Independance lineaire des valeurs des polylogarithmes

pages

Français

Documents

Écrit par
Tanguy Rivoal

Publié par
profil-urra-2012

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Français

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

profil-urra-2012

Nombre de lectures

Langue

Français

Independance lineaire des valeurs des polylogarithmes ? Tanguy Rivoal Institut de Mathematiques de Jussieu CNRS UMR 7586, Theorie des nombres, case 247 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France email : 1 Introduction L'etude diophantienne des valeurs des fonctions polylogarithmes Lis(z), definies pour z ? C , |z| ≤ 1 et s ≥ 1 (et z 6= 1 si s = 1) par Lis(z) = ∞∑ k=1 zk ks , en des points rationnels a ete abordee dans [Ni] et [Ha], entre autres. Nikishin [Ni] montre par exemple que, pour tout entier a ≥ 1, si p ? N, q ? ?N et |q| > pa(4a)a(a?1), alors les nombres 1,Li1(p/q), Li2(p/q), . . ., Lia(p/q) sont Q?lineairement independants. Hata [Ha] etablit les resultats correspondants lorsque p/q > 0. Dans cet article, nous abordons ce probleme sous un angle different en minorant la dimension ??(a) = dimQ(Q+QLi1(?) +QLi1(?) + · · ·+QLia(?)) pour tout rationnel ? = p/q, et non pas soumis a des restrictions portant sur p et q, comme dans [Ni] et [Ha].

kl z

parametre superieur avec le parametre inferieur

rationnel positif

besoin du critere d'independance lineaire

resultats correspondants

identite integrale d'euler

Voir

Publié par

profil-urra-2012

Nombre de lectures

Langue

Français

Rivoal Institut de Mathématiques de Jussieu

Independance lineaire des
valeurs des polylogarithmes
Tanguy Rivoal
Institut de Mathematiques de Jussieu
CNRS UMR 7586, Theorie des nombres, case 247
175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
email : rivoal@math.jussieu.fr
1 Introduction
L’etude diophantienne des valeurs des fonctions polylogarithmes Li (z), de niess
pour z2C ,jzj 1 et s 1 (et z = 1 si s = 1) par
1 kXz
Li (z) = ;s sk
k=1
en des points rationnels a ete abordee dans [Ni] et [Ha], entre autres. Nikishin
[Ni] montre par exemple que, pour tout entier a 1, si p2N, q2 N et
a a(a 1)jqj > p (4a) , alors les nombres 1; Li (p=q); Li (p=q);:::, Li (p=q) sont1 2 a
Q lineairement independants. Hata [Ha] etablit les resultats correspondants
lorsque p=q > 0. Dans cet article, nous abordons ce probleme sous un angle
di erent en minorant la dimension
(a) = dim (Q +Q Li () +Q Li () + +Q Li ()) 1 1 a
pour tout rationnel =p=q, et non pas soumis a des restrictions portant sur
p et q, comme dans [Ni] et [Ha].
Cet article correspond au chapitre 2 de la these de doctorat de l’auteur [Ri2].
1
Q6Theoreme 1. Soit a un entier 2 et = p=q un nombre rationnel,
0 < jj < 1. Pour tout " > 0, il existe un entier A(";p;q) tel que si
aA(";p;q) 1,
1 "
(a) log(a):
1 + log(2)
Une consequence immeditate est le
Corollaire 1. Pour tout rationnel, 0<jj< 1, l’ensemblefLi ();s 1gs
contient une in nite de nombres irrationnels.
Remarques.
1. La constanteA(";p;q) est e ectivement calculable : on peut d’ailleurs
1la remplacer par 1, au prix d’une constante ( ) moins bonne a la place de
(1 ")=(1 + log(2)).
2. On peut demontrer un resultat similaire dans le cas des fonctions de
Lerch de nies pour z2C ,jzj< 1 et s 1 par
1 kX z
(z;!) = ;s s(k +!)
k=1
lorsque ! = u=v est un rationnel positif. Avec des notations evidentes, on
montre facilement que pour tout "> 0, il existe un entier A =A(";p;q) 1
et un reel c =c(";v)> 0 tel que si aA, (a)c log(a): ;!
3. La restriction aux nombres rationnels n’est pas essentielle : on etend
facilement le Theoreme 1 aux nombres algebriques reels : la minoration
devient alors
1 1 "
(a) log(a):
[Q () :Q] 1 + log(2)
Dans le cas des algebriques complexes, la demonstration du Lemme 3 n’est
en revanche plus valide et il faut en particulier utiliser la methode du col (cf.
[Ri2, chapitre 4] pour un exemple ou elle est mise en uvre) pour esperer
minorer (a).
1elle aussi e ectivement calculable en fonction de p et q.
21 s4. Sis> 1, Li (1) =(s), Li ( 1) = (1 2 )(s) et Li ( 1) = log(2).s s 1
2n 2Comme (2n)2Q , on sait qu’ a priori ( ) (a) (a) [a=2]. Le1 1
Theoreme 1 est donc encore vrai mais trivial lorsque z =1.
5. Dans [Ri1] (cf. egalement [BR]), une methode est introduite pour
eliminer les \parasites" (2n) lorsque z =1, ce qui permet de montrer
qu’une in nite des nombres (2n + 1) sont irrationnels.
2 Notations
3La demonstration repose sur la serie suivante ( )
1X (k 1)(k 2) (k rn)a r kN (z) =n! zn;a;r a a ak (k + 1) (k +n)
k=1
ou z2C,jzj > 1, a et r entiers tels 1 r < a et n2N. Pour simpli er
l’expose, nous noterons N (z) cette serie et nous l’ecrirons sous la formen
1X (k rn)rna r kN (z) =n! zn a(k)n+1k=1
ou () est le symbole de Pochhammerk
() = 1 et () =( + 1) ( +k 1) si k = 1; 2;:::0 k
Cette serie est une fonction hypergeometrique generalisee :
a ( rn + 1) ( rn + 2)rn 1 a rN (z) = z n!n a (( r + 1)n + 1)

rn + 1; rn + 1; :::; rn + 1 1 F z :a+1 a (r + 1)n + 2;:::; (r + 1)n + 2
4Elle est dite nearly-poised ( ) ([Sl, p. 42, 2.1.1.10]) : la somme d’un parametre
superieur avec le parametre inferieur correspondant est constante, sauf pour
2en omettant la valeur divergente Li (1) =1 qui disparait naturellement des estima-1
tions.
3On retrouve des resultats similaires a ceux de [Ni] et [Ha] en faisant r =a.
4La disparition, evoquee dans la Remarque 5. ci-dessus, des valeurs parasites (2n)
necessite d’utiliser une fonction hypergeometrique well-poised (cf.[RZ] pour quelques
developpements a ce sujet).
3l’un des parametres superieurs. Par ailleurs, ces parametres sont tels que
l’on obtient la representation suivante deN (z) en iterant l’identite integralen
d’Euler ([Sl, p. 108, 4.1.2]) :
Lemme 1. Pour tout z2C,jzj> 1,
QZ a nr(rn)! x (1 x ) dx dx dxl 1 2 all=1N (z) = : (1)n r rn! a (z x x x ) z x x x1 2 a 1 2 a[0;1]
Nous aurons besoin du critere d’independance lineaire suivant, du^ a Neste-
renko [Ne1] :
Theoreme 2 (Critere de Nesterenko). Soit N reels ; ;:::; et1 2 N
supposons qu’il existe N suites (p ) tels que :l;n n0
i)8i = 1;:::;N, p 2Z ;l;n
NX
n+o(n) n+o(n)
ii) j p j avec 0< < 1 ;l;n l 1 21 2
l=1
n+o(n)iii)8l = 1;:::;N,jp j avec > 1.l;n
Dans ces conditions,
log(

Voir

Univers
Ebooks
Livres audio
Presse
Podcasts
BD
Documents

Independance lineaire des valeurs des polylogarithmes

YouScribe

Le catalogue

Le service

Les conditions