Equations dispersives non lineaires

Anne De Bouard

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Equations dispersives non lineaires Anne de Bouard Cours a l'Ecole d'Ete de Mathematiques Institut Fourier, Grenoble 20 juin-8 juillet 2005 1 Introduction Le but de ce cours est de donner un aperc¸u de la theorie de base pour l'etude de certaines equations aux derivees partielles modelisant la propagation d'ondes dans des milieux faiblement non lineaires et dispersifs. Cette theorie s'est largement etoffee au cours des quinze dernieres annees, mais nous nous concentrerons sur les parties les plus classiques de la theorie qui per- mettent d'apprehender les developpement les plus recents en matiere d'etude de la dynamique de ces equations. Nous nous interesserons donc a des equations de la forme ∂tu = Lu+ f(u) ou u = u(t, x) est a valeurs reelles ou complexes (ou eventuellement a valeurs dans Rk), t ? R+ et x ? Rn; l'operateur L sera anti-adjoint, et typiquement defini a l'aide de la transformee de Fourier par L?u(?) = ip(?)u(?) ou p est une fonction a valeurs reelles; enfin, f est un terme non lineaire, pouvant eventuellement contenir des derivees (d'ordre peu eleve) de u. L'equation libre (lineaire) sera dite dispersive si les solutions, meme bien localisees en espace initialement, ont tendance a se disperser dans tout l'espace en temps grand.

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Sujets

• Mathématiques
• Grenoble
• Onde plane
• Vitesse d'une onde
• Équation
• Dispersión

Informations

• Publié par: sucun
• Publié le: 01 juillet 2005
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• Langue: Français

Extrait



Equations dispersives non lineaires Anne de Bouard Cours a l’Ecole d’Ete de Mathematiques Institut Fourier, Grenoble 20 juin-8 juillet 2005

1 Introduction Le but de ce cours est de donner un apercu de la theorie de base pour l’etude de certaines equationsauxderiveespartiellesmodelisantlapropagationd’ondesdansdesmilieuxfaiblement nonlineairesetdispersifs.Cettetheories’estlargementetoeeaucoursdesquinzedernieres annees,maisnousnousconcentreronssurlespartieslesplusclassiquesdelatheoriequiper- mettentd’apprehenderlesdeveloppementlesplusrecentsenmatiered’etudedeladynamique de ces equations. Nousnousinteresseronsdoncadesequationsdelaforme ∂ t u=Lu+f(u) ouu=u(t, xemelleutneveuo(sansdurlevaantrseelruaave)tsexesomplsoucelleR k ),t∈R + etx∈R n ;’luroperateLdeemrofeedid’aalnsraatel,tniytte-itnojdaetdinqupienemseraa Fourier par c Lu() =ip()uˆ() oupenofseutlee;selnne,tincaonlevasrurfiaerp,uoavtneevtuntermenonlinesetnemelleutn contenirdesderivees(d’ordrepeueleve)deuuati’eq.Lisevditeerspsee)diranilriaeilno(erb silessolutions,mˆemebienlocaliseesenespaceinitialement,onttendanceasedisperserdans tout l’espace en temps grand. Pourdonnerunedenitionplusmathematique,onpeutdeterminerlarelationdedispersion del’equationlineaire,obtenueencherchantdessolutionsparticulieressouslaformed’ondes planese i( .x   ωt) , ou∈R n leraeennoitidedettealer.Cineergrctiedam,quis’espersion G(ω, nevuosenemares,=0)lefanodsauitsqeieurplusneoutauemroω=ω() (par c exemple siLu() =ip()ˆu(), alorsω() =   p(erspditesivesiresnoitaidsrolaa)).L’equ ω(detrte)seteisleel  ∂ ∂ i 2 ∂ ω j  60. Cecitraduitlefaitquelavitessedegroupedependvraimentdunombred’onde,c’esta direquedesmodesdeFourierdierentsvoyagentadesvitessesdierentes,etdoncqueles paquets d’ondes auront tendance a se disperser. Cettedenitionestrestrictiveetdemandequ’ilyaitdesondesplanessolutions.Ellene prendpasencompte,parexemple,lecasoul’operateurL tsest a coecien Il variables. est possible d’adapter la denition a de tels cas (voir [75]).

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Atitred’exemple,signalonsquel’equationdesondes,∂ t 2 u   c 2 ∂ 2 x u= 0, n’est pas dispersive puisqueω() =coidnuqta’le;nordoin-GeKle∂ t 2 u   c 2 ∂ 2 x u+u= 0 est aussi une equation hyperbolique, mais est quant a elle dispersive; en eet,ω() =1 +c 2  2 . Cependant, elle est peu dispersive puisque la vitesse de groupeω 0 (ryAideonitauqe’L.eenrosteb)re ∂ t u+∂ x u+ ∂ 3 x uaons(vespdisiereanesiroitailsn’dseuqeuxexemplprincipaseutdnse0= iciω() =     3 ondeuatiodiSchrgnrea,)qe’lcevi∂ t u
u= 0, pour laquelleω() =|| 2 . Une des consequences mathematiques de la dispersion pour les equations lineaires est la presenced’eetsregularisantslocaux,c’estadirequ’al’instantt >0, les solutions sont locale- mentenespaceplusregulieresqu’ellesnelesontal’instantinitial(ceseetsregularisantsne peuventpaseˆtreglobauxpuisque,pourcesequationslineaires,lesnormesdeSobolevsontcon- serveesaucoursdutemps,commeonlevoitfacilementenprenantlatransformeedeFourier; deplus,ellessonttoutesreversiblesentemps).Ceseetsregularisantssontliesaladispersion: ilsn’existentpaspourl’equationdesondesparexemple;plusl’equationestdispersive,plus ces eets seront importants. Pour les equations non lineaires, ce phenomene pourra se traduire par deux comportements tresdierents:soitlanonlineariterenforceladispersionetalorslessolutionsontuncom- portement“lineaire”;enparticulier,ellestendentverszeroennormeL ∞  sujet, bien que. Ce tresactif,neserapasabordeici.Siparcontrenonlineariteetdispersionsecompensent,alors onobserveengeneraldessolutionslocaliseesquisepropagentsanschangementdeforme,de typeondesprogressivesouetatsstationnairesparfoisappelessolitons.C’estplutoˆtsurl’etude deladynamiquedescessolutionsqu’estaxelecours(quiserestreindraauxresultatslesplus elementaires). Ondonneci-apresquelquesexemplesmodelesd’equationsdispersivesnonlineaires. Equations de type KdVsoallausonsquisesequatignenreemttneetcolaCe:deneernc forme ∂ t u+∂ x M u+∂ x f(u) = 0 oux∈R,t >0,u(t, x) (ouu(t, x, x ⊥ s.leelesrurlevatsae)Mtareponuicitsedrueeitnerlei oupseudodierentielacoecientsconstants,denial’aidedelatransformeedeFourierpar d M u() =q()uˆ(),qestmbolunsy.serrslleeaveeual weged-VenoedoKtr’equatieleestllpmedomexe’L)dV(Kesri ∂ t u+∂ x u+∂ x 3 u+∂ x (u 2 ) = 0, t∈R, x∈R, modele de propagation unidirectionnelle pour les ondes longues a la surface de l’eau, en faible profondeur. L’equationdeBenjamin-Ono(B.O)  ∂ t u+∂ x u+∂ x 2 H(u) +∂ x (u 2 ) = 0, t∈R, x∈R, ouHest la transformee de Hilbert, i.e.Hf(x) = vp x 1 f, est egalement un modele de propagationd’ondeslongues,maisils’agitcettefoisd’ondesinternesdansdes uidesstraties. mtseKadotviav-Pe’Lqenoedauiteodbiletroudii-ivhsK(ilse)Pmnutentemsnoinnleq,iuit compte cette fois de faibles perturbations transverses, dont la longueur d’onde est de l’ordre

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ducarredelalongueurd’ondesdansladirectiondepropagation.Cetteequations’ecriten dimension deux : ∂ x (∂ t u+ ∂ 3 x u+∂ x (u 2 )) +∂ y 2 u= 0, t∈R,(x, y)∈R 2 . Suivant le signe de on obtient KPI ( <0) ou KPII ( >0); le comportement des solutions deKPIesttresdierentdeceluidessolutionsdeKPII. on-BMaa-nyhoitauednojneBnimaetndaovninrneaeeptaerdlm’sdeoqeeldstepyKeVdsUe (BBM) ou Regularized Long Wave equation (RLW) [2] ∂ t u   ∂ t ∂ x 2 u+∂ x (u+u 2 ) = 0, t∈R, x∈R. Mise sous la forme ∂ t u=   (1   ∂ x 2 )   1 ∂ x (u+u 2 ), l’equationfaitclairementapparaˆtreunefaibledispersion,puisquel’expressionω() =   1+  2  montrequelavitessedegroupeestbornee.Enconsequence,leseetsregularisantssontpour cetteequationinexistants:toutelapartiesingulieredelasolutionestcontenuedansladonnee initiale . La plupart des modeles ci-dessus possedent une vitesse de groupe negative: c’est le cas deKdV,apreschangementderepere(ω 0 () =   3 2 ), Benjamin-Ono (ω 0 () =   2||), KPII (∂  1 ω() =   3  2 1    2 2 / 2 1 ) et BBM (ω 0 () = (   1+ 1  + 2 2 ) ueereirisfnojrustou,maitiveeganst’esnpa a 1, qui est la valeur minimale de la vitesse pour les ondes solitaires de BBM) mais ce n’est pas le cas pour l’equation de KPI. Cette propriete implique que les (petites) ondes dispersives voyagentenregimelineaireverslagauche,tandisquelesondesnonlineaires,commeonva levoirplustard,voyagentversladroite.Cecientraineradoncundecouplageentrecesdeux types d’ondes dans la dynamique des solutions. Ce phenomene est d’une importance capitale pour l’etude de la stabilite asymptotique de ce type d’equations. Equations de type NLSxe’e:LcheSodrgeinonrnpera’leuqtaoidnmpletypeestdonn lineaire i∂ t u+
u+|u| 2 u= 0, ouuest une fonction a valeurs complexes,t∈R,x∈R n , et= equation1. Cette intervientenphysiquedesplasmas(c’estalorsuncasparticulierdel’equationdeZakharov), en optique non lineaire (par exemple comme modele de propagation dans les bres optiques) maisegalementdanslecontextedesondesdesurface,lorsquelaprofondeurestinnie.Lecas leplussouventrencontredanslesmodelesphysiquescorresponda= 1, mais ce n’est pas le seul.Enhydrodynamique,onrencontreegalementl’equationendeuxdimensionsdanslaquelle l’operateur
estremplaceparl’operateur∂ 2 x   ∂ y 2 . On n’a que tres peu de resultats qualitatifs rigoureuxdanscecas(enparticuliersurl’explosionentempsni,etlesphenomenesdestabilite transverseauxquelsons’attend).Parcertainscˆotes,cetteequationestqualitativementproche du modele de KPII. esleontdepnleartsysemeaDed-yevStewartson(voir[12)]:nUuaexpmrtee     i∂ t u+ ∂ x 2 u+∂ y 2 u=|u| 2 u+bu∂ x ϕ  ∂ 2 x ϕ+m∂ y 2 ϕ=∂ x (|u| 2 ) 3