Baccalaureat 1999 mathematiques sciences economiques et sociales recueil d'annales

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[BaccalauréatES1999\ L’intégraledeseptembre1998 àjuin1999 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre1998 ..................... 3 Franceseptembre1998 ............................... 8 Polynésieseptembre1998 ...........................12 Sportifsdehaut-niveauoctobre1998 ................15 AmériqueduSudnovembre1998 ................... 19 Nouvelle-Calédoniedécembre1998 .................24 AmériqueduNordjuin1999 .........................27 Antilles-Guyanejuin1999 ........................... 31 Asiejuin1999 ........................................35 Centresétrangersjuin1999 ..........................40 Francejuin1999 .....................................44 LaRéunionjuin1999 ................................50 Libanjuin1999 .......................................54 Polynésiejuin1999 .................................. 562[BaccalauréatESAntilles-Guyaneseptembre1998\ EXERCICE 1 4points Touslesrésultatsserontdonnéssousformedefractionsirréductibles. Neufamis,cinqgarçonsetquatrefilles,décidentdetirerausortdeuxconducteurs, quidevrontrestersobresdurantunesoirée. Chacunécritsonnomsuruncartonglisséensuitedansuneboîte. L’und’entreeuxextraitauhasard,successivementetsansremise,deuxcartonsdela boîte. Ondéfinitlesévènements G ,G ,F etF par:1 2 1 2 • G :«Ungarçonestdésignéaupremiertirage»;1 • G :«Ungarçonestdésignéaudeuxièmetirage»;2 • F :«Unefilleestdésignéeaupremiertirage»;1 • F :«Unefilleestdésignéeaudeuxièmetirage».2 1. a. Calculerlaprobabilitéquelenomd’unefilleapparaisseaudeuxièmeti- ragesachantquelenomd’ungarçonaétélusurlepremiercarton. b. Calculerlaprobabilitédel’évènement G ∩F .1 2 Lacompareràcelledel’évènement G ∩F .2 1 2. Calculerlaprobabilitéqu’ilyaitdeuxconductricesenfindesoirée. 3. Calculerlaprobabilitéquelesortdésigneunefilleaudeuxièmetirage. 4. Soit X lavariablealéatoireégaleaunombredefillesdésignées. a. DéterminerlaloideprobabilitédeX. b. CalculersonespérancemathématiqueE(X). EXERCICE 2 4points Le tableau ci-dessous donne l’évolution du SMIC horaire (Salaire Minimum Inter- professionneldeCroissance)de1988à1996. Date 07/88 07/89 07/90 07/91 07/92 07/93 07/94 07/95 07/96 Rangdel’année(x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9i Montantenfrancs(y ) 28,76 29,91 31,28 32,66 34,06 34,83 35,56 36,98 37,91i Source:INSEE. 1. Représenterlenuagedepointsassociéàlasérie(x ; y ).i i³ ´→− →− Le plan est rapportéàun repère O, ı ,  d’unités graphiques 1 cmpour1 ansurl’axedesabscisseset2cmpour1francsurl’axedesordonnées. L’originedurepèrecorrespondaupointdecoordonnées(0;28). −22. Àl’aidedelacalculatrice,donnerunevaleurapprochéeà10 prèsducoeffi- cientdecorrélationlinéairedelasérie(x ; y ).i i Pourquoipeut-onenvisagerunajustementlinéaire? 3. Donneruneéquationdeladroitederégressionde y en x parlaméthodedes moindrescarrés. −2(Lescoefficientsserontdonnéspardesvaleursapprochéesà10 près.)BaccalauréatES L’intégrale1999ES Tracercettedroitesurlegraphiqueprécédent. (Les coordonnées des points utilisés pour le tracé de la droite seront indi- quées.) 4. Estimer, à l’aide de l’équation de la droite de régression et en faisant figurer surlacopielesétapesducalcul,lemontantprévisibleduSMICenjuillet1997. 5. Quelle est,enpourcentage,l’erreurcommise parrapportaumontant réeldu SMICquiétaitde39,93Fenjuillet1997? EXERCICE 3 5points Enseignementobligatoire On considère une fonction f de la variable réelle x, dont on donne le tableau de variations: 1−x −∞ 2 0 1 +∞ ′f (x) − 0 + − +∞ +∞1 f(x) 0 1−3 1 ³ ´→− →− Onappelle(C)lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormé O, ı ,  (unitésgraphiques2cmsurchaqueaxe). PartieA Eninterprétantletableaudonnéci-dessus: 1. Préciserl’ensemblededéfinitionde f. ³ ´→− →− 2. Placerdanslerepère O, ı ,  : a. l’asymptotehorizontale(D); ′b. l’asymptoteverticale(D ); c. lepointAoùlatangenteà(C)esthorizontale. PartieB Ondonnemaintenantl’expressionde f : 4 3 f(x)=1+ + . 2(x−1) (x−1) 1. Résoudreleséquations f(x)=0et f(x)=1. 2. Aumoyendevotrecalculatriceremplirletableausuivant(recopiercetableau survotrecopie.) x -1 -0,75 0,5 2 3 4 f(x) Antilles-Guyane 4 septembre1998BaccalauréatES L’intégrale1999ES 3. Placerlacourbe(C)danslerepèredelaquestionA.2.. EXERCICE 3 5points Enseignementdespécialité Onconsidèrelasuite(u ) définiepar:n n>0( u = 10 1 u = u +1.n+1 n 2 1. Calculeru , u etu .1 2 3 ³ ´→− →− 2. Dansleplanrapportéàunrepèreorthonormal O, ı ,  d’unitégraphique 1′4cm,tracerladroite(D)d’équation y=x etdroite(D )d’équation y= x+1. 2′Enutilisant(D )et(D),représentersurcegraphiquelespointsP,Q,R,S,T,U, V,decoordonnéesrespectives: (u ; 0),(u ; u ),(u ; u ),(u ; u ),(u ; u ),(u ; u )(u ; u ).0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3. Soit(v ) lasuitedéfiniepar:v =u −2.n n>0 n n a. Montrerque(v ) estunesuitegéométriquedontonpréciseralepre-n n>0 miertermeetlaraison. b. Exprimer v enfonctionden,endéduirel’expressiondeu fonctionden n n. c. Calculerlalimitedeu .n PROBLÈME 10points Lebutduproblèmeestd’étudierunefonction,dontonconnaîtlarepréseniongra- phique,d’étudierlapositiondelacourbeparrapportàl’unedesestangentesetde calculeruneaire. Soit f lafonctiondéfiniesur]0;+∞[par: f(x)=2xlnx−x. Ondésignepar(C)lacourbereprésentativede f.³ ´→− →− Leplanestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  (voirannexe). Unitésgraphiquesutilisées:2cmsurchaqueaxe. Joindrecetteannexeàvotrecopie. A.Étudedelafonction f 1. Étudedeslimitesde f auxbornesdesonintervallededéfinition. a. Déterminer lim f(x).(Ondonne limxlnx=0). x→0 x→0 b. Déterminer lim f(x).(Onpourramettrex enfacteur). x→+∞ ′2. Montrerque f (x)=2lnx+1. ′3. Étudierlesignede f (x)etdresserletableaudevariationsde f. Antilles-Guyane 5 septembre1998BaccalauréatES L’intégrale1999ES 4. CalculerlescoordonnéesdupointA,intersectiondelacourbe(C)etdel’axe desabscisses.PlacercepointAsurlegraphiquedonnéenannexe. B.Positionde(C)parrapportàl’unedesestangentes 1. Établir qu’une équation de la droite (¢), tangente en A à la courbe (C) est :p y=2x−2 e. Placer(¢)surlegraphiquedonnéenannexe. 2. Soitg lafonctiondéfiniesur]0;+∞[par: p g(x)= f(x)−(2x−22 e). ′a. Calculer g (x). b. Àl’aidedutableaudevariationsdeg montrerqueg(x)>0sur]0;+∞[. Endéduirequelacourbe(C)estau-dessusdeladroite(¢)sur]0;+∞[. C.Calculd’uneaire µ ¶ 12SoitH lafonctiondéfiniesur]0;+∞[parH(x)=x lnx− . 2 ′1. Calculer H (x). Ze ¡ p ¢ 2. Calculerlavaleurexactede 2xlnx−3x+2 e dx.p e 3. Cetteintégralecorrespondaucalculdel’aired’undomaineplan. a. Coloriercedomainesurlafigure. 2 −2b. Donner, en cm , une valeur approchée à 10 près par défaut de cette aire. Antilles-Guyane 6 septembre1998BaccalauréatES L’intégrale1999ES y 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1−2e0 x0 1 2 e 3 40 1 2 3 4 -1 1−2−2e Annexe -2 Antilles-Guyane 7 septembre1998[BaccalauréatESFranceseptembre1998\ EXERCICE 1 5points Ons’intéresseàl’évolutiondelapopulationmondialeentrelesannées1950et1990. Le document ci-après donne une représentation graphique des données pour les années1950,1960,1970,1980et1990enpapiersemi-logarithmique. L’allure du graphique incite à chercher un modèle sous la forme d’une fonction f définiepar: atf(t)= Ae oùt désignelerangdel’année,aveccommeoriginedestempsl’année1950,et f(t) lapopulationenmilliardsd’habitants. 1. Déterminerlescoefficients Aetaenutilisantlesdonnéesde1950etde1990, àsavoir: Rangt 0 40 Populationenmilliardsd’habitants 2,5 5,2 − 4Ondonnerales valeurs exactesde A et a puis desvaleursapprochées à10 près. 0,018tDanslasuiteonconsidéreraque: f(t)=2,5e . 2. Représenter graphiquement f dansle même repèresemi-logarithmique que lenuage(documentpagesuivante).Justifierletracé. 3. À l’aide du modèle proposé, calculer une estimation de l’année au cours de laquellelapopulationmondialedevraitdépasser10milliardsd’habitants.In- diquersurlegraphiquecommentcontrôlercerésultat. f(t+1)−f(t) 4. Calculer . f(t) Donnerlavaleurexacte,puisunevaleurapprochée. Interprétercerésultatentermedetauxdecroissanceannuel. Populationmondiale 100 10 ** ** * 1 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 EXERCICE 2 5pointsAnnée (obligatoire)BaccalauréatES L’intégrale1999ES Danscetexerciceonpourrautiliserlesnotationsusuellesp(E)pourdésignerlapro- babilitéd’unévènement E, p(F/E)ou p (F)pourdésignerlaprobabilitécondition-E nelledeF,sachantl’évènement Eréalisé. Unconcoursderecrutementdetechnicienshautementqualifiésestouvertunique- mentauxétudiantsdedeuxécoles;l’unes’appellel’écoleArchimède,l’autrel’école Ptolémée. Ondisposedesinformationssuivantesconcernantlestauxderéussiteàceconcours pourl’année1997: – letauxderéussitepourlescandidatsissusdel’écoleArchimèdeestde:85 %; – letauxderéussitepourlescandidatsissusdel’autreécoleestde: 80 %; – letauxderéussitepourl’ensembledescandidatsestde: 82 %. On peut interpréter ces données en termes probabilistes; on suppose pour cela qu’onchoisituncandidatauhasard. OnnoteRl’évènement :«lecandidataréussi». OnnotedemêmeAl’évènement :«lecandidatestissudel’écoleArchimède». OnnoteRetAlesévènementscontrairesdeRetdeA. 1. Interpréterlesdonnéesnumériquesdel’énoncéentermesprobabilistes. 2. Lesévènements RetAsont-ilsindépendants?Justifiervotreréponse. 3. L’objetdecettequestionestdedéterminerlaproportiondecandidatsissusde l’écoleArchimèdeparmilescandidats. On note x la proportion de candidats issus de l’école Archimède parmi les candidats:c’estaussilaprobabilitéqu’uncandidat,choisiauhasard,soitun candidatissudel’écoleArchimède.³ ´ ³ ´ a. Exprimer p(R∩A), p A etp RA enfonctiondex. b. Endéduirel’expressiondep(R)enfonctiondex. c. Déterminerlavaleurdex. EXERCICE 2 5points (spécialité) Lesdeuxquestions1.et2.peuventêtretraitéesindépendammentl’unedel’autre. 1. Onenvisageunjeupublicitairesouslaformed’unQCM(questionnaireàchoix multiples). Il comporte quatre questions et, pour chaque question, trois réponses sont possiblesdontuneseuleexacte. Un joueur répond en choisissant au hasard une réponse pour chaque ques- tion. a. Decombiendefaçonsdifférentespeut-ilremplirlequestionnaire? b. Onnomme X lavariablealéatoireégaleaunombrederéponsesexactes obtenuesparlejoueur.DonnerlaloideprobabilitédeX. 2. Pour accroître la difficulté, on modifie le QCM : il comporte cette fois cinq questions et,pourchaquequestion,quatreréponsessontpossiblesdontune seuleexacte. Unjou