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Informations
Publié par | Thesee |
Nombre de lectures | 31 |
Langue | Français |
Extrait
´EIVERSITUNFRANC¸OISRABELAIS
TOURSDE
´EcoleDoctorale:Sant´e,Sciences,Technologies
LaboratoiredeMath´ematiquesetPhysiqueTh´eorique
TH`ESEpre´sente´epar:
HAMIDABDELydarHasoutenuele:7d´ecembre2009
pourobtenirlegradede:Docteurdel’universite´Fran¸cois-Rabelais
Discipline/Sp´ecialite´:Math´ematiquesPures
Etudededeuxproble`mesquasiline´aireselliptiques
avectermedesourcerelatifa`lafonctionoua`son
tneadigr
TH`ESEdirig´eepar:
BIDAUT-VERONMarie-Fran¸coise
:TEURSRORAPPIreneoLAPERSOUPLETPhilipe
:YJURBARLESGuy
BIDAUT-VERONMarie-Fran¸coise
MURATFran¸cois
IreneoLAPERAlainTPRIGNESOUPLETPhilipe
VERONLaurent
Professeura`l’Universite´deTours
Professeura`l’Universite´AutonomadeMadrid
Professeura`l’Universite´ParisXIII
Professeura`l’Universite´deTours
Professeura`l’Universite´deTours
Professeura`l’Universite´ParisVI
Professeura`l’Universite´AutonomadeMadrid
Maˆıtredeconf´erencesa`l’Universite´Paris-Est
Professeura`l’Universite´ParisXIII
Professeura`l’Universite´deTours
2
Je
edie´d
ettec
tha`ese`
Mestr`eschersparentsKhaledetAmal
Mach`erefemmeAbir
Mesch`eressœursSahar,Taghrid,WaadetSiran
Meschersfr`eresHilaletFiras
MesneveuxHadietJawad
Mesgrandsparents
onclesMestanteset
Mesenseignantstoutaulongdemes´etudes
i
ii
tsenmeRemerci
Recevez,MadameleProfesseurMarie-Fran¸coiseBidaut-Ve´ron,mesplussinc`eresremer-
cimentspouravoirdirige´cetteth`esedanslacontinuite´demonstagedeMaster2.Pour
l’attentionquevousm’avezport´ee,votregrandedisponibilite´,votrepatienceetvotre
soutienmoraljevousexprimetoutemareconnaissanceetmonprofondrespect.Votre
exp´erienceetvosgrandescompe´tencesontpermisl’accomplissementdecetravail.
LesprofesseursIreneoPeraletPhilipeSoupletonteul’extrˆemegentillessed’accepter
deleurjugerpatiencecetraetvailpetourd’enl’intˆe´retreeˆtlesqu’ilsrapponortporteurs.te´a`Jecelestravaremercieil.vivementpourleursefforts,
Jetiensa`remercier´egalementGuyBarles,Fran¸coisMurat,AlainPrignetetLaurent
V´erond’avoiraccepterdefairepartiedemonjury.
Ungrandmercivaa`monprofesseurdel’universite´libanaiseMoustafaJazarquia
sumeredonnerconfianceetm’aencourage´pourpoursuivremes´etudessup´erieures.Je
leAhmadremercieElSopoufiurpm’aourvsooirncoaidenseteille´sondesvuppenirorta`paTourternels.Jetoutauremercielong´egdealemenmestquatleresProfessann´eeseur
e.ncraFenMercia`touslesmembresdulaboratoiredeMathe´matiquesetPhysiqueth´eorique,
quim’ontpermisdetravaillerdansdetr`esbonnesconditions.Jeremercieenparticulier
lessecr´etairesAnne-MarieetBernadette.Jeremercie´egalementmescolle`guesdubureau
Ali,Ola,RamietThierry.
Jevoudraisremerciertousmesamis,maisilm’estimpossibledelescitertousici.
J’aiuneattentiontr`esparticuli`erea`MoustafaElhaj,MouhammadHawashetleDocteur
SalahElraiidem’avoirsupport´e,danstoutlessensduterme,toutaulongdecetteth`ese.
JevoudraisremerciermesparentsKhaledetAmaletmafamilleenti`erequi,deloin,
atoujourssum’offrirsonsoutien,sacompr´ehension,sesencouragements,sapatienceet
sonaffection.Aeuxjed´ediecetteth`ese.
iii
iv
le
La
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rte,om’app
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a´ete´partage´avec
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lemonde.Alorsmillemercisa`Abirpourtout
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qu’elleonheurb
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Etudededeuxproble`mesquasiline´aireselliptiques
avectermedesourcerelatifa`lafonctionoua`son
tneadigr
e´esum´R
Danscemanuscritdeth`esenouspr´esentonsdesnouveauxr´esultatsconcernantl’exis-
tence,lanon-existence,lamultiplicite´etlare´gularite´dessolutionspositivespourdeux
proble`mesquasilin´eaireselliptiquesavecconditionsdeDirichletdansundomaineborne´.
Danslechapitre1d’introduction,nousde´crivonslesdeuxprobl`emesquenousallons
´etudieretnousdonnonslesprincipauxr´esultats.Lepremier,d’inconnueu,comporte
untermedesourcedegradienta`croissancecritique.Lesecond,d’inconnuev,contient
untermesourced’ordre0.Danslechapitre2nousdonnonsdesnouveauxre´sultatsde
r´egularite´dessolutionsrenormalis´eesutilespournotre´etude.
Al’aided’unchangementd’inconnue,nous´etablissonsunlienpr´ecisentrelesprobl`emes
enuetv.Lechapitre3estconsacre´a`montrercelieneta`donnerunepremi`ereapplication.
Dansleschapitres4et5noustraitonsdel’existencedesolutions,lasolutionextr´emale
etsar´egularit´e,l’existenced’unedeuxi`emesolutionborn´eeduprobl`emeenv.Dansle
chapitre6nousd´emontronsunr´esultatd’existencepourleprobl`emeenvavecdesdonn´ees
mesuresdeRadonborn´eesquelconques.Danslechapitre7nousobtenonsdesnouveaux
r´esultatspourleprobl`emeenuenutilisantlaconnexionentrecesdeuxprobl`emes.
Motscle´s:proble`mesquasilin´eaireselliptiques,p-Laplacien,mesuresdeRadonborn´ees,
p-capacit´e,topologiee´troite,topologiefaible∗,solutionrenormalis´ee,solutionatteignable,
solutionminimaleborn´ee,solutionextr´emale,r´egularite´,multiplicite´,deuxi`emesolution
born´ee,fonctionnelled’Euler,solutionsemi-stable,ge´om´etriedecol,suitesdePalais-
Smale.
v
vi
Studyoftwoellipticquasilinearproblemswitha
sourceterminvolvingthefunctionoritsgradient
acttrAbs
Inthethesismanuscriptwepresentnewresultsconcerningexistence,nonexistence,
multiplicityandregularityofpositivesolutionsfortwoellipticquasilinearproblemswith
Dirichletdatainaboundeddomain.Inchapter1wedescribethetwoproblemswhichwe
studyinthesequelandwegivethemainresults.Thefirstone,ofunknownu,involves
agradienttermwithnaturalgrowth.Thesecondone,ofunknownv,presentsasource
termoforder0.Inchapter2wegivenewregularityresultsforrenormalizedsolutions.
Thankstoachangeofunknownweestablishapreciseconnectionbetweenproblems
inuandv.Chapter3isdevotedtoshowthisconnectionandtogiveafirstapplication.
Inthechapters4and5wetreatexistencesolutions,extremalsolutionanditsregu-
larity,theexistenceofasecondboundedsolutionfortheprobleminv.Inchapter6we
provearesultofexistencefortheprobleminvwithgeneralboundedRadonmeasures
data.Inchapter7weobtainnewresultsfortheprobleminubyusingtheconnection
betweenthesetwoproblems.
Keywords:ellipticquasilinearproblems,p-Laplacien,boundedRadonmeasures,p-
capacity,narrowtopology,weak∗topology,renormalizedsolution,reachablesolution,
minimalboundedsolution,extremalsolution,regularity,multiplicity,secondbounded
solution,Eulerfunction,semi-stablesolution,geometryofMountainPath,Palais-Smale
es.sequenc
vii
ivii
Tabledesmati`eres
1Introduction:Pre´sentationdusujet&Organisationdelath`ese
1Probl`emes´etudi´es................................
1.1Changementd’inconnueset´equivalenceformelle...........
1.2Complexite´...............................
1.3Historique................................
2Descriptionparchapitredesr´esultatsprincipaux...............
2.1Connexionentrelesprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)............
2.2Etudeduprobl`eme(Pv,λ)sansmesure................
2.3Probl`eme(Pv,λ)avecmesureetretoursurleprobl`eme(Pu,λ)....
3Listedespublications..............................
2Solutionsrenormalis´eesetsolutionsatteignables
2.1Introduction...................................
2.2Notionsdesolutions..............................
2.2.1Solutionsrenormalis´ees.........................
2.2.2Solutionsatteignables.........................
12.2.3SecondmembredansL(Ω)etine´galite´detypePicone........
2.3R´egularite´....................................
2.3.1R´egularite´debase...........................
2.3.2R´esultatsdere´gularite´.........................
2.3.3Preuves.................................
3Connexionentrelesdeuxprobl`emes(Pu,λ)et(Pv,λ)
3.1Introduction...................................
3.2Changementponctueldefonctions......................
3.2.1D´efinitionsetpropri´et´es........................
3.2.2Exemples................................
3.3Preuvedesth´eor`emes3.1.1et3.1.2......................
3.4Lecasβconstant,glin´eaire..........................
3.4.1Quelquespropri´et´esdeλ(f).....................
13.4.2PreuveduTh´eor`eme3.1.3.......................
ix
1335677111351
12323232923013233353
491545456516172737
x
4
5
6
7
Tabledesmati`eres
Existencedesolutionspourleproble`me(P).81
,λv4.1Introduction...................................83
4.2L’intervalled’existencepourλ.........................84
4.3Egalite´desintervalles..............................86
4.3.1Convexite´................................86
4.3.2Casou`gaunecroissancelente....................93
Existenced’unedeuxi`emesolutionetsolutionextre´male101
5.1Introduction...................................103
5.2Outilstechniques...............................