concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d’accès à des listes d’aptitude (CAFEP) sections : mathématiques breton
première composition de mathématiques Durée : 5 heures
Calculatrice électronique de poche – y compris programmable, alphanumérique ou à écran graphique, à fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre 1999.
Tout document et tout autre matériel électronique sont interdits.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats indiqués dans l’énoncé peuvent être utilisés par les candidats pour la suite du problème.
Les candidats doivent reporter sur leur copie, devant leurs réponses, la numérotation complète des questions de l’énoncé.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale dans sa copie et poursuit sa composition en indiquant les initiatives qu’il est amené à prendre de ce fait.
Notations et objectif
On note : ∗ Nl’ensemble des nombres entiers naturels etNl’ensemble des nombres entiers naturels non nuls, Zl’ensemble des nombres entiers relatifs, πZl’ensemble des multiples entiers du nombreπ, ∗ Rltesmelbe’snnombedes´eelresrRe’ldelbmesnrembnoessnel´esrnounsl, Cl’ensemble des nombres complexes. D’autre part, siAetBsont des parties quelconques deR, on note : A\B`tanenaaptrslpar´eeedesembl’enslAsapta`rtpaanenismaapn’B, autrement ditA∩B. CR Touteslesfonctionsconside´re´esdansceprobl`emesont`avaleursdansCou dansR. On note◦la composition des applications. On note respectivementetsraapiptliiecaamtiigoannsr“i”peartier´eelle”ete“lpdeCversR. On notecotla fonction cotangente.
L’entier natureln, l’intervalleJdeRitnoa’ppilacnonrueirlte,ediv´ent’i,dfdeJversC(ou versR) (n(0)) e nfe,oesotnntdann´onlbavte´edsioire´f´veee´irldandefsurJ. (En particulier,f=f.) (1) On utilisera la notation usuellefdruoise´rengpf. L’entier naturelnet l’intervalleJdeRind’,urieert´,edivnonodtnate´s,onnn´e:note n D(J) l’ensemble des applications deJversCau moinsnseusre´iravlbfsdoiJ. n D(J,R) l’ensemble des applications deJversRau moinsnseusavlbe´iriodsfrJ. n n C(J) l’ensemble des applications deJversCde classeCsurJ. n n C(J,R) l’ensemble des applications deJversRde classeCsurJ. ∞ ∞ C(J) l’ensemble des applications deJversCde classeCsurJ. ∞ ∞ C(J,R) l’ensemble des applications deJversRde classeCsurJ. On´etendcesnotationsaucasou`Jdes.joissdled’ettsineire´tniivnonsruteinalrvdeonuxdeltseinu’ SiJcentlontireavi’tn’dnill(eert´urienvnoe)idK, sifest une application deJversC(respectivement n n versR), et si la restriction def`aKarppa`taitneC(Ka`) respectivement C(K,R) , on pourra n n consid´ererquefapparaitne`tC(K`a) respectivement C(K,R) .
z zlnx Soitzlpxefie´xmorbcemounnnoitppa’acilleelelquOne.pprax→x= e , de ]0,+∞[ versC, est z−1 de´rivablesur]0,+∞taoincilppa’lee´vire´ed,d[x→zxde ]0,+∞[ versC.
Onconsid`eredansceprobl`emeunintervallefixe´IdeReurn´erideetonvii’tnd,onticaapelbatsilppa’lr x x→deRversRueiqrspa,nsaieuqoe´rarpicx→2x. 2 L’intervalleIe0u]:oe´uqneectsneocsn,+∞ou [0[ , ,+∞[ , ou ]−∞,ou ]0[ , −∞,0] , ouRmˆemlui-.e Ceprobl`emeviseessentiellementl’obtentionder´esultatssimplesrelatifs`al’´equation x E(I) :f(x) =xf 2 1 d’inconnuefetanppra’lnetna`lesembaD(I) . x 1 Une solution deE(Inet´lmenue´odcn)estfdeD(Ilee´rtuotruop,ntfiari´e)vxdeI,f(x) =xf∙ 2 On noteS(Ioitan’leduqe´utolnsiolembssde)’lneesE(I) .
Danscertainesparties,ons’int´eresseplusspe´cialementauxsolutionsdel’e´quationE(I)appartenant`a 1 l’ensembleD(I,R) . On note alorsER(Iree“eml`obprce)te”tniertsSR(I) l’ensemble de ses solutions.
LapartieI,tr`escourte,concerneessentiellementl’interpr´etationgraphiquedel’e´quationER(I) . LapartieII,d’unelongueurmoyenne,traitedesg´ene´ralite´srelatives`al’´equationE(I) et en recherche dessolutionsposse´dantcertainespropri´et´esparticulie`res. Dans la partie III, plus longue, une interrogation sur la dimension de l’espaceS]0,+∞co[aalt`uind d´ecouvertedesolutionsinattendues. LapartieIV,assezcourte,demandederep´ereretdetraiterdeserreursdansuntextemath´ematique. LapartieV,longue,proposed’´etablirunthe´or`emedeBoreletdonneuneid´eedel’espaceS]0,+∞[ . Cescinqpartiessontlargementinde´pendantes.Onutilise(II.B.1)dans(III.A.1),(II.C.1)dans(III.B).
1
Partie I I.1.anslecaso`uDIne contient pas 0 , proposer, en l’accompagnant d’une illustration graphique, une interpre´tationge´ome´triquesimpleduprobl`emeER(I) . 3 I.2.Soit (a, b, c´lmenedte)nue´Cet soitp:I→Cateln:iopaiearrldnoinfie´lppatacil’ 2 p(x) =ax+bx+c ` Aquelleconditionne´cessaireetsuffisantesurletriplet(a, b, c) l’applicationpappraitne-tleel`aS(I) ?
I.3.Dans cette question, sauf mention contraire,I= ]0,+∞[ . Parmilesapplicationsdontlescourbessontdessin´eesci-dessous,quellessontcellesquinetv´erifienpas l’´equationER(I) ?seuntsdealilssrer´essreposdem´ersnOreedaderntteonectaenontirasgiqphdseue ces applications etonnejustifirepasaelrse´opsn´enndoes.es
y
O
y
➛ x
Fig. 1 : demi-droite “horizontale”.
O
➛ x
Fig. 5 : arc de parabole d’axe “vertical”.
y
2
O
y
1
➛ x
Fig. 2 : demi-droite.
O
➛ x
Fig. 6 : demi-parabole d’axe(Ox).
y
1
O
y
2
➛ x
Fig. 3 : demi-droite.
O
➛ 1x
Fig.7:courbecoı¨ncidantsur ]0,1]avec un arc de cercle.
y
O
➛ x
Fig. 4 : demi-parabole d’axe(Oy).
–1
y
O
1
➛ 2x
Fig.8:unesinusoı¨de (I=R).
Partie II — A — II.A.1.Montrer que, pour les lois usuelles,S(I) est un espace vectoriel surConrn,it`a´edu{0}. Demanie`reanalogue,dequellestructurealg´ebriquepeut-onmunirSR(I) ? II.A.2.Soit une applicationf:I→Csstet´onuieqlevasetn:tnoM.uelererqisprstrotioiposovinasnus (i)f∈ S(I) ; (ii) ◦f∈ SR(I) et ◦f∈ SR(I) ; (iii) l’applicationx→f(x) , deIversCtient`aa,rappS(I) .
— B — II.B.1.Soitfdentme´eu´nleS(Ion.M)rraprertnerruce´e,pocequutenurtoanutitreerln,fest (n´dsivire+of)1leabrsuI\ {0}tue´´lme,eopruotquetentxdeI\ {0}, x x n x (n) (n+1) (n) f(x) =f+f n n−1 2 2 2 2 II.B.2.On suppose que l’intervalleI.contient 0 1 Montrerquetout´ele´mentfdeS(I)vri´efief0=)0patetraptnei`a(C(I) .