HEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (s)

HEC 2001, math2, option scientifiqueL’objet du probl`eme est l’´etude de quelques aspects de la th´eorie classique du risque dont lecontexte et les notations sont introduits au fur et a` mesure.∗Dans tout le probl`eme, on consid`ere deux suites de variables al´eatoires r´eelles (Δ ) etn n∈N∗(C ) , d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,B,P), v´erifiant les conditions suivantesn n∈Ni) les variables al´eatoires Δ ,Δ ,...,Δ ,...,C ,...,C ... sont ind´ependantes,1 2 n 1 nii) les variables al´eatoires Δ ,Δ ,...,Δ ,... sont strictement positives et ont toutes la mˆeme1 2 ndensit´e ´egale sur ]0,+∞[ a` la densit´e d’une variable al´eatoire exponentielle d’esp´erance ´egale a` 1,iii) les variables al´eatoiresC ,C ,...,C ,... ont toutes la mˆeme densit´e qu’une variable al´eatoire1 2 nexponentielle d’esp´erance ´egale a` c.On poseT = 0 et, pour tout entier natureln non nul, on noteT la variable al´eatoire d´efinie par0 nnXT = Δn ii=1On observera que la suite (T ) est strictement croissante et que, pour tout entier naturel n,n n∈Non a l’´egalit´e : Δ =T −T .n+1 n+1 nOn notera E(X) l’esp´erance d’une variable al´eatoire X d´efinie sur (Ω,B,P).´Partie I : Etude d’une variable al´eatoire1) Pour tout entier natureln, d´eterminer l’esp´erance et la variance de la variable al´eatoireT .n2) Soit t un r´eel positif ou nul.a) Pour tout entier naturel n strictement sup´erieur `a t, justifier l’inclusion entre ´ev´enements :[T n−t]n n`b)A l’aide de ...