Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten

pages

Deutsch

Documents

Écrit par
Michael Eisermann

Publié par
pefav

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Deutsch

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

pefav

Nombre de lectures

Langue

Deutsch

Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell-algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten Michael Eisermann Institut Fourier, Universite Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 15. Januar 2009 Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ois Sturm (1803–1855) Mathematisches Kolloquium, Johannes-Gutenberg-Universitat Mainz 1/30

und verdient

die aussage des satzes kann

offentlichkeit zu

polynome cauchy-index

der hauptsatz

kann man die

zu einer effektiven

Voir

Publié par

pefav

Nombre de lectures

Langue

Deutsch

Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell-algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten

Michael Eisermann

Institut Fourier, Universite´ Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm

15. Januar 2009

Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ ois Sturm (1803–1855) Mathematisches Kolloquium, Johannes-Gutenberg-Universita¨ t Mainz

/103

Vorwort

Der Hauptsatz der Algebra ist ein klassisches Ergebnis der Mathematik des 19. Jahrhunderts. Er wird oft benutzt, zitiert, gelehrt, . . . und verdient daher eine angemessene Aufmerksamkeit. Er ist auch heute noch aktuell, zum Beispiel im Hinblick auf seine algorithmischen und numerischen Aspekte.

DieAussagedesSatzeskannheutzutagekaum¨uberraschen,einscho¨ner Beweis hingegen schon. Ich mo¨ chte hier einen reell-algebraischen Beweis vorstellen,derbemerkenswerteVorz¨ugeaufweist:eristelegant,elementar, und effektiv. Das Ziel meines Vortrags ist seine Popularisierung.

Der reell-algebraische Beweis geht zuru¨ ck auf Ideen von Gauß (1799), Cauchy(1831/37),undvorallemSturm(1836),scheintaberheutev¨ollig unbekannt. Ich hatte das Glu¨ ck, ihn bei der Ausarbeitung eines Computer-Algebra-Kurses zu entdecken, und war anschließend sehr erstaunt, ihn nicht in der modernen Literatur zu ﬁnden.

Mein Beitrag besteht darin, diesen wunderscho¨ nen Beweis wieder an das ¨ Licht der (mathematischen) Offentlichkeit zu bringen, und Sturms Skizze in moderner Strenge auszufuhren. ¨

/203

¨ Uberblick

Der Hauptsatz der Algebra Der Satz und seine Geschichte Reelle Nullstellen reeller Polynome Komplexe Nullstellen komplexer Polynome

Sturm 1829/1835: reelle Nullstellen reeller Polynome Cauchy-Indexf¨urreellePolynome Cauchys Inversionsformel Sturmsche Ketten

Sturm 1836: komplexe Nullstellen komplexer Polynome Cauchy-Indexf¨urkomplexePolynome Die Produktformel Homotopie-Invarianz

Zusammenfassung und Ausblick

Bibliographie: The Fundamental Theorem of Algebra made effective: an elementary real-algebraic proof via Sturm chains. www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/publications.html#roots

/330

Voir