Independance lineaire des valeurs des polylogarithmes

Tanguy Rivoal

Description

Independance lineaire des valeurs des polylogarithmes ? Tanguy Rivoal Institut de Mathematiques de Jussieu CNRS UMR 7586, Theorie des nombres, case 247 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France email : 1 Introduction L'etude diophantienne des valeurs des fonctions polylogarithmes Lis(z), definies pour z ? C , |z| ≤ 1 et s ≥ 1 (et z 6= 1 si s = 1) par Lis(z) = ∞∑ k=1 zk ks , en des points rationnels a ete abordee dans [Ni] et [Ha], entre autres. Nikishin [Ni] montre par exemple que, pour tout entier a ≥ 1, si p ? N, q ? ?N et |q| > pa(4a)a(a?1), alors les nombres 1,Li1(p/q), Li2(p/q), . . ., Lia(p/q) sont Q?lineairement independants. Hata [Ha] etablit les resultats correspondants lorsque p/q > 0. Dans cet article, nous abordons ce probleme sous un angle different en minorant la dimension ??(a) = dimQ(Q+QLi1(?) +QLi1(?) + · · ·+QLia(?)) pour tout rationnel ? = p/q, et non pas soumis a des restrictions portant sur p et q, comme dans [Ni] et [Ha].

• kl z


• parametre superieur avec le parametre inferieur


• rationnel positif


• besoin du critere d'independance lineaire


• resultats correspondants


• identite integrale d'euler

Sujets

• Rivoal
• Institut de Mathématiques de Jussieu

Informations

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Extrait

Independance lineaire des
valeurs des polylogarithmes
Tanguy Rivoal
Institut de Mathematiques de Jussieu
CNRS UMR 7586, Theorie des nombres, case 247
175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
email : [e-mail]
1 Introduction
L’etude diophantienne des valeurs des fonctions polylogarithmes Li (z), de niess
pour z2C ,jzj 1 et s 1 (et z = 1 si s = 1) par
1 kXz
Li (z) = ;s sk
k=1
en des points rationnels a ete abordee dans [Ni] et [Ha], entre autres. Nikishin
[Ni] montre par exemple que, pour tout entier a 1, si p2N, q2 N et
a a(a 1)jqj > p (4a) , alors les nombres 1; Li (p=q); Li (p=q);:::, Li (p=q) sont1 2 a
Q lineairement independants. Hata [Ha] etablit les resultats correspondants
lorsque p=q > 0. Dans cet article, nous abordons ce probleme sous un angle
di erent en minorant la dimension
(a) = dim (Q +Q Li () +Q Li () + +Q Li ()) 1 1 a
pour tout rationnel =p=q, et non pas soumis a des restrictions portant sur
p et q, comme dans [Ni] et [Ha].
Cet article correspond au chapitre 2 de la these de doctorat de l’auteur [Ri2].
1
Q6Theoreme 1. Soit a un entier 2 et = p=q un nombre rationnel,
0 < jj < 1. Pour tout " > 0, il existe un entier A(";p;q) tel que si
aA(";p;q) 1,
1 "
(a) log(a):
1 + log(2)
Une consequence immeditate est le
Corollaire 1. Pour tout rationnel, 0<jj< 1, l’ensemblefLi ();s 1gs
contient une in nite de nombres irrationnels.
Remarques.
1. La constanteA(";p;q) est e ectivement calculable : on peut d’ailleurs
1la remplacer par 1, au prix d’une constante ( ) moins bonne a la place de
(1 ")=(1 + log(2)).
2. On peut demontrer un resultat similaire dans le cas des fonctions de
Lerch de nies pour z2C ,jzj< 1 et s 1 par
1 kX z
(z;!) = ;s s(k +!)
k=1
lorsque ! = u=v est un rationnel positif. Avec des notations evidentes, on
montre facilement que pour tout "> 0, il existe un entier A =A(";p;q) 1
et un reel c =c(";v)> 0 tel que si aA, (a)c log(a): ;!
3. La restriction aux nombres rationnels n’est pas essentielle : on etend
facilement le Theoreme 1 aux nombres algebriques reels : la minoration
devient alors
1 1 "
(a) log(a):
[Q () :Q] 1 + log(2)
Dans le cas des algebriques complexes, la demonstration du Lemme 3 n’est
en revanche plus valide et il faut en particulier utiliser la methode du col (cf.
[Ri2, chapitre 4] pour un exemple ou elle est mise en uvre) pour esperer
minorer (a).
1elle aussi e ectivement calculable en fonction de p et q.
21 s4. Sis> 1, Li (1) =(s), Li ( 1) = (1 2 )(s) et Li ( 1) = log(2).s s 1
2n 2Comme (2n)2Q , on sait qu’ a priori ( ) (a) (a) [a=2]. Le1 1
Theoreme 1 est donc encore vrai mais trivial lorsque z =1.
5. Dans [Ri1] (cf. egalement [BR]), une methode est introduite pour
eliminer les \parasites" (2n) lorsque z =1, ce qui permet de montrer
qu’une in nite des nombres (2n + 1) sont irrationnels.
2 Notations
3La demonstration repose sur la serie suivante ( )
1X (k 1)(k 2) (k rn)a r kN (z) =n! zn;a;r a a ak (k + 1) (k +n)
k=1
ou z2C,jzj > 1, a et r entiers tels 1 r < a et n2N. Pour simpli er
l’expose, nous noterons N (z) cette serie et nous l’ecrirons sous la formen
1X (k rn)rna r kN (z) =n! zn a(k)n+1k=1
ou () est le symbole de Pochhammerk
() = 1 et () =( + 1) ( +k 1) si k = 1; 2;:::0 k
Cette serie est une fonction hypergeometrique generalisee :
a ( rn + 1) ( rn + 2)rn 1 a rN (z) = z n!n a (( r + 1)n + 1)

rn + 1; rn + 1; :::; rn + 1 1 F z :a+1 a (r + 1)n + 2;:::; (r + 1)n + 2
4Elle est dite nearly-poised ( ) ([Sl, p. 42, 2.1.1.10]) : la somme d’un parametre
superieur avec le parametre inferieur correspondant est constante, sauf pour
2en omettant la valeur divergente Li (1) =1 qui disparait naturellement des estima-1
tions.
3On retrouve des resultats similaires a ceux de [Ni] et [Ha] en faisant r =a.
4La disparition, evoquee dans la Remarque 5. ci-dessus, des valeurs parasites (2n)
necessite d’utiliser une fonction hypergeometrique well-poised (cf.[RZ] pour quelques
developpements a ce sujet).
3l’un des parametres superieurs. Par ailleurs, ces parametres sont tels que
l’on obtient la representation suivante deN (z) en iterant l’identite integralen
d’Euler ([Sl, p. 108, 4.1.2]) :
Lemme 1. Pour tout z2C,jzj> 1,
QZ a nr(rn)! x (1 x ) dx dx dxl 1 2 all=1N (z) = : (1)n r rn! a (z x x x ) z x x x1 2 a 1 2 a[0;1]
Nous aurons besoin du critere d’independance lineaire suivant, du^ a Neste-
renko [Ne1] :
Theoreme 2 (Critere de Nesterenko). Soit N reels ; ;:::; et1 2 N
supposons qu’il existe N suites (p ) tels que :l;n n0
i)8i = 1;:::;N, p 2Z ;l;n
NX
n+o(n) n+o(n)
ii) j p j avec 0< < 1 ;l;n l 1 21 2
l=1
n+o(n)iii)8l = 1;:::;N,jp j avec > 1.l;n
Dans ces conditions,
log(