Baccalauréat C Lille juin

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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lille juin 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS On désigne par a˙ la classe d'équivalence modulo 15 de l'entier a. 1. Déterminer les couples (a˙, b˙) tels que : a˙.b˙ = 0˙, a˙ 6= 0˙ et b˙ 6= 0˙. 2. Résoudre dans Z/15Z l'équation : x2? 6˙x+ 5˙= 0˙. 3. Résoudre dans Z/15Z?Z/15Z le système suivant : { 3˙x+ 3˙y = 3˙ 2˙x+ y = 5˙ EXERCICE 2 4 POINTS Soit E un espace vectoriel euclidien réel orienté de dimension 3, et (?? ı , ??? , ??k ) une base orthonormée directe de E. Pour tout réel ?, on appelle ?? l'endomorphisme de E qui à tout vecteur ??u de coordonnées (x ; y ; z) associe le vecteur ??u? de coordon- nées (x? ; y ? ; z ?) de la manière suivante : ? ? ? x? = x cos2?? y sin?? z sin?cos? y ? = x sin?cos?+ y cos?? z sin2? z ? = x sin?+ z cos? 1. Démontrer que ?? est une transformation orthogonale (ou isométrie vecto- rielle ). 2. On suppose dans cette question ? 6= kpi, k ? Z ; montrer que ?? est une rota- tion vectorielle dont on déterminera l'axe.

  • affixe z

  • image de hn parg

  • compor- tement de la courbe aux bornes des intervalles de définition

  • courbe représentative

  • image de la courbe


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Publié le 01 juin 1978
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[Baccalauréat C Lille juin 1978\
EX E R C IC E1 On désigne para˙ la classe d’équivalence modulo 15 de l’entiera. ¡ ¢ ˙ 1.Déterminer les couplesa˙,btels que :
˙ ˙˙ ˙˙ a˙.b=0,a˙6=0 etb6=0. 2 ˙ ˙˙ 2.Résoudre dansZ/15Zl’équation :x6x+5=0. 3.Résoudre dansZ/15Z×Z/15Zle système suivant : ½ ˙ ˙˙ 3x+3y=3 ˙ ˙ 2x+y=5
3P O IN TS
EX E R C IC E2 4P O IN TS ³ ´ Soit E un espace vectoriel euclidien réel orienté de dimension 3, etı,,kune base orthonormée directe de E. Pour tout réelθ, on appelleϕθl’endomorphisme de E qui à tout vecteurude coordonnées (x;y;z) associe le vecteurude coordon ¡ ¢ ′ ′ ′ néesx;y;zde la manière suivante : 2 x=xcosθysinθzsinθcosθ 2 y=xsinθcosθ+ycosθzsinθ z=xsinθ+zcosθ
1.Démontrer queϕθest une transformation orthogonale (ou isométrie vecto rielle ). 2.On suppose dans cette questionθ6=kπ,kZ; montrer queϕθest une rota tion vectorielle dont on déterminera l’axe.
PR O B L È M E13P O IN TS On désigne parCl’ensemble des nombres complexes. On notezle complexe conju gué dez. ³ ´ On considère le plan affine euclidien P rapporté à un repère orthonormé O,ı,. Au pointMde coordonnées (x;y) on fait correspondre le complexez=x+iyappelé affixe deM. Partie A 1.SoitFa,bl’application de P vers P qui au pointMd’affixezfait correspondre ′ ′le pointMdont l’affixezest définie parz=a z+ib, (a;b)R×R. ¡ ¢ ′ ′Établir les formules qui expriment les coordonnéesx;ydeMen fonction des coordonnées (x;y) deM. a.Suivant les valeurs deaetb, rechercher les points invariants deFa,b. b.Si|a| 6=1, établir queFa,best la composée de la symétrie orthogonale b par rapport à la droite d’équationy=par une homothétie dont on a+1 cherchera le centre et le rapport.
Le baccalauréat de 1978
A. P. M. E. P.
2.SoitGc,dl’application de P vers P qui au pointNd’affixezfait correspondre ′ ′le pointNdont l’affixezest définie parz=c z+id, (c;d)R×R. Déterminer, suivant les valeurs decetd, la nature deGc,d. Partie B 1.Dans cette question on considère|a| 6=1 et le pointM1d’affixeu=a+ib. On poseM2=Fa,b(M1) et plus généralement pournentier strictement positif
Mn+1=Fa,b(Mn) n 1(a) n a.Montrer queMna pour affixeun=a+ib. 1+a b.Montrer que les pointsMn,nN, appartiennent à la réunion de deux µ ¶ b droites dont l’uneD10 ;etpasse par AM1alors que l’autreD2est 1+a la transformée deD1parFa,b. 2.Dans cette question, on considèrec6=1 et le pointN1d’affixev1=c+id. On poseN2=Gc,d(N1) et plus généralement pournentier strictement positif, Nn+1=Gc,d(Nn). a.Montrer queNna pour affixe : n c1 n vn=c+id×. c1 b.Montrer que les pointsNn,nN, appartiennent à une droiteΔpassant µ ¶ d par B0 ;etN1. 1c 3.On considère les cas particuliersc= −aetd=bavec|a| 6=1. Montrer queΔ=D2. Partie C SoitΦ1la fonction numérique définie par 1
1 x Φ1(x)=xe2.
1.Étudier les variations deΦ1(x) et construire sa courbe représentative (C1) dans ³ ´ le plan P rapporté au repère orthonorméO,ı,en précisant le compor tement de la courbe aux bornes des intervalles de définition. En particulier, montrer que la droite d’équationy=x1 est asymptote à (C1). 2.On considèrec=2,d=1. Quel que soitnN, on noteΦn+1la fonction nu mérique dont la courbe représentative (Cn+1) est l’image de la courbe (Cn) parG(2, 1), (Cn) représentant la fonctionΦn. Montrer que n1 2 n1 x nN,Φn(x)=xe21. 3. a.Montrer que pour toutnentier strictement positif, les courbes (Cn) ont les mêmes asymptotes. b.SoitSnle point de (Cn) en lequel la tangente a la direction définie par −→ ı, montrer que l’ensemble de ces points, lorsquendécritN,est inclus dans une droite passant par B(0 ;1). Partie D
Lille
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juin 1978
Le baccalauréat de 1978
A. P. M. E. P.
Soith1la fonction numérique définie par : e2 h1(x)=x1+. x 1.Construire dans le plan P la courbeH1représentative de la fonctionh1. On placera le point de coordonnées (1 ;h1(1)). On prendra 0,85 pour valeur ap p prochée dee2. 2.On considère la fonction numériquehndéfinie par e2 n1hn(x)=x1+(4) ,nN. x SoitHnla courbe représentative dehn. a.Montrer que,nN,Hn+1est l’image deHnparG(2,1). b.Calculer l’aireAndu sousensemble de P délimité par les courbes d’équa tion :
Lille
n1n y=hn(x),y=x1,x=2 ,x=2 . Quel que soitn,nN, établir une relation entreAnetAn1.
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juin 1978