CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE. n Dans cet exercice,nOn noteest un entier supérieur ou égal à 2.Elespace vectorielRetIdlapplication identité deE. Lobjet de lexercice est létude des endomorphismesfdeEvériant léquation() :ffId= 4
A. Étude du casn= 2. p 1 1 2 Soitflendomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique est :A= 2 11 p 22 2 p Soitule vecteur deRdéni paru=. 2
1. Montrerquefvérie léquation(), puis préciser le noyau et limage def.
2. OnnoteF= ker(f2 Id)etG(= Imf2Id):
(a) MontrerqueGest engendré par le vecteuru. Endéduire la dimension deFet donner une base deF. (b) VérierqueGest le sous-espace propre defassocié à la valeur propre2.
3. Montrerquefest diagonalisable; préciser les valeurs propres defet donner la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.
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B. Étude du cas général. On se place désormais dans le cas oùnest supérieur ou égal à2, et on considère un endomorphismefdeE vériant léquation().
1 1. (a)Justier quefest un automorphisme deEet exprimer lautomorphisme réciproquefen fonction de f: (b) Déterminerles valeurs propres possibles def. (c) Vérierque2 Idet2 Idsatisfont léquation(). On suppose dans la suite de lexercice quef6Id= 2f etf6=2 Idet on noteF(= kerf2 Id)et G(= Imf2Id):
(a) Exprimer(f2 Id) (x)en fonction dexuniquement. En déduire quexappartient àG, puis queG(= kerf+ 2 Id) (b) Montrerquefest diagonalisable.
PROBLÈME. Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On considère une urne blanche contenantnboules blanches numérotées de 1 ànet une urne noire contenant nboules noires numérotées de 1 àn, dans lesquelles on e¤ectue des suites de tirages.À chaque tirage, on tire simultanément et au hasard une boule de chaque urne.On obtient ainsi à chaque tirage, deux boules, une blanche et une noire. On dira quon a obtenu une paire lors dun tirage, si la boule blanche et la boule noire tirées portent le même numéro.
Partie I. Tirages avec remise 1. Danscette question, on e¤ectue les tirages avec remise jusquà ce que lon obtienne pour la première fois une paire.
(a) Préciserlespace probabilisé(; A; P)qui modélise cette expérience. (b) OnnoteYla variable aléatoire égale au nombre de tirages (de deux boules) e¤ectués. Déterminer la loi deY; donner son espérance et sa variance. 2. Écrireen Pascal une fonction dont len-tête estpgrml (n :integer): integerqui modélise lexpérience précédente. 3. Danscette question, on suppose quen= 2e¤ectue des tirages avec remise jusquà ce que lon obtienne. On pour la première fois la boule blanche numérotée 1.On noteUla variable aléatoire égale au nombre de tirages e¤ectués, etZla variable aléatoire égale au nombre de paires obtenues à lissue de ces tirages. (a) Calculer,pour toutkdeN,P(U=k). En déduire la probabilité que lon nobtienne jamais la boule blanche numéro 1. Reconnaître la loi deU. (b) Déterminerla loi conjointe du couple(U; Z).
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` +1 P1 ` (c) Montrerque, pour toutkdeN,P(Z=k) = k 4 `=k (d) CalculerP(Z= 1). 1 Montrer queP(Z= 0) = 3 (e) Enutilisant la formule dite du triangle de Pascal et le résultat de la question c) pourk=i+ 1, justier, pour toutideN, légalité : 1 1 P(Z=i+ 1) =P(Z=i+ 1) +P(Z=i) 4 4 (f) Endéduire la loi deZ.
Partie II. Tirages sans remise. Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans les deux urnes, jusquà ce que les urnes soient vides.On noteXnle nombre de paires obtenues à lissue desntirages.
A. Étude de cas particuliers. 1. Déterminerla loi deX1: 2. Onsuppose dans cette question quen= 2. Combien y a-t-il de résultats possibles ?Quelles sont les valeurs prises parX2? On précisera pour chaque valeur prise parX2, lensemble des événements élémentaires permettant de lobtenir. En déduire la loi deX2.
B. Étude du cas général. On se place dans le cas oùnest un entier naturel non nul.
1. (a)Décrire luniversdes événements observables. (b) Déterminerle nombre total de suites de tirages possibles. (c) Déterminerlensemble des valeurs prises parXn. Pour tout entier naturelk, on notea(n; k)le cardinal def!2jXn(!) =kg. Parconvention,a(0;0) = 1. n P 2. (a)Préciser la valeur dea(n; j) j=0 (b) Déterminera(n; n)eta(n; n1). 3. (a)Justier, pour tout entierjtel que06j6n, légalité suivante : a(n; j)n a(nj;0) = n!j(nj)! En déduire la relation : n X n a(j;0) =n! j j! j=0 Donner lexpression dea(n;0)en fonction des nombres(a(j;0)) 06j6n1 (b) Soitkun entier compris entre1etnetiun entier compris entre0etk1. j kk ki Justier légalité :=, puis montrer que i ji ji k X j k j (1) =0 i j j=i
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En déduire la valeur de la somme : k1 X j k j (1) i j j=i 4. (a)Soitkun entier tel que16k6n. On suppose que, pour tout entierjcompris entre0etk1, on a leskégalités : j X j ji a(j;0) =j! (1)i! i i=0 Montrer légalité : k X k ki a(k;0) =k! (1)i! i i=0 (On pourra utiliser lexpression, pourn=k, dea(n;0)trouvée dans la question3.a) (b) Endéduire, pour tout entier naturel non nulk, la valeur dea(k;0). (c) Déterminerlensemble des valeurs prises parXnet exprimer la loi deXnà laide dune somme.
Partie III. Tirages mixtes Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans lurne blanche et avec remise dans lurne noire, jusquà ce que lurne blanche soit vide.On noteXn, le nombre de paires obtenues à lissue desntirages. 1. (a)Montrer queXnsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (b) Donner,sans démonstration, lespérance et la variance deX. n On désire modéliser cette expérience.On suppose quenest une constante xée. 2. Dénirun type tableau denentiers notétab, puis deux variables de typetab, dont les identicateurs sont blanc et noir. 3. (a)Soit s un tableau de typetabune procédure dont len-tête est. ÉcrireECHANGE(Var s :tab ; i, j: integer)qui échange les élémentss[i]ets[j]du tableaus. (b) Onconsidère les lignes de programme suivantes utilisant la procédureECHANGE. Begin For i :=1 to n do blanc[i] :=i; For i :=1 to n-1 do Begin j :=RANDOM(n+l-i)+i ; ECHANGE(blanc,i,j) ; end ; writeln; For i :=1 to n do write(blanc[i], ) end. Expliquer le fonctionnement de ce programme et son résultat. On précisera ce qui se passe au premier passage puis aui-ème passage dans la deuxième boucleFor, et en particulier, la raison pour laquelle on écrit linstructionj :=RANDOM(n+i-i)+i. (c) Construireune procédure qui sappelleraINITIALISEpermettant de simuler le tirage sans remise et au hasard desnboules numérotées, en mettant dans la variables[i]le numéro de lai-ème boule tirée (On pourra sinspirer de la question précédente). 4. Écrireun programme complet permettant de simuler lexpérience de cette partie III lorsquen= 20, puis de donner la valeur deXn(Il nest pas nécessaire ici de recopier les procéduresECHANGEetINITIALISE).