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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Universite de Nice SL2M 2011-12 Algebre 2 Controle terminal. Elements de correction. Exercice 1. On considere la matrice 3? 3 a coefficients reels suivante A := ? ? 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ? ? . 1.1. Quelles sont les valeurs propres de A ? Existe-t-il une base de vecteurs propres de R3 formee de vecteurs propres de A ? La matrice A est-elle diagonalisable ? La matrice A est triangulaire. Elle a 1 comme unique valeur propre. La matrice A ? I3 est de rang 1, ce qui signifie que l'espace propre associe a la valeur propre 1 est de dimension 3? 1 = 2. Il ne peut donc pas exister de base de R3 formee de vecteurs propres. La matrice A n'est pas diagonalisable. 1.2. Memes questions pour la matrice B := ? ? 1 0 1 0 1 0 0 0 2 ? ? . La matrice B est triangulaire egalement. Elle a 2 valeurs propres distinctes qui sont 1 (de multi- plicite 2) et 2 (de multiplicite 1). Comme 2 est une valeur propre simple, l'espace propre associe est de dimension 1. La matrice B?I3 est de rang 1, donc l'espace propre associe a la valeur propre 1 est de dimension 3 ? 1 = 2.

produit scalaire

matrice colonne dans la base b0 de rm

matrice de passage de b0

base orthonormee

base orthonormee de rn

memes questions avec les matrices

coordonnee de v0 sur ei

coefficients reels

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Universit´edeNiceSL2M 2011-12Alg`ebre2 ´ Contrˆoleterminal.El´ementsdecorrection. Exercice 1.amelerd`3ceriatnoisOcn×tnelessiuavcﬃeoca`3e´rstnei   1 0 1   A:= 01 0. 0 0 1 3 1.1.Quelles sont les valeurs propres deA? Existe-t-il une base de vecteurs propres deRee´mrof de vecteurs propres deA? La matriceAest-elle diagonalisable? La matriceAest triangulaire. Elle a 1 comme unique valeur propre. La matriceA−I3est de rang1,cequisigniﬁequel’espacepropreassocie´a`lavaleurpropre1estdedimension3−1 = 2. 3 Il ne peut donc pas exister de base deRforiceamates.Lroprrupsceetdevemre´An’est pas diagonalisable. 1.2.tiesquesrlousponecirtamaˆMme   1 0 1   B:= 01 0. 0 0 2 La matriceBiuosetqsitcndssilti-demunt1(´erelegantmell.Ev2aeuelarpsrerpoetsrtaignluia plicite´2)et2(demultiplicite´1).Comme2estunevaleurpropresimple,l’espacepropreassoci´e est de dimension 1. La matriceB−I3lava´i`eprorlaueeprospacssocprea1gnaredte’lcnod,epres 3 1 est de dimension 3−1 = 2. On obtient donc une base deRofmre´deveceetruneserporps concat´enantunebasedeE1et une base deE2. La matriceBest diagonalisable. 4 Exercice 2.On travaille dansRanlsaiidr`eeurseruoedlu.iOtnsccoienedospnalamrtcuim suivante deM4(R)   5 1 1 1 1 5 1 1  C:=.   1 1 5 1 1 1 1 5 2.1.Est-ce que le vecteuru:= (1,−1,−1,1) est un vecteur propre deC? Sioui,quelleestlavaleurproprecorrespondante?Onde´signeparEersarppoe´.osicesl’cepa D´eterminerunebaseorthonorme´edeE. On calcule le produit deCpar la matrice colonne deu. On trouve 4u. Le vecteuruest un vecteur propre deCpour la valeur propre 4. La matriceC−4I4est de rang 1. L’espace propreEest donc de dimension 4−1et=3esile´equationdte´nﬁpiraaleslux1+x2+x3+x4= 0. Une base orthonorm´eedeEest par exemple √ √√ √ ((1/2,−1/2,0,0),(0,0,1/2,−1/2),(1/2,1/2,−1/2,−1/2)).

4 2.2.uneruvroeTe´mronohtroesabeBdeRemalaictrrm´eedevfoorrpseedceetrupsC.Dte´enimrre −1 une matrice orthogonalePet une matrice diagonaleDtelles queD=P CP. 1

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