Baccalauréat C Lille juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lille juin 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS On désigne par a˙ la classe d'équivalence modulo 15 de l'entier a. 1. Déterminer les couples (a˙, b˙) tels que : a˙.b˙ = 0˙, a˙ 6= 0˙ et b˙ 6= 0˙. 2. Résoudre dans Z/15Z l'équation : x2? 6˙x+ 5˙= 0˙. 3. Résoudre dans Z/15Z?Z/15Z le système suivant : { 3˙x+ 3˙y = 3˙ 2˙x+ y = 5˙ EXERCICE 2 4 POINTS Soit E un espace vectoriel euclidien réel orienté de dimension 3, et (?? ı , ??? , ??k ) une base orthonormée directe de E. Pour tout réel ?, on appelle ?? l'endomorphisme de E qui à tout vecteur ??u de coordonnées (x ; y ; z) associe le vecteur ??u? de coordon- nées (x? ; y ? ; z ?) de la manière suivante : ? ? ? x? = x cos2?? y sin?? z sin?cos? y ? = x sin?cos?+ y cos?? z sin2? z ? = x sin?+ z cos? 1. Démontrer que ?? est une transformation orthogonale (ou isométrie vecto- rielle ). 2. On suppose dans cette question ? 6= kpi, k ? Z ; montrer que ?? est une rota- tion vectorielle dont on déterminera l'axe.

• affixe z


• image de hn parg


• compor- tement de la courbe aux bornes des intervalles de définition


• courbe représentative


• image de la courbe

Sujets

• Graphe d'une fonction

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1978
• Nombre de lectures: 60
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Lille juin 1978\

E X E R C IC E 1 On désigne para ˙ la classe d’équivalence modulo 15 de l’entier a. ¡ ¢ ˙ 1.Déterminer les couplesa ˙, btels que :

˙ ˙˙ ˙ ˙ a ˙. b=0,a ˙ 6=0 etb6=0. 2 ˙ ˙˙ 2.Résoudre dansZ/15Zl’équation :x−6x+5=0. 3.Résoudre dansZ/15Z×Z/15Zle système suivant : ½ ˙ ˙˙ 3x+3y=3 ˙ ˙ 2x+y=5

3 P O IN TS

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ −→ Soit E un espace vectoriel euclidien réel orienté de dimension 3, etı,,kune base orthonormée directe de E. Pour tout réelθ, on appelleϕ θ l’endomorphisme de −→ −→ ′ E qui à tout vecteurude coordonnées (x;y;z) associe le vecteurude coordon ¡ ¢ ′ ′ ′ néesx;y;zde la manière suivante :  ′2 x=xcosθ−ysinθ−zsinθcosθ  ′2 y=xsinθcosθ+ycosθ−zsinθ  ′ z=xsinθ+zcosθ

1.Démontrer queϕ θ est une transformation orthogonale (ou isométrie vecto rielle ). 2.On suppose dans cette questionθ6=kπ,k∈Z; montrer queϕ θ est une rota tion vectorielle dont on déterminera l’axe.

P R O B L È M E 13 P O IN TS On désigne parCl’ensemble des nombres complexes. On notezle complexe conju gué dez. ³ ´ −→−→ On considère le plan affine euclidien P rapporté à un repère orthonormé O,ı,. Au pointMde coordonnées (x;y) on fait correspondre le complexez=x+iyappelé affixe deM. Partie A 1.SoitF a,b l’application de P vers P qui au pointMd’affixezfait correspondre ′ ′′⋆ le pointMdont l’affixezest définie parz=a z+ib, (a;b)∈R×R. ¡ ¢ ′ ′′ Établir les formules qui expriment les coordonnéesx;ydeMen fonction des coordonnées (x;y) deM. a.Suivant les valeurs deaetb, rechercher les points invariants deF a,b . b.Si|a| 6=1, établir queF a,b est la composée de la symétrie orthogonale b par rapport à la droite d’équationy=par une homothétie dont on a+1 cherchera le centre et le rapport.

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

2.SoitG c,d l’application de P vers P qui au pointNd’affixezfait correspondre ′ ′′⋆ le pointNdont l’affixezest définie parz=c z+id, (c;d)∈R×R. Déterminer, suivant les valeurs decetd, la nature deG c,d . Partie B 1.Dans cette question on considère|a| 6=1 et le pointM 1 d’affixeu=a+ib. On poseM 2 =F a,b ( M 1 ) et plus généralement pournentier strictement positif

M n+1 =F a,b ( M n ) n 1−(−a) n a.Montrer queM n a pour affixeu n =a+ib. 1+a ⋆ b.Montrer que les pointsM n ,n∈N, appartiennent à la réunion de deux µ ¶ b droites dont l’uneD 1 0 ;etpasse par AM 1 alors que l’autreD 2 est 1+a la transformée deD 1 parF a,b . 2.Dans cette question, on considèrec6=1 et le pointN 1 d’affixev 1 =c+id. On poseN 2 =G c,d ( N 1 ) et plus généralement pournentier strictement positif, N n+1 =G c,d ( N n ). a.Montrer queN n a pour affixe : n c−1 n v n =c+id×. c−1 ⋆ b.Montrer que les pointsN n ,n∈N, appartiennent à une droiteΔpassant µ ¶ d par B0 ;etN 1 . 1−c 3.On considère les cas particuliersc= −aetd=bavec|a| 6=1. Montrer queΔ=D 2 . Partie C SoitΦ 1 la fonction numérique définie par 1

1 x Φ 1 (x)=xe−2.

1.Étudier les variations deΦ 1 (x) et construire sa courbe représentative (C 1 ) dans ³ ´ −→−→ le plan P rapporté au repère orthonorméO,ı,en précisant le compor tement de la courbe aux bornes des intervalles de définition. En particulier, montrer que la droite d’équationy=x−1 est asymptote à (C 1 ). ⋆ 2.On considèrec=2,d=1. Quel que soitn∈N, on noteΦ n+1 la fonction nu mérique dont la courbe représentative (C n+1 ) est l’image de la courbe (C n ) parG (2, 1) , (C n ) représentant la fonctionΦ n . Montrer que n−1 2 ⋆n−1 x ∀n∈N,Φ n (x)=xe−2−1. 3. a.Montrer que pour toutnentier strictement positif, les courbes (C n ) ont les mêmes asymptotes. b.SoitS n le point de (C n ) en lequel la tangente a la direction définie par −→ ⋆ ı, montrer que l’ensemble de ces points, lorsquendécritN,est inclus dans une droite passant par B(0 ;−1). Partie D

Lille

2

juin 1978

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

Soith 1 la fonction numérique définie par : e−2 h 1 (x)=x−1+. x 1.Construire dans le plan P la courbeH 1 représentative de la fonctionh 1 . On placera le point de coordonnées (1 ;h 1 (1)). On prendra 0,85 pour valeur ap p prochée dee−2. 2.On considère la fonction numériqueh n définie par e−2 n−1⋆ h n (x)=x−1+(4) ,n∈N. x SoitH n la courbe représentative deh n . ⋆ a.Montrer que,∀n∈N,H n+1 est l’image deH n parG (2,1) . b.Calculer l’aireA n du sousensemble de P délimité par les courbes d’équa tion :

Lille

n−1n y=h n (x),y=x−1,x=2 ,x=2 . ⋆ Quel que soitn,n∈N, établir une relation entreA n etA n−1 .

3

juin 1978