Edhecl 2007 mathematiques classe prepa hec (ece)

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EDHEC 2007´OPTION : ECONOMIQUE´MATHEMATIQUESExercice 1tPour toute matrice M ´el´ement de M (R), on note M la matrice transpos´ee de M, d´efinie de la2 a b a ctfa¸con suivante : si M = alors M = .c d b d 1 0 0 1 0 0 0 0On pose E = , E = , E = et E =1 2 3 40 0 0 0 1 0 0 1On rappelle queB =(E ,E ,E ,E ) est une base deM (R).1 2 3 4 2tOn note ϕ l’application qui `a toute matrice M deM (R) associe ϕ(M) =M + M .21. a) Montrer que ϕ est un endomorphisme deM (R).2b) Ecrire la matrice A de ϕ dansB.c) En d´eduire que ϕ est diagonalisable et non bijectif.2 ∗ n n−12. calculer A et en d´eduire que , pour tout n deN :A = 2 A3. a) Monterr que Imϕ = Vect(E , E +E , E ), puis ´etablir que dimIm(ϕ) = 3.1 2 3 4b) En d´eduire la dimension de kerϕ puis d´eterminer une base de kerϕ.c) Etablir que Imϕ est le sous espace propre associ´e `a la valeur propre 2d) Donner ,pour r´esumer, les valeurs propres de ϕ ainsi qu’une base de chacun des sous-espaces propres associ´es.Exercice 2On admet que si Z et Z sont deux variables al´eatoires a` densit´e, d´efinies sur le mˆeme espace1 2probabilis´e, alors leur covariance, si elle existe, est d´efinie par :Cov(Z ,Z ) =E(Z Z )−E(Z )E(Z )1 2 1 2 1 2On admet ´egalement que si Z et Z sont ind´ependantes alors leur covariance est nulle.1 2Onconsid`eredeuxvariablesal´eatoiresr´eellesX etU d´efiniessurlemˆemeespaceprobabilis´e(Ω,A,P),ind´ependantes, X suivant la loi normaleN (0,1) et U suivant la loi discr`ete uniforme ...

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EDHEC 2007 ´ OPTION : ECONOMIQUE ´ MATHEMATIQUES

Exercice 1 t Pour toute matriceM´el´tdeemenM 2 (R),on noteMtrceriat´eosspanedelmaM,e´daledeinfi    a ba c t fac¸onsuivante:siM= alorsM=. c db d      1 00 10 00 0 On poseE 1 =, E 2 =, E 3 = etE 4 = 0 00 01 00 1 On rappelle queB= (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) est une base deM 2 (R). t On noteϕacilnoit`iuquotatematricelpp’aMdeM 2 (R) associeϕ(M) =M+M . 1. a)Montrer queϕest un endomorphisme deM 2 (R). b) Ecrirela matriceAdeϕdansB. c)End´eduirequeϕest diagonalisable et non bijectif. 2∗n n−1 2. calculerAtourtou,peuqeriude´dnetendeN:A= 2A 3. a)Monterr que Imϕ(= VectE 1 , E 2 +E 3 , E 4 ),uis´pilqrtebaIm(meuidϕ) = 3. b)End´eduireladimensiondekerϕpuisd´etermineurenabesedekrϕ. c) Etablirque Imϕesseltesuocapsorpelava´i`esscorpaepre2rproaleu d)Donner,pourre´sumer,lesvaleurspropresdeϕainsi qu’une base de chacun des sous- espacespropresassocie´s.

Exercice 2 On admet que siZ 1 etZ 2 a`edrisee´d,sntiablevarieatosal´pseeecaxuedtnosfin´essieleuremmˆ probabilis´e,alorsleurcovariance,sielleexiste,estde´finiepar: Cov (Z 1 , Z 2 ) =E(Z 1 Z 2 )−E(Z 1 )E(Z 2 )

Onadmete´galementquesiZ 1 etZ 2 e.eestnullvoraaicnrolsuecrntdaalesd´ineneptnos Onconsid`eredeuxvariablesal´eatoiresr´eellesXetU´e(Ωilisobabceprd´niefiemeˆapseussemelr,A,P), ind´ependantes,Xsuivant la loi normaleN(0,1) etUusvinaltlaioidscr`eteuniformesru{−1,1}. On poseY=U Xet on admet queYenavseutellairbaoire´eatnsit`adenfie´d,e´uaelleeiurisss l’espaceprobabilis´e(Ω,A,P). 1.a)Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales,montrerque:

P (Y≤x([) = PU= 1]∩[X≤x]) + P ([U=−1]∩[X≥ −x])

b)Ende´duirequeYueiqsltiueˆmaolemX. 2.a)Calculerl’esp´erancedeUpuis montrer queE(XY) = 0 b)Ende´duirequeCov(X, Y) = 0. R x √ 2 +∞ 2 2 − 1 3. a)Rappeler la valeur deE(Xuetierenqd´e)deux e= 2π 2 0 2

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