Edhecl 2007 mathematiques classe prepa hec (ece)

EDHEC 2007´OPTION : ECONOMIQUE´MATHEMATIQUESExercice 1tPour toute matrice M ´el´ement de M (R), on note M la matrice transpos´ee de M, d´efinie de la2 a b a ctfa¸con suivante : si M = alors M = .c d b d 1 0 0 1 0 0 0 0On pose E = , E = , E = et E =1 2 3 40 0 0 0 1 0 0 1On rappelle queB =(E ,E ,E ,E ) est une base deM (R).1 2 3 4 2tOn note ϕ l’application qui `a toute matrice M deM (R) associe ϕ(M) =M + M .21. a) Montrer que ϕ est un endomorphisme deM (R).2b) Ecrire la matrice A de ϕ dansB.c) En d´eduire que ϕ est diagonalisable et non bijectif.2 ∗ n n−12. calculer A et en d´eduire que , pour tout n deN :A = 2 A3. a) Monterr que Imϕ = Vect(E , E +E , E ), puis ´etablir que dimIm(ϕ) = 3.1 2 3 4b) En d´eduire la dimension de kerϕ puis d´eterminer une base de kerϕ.c) Etablir que Imϕ est le sous espace propre associ´e `a la valeur propre 2d) Donner ,pour r´esumer, les valeurs propres de ϕ ainsi qu’une base de chacun des sous-espaces propres associ´es.Exercice 2On admet que si Z et Z sont deux variables al´eatoires a` densit´e, d´efinies sur le mˆeme espace1 2probabilis´e, alors leur covariance, si elle existe, est d´efinie par :Cov(Z ,Z ) =E(Z Z )−E(Z )E(Z )1 2 1 2 1 2On admet ´egalement que si Z et Z sont ind´ependantes alors leur covariance est nulle.1 2Onconsid`eredeuxvariablesal´eatoiresr´eellesX etU d´efiniessurlemˆemeespaceprobabilis´e(Ω,A,P),ind´ependantes, X suivant la loi normaleN (0,1) et U suivant la loi discr`ete uniforme ...