Mathématiques 2003 Ecoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes

Description

Concours du Supérieur Ecoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2003

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
• Nombre de lectures: 78
• Langue: Français

Extrait

~}| {zy x

w y jy y v y y u t y y y s

qW V U S q i W q p S S TW U q av r Tv a T S i rp V W sv r ` Sp q uS p W U s q r a q p S p i q i S ` r T s V i r T r o i y y y y y j y y y y n y y y m y jy y y y y x i yy y y yy y y y l y y k y j y jy y y y j y y x i e f e h f e g f e d yy y y y y y y y y y y x w p S v a U uS i uS t i s W q T r U q p i h

b b e g Y fa b b e d Y S V c b b X W a ` Y X W V S U T S R Q E D P ID H G F E D A C B A @ 9 ) 0 8 7 4 3 6 ) 5 4 3 ) 2 ) 1 0 ) ( '

& ! # ! % # $ ! # " ! ©¨¨§ ¢ £ ¦ ¦ ¡   ¥ ¤ £ ¡   ¢ ¡  

´ ` CONCOURS COMMUN 2003 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Probl`me 1 e
Partie I
Notons f : t ∈ R → et . Il est clair que f est d´finie R entier, et que cette fonction est de classe e 1 + t2 ∞ C . Nous noterons Cf la courbe repr´sentative de f . e 1. – Quelle est la limite de f (t) lorsque t tend vers −∞ ? 2. – Qu’en d´duisez-vous au sujet de Cf ? e 3. – Compl´tez chacune des phrases suivantes au moyen de l’une des locutions est ´quivalent ` , e e a est n´gligeable devant , est domin´ par : e e f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et lorsque t tend vers +∞ et lorsque t tend vers +∞ f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t t e f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 lorsque t tend vers +∞ t Lorsque plusieurs r´ponses sont acceptables, vous donnerez la plus pr´cise. Bien entendu, vous e e justifierez votre choix. 4. – Quelle est la limite de f (t) lorsque t tend vers +∞ ? 5. – Explicitez f (t). 6. – Dressez le tableau des variations de f . 7. – Explicitez f (t). 8. – Montrez que l’´quation f (t) = 0 poss`de deux solutions r´elles : l’une est ´vidente, l’autre sera e e e e not´e α. Vous ne chercherez pas ` calculer α. e a 1 9. – Prouvez l’encadrement − < α < 0. 5 10. – Explicitez le d´veloppement limit´ de f ` l’ordre 3 au voisinage de 0. Que pouvez-vous en e e a d´duire concernant Cf ? e e 11. – Tracez la courbe repr´sentative de f . Vous pr´ciserez son allure au voisinage du point e d’abscisse 1.

Partie II
Au vu des expressions de f (t), f (t) et f (t), nous nous proposons d’´tablir que l’assertion A(n) e suivante est vraie pour tout n ∈ N : Il existe un polynˆme Pn tel que f (n) (t) = o Pn (t)et pour tout t ∈ R (1 + t2 )n+1

Vous allez raisonner par r´currence sur n. e Remarque : vous pouvez confondre polynˆme et fonction polynomiale. o 12. – Il est clair que A(n) est vraie pour n ∈ {0,1,2} ; vous dresserez simplement un tableau donnant l’expression de Pn pour ces valeurs de n. ´ 13. – Fixons n ∈ N, et supposons l’assertion A(n) acquise. Etablissez l’assertion A(n + 1) ; vous d´terminerez l’expression de Pn+1 en fonction de Pn et Pn . e Il r´sulte donc des questions 12 et 13 que l’assertion A(n) est vraie pour tout n ∈ N. e 14. – Montrez que Pn a tous ses coefficients dans Z. 15. – Pr´cisez le degr´ et le coefficient dominant de Pn . e e 16. – Donnez une expression simple de cn = Pn (i), o` i est le nombre complexe de module 1 et u π d’argument . 2

´ Epreuve de Math´ matiques (toutes fili` res) e e

Page 2/4

´ ` CONCOURS COMMUN 2003 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Partie III
x

Notons F : x ∈ R →

f (t) dt. Ainsi, F est la primitive de f qui s’annule en 0.
0

17. – Quel est le sens de variation de F ? 18. – Montrez que F (x) poss`de une limite e a ` expliciter cette limite. 19. – Prouvez l’encadrement −1 0. finie lorsque x tend vers −∞. Vous ne chercherez pas

20. – Donnez une ´quation de la tangente ` la courbe repr´sentative de F , au point d’abscisse 0. e a e a 21. – Explicitez le d´veloppement limit´ de F ` l’ordre 4 au voisinage de 0. e e

Nous nous proposons d’´tudier le comportement de F (x) lorsque x tend vers +∞. Nous noterons e x t x t x t e e te dt et L(x) = dt. dt, K(x) = J(x) = 4 (1 + t2 )2 t3 1 t 1 1 22. – Prouvez l’existence d’une constante A telle que F (x) = f (x) + A + 2J(x) pour tout r´el x. e 1, placez les uns par rapport aux autres les r´els 0, J(x) et K(x). e 24. – Avec une int´gration par parties soigneusement justifi´e, montrez que K(x) − 3L(x) est e e ex n´gligeable devant 2 lorsque x tend vers +∞. e x 25. – En d´coupant l’intervalle [1, x] sous la forme [1, x3/4 ] ∪ [x3/4 , x], montrez que L(x) est e ex n´gligeable devant 2 lorsque x tend vers +∞. e x 26. – En d´duire un ´quivalent simple de F (x) lorsque x tend vers +∞. e e 23. – Pour x 27. – Exploitez les r´sultats des questions 17, 19, 20 et 26 pour donner l’allure de la courbe e repr´sentative de F . e

Probl`me 2 e
Partie I
Notons E le R-espace vectoriel des applications de R dans R de classe C ∞ et D : f ∈ E → f . Il est clair que D est un endomorphisme de E. √ √ t 3 t 3 −t/2 et f3 : t ∈ R → e . Nous noterons cos Soient f1 : t ∈ R → e , f2 : t ∈ R → e sin 2 2 B = (f1 , f2 , f3 ) et G le sous-espace vectoriel de E engendr´ par B. e
t −t/2

1. – D´terminez le noyau et l’image de D. e

e Nous allons montrer que B est une famille libre de vecteurs de E. Soient a, b et c des r´els tels que af1 + bf2 + cf3 soit la fonction nulle. 2. – L’´tudiante Antoinette observe que af1 (t) + bf2 (t) + cf3 (t) = 0 pour tout r´el t. Elle choisit e e (adroitement) trois valeurs de t, obtient un syst`me de trois ´quations aux trois inconnues a, b et c, e e qu’elle r´sout ; il ne lui reste plus qu’` conclure. Faites comme elle ! e a 3. – L’´tudiante Lucie propose d’exploiter le d´veloppement limit´ ` l’ordre 2 de la fonction af1 + e e ea bf2 + cf3 au voisinage de 0. Faites comme elle ! 4. – L’´tudiante Nicole d´cide de s’int´resser au comportement de af1 (t) + bf2 (t) + cf3 (t) lorsque t e e e tend vers +∞. Faites comme elle ! La famille B est donc une base de G, et ce sous-espace est de dimension 3. 5. – Montrez que G est stable par D. Nous noterons D l’endomorphisme de G induit par D. 6. – D´terminez la matrice M de D dans la base B. e
´ Epreuve de Math´ matiques (toutes fili` res) e e Page 3/4

´ ` CONCOURS COMMUN 2003 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

7. – Calculez M3 . 8. – Montrez que M est inversible, et explicitez son inverse M−1 . 9. – Montrez que D est un automorphisme de G. 10. – Exprimez (D)−1 en fonction de D.

Partie II
Soient g et h deux ´l´ments de G. D´finissons ϕ(g, h) = g(0)h(0) + g (0)h (0) + g (0)h (0). ee e e 11. – Dressez un tableau ` trois lignes et quatre colonnes ; pour 1 i 3, la ligne i pr´sentera les a valeurs de i, fi (0), fi (0) et fi (0) dans cet ordre. Vous ne ferez pas apparaˆ le d´tail des calculs ıtre e sur votre copie. 12. – Montrez que ϕ est un produit scalaire sur G. 13. – La base B est-elle orthogonale ? 14. – La base B est-elle orthonorm´e ? e

Partie III
Nous nous int´ressons dans cette partie ` l’´quation diff´rentielle y = y, que nous noterons (E). Une e a e e solution sur R de (E) est une fonction f d´finie et trois fois d´rivable sur R, v´rifiant f (t) = f (t) e e e pour tout t ∈ R. 15. – Montrez que toute solution f de (E) est de classe C ∞ . 16. – Montrez que la fonction nulle est la seule solution polynomiale de (E).

Notons T = D3 − Id, o` Id est l’identit´ de E, et D3 = D ◦ D ◦ D. Le noyau de T est donc l’ensemble u e des solutions de (E). 17. – Montrez que G est contenu dans le noyau de T. Nous allons ´tablir l’inclusion inverse ; ainsi, G sera exactement l’ensemble des solutions de (E). Soit e f une solution de (E) ; nous noterons g = f + f + f . 18. – Montrez que g est solution de l’´quation diff´rentielle y = y. e e 19. – D´crivez rapidement l’ensemble des solutions de l’´quation diff´rentielle y − y = 0. e e e 20. – R´solvez l’´quation diff´rentielle y + y + y = 0 ; vous donnerez une base de l’ensemble des e e e solutions. 21. – Soit λ ∈ R. D´crivez l’ensemble des solutions de l’´quation diff´rentielle y + y + y = λet . e e e

22. – Et maintenant, concluez !

FIN

´ Epreuve de Math´ matiques (toutes fili` res) e e

Page 4/4