Universite de Nice SL2M Algebre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Universite de Nice SL2M 2011-12 Algebre 2 Controle terminal. Elements de correction. Exercice 1. On considere la matrice 3? 3 a coefficients reels suivante A := ? ? 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ? ? . 1.1. Quelles sont les valeurs propres de A ? Existe-t-il une base de vecteurs propres de R3 formee de vecteurs propres de A ? La matrice A est-elle diagonalisable ? La matrice A est triangulaire. Elle a 1 comme unique valeur propre. La matrice A ? I3 est de rang 1, ce qui signifie que l'espace propre associe a la valeur propre 1 est de dimension 3? 1 = 2. Il ne peut donc pas exister de base de R3 formee de vecteurs propres. La matrice A n'est pas diagonalisable. 1.2. Memes questions pour la matrice B := ? ? 1 0 1 0 1 0 0 0 2 ? ? . La matrice B est triangulaire egalement. Elle a 2 valeurs propres distinctes qui sont 1 (de multi- plicite 2) et 2 (de multiplicite 1). Comme 2 est une valeur propre simple, l'espace propre associe est de dimension 1. La matrice B?I3 est de rang 1, donc l'espace propre associe a la valeur propre 1 est de dimension 3 ? 1 = 2.

• produit scalaire


• matrice colonne dans la base b0 de rm


• matrice de passage de b0


• base orthonormee


• base orthonormee de rn


• memes questions avec les matrices


• coordonnee de v0 sur ei


• coefficients reels

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Produit scalaire
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: profil-zyan-2012
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

Universit ´ edeNiceSL2M 2011-12Alg ` ebre2 ´ Contrˆoleterminal.El´ementsdecorrection. Exercice 1.amelerd`3ceriatnoisOcn×tnelessiuavcffieoca`3e´rstnei   1 0 1   A := 01 0 . 0 0 1 3 1.1.Quelles sont les valeurs propres deA? Existe-t-il une base de vecteurs propres deRee´mrof de vecteurs propres deA? La matriceAest-elle diagonalisable? La matriceAest triangulaire. Elle a 1 comme unique valeur propre. La matriceA−I 3 est de rang1,cequisignifiequel’espacepropreassocie´a`lavaleurpropre1estdedimension3−1 = 2. 3 Il ne peut donc pas exister de base deRforiceamates.Lroprrupsceetdevemre´An’est pas diagonalisable. 1.2.tiesquesrlousponecirtamaˆMme   1 0 1   B := 01 0 . 0 0 2 La matriceBiuosetqsitcndssilti-demunt1(´erelegantmell.Ev2aeuelarpsrerpoetsrtaignluia plicite´2)et2(demultiplicite´1).Comme2estunevaleurpropresimple,l’espacepropreassoci´e est de dimension 1. La matriceB−I 3 lava´i`eprorlaueeprospacssocprea1gnaredte’lcnod,epres 3 1 est de dimension 3−1 = 2. On obtient donc une base deRofmre´deveceetruneserporps concat´enantunebasedeE 1 et une base deE 2 . La matriceBest diagonalisable. 4 Exercice 2.On travaille dansRanlsaiidr`eeurseruoedlu.iOtnsccoienedospnalamrtcuim suivante deM 4 (R)   5 1 1 1 1 5 1 1  C:=.   1 1 5 1 1 1 1 5 2.1.Est-ce que le vecteuru:= (1,−1,−1,1) est un vecteur propre deC? Sioui,quelleestlavaleurproprecorrespondante?Onde´signeparEersarppoe´.osicesl’cepa D´eterminerunebaseorthonorme´edeE. On calcule le produit deCpar la matrice colonne deu. On trouve 4u. Le vecteuruest un vecteur propre deCpour la valeur propre 4. La matriceC−4I 4 est de rang 1. L’espace propreEest donc de dimension 4−1et=3esile´equationdte´nfipiraaleslux 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 0. Une base orthonorm´eedeEest par exemple √ √√ √ ((1/2,−1/2,0,0),(0,0,1/2,−1/2),(1/2,1/2,−1/2,−1/2)).

4 2.2.uneruvroeTe´mronohtroesabeBdeRemalaictrrm´eedevfoorrpseedceetrupsC.Dte´enimrre −1 une matrice orthogonalePet une matrice diagonaleDtelles queD=P CP. 1