Conception de régulateurs 2008 Energie systèmes électriques et automatisés Hautes Etudes d'Ingénieur (Lille)

Aaitouch

Description

Examen du Supérieur Hautes Etudes d'Ingénieur (Lille). Sujet de Conception de régulateurs 2008. Retrouvez le corrigé Conception de régulateurs 2008 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2008

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 09 août 2008
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

1

Hautes Etudes d’Ingénieur

Mercredi 6 Février 2008

Département : EEA

Enseignant : Abdel AÏTOUCHE

Durée de l'épreuve : 2h30

,

Documents et calculatrice autorisés

ÉPREUVE DE SYNTHÈSE

DE CONCEPTION DE REGULATEURS

Ce document contient 2 pages.

L’épreuve se compose de deux exercices indépendants. Les élèves sont invités à lire entièrement

les énoncés avant de composer

Il est rappelé aux élèves qu’ils doivent impérativement :

•

Numéroter

les copies,

•

Rédiger de manière

claire et lisible,

•

Indiquer

avec soin le numéro

de la question,

•

Utiliser les

notations indiquées

dans le texte,

•

Présenter les

calculs clairement

,

•

Justifier

les réponses

•

Dégager et

encadrer

les résultats relatifs à chaque question..

Il sera tenu compte de la

présentation des copies

.

EXERCICE 1 (12,5 points)

I.

La fonction de transfert d’un système continu du premier ordre retardé est :

)

1

(

)

(

Tp

e

K

p

H

Lp

s

+

=

−

Où K

s

représente le gain statique, T la constante de temps et L le retard fractionnaire. La Fonction de

transfert bloquée échantillonnée est donnée par :

)

1

(

)

(

1

1

2

2

1

1

−

−

−

+

=

=

z

a

z

b

z

b

K

z

G

s

Avec

)

1

(

/

)

(

1

T

Te

L

s

e

K

b

−

−

−

=

T

T

T

L

T

Te

s

e

e

a

e

e

K

b

/

1

/

/

2

)

1

(

−

−

−

=

−

=

avec L<T

e

I.1°

Donner l’expression numérique de G(z) sachant que L=2 sec;T=10 sec Te=1sec et K=1.

I.2°

Donner le pôle et le zéro de G(z). Conclure sur la stabilité du pôle et du zéro.

I.3°

Par la suite on travaillera en valeurs littérales et on fera l’application numérique après.

On introduit dans la boucle de régulation numérique, un régulateur C(z) comme le montre la figure

suivante :

I.3

.

a

Calculer la transmittance en boucle fermée H

BF

(z) sachant que C(z)=K

p.(

correcteur

proportionnel).

I.3.b

Pour quelles valeurs de K

p

le système est stable (Critère de Jury).

I.3.c

En déduire l'équation aux différences donnant la commande u(k) un instant k.

Y

c

(z)

U(z)

+

Y(z)

C(z)

G(z)

-

)

(

z

ε

2

I.3.d

Quelle est l'erreur permanente pour une variation de consigne en échelon unitaire de la consigne

Y

c

(z). Conclure ? Comment peut-on annuler cette erreur ?

Pour réguler ce système, on utilise une régulation numérique plus performante que précédemment. Ce

régulateur est de type de ZDAN.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1

z

C

z

C

z

C

z

S

z

R

K

z

C

p

=

=

On veut annuler l’erreur statique de position vis-à-vis d’une variation de consigne en échelon unitaire.

Pour cela, la fonction de transfert bloquée échantillonnée s’écrit :

)

1

(

)

1

(

)

(

1

1

1

1

2

1

−

−

+

+

=

z

a

z

b

b

b

K

z

G

s

III.1

Pourquoi ne peut-on pas compenser le zéro ?

III.2

Donner le correcteur C

1

(z).

III.3

Donner le correcteur C

2

(z) qui compense le pôle en littéral.

III.4°

On veut que le système se comporte en boucle fermée comme un système du deuxième ordre dont

le dénominateur de la fonction de transfert est :

P = 1 + p

1

z

-1

+ p

2

z

-2

.

Calculer dans ce cas le correcteur C

3

(z) en fonction de K

p

, K

s

, p

1

, p

2

, b

1

, b

2.

III.5

Donner le correcteur C(z) en littéral.

III.6

Application numérique : p

1

=

-

0.751 p

2

=0.247. Que peut-on dire de la stabilité du pôle du correcteur

C

3

(z) ?

III.7

Comparer le régulateur proportionnel et celui de ZDAN .

EXERCICE 2: Asservissement par un retour d’état (7,5 points)

On considère un système monovariable générique défini par :

{

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

Cx

t

y

t

Bu

t

Ax

t

x

=

+

=

&

Où

[

]

2

1

)

(

x

x

t

x

=

. x

1

peut représenter une distance et x

2

sa vitesse.

avec

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1

a

1

0

a

A

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

b

B

0

[

]

0

1

=

C

1°

Dans quelles conditions ce système est-il commandable ?

2°.

Dans quelles conditions ce système est-il

observable?

3°

Dans quelles conditions ce système est stable?

4°

On prend a

1

=-1, a

2

=-0.5 et b

1

=1. Donner les valeurs propres de la matrice A.

5° Calculer le gain K d’une commande par retour d’état sachant que la dynamique est donnée par

25

7

2

+

+

=

λ

λ

P

.

6°

Calculer le gain L d’un observateur d’état d’ordre complet sachant que la dynamique est donnée

par

36

6

2

+

+

=

λ

λ

P

et que les variables x

1

et x

2

sont mesurées.

Conclure sur les valeurs de K et L ?

7°

Supposons que maintenant qu’on ne mesure pas la composante x

2

de l’état. Déterminer

l’observateur d’ordre réduit permettant de reconstruire l’état x

2

et ayant pour pôle –1. Conclure ?