NOM : Note : Examen Médian EL40 /20 Correction Durée : 1H40. Calculatrice non autorisée car inutile. Aucun document personnel n'est autorisé. Le sujet contient un formulaire en annexe. Pour chaque réponse, on expliquera la démarche qui conduit au résultat proposé. Les expressions mathématiques seront exprimées littéralement avant d'être éventuellement calculées de façon numérique. 5 EXERCICE 1 (Exercice inspiré des annales de médian) Considérons le signal e(t) suivant : e(t) K/2 0 t a -K/2 1°) En utilisant les propriétés de la Transformée de Laplace 1,5 (sans passer par le calcul direct), déterminer E(p) la transformée de e(t) (faire apparaître la somme de 3 termes). On décompose e(t) en une somme de 3 fonctions : e (t1 Transformée d'un échelonK 0 0 a E p = -( ) 1 d'amplitude -K/2.2pt -K/2 K Transformée d'une rampee (t2 K E p = ( ) K2 2 ap causale de pente 0 t a 0 a e (t3 Transformée d'une rampe2a 0 -K -Kt -ap0 a E (p) = e causale de pente3 2 ap a-K décalée de "a" K K K K K-ap -apD’où E p = - e - = 1 - e - ( ) ( )2 2 2ap ap 2p ap 2pEL40 Médian 21/11/2005 1 1,5 2°) En utilisant les théorèmes sur la transformation de Laplace, retrouver les trois limites suivantes : Kp Kp K-aplim e t = lim pE p = lim 1 - e - = - ( ) ( ) ( ) + 2pfi +¥ pfi +¥tfi0 ap 2p 2 (résultat vérifiable sur la courbe de e(t)) Kp Kp K K-aplim e t = lim pE p = lim 1 - e - = lim 1 - 1 - ap - ( ) ( ) ...
NOM : Note : Examen Mdian EL40/20 CorrectionDure : 1H40. Calculatrice non autorise car inutile. Aucun document personnel nest autoris. Le sujet contient un formulaire en annexe.Pour chaque rponse, on expliquera la dmarche qui conduit au rsultat propos. Les expressions mathmatiques seront exprimes littralement avant dtre ventuellement calcules de faon numrique. EXERCICE 1 5 (Exercice inspir des annales de mdian)Considrons le signale(t)suivant : e(t) K/2 0 t a -K/2 1)utilisant les proprits de la Transforme de Laplace En 1,5 (sans passer par le calcul direct), dterminer E(p) la transforme de e(t) (faire apparatre la somme de 3 termes). On dcompose e(t) en une somme de 3 fonctions : e1(t Transforme dun chelon K 0 0 a E1(p)= −damplitude -K/2 t2p. -K/2 K Transforme dune rampe e2(t K E2p=2K( ) 0de penteap causale t a 0 a e3(t 2aTransforme dune rampe 0 t−K-ap-K 0 a E p=ecausale de pente 3( )2ap a -K dcale de "a" K K−apK K−apK D’oE(p)=2−2e− =2(1−e)−ap ap 2p ap 2p