2ème épreuve de mathématiques Option A 1999 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 1999. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 1999
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

1999-2000 _________

Concours d'Entrée _______________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Calculatrices interdites. Les quatre exercices proposés sont indépendants. E XERCICE 1  Trouverune condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réelset pourque toutes les solutions du système différentiel  x ′′ ( t ) = − ( α + β ) x ( t ) + βy ( t )  y ′ ( t ) = βx ( t ) − βy ( t )  2 soient des fonctions t→ ( x ( t ) , y ( t )) bornéesde IR dans IR  . E XERCICE 2 1) Parintégration par parties successives établir que pour tout entier natureln: +∞ − u n n!=e udu . ∫ 0 2) Enfaisant le changement de variable u=n+x n , établir pour tout entier naturel non nuln: +∞ n+1−n n .ex x n!=exp( n(  n( 1+)−))dx . ∫ n nn −n 3) Onconsidère la suite de fonctions ( f ) de R dans R définie par : n n≥1 f ( x ) =0  si x≤ −n n   −x  x  n + n  1 +     n n     f ( x ) =e  pour x> −n . n  Montrerque( f )est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la n n≥1 2 −x 2 fonction : x→e . 4) Pourtout entier naturel supérieur ou égal à 2 :net pour toutx ≥ 0on pose :  −x  x   ϕ ( x ) =n  +n  1+   +x−n ( 1+x ) .   n n    + Montrer queest décroissante sur R , en déduire que pour tout x≥0 on a ϕ ( x ) ≤0 , puis que pour tout n entier naturel non nul et tout x≥0 : −x 0≤f ( x ) ≤e ( 1+x ) . n 5) Pour u réel satisfaisant −1<u<0 montrer que

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 2 2 −u −u+  n ( 1+u ) ≤ . 2 En déduire que pour tout n entier naturel non nul et tout x≤0 : 2 −x 2 0≤f ( x ) ≤e . n  −x  x   2 u n  +n  1+   −   n n +∞    +∞ 2  6) Montrerque lim edx=e du . ∫ ∫ −∞ −n n→+∞ 2 π +∞ −t 7) Enutilisant la formule e dt= , établir l’approximation de Stirling : ∫ 0 2 n  n  n! ~   2πn . e + ∞   E XERCICE 3 2  Onconsidère K= { ( x,y ) ∈IR ax+y≥1 etx≥1 } où a est un paramètre réel. a 2 1) Montrerque K est un fermé de R . Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles K est un compact ? a a 2 2 On note : f ( x, y ) =2x+y+xy−x . 3  2 2  2) Montrerque pour tout x, y de K : f x,y 1y x . ( ) a ( ) ≥  +  − 4   En déduire quelim f ( x, y ) = +∞. ( x, y ) → +∞ ( x, y ) ∈K a 3) Justifierl’existence deMin f ( x, y ) : la valeur minimum defsurK. a (x, y)∈K a 4) Trouverla valeur précédente ainsi que le(ou les) point(s) où ce minimum est atteint. (La réponse comporte une discussion suivant les valeurs dea ). E XERCICE 4  Lesdonnées sont les suivantes : A est une matrice symétrique définie positive de taille n . n n best un vecteur deR,Fun sous-espace vectoriel deR. n < , > désigne le produit scalaire canonique deR,.la norme euclidienne qui en découle. n n  CommeusuellementAest identifiée à l’application linéaire deRdansR, ayantApour matrice dans la base canonique. 1 n  Pourx, vecteur générique deRon posef(x) = Ax, x − b, xet on se pose le problème 2 ( G ) Min f ( x ) x∈F consistant à trouver la valeur minimale def ( x ) lorsquexparcourtF, ainsi que tous lesxpermettant d’obtenir cette valeur. 1) Voici,un exemple, d’un tel problème fabriqué avec les données de l’exercice 3. 2 On poseD = { ( x,y ) ∈ IR ax + y = 1. a 1999

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3  2 2  Montrer que le problème :xMin 2 + y + xy − x     ( x, y ) ∈ D a peut, après un très simple changement de variable, se mettre (à une constante addive près) sous la forme ( G ) . Résoudre directement (le plus simplement) ce problème. n n 2) Pour x ∈ IR et h ∈ IR fixés ett∈ [ 0,1 ] variable on pose : 0 F ( t ) = f ( x + th ). x ,h0 0 En remarquant que F ( t )  estun polynôme de degré 2 en t calculer F ′ ( t )  et F ′′ ( t ) , en x ,hx ,hx ,h 0 00 déduire les formules (utiles pour la suite) : 2 t f(x + th) − f(x) = t Ax − b, h + Ah,h; 0 00 2 f ( x + h ) − f ( x ) ≥ Ax − b, h. 0 00 3) Montrerque si F non réduit à est { 0 } , lim f ( x ) = +∞ . En déduire l’existence (d’au moins) une x→+∞ x ∈ F solution de ( G ) (c’est-à-dire d’un x de F satisfaisant f ( x ) =Min f ( x ) ). x∈F ⊥ 4) MontrerquexdeFest une solution de ( G ) si et seulement siAx−bappartient à. 5) Montrerque la solution de ( G ) est unique et vérifie −1−1 f ( x ) =Ax , x=b, x 2 2

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