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2ème épreuve de mathématiques Option A 1999 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 1999. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 1999 sur Bankexam.fr.
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I. S. F. A. _________
1999-2000 _________
Concours d'Entrée _______________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Calculatrices interdites. Les quatre exercices proposés sont indépendants. EXERCICE1  Trouverune condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réelset pourque toutes les solutions du système différentiel x′′(t)= −(α + β)x(t)+ βy(t) y(t)= βx(t)− βy(t) 2 soient des fonctionst(x(t), y(t))bornéesdeIRdansIR . EXERCICE2 1) Parintégration par parties successives établir que pour tout entier natureln: +∞ −u n n!=e udu. 0 2) Enfaisant le changement de variableu=n+x n, établir pour tout entier naturel non nuln: +∞ n+1n n .ex x n!=exp( n(n( 1+)))dx. n nn n 3) Onconsidère la suite de fonctions(f)deRdansRdéfinie par : n n1 f(x)=0 six≤ −nn   xxn+n1+  n n f(x)=e pourx> −n. n  Montrerque(f)est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la n n1 2 x 2 fonction :xe. 4) Pourtout entier naturel supérieur ou égal à 2 :net pour toutx0on pose : xx  ϕ(x)=n+n1++xn(1+x).   n n    + Montrer queest décroissante surR, en déduire que pour toutx0on aϕ(x)0, puis que pour toutnentier naturel non nul et toutx0: x 0f(x)e(1+x). n 5) Poururéel satisfaisant1<u<0montrer que
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 2 2 u u+n(1+u). 2 En déduire que pour toutnentier naturel non nul et toutx0: 2 x 2 0f(x)e. n xx 2 u n+n1+  n n +∞ +∞2 6) Montrerquelim edx=e du. ∫ ∫ −∞ n n→+∞ 2 π +∞ −t 7) Enutilisant la formulee dt=, établir l’approximation de Stirling : 0 2 n nn! ~ 2πn. e + ∞  EXERCICE3 2  OnconsidèreK={(x,y)IR ax+y1 etx1}aest un paramètre réel. a 2 1) MontrerqueKest un fermé deR. Existe-t-il des valeurs deapour lesquellesKest un compact ? a a 2 2 On note :f(x, y)=2x+y+xyx. 3 2 22) Montrerque pour toutx, ydeK:f x,y 1y x. ( )a( )+4  En déduire quelim f(x, y)= +∞. (x, y)→ +∞ (x, y)K a 3) Justifierl’existence deMin f(x, y): la valeur minimum defsurK. a (x, y)K a 4) Trouverla valeur précédente ainsi que le(ou les) point(s) où ce minimum est atteint. (La réponse comporte une discussion suivant les valeurs dea ). EXERCICE4  Lesdonnées sont les suivantes : Aest une matrice symétrique définie positive de taillen. n n best un vecteur deR,Fun sous-espace vectoriel deR. n <,>désigne le produit scalaire canonique deR,.la norme euclidienne qui en découle. n n  CommeusuellementAest identifiée à l’application linéaire deRdansR, ayantApour matrice dans la base canonique. 1 n  Pourx, vecteur générique deRon posef(x)=Ax, xb, xet on se pose le problème 2 (G)Min f(x)xF consistant à trouver la valeur minimale def(x)lorsquexparcourtF, ainsi que tous lesxpermettant d’obtenir cette valeur. 1) Voici,un exemple, d’un tel problème fabriqué avec les données de l’exercice 3. 2 On poseD={(x,y)IR ax+y=1. a 1999
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3 2 2Montrer que le problème :xMin 2+y+xyx    (x, y)D a peut, après un très simple changement de variable, se mettre (à une constante addive près) sous la forme (G). Résoudre directement (le plus simplement) ce problème. n n 2) PourxIRethIRfixés ett[0,1]variable on pose : 0 F(t)=f(x+th). x ,h0 0 En remarquant queF(t) estun polynôme de degré 2 entcalculerF(t) etF′′(t), en x ,hx ,hx ,h 0 00 déduire les formules (utiles pour la suite) : 2 t f(x+th)f(x)=t Axb, h+Ah,h; 0 00 2 f(x+h)f(x)Axb, h. 0 00 3) Montrerque siFnon réduit à est{0},lim f(x)= +∞. En déduire l’existence (d’au moins) une x→+∞ xF solution de(G)(c’est-à-dire d’unxdeFsatisfaisantf(x)=Min f(x)). xF 4) MontrerquexdeFest une solution de(G)si et seulement siAxbappartient à. 5) Montrerque la solution de(G)est unique et vérifie 11 f(x)=Ax , x=b, x2 2
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