Première composition de Mathématiques 2007 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

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Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Première composition de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 avril 2008
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

Capesexternedemath ´ ematiques:session2007 Premi ` erecomposition

INTRODUCTION L’objetduprobl`emeestl’´etudedelasuite(s n ) n≥1 ´dr:apeinfie n  1 ∀n≥1, s n = 2 k k=1 Dansunepremi`erepartie,nousnousattacherons`ad´emontrer,dediff´erentesfac¸ons, pardesme´thodese´l´ementaires,quecettesuiteconverge.Lesparties2,3et4suivantes serontconsacr´ees`alad´eterminationdesalimiteSpar divers moyens. Les parties 5 et 6 utiliseront la valeur deSsolaedmmlccaerulruopques.snum´erise´sreeicereatni On rappelle que, pour tous entiersm,n´evtnirafim≤n, on note[m, n]l’intervalle d’entiers [m, n]={p∈Z|m≤p≤n} ` PREMIERE PARTIE : Convergence de la suite Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie du programme de Terminale S. 1.ere`imerPdehoetm´ a)opruotturtreuq,eonemD´entierk≥2 ,on a la majoration 1 11 ≤ − 2 k k−1k b)ueidads´erleuqiu(Entes n ) n≥1 ojamtse.ee´r c)ti(eDntre´emolasurques n ) n≥1 converge et donner un majorant de sa limite. Danstoutelasuiteduproble`me,onnoteraScette limite. 2.th´eememi`uxDedoe Onconside`relasuite(t n ) n≥1 ,d:´infierape 1 ∀n≥1, t n =s n + n a)emD´tronustise(reuqleses n ) n≥1 et (t n ) n≥1 sont adjacentes. −1 b)Donner, en le justifiant, un encadrement d’amplitude10 deS. 3.`emeoisiTrohed´mte Ecrireletexted’unexercicedeniveauterminaleSde´montrant,parcomparaison`a uneinte´grale,laconvergencedelasuite(s n ) n≥1 . 1

` DEUXIEMEPARTIE:Utilisationdepolynoˆmes

2n 1.SoitP∈C[X]unnˆompolyge´rdedeen≥1 :P(X) =a 0 +a 1 X+a 2 X+∙ ∙ ∙+a n X . n  Rappeler la formule permettant de calculer la sommeσ 1 =α i =α 1 +∙ ∙ ∙+α n i=1 des racines dePen fonction de ses coefficientsa k , k∈[0, n].

2. a)Soientp∈Netϕ∈R´’gelatiomtnerlr´e.D´e p     2p+1  k2p−2k 2k+1 sin (2p+ 1)ϕ= (−1) cos(ϕ() sinϕ) 2k+1 k=0  2p+1  ou`de´signelecoefficientbinoˆmialpourk∈[0, p]. 2k+1 b)reitnetuotruo,pueeqirdu´endEp∈Nteopruottu´reelϕ≡0[πon a] , p    2p+1    p− k 2p+1 k2 sin (2p+ 1)ϕ= sin(ϕ) (−1) cotanϕ 2k+1 k=0 cosϕ o`ucotanϕ=. sinϕ ∗ 3.Soitp∈NetP∈R[X:lear]´oemnedˆilpyfipno p    2p+1 k p−k P(X() =−1)X 2k+1 k=0   2 kπ a)Pour tout entierk∈[1, p], on poseγ k = cotan.CalculerP(γ k ) 2p+ 1 pour toutk∈[1, p]. kπ b)qer´eifirp,eVutruotuok∈[1, p]er,lel´epaaptreitn`al’intervalle 2p+ 1 π ]0,dnE.[qeriude´lypoleueeomnˆPedsse`popracines distinctes, que l’on 2 d´eterminera. c)e´agleseudridne´E:est´li p    kπ p(2p−1) 2 cotan = 2p+ 13 k=1 p  1 2p(p+ 1)   = kπ 3 2 sin k=1 2p+ 1 2

π 4. a)tourr´utrentpor,Dome´eelϕ∈]0,[ ,les encadrements 2

0<sinϕ < ϕ <tanϕ

b)uttourpoe,qureuide´dnEreneitp≥on a l’encadrement1 ,

p  2 p(2p−1) (2p1 2+ 1)p(p+ 1) < < 2 2 3 π k 3 k=1

2 π c)´emontrerqueDS= . 6 5.(Montrer que les suitesu n ) n≥1 , (v n ) n≥1 et (w n ) n≥1 espa´efindr:

n nn k+1   1 1(−1) ∀n≥1, u n =v n =w n = 2 22 (2k) (2k+ 1)k k=1k=0k=1 sontconvergentesetde´terminesrlesvaleursexactesdeleurslimites,respectivement note´esU,VetW. ` TROISIEMEPARTIE:Utilisationdesinte´gralesdeWallis

Pour tout entiern∈N, on pose  π  π n2 4 (n!) 2 2n 2 2 2n I n = costdt, J n =tcostdtetK n =J n (2n)! 0 0 1.selargec´ltanCriesleulI 0 etJ 0 . 2n+ 1 2. a)ntmo´eDturuoteuoperqrn∈N,on a :I n+1 =I n 2n+ 2 (enapr`senp:orrouacidnoitnIes.parpartigearitnouaenni´t) (2n)!π b)tuEonreuiedd´rtouepqun∈N,on a :I n = n2 4 (n !) 2 3.Soitn≥1 . 2 a)nort´DmelaerlareontiI n =n(2n−1)J n−1 −2n J n π b)End´eduirequeK n−1 −K n = 2 4n n  π1 c)n=De´omtnerlrraletaoiJ 0 −K n 2 4 k k=1 π π 4. a),puertoutrouel´ee´Dtnomqrerx∈[0,on a :] ,x≤sinx 2 2 3

b)op,euqernetuotrutieruiedd´Enn, on a 2 3 π I n π 0≤J n ≤puis 0≤K n ≤ 8(n16(+ 1)n+ 1) c)Retrouver la valeur deS.

` QUATRIEME PARTIE : Noyau de Dirichlet Pour tout entiern≥on note1 ,D n lenoyau deDirichlet:d,fin´earip n  1 ∀x∈R, D n (x+ cos() =kx) 2 k=1 1.rtou,pueientteourmontrerqD´en≥otte1lee´rtux≡0[2π] ,on a     1 sinn+x 1 2 D n (x) = x 2 sin 2 2.Pour tout entiern≥on note1 ,L n l’int´egrale  π L n =xD n (x) dx 0  π a)erulinl’egt´leraaCclxcos(kx) dxpour tout entierk≥1 . 0 b)Edne´udriqeeu n n   2 π1 1 k L n =−+ (−1) 2 2 4 k k k=1k=1 3.On notefleprgemeoloncrnotnaptie´ituntcnodnoid0nefale’irlerntfin´esuieavlle x   ]0, π] par:x→. x sin 2 1 D´emontrerquelafonctionfest de classeCsur l’intervalle[0, π] . 1 4.Soitφ: [0, π]→Rune fonction de classeCsur [0, π.]emD´tronquere  π limφ(x) sin(λx) dx= 0 λ→+∞ 0 (opru:nnosnrearepIationdictraprapn.seinteiun`aioatgr´e) 5. a)merqreuilDe´omtnL n = 0. n→+∞ b)Retrouver la valeur deS.(alanue`obteeWSttneroienletaerisaralOnilut question5deladeuxie`mepartie) 4

` CINQUIEME PARTIE : Une somme double

L’objet de cette partie est de calculer la limite de la somme double   N M   1 lim lim M→+∞N→+∞ nm(n+m−1) n=1m=1

N  1 On pose, pour tout entierN≥1, H N = n n=1 1. a)truoettneirD´emontrerquepouN≥1,ln(1 +on a :N)≤H N ≤1 + ln(N) H N b)Eriude´dnlimeque=0 N N→+∞ c)meno´DuqpertreeitnrtruoetuoM≥2,on a :

M−1M   H m 1H M =− 2 m(m+ 1)m M m=1m=1

+∞  H m d)etgeernvcoeire´salite.lamiensrreim´dteduirequeEnd´e m(m+ 1) m=1 2.Pour tous entierN≥1 etpour tout entierm≥2,on pose

N  1 Z N,m = n(n+m−1) n=1

a)ourtquepntieouter´Dnomerertm≥2   N+m−1  1 1 Z N,m =H m−1 − m−1n n=N+1

H m−1 b)ilme´dnEeuqeriudZ N,m = m−1 N→+∞ 3. a)Montrer que pour tout entierN≥1 etpour tout entierM≥a :2 on

b)Montrer que

N MN M    1 1Z N,m = + 2 nm(n+m−1)n m n=1m=1n=1m=2

N MM 2   1π H m−1 lim =+ N→+∞ nm(n+m−1) 6m(m−1) n=1m=1m=2

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