INTRODUCTION L’objetduprobl`emeestl’´etudedelasuite(sn)n≥1´dr:apeinfie n 1 ∀n≥1, sn= 2 k k=1 Dansunepremi`erepartie,nousnousattacherons`ad´emontrer,dediff´erentesfac¸ons, pardesme´thodese´l´ementaires,quecettesuiteconverge.Lesparties2,3et4suivantes serontconsacr´ees`alad´eterminationdesalimiteSpar divers moyens. Les parties 5 et 6 utiliseront la valeur deSsolaedmmlccaerulruopques.snum´erise´sreeicereatni On rappelle que, pour tous entiersm,n´evtnirafim≤n, on note[m, n]l’intervalle d’entiers [m, n]={p∈Z|m≤p≤n} ` PREMIERE PARTIE : Convergence de la suite Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie du programme de Terminale S. 1.ere`imerPdehoetm´ a)opruotturtreuq,eonemD´entierk≥2 ,on a la majoration 1 11 ≤ − 2 k k−1k b)ueidads´erleuqiu(Entesn)n≥1ojamtse.ee´r c)ti(eDntre´emolasurquesn)n≥1converge et donner un majorant de sa limite. Danstoutelasuiteduproble`me,onnoteraScette limite. 2.th´eememi`uxDedoe Onconside`relasuite(tn)n≥1,d:´infierape 1 ∀n≥1, tn=sn+ n a)emD´tronustise(reuqlesesn)n≥1et (tn)n≥1sont adjacentes. −1 b)Donner, en le justifiant, un encadrement d’amplitude10 deS. 3.`emeoisiTrohed´mte Ecrireletexted’unexercicedeniveauterminaleSde´montrant,parcomparaison`a uneinte´grale,laconvergencedelasuite(sn)n≥1. 1
` DEUXIEMEPARTIE:Utilisationdepolynoˆmes
2n 1.SoitP∈C[X]unnˆompolyge´rdedeen≥1 :P(X) =a0+a1X+a2X+∙ ∙ ∙+anX . n Rappeler la formule permettant de calculer la sommeσ1=αi=α1+∙ ∙ ∙+αn i=1 des racines dePen fonction de ses coefficientsak, k∈[0, n].
2. a)Soientp∈Netϕ∈R´’gelatiomtnerlr´e.D´e p 2p+1 k2p−2k2k+1 sin (2p+ 1)ϕ= (−1) cos(ϕ() sinϕ) 2k+1 k=0 2p+1 ou`de´signelecoefficientbinoˆmialpourk∈[0, p]. 2k+1 b)reitnetuotruo,pueeqirdu´endEp∈Nteopruottu´reelϕ≡0[πon a] , p 2p+1 p− k 2p+1k2 sin (2p+ 1)ϕ= sin(ϕ) (−1) cotanϕ 2k+1 k=0 cosϕ o`ucotanϕ=. sinϕ ∗ 3.Soitp∈NetP∈R[X:lear]´oemnedˆilpyfipno p 2p+1 k p−k P(X() =−1)X 2k+1 k=0 2kπ a)Pour tout entierk∈[1, p], on poseγk= cotan.CalculerP(γk) 2p+ 1 pour toutk∈[1, p]. kπ b)qer´eifirp,eVutruotuok∈[1, p]er,lel´epaaptreitn`al’intervalle 2p+ 1 π ]0,dnE.[qeriude´lypoleueeomnˆPedsse`popracines distinctes, que l’on 2 d´eterminera. c)e´agleseudridne´E:est´li p kπ p(2p−1) 2 cotan = 2p+ 13 k=1 p 1 2p(p+ 1) = kπ3 2 sin k=1 2p+ 1 2
b)uttourpoe,qureuide´dnEreneitp≥on a l’encadrement1 ,
p 2 p(2p−1) (2p1 2+ 1)p(p+ 1) < < 2 2 3π k3 k=1
2 π c)´emontrerqueDS= . 6 5.(Montrer que les suitesun)n≥1, (vn)n≥1et (wn)n≥1espa´efindr:
n nn k+1 1 1(−1) ∀n≥1, un=vn=wn= 2 22 (2k) (2k+ 1)k k=1k=0k=1 sontconvergentesetde´terminesrlesvaleursexactesdeleurslimites,respectivement note´esU,VetW. ` TROISIEMEPARTIE:Utilisationdesinte´gralesdeWallis
Pour tout entiern∈N, on pose ππ n2 4 (n!) 22n22 2n In= costdt, Jn=tcostdtetKn=Jn (2n)! 0 0 1.selargec´ltanCriesleulI0etJ0. 2n+ 1 2. a)ntmo´eDturuoteuoperqrn∈N,on a :In+1=In 2n+ 2 (enapr`senp:orrouacidnoitnIes.parpartigearitnouaenni´t) (2n)!π b)tuEonreuiedd´rtouepqun∈N,on a :In= n2 4 (n!) 2 3.Soitn≥1 . 2 a)nort´DmelaerlareontiIn=n(2n−1)Jn−1−2n Jn π b)End´eduirequeKn−1−Kn= 2 4n n π1 c)n=De´omtnerlrraletaoiJ0−Kn 2 4k k=1 π π 4. a),puertoutrouel´ee´Dtnomqrerx∈[0,on a :] ,x≤sinx 2 2 3
b)op,euqernetuotrutieruiedd´Enn, on a 2 3 π Inπ 0≤Jn≤puis 0≤Kn≤ 8(n16(+ 1)n+ 1) c)Retrouver la valeur deS.
` QUATRIEME PARTIE : Noyau de Dirichlet Pour tout entiern≥on note1 ,Dnlenoyau deDirichlet:d,fin´earip n 1 ∀x∈R, Dn(x+ cos() =kx) 2 k=1 1.rtou,pueientteourmontrerqD´en≥otte1lee´rtux≡0[2π] ,on a 1 sinn+x 1 2 Dn(x) = x 2 sin 2 2.Pour tout entiern≥on note1 ,Lnl’int´egrale π Ln=xDn(x) dx 0 π a)erulinl’egt´leraaCclxcos(kx) dxpour tout entierk≥1 . 0 b)Edne´udriqeeu n n 2 π1 1 k Ln=−+ (−1) 2 2 4k k k=1k=1 3.On notefleprgemeoloncrnotnaptie´ituntcnodnoid0nefale’irlerntfin´esuieavlle x ]0, π] par:x→. x sin 2 1 D´emontrerquelafonctionfest de classeCsur l’intervalle[0, π] . 1 4.Soitφ: [0, π]→Rune fonction de classeCsur [0, π.]emD´tronquere π limφ(x) sin(λx) dx= 0 λ→+∞ 0 (opru:nnosnrearepIationdictraprapn.seinteiun`aioatgr´e) 5. a)merqreuilDe´omtnLn= 0. n→+∞ b)Retrouver la valeur deS.(alanue`obteeWSttneroienletaerisaralOnilut question5deladeuxie`mepartie) 4
` CINQUIEME PARTIE : Une somme double
L’objet de cette partie est de calculer la limite de la somme double N M 1 lim lim M→+∞N→+∞nm(n+m−1) n=1m=1
N 1 On pose, pour tout entierN≥1, HN= n n=1 1. a)truoettneirD´emontrerquepouN≥1,ln(1 +on a :N)≤HN≤1 + ln(N) HN b)Eriude´dnlimeque=0 N N→+∞ c)meno´DuqpertreeitnrtruoetuoM≥2,on a :
M−1M Hm1HM =− 2 m(m+ 1)m M m=1m=1
+∞ Hm d)etgeernvcoeire´salite.lamiensrreim´dteduirequeEnd´e m(m+ 1) m=1 2.Pour tous entierN≥1 etpour tout entierm≥2,on pose