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Mathématiques 2003 Ecoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes

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Concours du Supérieur Ecoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.
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´ ` CONCOURS COMMUN 2003 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Probl`me 1 e
Partie I
Notons f : t ∈ R → et . Il est clair que f est d´finie R entier, et que cette fonction est de classe e 1 + t2 ∞ C . Nous noterons Cf la courbe repr´sentative de f . e 1. – Quelle est la limite de f (t) lorsque t tend vers −∞ ? 2. – Qu’en d´duisez-vous au sujet de Cf ? e 3. – Compl´tez chacune des phrases suivantes au moyen de l’une des locutions est ´quivalent ` , e e a est n´gligeable devant , est domin´ par : e e f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et lorsque t tend vers +∞ et lorsque t tend vers +∞ f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t t e f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 lorsque t tend vers +∞ t Lorsque plusieurs r´ponses sont acceptables, vous donnerez la plus pr´cise. Bien entendu, vous e e justifierez votre choix. 4. – Quelle est la limite de f (t) lorsque t tend vers +∞ ? 5. – Explicitez f (t). 6. – Dressez le tableau des variations de f . 7. – Explicitez f (t). 8. – Montrez que l’´quation f (t) = 0 poss`de deux solutions r´elles : l’une est ´vidente, l’autre sera e e e e not´e α. Vous ne chercherez pas ` calculer α. e a 1 9. – Prouvez l’encadrement − < α < 0. 5 10. – Explicitez le d´veloppement limit´ de f ` l’ordre 3 au voisinage de 0. Que pouvez-vous en e e a d´duire concernant Cf ? e e 11. – Tracez la courbe repr´sentative de f . Vous pr´ciserez son allure au voisinage du point e d’abscisse 1.

Partie II
Au vu des expressions de f (t), f (t) et f (t), nous nous proposons d’´tablir que l’assertion A(n) e suivante est vraie pour tout n ∈ N : Il existe un polynˆme Pn tel que f (n) (t) = o Pn (t)et pour tout t ∈ R (1 + t2 )n+1

Vous allez raisonner par r´currence sur n. e Remarque : vous pouvez confondre polynˆme et fonction polynomiale. o 12. – Il est clair que A(n) est vraie pour n ∈ {0,1,2} ; vous dresserez simplement un tableau donnant l’expression de Pn pour ces valeurs de n. ´ 13. – Fixons n ∈ N, et supposons l’assertion A(n) acquise. Etablissez l’assertion A(n + 1) ; vous d´terminerez l’expression de Pn+1 en fonction de Pn et Pn . e Il r´sulte donc des questions 12 et 13 que l’assertion A(n) est vraie pour tout n ∈ N. e 14. – Montrez que Pn a tous ses coefficients dans Z. 15. – Pr´cisez le degr´ et le coefficient dominant de Pn . e e 16. – Donnez une expression simple de cn = Pn (i), o` i est le nombre complexe de module 1 et u π d’argument . 2

´ Epreuve de Math´ matiques (toutes fili` res) e e

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Partie III
x

Notons F : x ∈ R →

f (t) dt. Ainsi, F est la primitive de f qui s’annule en 0.
0

17. – Quel est le sens de variation de F ? 18. – Montrez que F (x) poss`de une limite e a ` expliciter cette limite. 19. – Prouvez l’encadrement −1 0. finie lorsque x tend vers −∞. Vous ne chercherez pas

20. – Donnez une ´quation de la tangente ` la courbe repr´sentative de F , au point d’abscisse 0. e a e a 21. – Explicitez le d´veloppement limit´ de F ` l’ordre 4 au voisinage de 0. e e

Nous nous proposons d’´tudier le comportement de F (x) lorsque x tend vers +∞. Nous noterons e x t x t x t e e te dt et L(x) = dt. dt, K(x) = J(x) = 4 (1 + t2 )2 t3 1 t 1 1 22. – Prouvez l’existence d’une constante A telle que F (x) = f (x) + A + 2J(x) pour tout r´el x. e 1, placez les uns par rapport aux autres les r´els 0, J(x) et K(x). e 24. – Avec une int´gration par parties soigneusement justifi´e, montrez que K(x) − 3L(x) est e e ex n´gligeable devant 2 lorsque x tend vers +∞. e x 25. – En d´coupant l’intervalle [1, x] sous la forme [1, x3/4 ] ∪ [x3/4 , x], montrez que L(x) est e ex n´gligeable devant 2 lorsque x tend vers +∞. e x 26. – En d´duire un ´quivalent simple de F (x) lorsque x tend vers +∞. e e 23. – Pour x 27. – Exploitez les r´sultats des questions 17, 19, 20 et 26 pour donner l’allure de la courbe e repr´sentative de F . e

Probl`me 2 e
Partie I
Notons E le R-espace vectoriel des applications de R dans R de classe C ∞ et D : f ∈ E → f . Il est clair que D est un endomorphisme de E. √ √ t 3 t 3 −t/2 et f3 : t ∈ R → e . Nous noterons cos Soient f1 : t ∈ R → e , f2 : t ∈ R → e sin 2 2 B = (f1 , f2 , f3 ) et G le sous-espace vectoriel de E engendr´ par B. e
t −t/2

1. – D´terminez le noyau et l’image de D. e

e Nous allons montrer que B est une famille libre de vecteurs de E. Soient a, b et c des r´els tels que af1 + bf2 + cf3 soit la fonction nulle. 2. – L’´tudiante Antoinette observe que af1 (t) + bf2 (t) + cf3 (t) = 0 pour tout r´el t. Elle choisit e e (adroitement) trois valeurs de t, obtient un syst`me de trois ´quations aux trois inconnues a, b et c, e e qu’elle r´sout ; il ne lui reste plus qu’` conclure. Faites comme elle ! e a 3. – L’´tudiante Lucie propose d’exploiter le d´veloppement limit´ ` l’ordre 2 de la fonction af1 + e e ea bf2 + cf3 au voisinage de 0. Faites comme elle ! 4. – L’´tudiante Nicole d´cide de s’int´resser au comportement de af1 (t) + bf2 (t) + cf3 (t) lorsque t e e e tend vers +∞. Faites comme elle ! La famille B est donc une base de G, et ce sous-espace est de dimension 3. 5. – Montrez que G est stable par D. Nous noterons D l’endomorphisme de G induit par D. 6. – D´terminez la matrice M de D dans la base B. e
´ Epreuve de Math´ matiques (toutes fili` res) e e Page 3/4

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7. – Calculez M3 . 8. – Montrez que M est inversible, et explicitez son inverse M−1 . 9. – Montrez que D est un automorphisme de G. 10. – Exprimez (D)−1 en fonction de D.

Partie II
Soient g et h deux ´l´ments de G. D´finissons ϕ(g, h) = g(0)h(0) + g (0)h (0) + g (0)h (0). ee e e 11. – Dressez un tableau ` trois lignes et quatre colonnes ; pour 1 i 3, la ligne i pr´sentera les a valeurs de i, fi (0), fi (0) et fi (0) dans cet ordre. Vous ne ferez pas apparaˆ le d´tail des calculs ıtre e sur votre copie. 12. – Montrez que ϕ est un produit scalaire sur G. 13. – La base B est-elle orthogonale ? 14. – La base B est-elle orthonorm´e ? e

Partie III
Nous nous int´ressons dans cette partie ` l’´quation diff´rentielle y = y, que nous noterons (E). Une e a e e solution sur R de (E) est une fonction f d´finie et trois fois d´rivable sur R, v´rifiant f (t) = f (t) e e e pour tout t ∈ R. 15. – Montrez que toute solution f de (E) est de classe C ∞ . 16. – Montrez que la fonction nulle est la seule solution polynomiale de (E).

Notons T = D3 − Id, o` Id est l’identit´ de E, et D3 = D ◦ D ◦ D. Le noyau de T est donc l’ensemble u e des solutions de (E). 17. – Montrez que G est contenu dans le noyau de T. Nous allons ´tablir l’inclusion inverse ; ainsi, G sera exactement l’ensemble des solutions de (E). Soit e f une solution de (E) ; nous noterons g = f + f + f . 18. – Montrez que g est solution de l’´quation diff´rentielle y = y. e e 19. – D´crivez rapidement l’ensemble des solutions de l’´quation diff´rentielle y − y = 0. e e e 20. – R´solvez l’´quation diff´rentielle y + y + y = 0 ; vous donnerez une base de l’ensemble des e e e solutions. 21. – Soit λ ∈ R. D´crivez l’ensemble des solutions de l’´quation diff´rentielle y + y + y = λet . e e e

22. – Et maintenant, concluez !

FIN

´ Epreuve de Math´ matiques (toutes fili` res) e e

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