Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten

Michael Eisermann

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Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell-algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten Michael Eisermann Institut Fourier, Universite Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 15. Januar 2009 Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ois Sturm (1803–1855) Mathematisches Kolloquium, Johannes-Gutenberg-Universitat Mainz 1/30

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Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell-algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten

Michael Eisermann

Institut Fourier, Universite´ Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm

15. Januar 2009

Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ ois Sturm (1803–1855) Mathematisches Kolloquium, Johannes-Gutenberg-Universita¨  t Mainz

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Vorwort

Der Hauptsatz der Algebra ist ein klassisches Ergebnis der Mathematik des 19. Jahrhunderts. Er wird oft benutzt, zitiert, gelehrt, . . . und verdient daher eine angemessene Aufmerksamkeit. Er ist auch heute noch aktuell, zum Beispiel im Hinblick auf seine algorithmischen und numerischen Aspekte.

DieAussagedesSatzeskannheutzutagekaum¨uberraschen,einscho ¨ ner Beweis hingegen schon. Ich mo¨  chte hier einen reell-algebraischen Beweis vorstellen,derbemerkenswerteVorz¨ugeaufweist:eristelegant,elementar, und effektiv. Das Ziel meines Vortrags ist seine Popularisierung.

Der reell-algebraische Beweis geht zuru¨ ck auf Ideen von Gauß (1799), Cauchy(1831/37),undvorallemSturm(1836),scheintaberheutev ¨ ollig unbekannt. Ich hatte das Glu¨ ck, ihn bei der Ausarbeitung eines Computer-Algebra-Kurses zu entdecken, und war anschließend sehr erstaunt, ihn nicht in der modernen Literatur zu finden.

Mein Beitrag besteht darin, diesen wunderscho¨  nen Beweis wieder an das ¨ Licht der (mathematischen) Offentlichkeit zu bringen, und Sturms Skizze in moderner Strenge auszufuhren. ¨

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¨ Uberblick

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Der Hauptsatz der Algebra Der Satz und seine Geschichte Reelle Nullstellen reeller Polynome Komplexe Nullstellen komplexer Polynome

Sturm 1829/1835: reelle Nullstellen reeller Polynome Cauchy-Indexf¨urreellePolynome Cauchys Inversionsformel Sturmsche Ketten

Sturm 1836: komplexe Nullstellen komplexer Polynome Cauchy-Indexf¨urkomplexePolynome Die Produktformel Homotopie-Invarianz

Zusammenfassung und Ausblick

Bibliographie: The Fundamental Theorem of Algebra made effective: an elementary real-algebraic proof via Sturm chains. www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/publications.html#roots

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