Mathématiques 2004 TELECOM Management

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Examen du Supérieur TELECOM Management. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
• Nombre de lectures: 96
• Langue: Français

Extrait

INT-MANAGEMENT 2004

L’ÉnoncÉ comporte deux problÈmes indÉpendants. Ils doivent tre rÉdigÉs sur des copies sÉparÉes.

ProblÈme.

PremiÈre partie.

ite rell ∗ dfinie par : 1) Onconsidre la sueu= ( u n ) n∈N n Z n X 1dx ∗ ∀n∈N, u n = √ √ −. p 1 x p=1 a) Ètudierle sens de variation de la suiteu. b) Montrerque la suiteuest convergente vers un relLque l’on ne cherchera pas À calculer. n X 1 c) Endduire un quivalent de √ lorsquentend vers plus l’infini. p p=1 2) Soitla suitev= ( v n ) dfiniepar : n∈N i h π v 0 ∈0,∀n∈N, v n+1 =sinv n . 2 a) Ètudierle sens de variation de la suitev. b) Montrerque la suitevest convergente vers un rel que l’on prcisera. α α c) Dterminerun relαtel que la suite de terme gnralv−vconverge vers un n+1 n rel non nul. d) Onadmettra le thorme de Csaro, À savoir :  ! n X 1 Pour toute suite rellewconvergente vers un relllimon aw k =l. n→+∞ n k=1 A l’aide du thorme de Csaro, montrer que : r 3 v n ∼. n→+∞ n 3) Ondfinit la suitespar : n X ∗ ∀n∈N, s n =v p . p=1 a) Dterminerla limite des n lorsquentend vers plus l’infini.

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r 3 b)αremarquant que) Env n quivaut Àquandntend vers plus l’infini, montrer n que, pour tout relεstrictement positif, il existe un entier naturelNtel que, pour tout entier naturelnstrictement suprieur ÀNon ait : s ! n X 3 −v p p p=N+1 < ε. s n   s n X 3 βdduire que) Ens n quandquivaut Àntend vers plus l’infini. p p=1 γ) Dterminerun quivalent simple des n lorsquentend vers plus l’infini.

DeuxiÈme partie. P P n n On considre deux sries entires rellesa n xetb n xde mme rayon de conver- gence gal À 1 et vrifiant les proprits suivantes :  ∀n∈N,a n >0 etb n >0.  a n ∼b n . n→+∞  P la sriea n diverge. +∞+∞ X X n n On note :∀x∈ ] −1,1[,f(x)=a n xetg ( x ) =b n x . n=0n=0 1) a)Montrer quefest croissante sur ]0,1[. b) Montrerque limf ( x ) =+∞. x→1 x<1 2) a)En remarquant quea n quivaut Àb n lorsque l’entier naturelntend vers plus l’infini, montrer que, pour tout relεstrictement positif, il existe un entier naturel Ntel que, pour tout relxappartenant À l’intervalle ]0,1[ on ait : +∞ X n ( b n −a n ) x6εf ( x )  n=N+1 N X n ( b n −a n ) x n=1 b) Enutilisant la question II) 1) b), dterminer la limite dequandx f ( x ) tend vers 1 par valeurs infrieures. c) Endduire quef ( x) est quivalent Àg ( x) lorsquextend vers 1 par valeurs inf- rieures.

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TroisiÈme partie.

P n On considre la srie entire rellev n xoÙvest la suite dfinie dans la partie I ) question 2), on noteraVl’application dfinie sur ]−1,1[ par :

+∞ X n ∀x∈ ] −1,1[, V ( x ) =v n x . n=0 1) a)Montrer queVest bien dfinie. b) OnnoteWl’application dfinie sur ]−1,1[ par : +∞ X n x ∀x∈ ] −1,1[, W ( x ) = √ . n n=1 Montrer queWest bien dfinie et que : √ V ( x ) ∼W ( x) 3. x→1 1 2) Onpose pour toutxde ]0,1[,h ( x ) = p . x(1−x )   1 1 a) Montrerque l ’applicationx7→ p est intgrable sur l’intervalle0, , 2 x(1−x ) Z 1 2 dx calculer l’intgrale p . 0 x(1−x ) b) Montrerque : " #   +∞n−1 X X k 2 1 n ∀x∈ ] −1,1[, [ W ( x )] =h x. n n n=2 k=1 c) Onnotera : n−1   X 1k ∀n>2, H n =h . n n k=1 α) Montrerque : " # m−1    X 1k1 ∀m>1, H 2m =2h+h . 2m2m2 k=1 βque :) Montrer " # m   X 2k ∀m>1, H 2m+1 =h . 2m+ 12m+ 1 k=1

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γ) En encadrant avec soinH 2m etH 2m+1 , dterminer les limites deH 2m et H 2m+1 lorsquemtend vers plus l’infini. 3) Dduiredes questions prcdentes un quivalent simple deW ( x) puis deV ( x) lorsque xtend vers 1.

QuatriÈme partie.

Soitkl’application dfinie sur [0,1] par :   1 ∀t∈0, ,k ( t ) =0. e   1 1 ∀t∈,1, k ( t ) =. e t On admettra la proprit (K) : 2 ∀ε >0, il existe un couple (P, Q ) ∈ ( R [ X]) telque : Z Z 1 1 ∀x∈[0,1], P ( x ) 6k ( x ) 6Q ( x ) , ( k ( x ) −P ( x )) dx6ε , ( Q ( x ) −k ( x )) dx6ε. 0 0 X n On considre une srie entire rellec n xde rayon de convergence gal À 1 telle que : +∞ X 1 n ∀n>0, c n >0 etc n x∼. 1−x x→1 n=0 +∞ X n On noteraF ( x ) =c n xpourx∈]0,1[. n=0 1) a)Montrer que : +∞ X 1 n+np ∀p∈N,lim (1−x ) c n x=. p+ 1 x→1 n=0 b) Endduire que : +∞ Z X 1 n n ∀R∈R [ X ] ,lim (1−x ) c n x R ( x ) =R ( t ) dt. x→1 0 n=0 2) Enutilisant la proprit (K), montrer que : +∞ Z 1 X n n lim (1−x ) c n x k ( x ) =k ( t ) dt. x→1 0 n=0 1 − ∗ 3) Enposantx=eavecN∈N, montrer que : N N X c n ∼N. N→+∞ n=0

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X n 4) Soitune srie entire relled n xde rayon de convergence gal À 1 telle que : +∞ X 1 n ∀n>0, d n >0et d n x ∼ √ . x→1 1−x n=0 a) Donnerun exemple de srie de terme gnrald n remplissant les conditions pr- cdentes . n n X X b) Onnote ,∀n∈N, T n =d p ete n =d k d n−k . p=0 k=0 αutilisant les questions prcdentes, montrer que :) En N X e n ∼N. N→+∞ n=0 β) Montrerque pour tout entier naturelN: N2N X X 2 e n 6T6e n . N n=0n=0 √ γdduire que) EnT n =O ( n) quandntend vers plus l’infini. h i √ T n δ) Montrerque s’il existeλ∈Rtel quelim √ =λalorsλ∈1,2 . n→+∞ n

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Exercice.

SoitEunCespace vectoriel de dimension finien >0 etuune application linaire de L ( E). 2 1) Onsuppose queuest un automorphisme deEtel queusoit diagonalisable. a) Rappeler une condition ncessaire et suffisante concernant les proprits d’un 2 polynÔme annulateur deu. b) Montrerqueuest diagonalisable. 2) Soitvun automorphisme deEdiagonalisable À valeurs propres strictement positives. a) Onsuppose qu’il existe un automorphismeudeE, À valeurs propres strictement 2 positives tel queu=v. α) Montrerque les sous-espaces propres devsont stables paru. β) Montrerque la restriction de l’automorphismeuÀ tout sous-espace propre de vest diagonalisable. γ) Soitλune valeur propre strictement positive dev, montrer que le sous-espace propre devassoci À la valeur propreλ,est gal au sous-espace propre deu √ associ À la valeur propreλ. δdduire que) Enuest unique . b) Montrerl’existence d’un automorphismeudeE, À valeurs propres strictement 2 positives, telqueu=v. c) Soitul’unique automorphisme À valeurs propres strictement positives vrifiant 2 u=v,montrer qu’il existe un polynÔmePÀ coefficients complexes tel que l’on ait :u=P ( v). 2 3) Onsupposeudiagonalisable, dterminer une condition ncessaire et suffisante pour queusoit diagonalisable. 4) Plusgnralement, soitPun polynÔme À coefficients complexes tel queP ( u) soit dia- 0 gonalisable, on suppose que toute racine complexe du polynÔme drivPn’est pas valeur propre de l’endomorphismeP ( u ) .Montrer queuest diagonalisable.

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