Ilestfacilederemarquerles´egalit´essuivantes
ν+θ=pν,vn=eν|un|un,eθ|un|=(1+ν|vn|)p−1(7.4.15)
Lafonctionde´finieparϕn=eθ|un|vnappartienta`W01,p(Ω)∩L∞(Ω)avec
ϕn=eθ|un|vn+θ|vn|eθ|un|un
d’o`u,enconside´rantϕncommefonctiontestdans(7.4.13),onobtient
(eθ|un|A(x,un,un).vn+θ|vn|eθ|un|A(x,un,un).un)dx
Ω=λfneθ|un|vndx+Bn(x,un,un)eθ|un|vndx
ΩΩ=λfneθ|un|vndx+Bn(x,un,un)eθ|un||vn|sign(un)dx
ΩΩ

suitepar

eθ|un|A(x,un,un).vndx=λfneθ|un|vndx
ΩΩ+(Bn(x,un,un)sign(un)−θA(x,un,un).un))eθ|un||vn|dx
Ω

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures161

Remarquantque|Bn(x,s,ξ)|≤|B(x,s,ξ)|,utilisonsl’hypothe`se(7.4.5)surB,onobtient
eθ|un|A(x,un,un).vndx≤λ|fn|eθ|un||vn|dx
ΩΩ+(γ−θ)A(x,un,un).un))eθ|un||vn|dx
ΩLederniertermeestn´egatifpuisqueθ≥γetAv´erifiel’hypoth`esedecoercivite´(7.4.3).
Parcons´equent,entenantcomptedes´egalit´es(7.4.15),ona
epν|un|A(x,un,un).undx≤λ|fn||vn|(1+ν|vn|)p−1dx
ΩΩParl’hypoth`ese(7.4.3),ona
epν|un|A(x,un,un).undx≥αepν|un||un|pdx=α|vn|pdx
ΩΩΩparsuiteencombinantlesdeuxin´egalit´espr´ec´edentes,puisd’apr`es(7.4.11)enutilisant
l’in´egalite´(1+r)p≤(1+)rp+C(,p)pourtoutr≥0nousobtenons
α|vn|pdx≤λ|fn||vn|(1+ν|vn|)p−1dx
ΩΩλ≤ν|f|(1+ν|vn|)pdx
Ωp≤λ(1+)ν|f||vn|pdx+λC(,p)fL1(Ω)
ννΩλ(1+)νp−1pλ
≤λ1(f)Ω|vn|dx+νC(,p)fL1(Ω)
doncλ(1+)νp−1p
(α−λ1(f))Ω|vn|dx≤C(λ,ν,,p,fL1(Ω))
Pourθ>0verifiant(7.4.10)onpeutchoisirtelleque0<<αλ1(νfp)−−1νλp−1λ,c’esta`dire
α−λ(1λ+1()fν)p−1>0,parconsequentonconclutqu’ilexisteC>0quined´ependpasden
ueqtelle|vn|pdx≤C.(7.4.16)
ΩncDovnestborn´eedansW01,p(Ω).(7.4.17)
1Puisqueun=νlog(1+ν|vn|)sign(vn),alors
vnun=1+ν|vn|(7.4.18)

).4.18(7

216

7.4.Unr´esultatd’existencepourdesop´erateursplusg´en´eraux

parsuite|un|≤|vn|,doncpar(7.4.17)ond´eduitque
unestborn´eedansW01,p(Ω).

(7).4.19

´Etape3:Preuvedelar´egularite´(7.4.9).Par(7.4.19)et(7.4.17),ilexistedeux
,p1,p1soussuitesencorenot´eesunetvn,deuxfonctionsu∈W0(Ω)etv∈W0(Ω)tellesque
unufaiblementdansW01,p(Ω)etpresquepartoutdansΩ,
,p1vnvfaiblementdansW0(Ω)etpresquepartoutdansΩ,
u`ov=((eν|u|−1)sign(u))/ν,avecν=θ/(p−1).
Consid´eronsmaintenantunautreθ,note´θ,tellequeθ≥γet
(θ)p−1λ<(p−1)p−1αλ1(f).
nsosoPv=((eν|un|−1)sign(un))/ν,ou`ν=θ/(p−1).
nL’estimationa`priori(7.4.16)montrequevnestborn´eedansW01,p(Ω).D’ou`onde´duitque
(eθ|u|/(p−1)−1)sign(u)∈W01,p(Ω),
pourtoutθ,telleque
θ≥γet(θ)p−1λ<(p−1)p−1αλ1(f).
Cequiimpliquelar´egularite´(7.4.9)pourtoutθ>0satisfaisant(7.4.10).Eneffet,puisque
γv´erifie(7.4.8)alorsonconclutlare´gularite´pour0<θ<γ.
´Etape4:Estimationpour|un|pdx.
Par(7.4.14)onaeν|un|=1+ν|vn|,donc{|un|>k}=|vn|>(eνk−1)/ν.Parsuite,
{|un|>k}
enutilisant(7.4.18)onobtient
|un|pdx=ndx
|v|p
p{|un|>k}{|vn|>(eνk−1)/ν}(1+ν|vn|)
≤1|vn|pdx
eνpk{|vn|>(eνk−1)/ν}
≤1|vn|pdx≤Ce−νpk
kpνeΩ

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures

316

ou`Cestuneconstantequinede´pendpasden.D’ou`
limsup|un|pdx≤Ce−νpk
n→+∞{|un|>k}
pparcons´equent
k→lim+∞limsup|un|dx=0(7.4.20)
n→+∞{|un|>k}
´Etape5:ConvergencefortedestroncaturesTk(un)dansW01,p(Ω).
Fixonsk>0.Danscettee´tapenousmontronsque
Tk(un)n−→∞→Tk(u)fortementdans(Lp(Ω))N.(7.4.21)
Pourmontrercetteconvergencenousutilisonsunetechniquedˆuea`Bebsoussan,Boccardo,
Murat[1].Nousd´efinissons
wn=Tk(un)−Tk(u)
Pourρ=(γ0+θ)2/4,nousconsid´eronslafonction
ψ(s)=seρs2∀s∈R.
Cettefonctionestd´erivable,croissanteetsatisfait
ψ(0)=0etψ−(γ0+θ)|ψ|≥1/2(7.4.22)
,p1Puisquewn∈W0(Ω)∩L∞(Ω)etψ(0)=0alors
yn=ψ(wn)eθ|un|∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω),
ecvayn=ψ(wn)eθ|un|wn+ψ(wn)eθ|un|sign(un)un
Prenonsyncommefonctiontestdans(7.4.13)noustrouvons
Jn=In1+Mn(7.4.23)
u`o

2).4.2(7

).4.23(7

Jn:=A(x,un,un)∙wnψ(wn)eθ|un|dx,
ΩIn1:=fnψ(wn)eθ|un|dx,
ΩMn:=[Bn(x,un,un)sign(un)−θA(x,un,un)∙un]ψ(wn)sign(un)eθ|un|dx,
Ω

416

7.4.Unr´esultatd’existencepourdesop´erateursplusg´en´eraux

nsosoPJnk=[A(x,Tk(un),Tk(un))−A(x,Tk(un),Tk(u))]∙wnψ(wn)eθ|Tk(un)|dx,
{|un|≤k}
Mnk=(γ0+θ)[A(x,Tk(un),Tk(un))−A(x,Tk(un),Tk(u))]∙wn|ψ(wn)|eθ|Tk(un)|dx,
{|un|≤k}
Mn=[Bn(x,un,un)sign(un)−θA(x,un,un)∙un]ψ(wn)sign(un)eθ|Tk(un)|dx,
{|un|≤k}
In2=A(x,Tk(un),Tk(u))∙wnψ(wn)eθ|Tk(un)|dx,
{|un|≤k}
In3=A(x,un,un)∙wnψ(wn)eθ|un|dx,
{|un|>k}
In4=[Bn(x,un,un)sign(un)−θA(x,un,un)∙un]ψ(wn)sign(un)eθ|un|dx,
{|un|>k}
In5=(γ0+θ)A(x,Tk(un),Tk(un))∙Tk(u)|ψ(wn)|eθ|Tk(un)|dx,
{|un|≤k}
In6=(γ0+θ)A(x,Tk(un),Tk(un))∙wn|ψ(wn)|eθ|Tk(un)|dx.
{|un|≤k}
End´ecomposantΩenΩ={|un|≤k}∪{|un|>k},ilestfaciledevoirque
Jn=Jnk+In2+In3
etMn=Mn+In4
Parsuite,(7.4.23)devient
Jnk+In2+In3=In1+Mn+In4(7.4.24)
Enutilisantl’hypoth`ese(7.4.5)etγ≤θ,nousavons
−γ0A(x,s,ξ).ξ≤Bn(x,s,ξ)sign(s)≤θA(x,s,ξ).ξ(7.4.25)
pourpresquetoutx∈Ω,pourtouts∈Rettoutξ∈RN.
ncDoMn≤|Bn(x,un,un)sign(un)−θA(x,un,un)∙un||ψ(wn)|eθ|Tk(un)|dx
{|un|≤k}
=(θA(x,un,un)∙un−Bn(x,un,un)sign(un))|ψ(wn)|eθ|Tk(un)|dx
{|un|≤k}
≤(θ+γ0)(A(x,un,un)∙un)|ψ(wn)|eθ|Tk(un)|dx
{|un|≤k}
=Mnk+In5+In6.

).4.24(7).4.25(7

Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures

516

Donc,par(7.4.24)nousobtenons
Jnk+In2+In3≤In1+Mnk+In5+In6+In4
Par(7.4.22)nousavons
Jnk−Mnk≥1In,
2u`oIn=[A(x,Tk(un),Tk(un))−A(x,Tk(un),Tk(u))]∙wndx.
{|un|≤k}
Parcons´equent
1In≤In1−In2−In3+In4+In5+In6.(7.4.26)
2DanslasuitenousmontronsqueIn4≤0etInjtendvers0lorsquentendvers∞pour
4.=j•j=1.Nousallonsmontrerque
I3n=ψ(wn)eθ|un|fndxn−→→∞0(7.4.27)
ΩEneffetpuisqueψ(wn)eθ|un|fn=ψ(wn)(1+θ|vn|)p−1fnconvergepresquepartoutvers
0ilsuffit,d’apr`eslethe´or`emedelaconvergencedeVitali,demontrerquelasuiteest
ble.tegrainequi-´Puisque|wn|≤2kalorsilexisteuneconstanteC(k)inde´pendantedentelleque|ψ(wn)|≤
C(k).L’´equi-integrabilite´r´esultedufaitquepourtoutBor´elienBona
BBψ(wn)(1+θ|vn|)p−1fndx≤C(k)(1+θ|vn|)p−1|f|dx
=C(k)(|f|1/p|f|(p−1)/p(1+θ|vn|)p−1dx)
B≤C(k)(|f|dx)1/p(|f|(1+θ|vn|)pdx)(p−1)/p
BB≤C(k)C1(|f|dx)1/p
Bcarenutilisantl’hypoth`eseλ1(f)>0et(7.4.16)noustrouvons
|f|(1+θ|vn|)pdx≤|f|(1+θ|vn|)pdx≤c(1+λ1(f)−1|vn|pdx)≤C1.
ΩΩBou`C1>0estuneconstanteind´ependanteden.
•j=2.Posons
En1=χ{|un|≤k}A(x,Tk(un),Tk(u))ψ(wn)eθ|Tk(un)|,
E1=χ{|u|≤k}A(x,Tk(u),Tk(u))ψ(0)eθ|Tk(u)|.

616

7.4.Unr´esultatd’existencepourdesop´erateursplusg´en´eraux

Enutilisantleth´eore`medeconvergencedeVitali,et,surl’ensemble{|u|=k},lefaitque
A(x,s,0)=0,nousavons
→∞nEn1−→E1fortementdans(Lp(Ω))N.
11ou`pestleconjugue´dep:p+p=1.
Donc,puisquewn=Tk(un)−Tk(u)tendvers0faiblementdans(Lp(Ω))N,In2tend
0.ersv•j=3.D’abord,nousmontronsque
En2=A(x,un,un)ψ(wn)eθ|un|estborn´eedans(Lp(Ω))N.(7.4.28)
Eneffetwn(etdoncψ(wn))estborn´eedansL∞(Ω).PosonsS=supψ(wn))p∞.En
1≥nutilisantl’hypoth`esedecroissance(7.4.4),lesin´egalit´eseθ|un|=(1+ν|vn|)p−1etvn=
(1+ν|vn)|)un,noustrouvons

En2p≤Sβ0p(b0(x)+|un|p−1+|un|p−1)(1+ν|vn|)p−1p
p=Sβ0pb0(x)(1+ν|vn|)p−1+|un|p−1(1+ν|vn|)p−1+|vn|p−1
≤c(p)Sβ0pb0(x))p(1+ν|vn|)p+|un|p(1+ν|vn|)p+|vn|p
NotonsC(p)=c(p)Sβ0p.Enutilisantl’in´egalitie´deH¨olderavecq=N/petq=N/(N−p)
nsobtenonousppppp
0En2p≤C(p)(b0N/(p−1)+unN)(1+ν|vn|)p∗+vnW1,p(Ω).
ND’ou`nousobtenons(7.4.28)puisqueb0estsuppos´eedansLp−1(Ω)etpuisquevnestborne´e
dansW01,p(Ω)quiimpliqueenparticulierqueunestborn´eedansLN(Ω).
D’autrepartwn=Tk(un)−Tk(un),doncnousavons
χ{|un|>k}wn=−χ{|un|>k}Tk(un)→0fortementdans(Lp(Ω))N.
Donc,parcetteconvergeanceet(7.4.28),nousd´eduisonsqueIn3tendsvers0.
•j=4.Puisqueψestcroissante,nousavons
χ{|un|>k}ψ(wn)sign(un)=χ{|un|>k}ψ(Tk(un)−Tk(un))sign(un)≥0
presquepartoutdansΩ.Donc,enutilisantlacondition(7.4.25)nousobtenonsIn4≤0.
•j=5.Laquantite´In5tendsvers0puisqueTk(u)|ψ(wn)|tendsfortementvers
Tk(u)|ψ(0)|=0dans(Lp(Ω))N,etχ{|u|≤k}A(x,Tk(un),Tk(un))eθ|Tk(un)|estborn´ee
dans(Lp(Ω))N.

x,(A(}>k|nu{|χonsvanousVitalideeme`reo´thleet.4)(7.4encsaiscrodeionconditlaarP).4.29(70→−→∞ndx))u(kT−)nu(kT(∙)))u(kT,)nu(kTx,(A−))nu(kT,)nu(kTx,(A(}k|≤nu{|direa`tc’es;.2)(7.4ees`thoypl’hes`d’aprnIpuisque0ersvtendnIquensduisoe´dnous).4.26(7e´egalit´l’inet6,≤j≤1,njIsurtssultae´rlesarP.N(Ω))pL(dans0ersvtfortemenergevcon|)nu(kT|θe|)nw(ψ|))u(kT,)nu(kTx,(A}k|≤u{|χ0,=)(0ψetliVitadeeme`eor´thleparet,N(Ω))pL(dans0ersvtfaiblemengeervnoc)u(kT−)nu(kTpuisque0ersvtendsn6Ie´titnquaLa6.=j•7161).7.4.(eme`probldulutionsoestuueqrertmonet3)7.4.1(tionximaod’appreme`problledanslimitelaa`ersspadefacileestil,tFinalemen.(Ω)0,p1Wnsdatmenefortu→−∞→nnuedira`tc’es,N(Ω))pL(nsdatmenefortu→−∞→nnunsobtenonous1).4.2(7te).4.20(7tnailisutEn.)u(kG−)nu(kG+)u(kT−)nu(kT=u−nuaon0,>kuttoourprsAlo.R∈stoutourp)s(kT−s=)s(kGonsNot.eitimlala`ageassP:6eEtap´].5Lemme[4,ou7]2epag[5,oirv,rwdeBrodeatultes´runes`pr0)d’a.4.3(7tutilisanen1).4.2(7eduire´deutponsalor(HA),ese`thopyl’hsatisfaitAPuisque).4.30(7dx))u(kT−)nu(kT(∙)))u(kT,)nu(kTx,(A−))nu(kT,)nu(kTx,(A(Ωueqeduisons´dsnou9),7.4.2(rpa,ncDo,∞→nequslor(Ω)1Lnsdatnemefort0→)u(kT∙)))u(kT,)nu(kTx,(A−0),)nu(kTx,(A(}>k|nu{|χ=Chapitre7.Applicationsauprobl`eme(Pu,λ)sansetavecdonn´eesmesures

))n→∞0→−

u(kT−)nu(kT(∙)))u(kT,)nu(kTx,(A−))nu(kT,)nu(kT

816

7.4.

Un

r´esultat

d’existence

p

our

des

op´erateurs

plus

g´en´eraux

Bibliographie

[1]BensoussanA.,BoccardoL.andMuratF.,Onanonlinearpartialdifferentialequa-
tionAnal.havingNonLinnature´aireal,grAnnaowthlestermsdel’InsandtunbitutoundeHenridPsolutionoincar´e.,Ann.AnalyseInst.NonH.PLino´inceaire,are´
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.071-97[10]Serrin,J.Isolatedsingularitiesofsolutionsofquasi-linearequations,ActaMath.113
(1965),219-240.

169

R´esume´:
Danscemanuscritdeth`esenouspr´esentonsdesnouveauxre´sultatsconcernantl’existence,
lanon-existence,lamultiplicite´etlare´gularite´dessolutionspositivespourdeuxproble`mes
quasilin´eaireselliptiquesavecconditionsdeDirichletdansundomaineborn´e.Danslechapitre
1d’introduction,nousde´crivonslesdeuxproble`mesquenousallons´etudieretnousdonnons
lesprincipauxre´sultats.Lepremier,d’inconnueu,comporteuntermedesourcedegradienta`
croissancecritique.Lesecond,d’inconnuev,contientuntermesourced’ordre0.Danslechapitre
2nousdonnonsdesnouveauxr´esultatsdere´gularite´dessolutionsrenormalis´eesutilespournotre
.eetud´Al’aided’unchangementd’inconnue,nous´etablissonsunlienpr´ecisentrelesprobl`emesen
uetv.Lechapitre3estconsacre´a`montrercelieneta`donnerunepremie`reapplication.
Dansleschapitres4et5noustraitonsdel’existencedesolutions,lasolutionextr´emaleet
sar´egularit´e,l’existenced’unedeuxie`mesolutionborn´eeduproble`meenv.Danslechapitre6
nousd´emontronsunre´sultatd’existencepourleprobl`emeenvavecdesdonn´eesmesuresde
Radonborn´eesquelconques.Danslechapitre7nousobtenonsdesnouveauxr´esultatspourle
probl`emeenuenutilisantlaconnexionentrecesdeuxprobl`emes.
Motscle´s:
Probl`emesquasiline´aireselliptiques,p-Laplacien,mesuresdeRadonborn´ees,p-capacite´,to-
pologiee´troite,topologiefaible∗,solutionrenormalise´e,solutionatteignable,solutionminimale
born´ee,solutionextr´emale,re´gularite´,multiplicit´e,deuxie`mesolutionborne´e,fonctionnelled’Eu-
ler,solutionsemi-stable,g´eom´etriedecol,suitesdePalais-Smale.
:acttrAbsInthethesismanuscriptwepresentnewresultsconcerningexistence,nonexistence,multi-
plicityandregularityofpositivesolutionsfortwoellipticquasilinearproblemswithDirichlet
datainaboundeddomain.Inchapter1wedescribethetwoproblemswhichwestudyinthe
sequelandwegivethemainresults.Thefirstone,ofunknownu,involvesagradienttermwith
naturalgrowth.Thesecondone,ofunknownv,presentsasourcetermoforder0.Inchapter2
wegivenewregularityresultsforrenormalizedsolutions.
Thankstoachangeofunknownweestablishapreciseconnectionbetweenproblemsinu
andv.Chapter3isdevotedtoshowthisconnectionandtogiveafirstapplication.
Inthechapters4and5wetreatexistencesolutions,extremalsolutionanditsregularity,
theexistenceofasecondboundedsolutionfortheprobleminv.Inchapter6weprovearesult
ofexistencefortheprobleminvwithgeneralboundedRadonmeasuresdata.Inchapter7we
obtainnewresultsfortheprobleminubyusingtheconnectionbetweenthesetwoproblems.
:dsorKeywEllipticquasilinearproblems,p-Laplacien,boundedRadonmeasures,p-capacity,narrowto-
pology,weak∗topology,renormalizedsolution,reachablesolution,minimalboundedsolution,
extremalsolution,regularity,multiplicity,secondboundedsolution,Eulerfunction,semi-stable
solution,geometryofMountainPath,Palais-Smalesequences.

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