CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2005La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICE.nDans cet exercice,n est un entier supØrieur ou Øgal à 2. On noteE el space vectoriel R et Id apl plication identitØde E.L objet de l exercice est l Øtude des endomorphismes f de E vØri ant l’Øquation () :f f = 4IdA. Étude du cas n=2. p 1 12Soit f l endomorphisme de R dont la matrice dans la base canonique est : A = 21 1p 2 22 pSoit u le vecteur deR dØ…ni par u = .21. Montrer que f vØri e l’Øquation (), puis prØciser le noyau et l’image de f.2. On note F = ker(f 2Id) et G = Im(f 2Id):(a) Montrer que G est engendrØ par le vecteur u. En dØduire la dimension de F et donner une base de F.(b) VØri…er que G est le sous-espace propre de f associØ à la valeur propre 2.3. Montrer que f est diagonalisable; ...
CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE. n Dans cet exercice,nOn noteest un entier supérieur ou égal à 2.Elespace vectorielRetIdlapplication identité deE. Lobjet de lexercice est létude des endomorphismesfdeEvériant léquation() :ffId= 4
A. Étude du casn= 2. p 1 1 2 Soitflendomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique est :A= 2 11 p 22 2 p Soitule vecteur deRdéni paru=. 2
1. Montrerquefvérie léquation(), puis préciser le noyau et limage def.
2. OnnoteF= ker(f2 Id)etG(= Imf2Id):
(a) MontrerqueGest engendré par le vecteuru. Endéduire la dimension deFet donner une base deF. (b) VérierqueGest le sous-espace propre defassocié à la valeur propre2.
3. Montrerquefest diagonalisable; préciser les valeurs propres defet donner la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.