UTBM suites series fonctions de variable complexe 2008 tc

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• Publié par: shura
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le 19 Janvier 2009 UTBM MT26

Final automne 2008 Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-verso re´dig´eea`lamain Chaquepartiedoitˆetrer´edig´eesurunefeuillediff´erente

Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelar´edactioncorrectedes d´emonstrations.

PREMIERE PARTIE. (12 points)

2 1)De´terminerlede´veloppementens´erieentie`reen0delafonctionf(x) = ln(x−5x+ 6)et de´terminersurquelintervalleevd´opel.cevtlabaelepemtnse

P n 2)Justifierlefaitqu’unese´rieentie`rea n xde rayon de convergenceRest continue sur n≥0 ]−R, R[.

P n 3) Soita n xdere`etiecndyoranegrevnoecueneine´sreR∈Rd´efinit(nO.b n ) n≥0 par n≥0 P n ∀n∈N,b 2n =a n etb 2n+1 =Qu0.eselertlnoyaocedrevncnegtn`iireesae´deleereb n x. n≥0 Justifier.

4)De´terminerlede´veloppementdeFouriercomplexedelafonction2πuqide´de´p-oireiefinrsu 2x ]0,2π] parf(x) =edleeFouentdr´eeriere´delerimeppolevdu´end.Ef.

2π Rappel :Soitf:R−→Rune fonction continue par morceaux,T(ep´eriodiquωOn= ) T d´efinitlescoefficients de Fourier complexesdefpourn∈Z: Z T 1 −inωt c n (f) =f(t)e dt. T 0

5)De´terminerunefonctiondelavariablecomplexef(x+iy) =p(x, y) +i.q(x, y) holomorphe surCavecp(x, y) =xy.

6)De´terminerledomaineded´erivabilit´eausenscomplexedelafonctionde´finiesurCpar f(z) =z.(1−z¯).

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