HEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (s)

Description

HEC 2001, math2, option scientifiqueL’objet du probl`eme est l’´etude de quelques aspects de la th´eorie classique du risque dont lecontexte et les notations sont introduits au fur et a` mesure.∗Dans tout le probl`eme, on consid`ere deux suites de variables al´eatoires r´eelles (Δ ) etn n∈N∗(C ) , d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,B,P), v´erifiant les conditions suivantesn n∈Ni) les variables al´eatoires Δ ,Δ ,...,Δ ,...,C ,...,C ... sont ind´ependantes,1 2 n 1 nii) les variables al´eatoires Δ ,Δ ,...,Δ ,... sont strictement positives et ont toutes la mˆeme1 2 ndensit´e ´egale sur ]0,+∞[ a` la densit´e d’une variable al´eatoire exponentielle d’esp´erance ´egale a` 1,iii) les variables al´eatoiresC ,C ,...,C ,... ont toutes la mˆeme densit´e qu’une variable al´eatoire1 2 nexponentielle d’esp´erance ´egale a` c.On poseT = 0 et, pour tout entier natureln non nul, on noteT la variable al´eatoire d´efinie par0 nnXT = Δn ii=1On observera que la suite (T ) est strictement croissante et que, pour tout entier naturel n,n n∈Non a l’´egalit´e : Δ =T −T .n+1 n+1 nOn notera E(X) l’esp´erance d’une variable al´eatoire X d´efinie sur (Ω,B,P).´Partie I : Etude d’une variable al´eatoire1) Pour tout entier natureln, d´eterminer l’esp´erance et la variance de la variable al´eatoireT .n2) Soit t un r´eel positif ou nul.a) Pour tout entier naturel n strictement sup´erieur `a t, justifier l’inclusion entre ´ev´enements :[T n−t]n n`b)A l’aide de ...

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HEC 2001, math2, option scientifique L’objetduprobl`emeestl’´etudedequelquesaspectsdelathe´orieclassiquedurisquedontle contexteetlesnotationssontintroduitsaufuret`amesure. Danstoutleprobl`eme,onconsid`eredeuxsuitesdevariablesal´eatoiresre´elles(Δ n ) n∈N et ∗ (C n ) n∈N seemecapborplibaefid´esnirusuˆenmis,´e(Ω,B, Panivsunsstefiinaltseocdntioi),v´er ∗ i)lesvariablesale´atoiresΔ 1 ,Δ 2 , . . . ,Δ n , . . . , C 1 , . . . , C n . . .s,teepe´nadnnosdnit ii)lesvariablesal´eatoiresΔ 1 ,Δ 2 , . . . ,Δ n , . . .sontstrictementteouttonetesivitsopeˆemlsma densite´´egalesur]0,+∞nepoexreedllientare´pse’lage´ecnensialad’unet´edbaelavirtaiolae´e`a[1`, iii)lesvariablesal´eatoiresC 1 , C 2 , . . . , C n , . . .ttnoetuomalsemeˆenavuqu’tie´edsnoire´eatlealriab exponentielled’esp´erancee´gale`ac. On poseT 0 = 0 et, pour tout entier naturelnnon nul, on noteT n rapiirataoreeaabl´liefin´aevedl n X T n = Δ i i=1 On observera que la suite (T n ) n∈N est strictement croissante et que, pour tout entier natureln, onal’´egalite´:Δ n+1 =T n+1 −T n . On noteraE(Xetoirl´ealbaeraainuveec’danerp´esl’)Xefinid´ruseΩ(,B, P). ´ PartieI:Etuded’unevariableal´eatoire 1)Pour tout entier natureln,d´eterirepse´arcnimenlre’nciaeledtleearav´laeotaeravalbaiT n . 2)Soittunr.nuluitofopise´le a)Pour tout entier naturelnemtnus´preeirua`etcirtst,justifierl’incloisutnene´erne´venem:ts [T n < t]⊂[|T n −n|>n−t] ` b)A’ldel’aidegaliin´eeiBede´tT-e´myanheycebchedd´env,murlelidereuivalaP([T n < t]). n→+∞ +∞ \ c)[nete´´vnemeirequel’End´eduT k < t.ellune´tilibaobprdest]e k=1 ´ 3)Soitt´nno´nuee´letnemnadt.tEnuluitofposi´eelunrωde Ω, on noteN(t)(ω) le plus grand´el´ementdel’ensemble{n∈N/T n (ω)6t}(qui contient 0) si cet ensemble est fini, et N(t)(ω) = 0 sinon. On observera que, pour tout entier naturelnnon nul,N(ta`lage´tse)nsi et seulement si : T n 6t < T n+1 . Montrer que l’applicationN(tiravelbase)enuttaiolae´eeller´rrifiaev´ent: P([N(t) = 0]) =P([T 1 > t]) . 4)a)Pour tout entier naturelndiolvaleairaaelbeal´irtoennounl,reconnaˆıtrelaT n . b)SoittleaturierntentrtouuoP.fitisoptnemectristel´enruntsfii,lujnounnt´lie:l’erga´e n Z X k− t t n te (t−u) −t u 1 =+ ee du k!n! 0 k=0 n X k−t te Ende´duirel’´egalite´:P([N(t)6n]) = k! k=0 c)uortuotrPe´letounuitifconnl,reepsoiaareableal´irtotıˆaalerdiolvaleN(t). ´ PartieII:Etudedelaprobabilit´ed’ˆetreende´ficitapre`slepremieroulesecondsinistre Danscettepartieonconsid`eredeuxre´elsaetr,rlottu´reeitisoptnruop,teftsanet´meteictr N(t) X positift, on noteK a (t)lave´:latirlpaeg’´´eediefinae´lriotairaaelbK a (t) =a+rt−C i en i=1 N(t) X convenant que la sommeC i est nulle lorsqueN(t) est nul. i=1