Baccalaureat 2003 mathematiques sciences economiques et sociales recueil d'annales

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[BaccalauréatES2002\L’intégraledeseptembre2002àjuin2003PourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleusAntilles-Guyaneseptembre2002 ..................... 3Franceseptembre2002 ............................... 7Polynésieseptembre2002 ...........................12Nouvelle-Calédonienovembre2002 .................15AmériqueduSudnovembre2002 ................... 18Pondichérymars2003 ...............................22AmériqueduNordjuin2003 .........................25Antilles-Guyanejuin2003 ........................... 29Asiejuin2003 ........................................34Centresétrangersjuin2003 ..........................38Francejuin2003 .....................................42LaRéunionjuin2003 ................................46Libanjuin2003 .......................................49Polynésiejuin2003 .................................. 532[BaccalauréatESAntilles–Guyaneseptembre2002\EXERCICE 1 6pointsCommunàtouslescandidatsUneétuderéaliséesurtouslesétudiantsd’uneuniversitéapermisd’établirque30%desétudiantspossèdentunordinateurpersonnel.Parmilesétudiantspossédantunordinateur,18%possèdentuneautomobile.Onsaitaussique25%desétudiantsdel’universiténepossèdentpasd’automobile.Onchoisitauhasardunétudiantdecetteuniversité.Onnote:– Ol’évènement :«L’étudiantpossèdeunordinateur»;– Al’évènement:«L’étudiantpossèdeuneautomobile»;– p(E)laprobabilitédel’évènementE,ainsip(O)=0,3– El’évènement contrairedel’évènement E;– p (E) la probabilité conditionnelle de l’évènement E par ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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[BaccalauréatES2002\ L’intégraledeseptembre2002 àjuin2003 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2002 ..................... 3 Franceseptembre2002 ............................... 7 Polynésieseptembre2002 ...........................12 Nouvelle-Calédonienovembre2002 .................15 AmériqueduSudnovembre2002 ................... 18 Pondichérymars2003 ...............................22 AmériqueduNordjuin2003 .........................25 Antilles-Guyanejuin2003 ........................... 29 Asiejuin2003 ........................................34 Centresétrangersjuin2003 ..........................38 Francejuin2003 .....................................42 LaRéunionjuin2003 ................................46 Libanjuin2003 .......................................49 Polynésiejuin2003 .................................. 53 2 [BaccalauréatESAntilles–Guyaneseptembre2002\ EXERCICE 1 6points Communàtouslescandidats Uneétuderéaliséesurtouslesétudiantsd’uneuniversitéapermisd’établirque30% desétudiantspossèdentunordinateurpersonnel.Parmilesétudiantspossédantun ordinateur,18%possèdentuneautomobile. Onsaitaussique25%desétudiantsdel’universiténepossèdentpasd’automobile. Onchoisitauhasardunétudiantdecetteuniversité. Onnote: – Ol’évènement :«L’étudiantpossèdeunordinateur»; – Al’évènement:«L’étudiantpossèdeuneautomobile»; – p(E)laprobabilitédel’évènementE,ainsip(O)=0,3 – El’évènement contrairedel’évènement E; – p (E) la probabilité conditionnelle de l’évènement E par rapport à l’évène-F mentF. Pourrésoudrecetexercice,onpourras’aiderdelanotiond’arbrepondéré. Lesrésultatsserontdonnésenécrituredécimaleetarrondisaumillième. 1. Àl’aidedel’énoncé,préciser:p (A)etp(A).O 2. Onchoisitauhasardunétudiantdecetteuniversité. a. Calculer la probabilité de l’évènement «L’étudiant possède un ordina- teuretuneautomobile». b. Montrerquelaprobabilitédel’évènement «L’étudiantpossèdeunordi- nateurmaispasd’automobile»estégaleà0,246. c. Calculerlaprobabilitédel’évènement«L’étudiantnepossèdeniordina- teurniautomobile». d. Calculerlaprobabilitéquel’étudiantpossèdeunordinateur,sachantqu’il n’apasd’automobile. 3. Onchoisittroisétudiantsauhasard,indépendammentlesunsdesautres. a. Calculerlaprobabilitépourquelestroisétudiantschoisispossèdenttous unordinateur. b. Calculer la probabilité pour qu’au moins un des étudiants chosis pos- sèdentunordinateur. Exercice2 5points Enseignementobligatoire Dans une situation de monopole sur la production d’un objet, une entreprise le conditionneetenfaitlapromotion. Unestatistique aété établie pour étudier laliaison entreproductionetcoût depu- blicité. Soit q laquantité produiteexpriméeencentaines, y lapartducoûtdepublicitéen pourcentage. Quantité qi (centaines) 1 10 20 50 100 150 200 Pourcentage y 4,20 3,70 3,30 2,30 1,20 0,65 0,35i c c c c c b b c b b b c b b BaccalauréatES septembre2002àjuin2003 Parexemple:Pouruneproductionde100objetslecoûtdepublicitéestde4,2%du coûttotal. 1. Ci-jointenannexelenuagedepoints(q ; y )quiserarenduaveclacopie.i i a. L’équation de la droite de régression de y en q est : y =−0,02q+3,71 (admis). Tracer cette droite de régression sur la feuille donnée en annexe repré- sentantlenuagedepoints. b. Quelleseraitlapartducoûtdelapublicitéàprévoirpourunepro-duc- tionde25 000objets? Quepensez-vousdel’ajustement effectuéàlaquestionprécédente? 2. Onconsidèreunnouveaumodèleenposantz=ln(100y). a. Dresserletableaudesvaleursz correspondantauxvaleursq .i i Lesvaleurs de z serontdonnées sousformedécimale arrondieaucen-i tièmeleplusproche. b. Représenterlenuagedepoints(q ; z )dansunrepère(unitésgraphiques:i i 1cmpour10centainesenabscisses,2cmpouruneunitéenordonnées) surunefeuilledepapiermillimétré. c. Cenuagedepointsmontrequ’unajustementaffineestjustifié. Détermineruneéquationdeladroitederégressiondez enq delaforme z=aq+b parlaméthodedesmoindrescarrés. Les calculs faits à l’aide d’une calculatrice ne seront pas justés. Les va- leursde a etde b serontdonnéessousformedécimalearrondieaucen- tièmeleplusproche. d. Quelleseraitlapartducoûtdelapublicitéàprévoirpouruneproduction de25 000objets? Annexeàrendreaveclacopie 0 50 100 150 200 Quantité q encentaines Antilles-Guyane 4 septembre2002 Pourcentagey BaccalauréatES septembre2002àjuin2003 EXERCICE 2 5points Enseignementdespécialité 1. Uncapitalinitialc de600eurosestplacésuruncompterapportant5%d’in-0 térêtsannuels.Onnotec lecapitalacquisauboutden années(n entier na-n turel). a. Calculerlecapitalc enfonctiondec .n+1 n b. Endéduirel’expressiondec enfonctionden.n c. Trouverlenombreminimald’annéesnécessairespourquelecapitalainsi placéaitaumoinstriplé. 2. Unautreépargnantplaceégalementuncapitalinitialde600eurosautauxan- nuel de 5% d’intérêts, et fait un versement supplémentaire de 150 euros à la findechaqueannée.Onappelled lecapitalinitialetd lecapitalainsiacquis0 n àlafindelan-ièmeannée. a. Calculerd , d , d .1 2 3 b. Vérifierquepourtoutentiernatureln, d =1,05d +150.n+1 n c. Soit v lasuitedéfiniepar:v =d +3000.( )n n n Calculerv etv .0 1 Démontrerquelasuite(v )estgéométriquederaisonq=1,05.n Écrirev enfonctiondev etden.n 0 d. Endéduired enfonctionden.n e. Àpartirdecombiend’annéeslecapitald aura-t-ilaumoinstriplé?n PROBLÈME 10points PartieA Soit f lafonctionnumériquedéfinieetdérivablesurl’intervalle[0;20]par: −2x 2f(x)=4−3e +7x . 1. Démontrerque f estcroissantesur[0;20]. 2. Dresserletableaudesvariationsde f surl’intervalle[0;20]. PartieB Soith lafonctiondéfinieetdérivablesur[0;20]par: −2xh(x)=85−6e −14x. −2x1. a. Démontrerquepourx>0ona12e <14. b. Endéduirelesensdevariationsdeh sur[0;20]etdressersontableaude variations. 2. Démontrerquel’équation h(x)=0admetsur [0;20]unesolu-tionuniqueα etqueαappartientàl’intervalle[6;7]. −23. Montrerqu’unevaleurapprochéedeαà10 prèsest6,07. Danstoutelasuiteduproblèmeonprendracettevaleurpourα. 4. Déterminerlesignedeh(x)sur[0;20]. Antilles-Guyane 5 septembre2002 BaccalauréatES septembre2002àjuin2003 PartieC ⋆ Applicationéconomique Dans une entreprise, le coût de fabrication, exprimé en milliers d’euro, de x cen- tainesd’appareilsestdonnépar: −2x C(x)=4−3e +7x2 pour x∈[0;20]. 1. Sachantqu’unappareilestvenduauprixunitairede850euros,montrerquele bénéficeréaliséparl’entreprisepour x centaines d’appareilsproduitsetven- dus,expriméenmilliersd’euros,estdonnéparl’expression: −2x 2B(x)=3e −7x +85x−4. 2. a. ÉtudierlesensdevariationsdelafonctionB sur[0;20]. b. Déterminezlaquantitéàproduireetàvendrepourquel’entrepriseréa- liseunbénéficemaximal;précisercettequantitéàl’unitéprès. c. Déterminez,àl’aidedelacalculatrice,lesquantitésdepiècesàproduire et à vendre à l’unité près pour que l’entreprise ne travaille pas à perte (aucuneautrejustificationn’estdemandée). Antilles-Guyane 6 septembre2002 [ BaccalauréatESFranceseptembre2002\ EXERCICE 1 6points Communàtouslescandidats Lesrésultatsdescalculsnumériquesserontarrondisavecdeuxdécimales. Uneentrepriserecherchetroispersonnes expérimentées pour occuper troispostes techniques importants. On a constaté, lors d’embauches précédentes, que parmi lescandidatsquipeuventseprésenter, 80%ontlescompétencesrequisespouroc- cupercespostes. Poursélectionner lescandidats,lesrecruteursdel’entrepriseéla- borentuntest.Onestimeque: • siunepersonneestcompétente,ellea85chancessur100deréussirletest; • siunepersonneestincompétente,ellea20chancessur100deréussirletest. 1. Unepersonneseprésentepourlepremierposte.Onnote • Cl’évènement «lapersonneestcompétente» • Rl’évènement «lapersonneréussitletest». • CetRdésignentlesévènementscontrairesrespectifsdeCetR. • SiAetBsontdesévènements, *p(A)estlaprobabilitéderéalisationdeA * p (A) est la probabilité de réalisation de A sachant que B est réalisé, notéeB aussi p(A/B). a. Àl’aidedesinformationsindiquéesdansl’énoncé: Donner les valeurs de p(C) et p (R). Donner la probabilité qu’une per-C sonneréussisseletest,sachantqu’ellen’estpascompétente.³ ´ b. Calculerp C . c. Calculer la probabilité qu’une personne réussisse le test et soit compé- tente. d. Montrerquep(R)=0,72. e. Unepersonneréussitletest.Quelleestlaprobabilitéqu’ellesoitcompé- tente? 2. Troiscandidatsseprésententpourpourvoirlestroispostes. Ilssubisuccessivementletestdefaçonindépendante. Onadmetquelaprobabilitéderéussiteautestestde0,72pourchacun. X désigne la variable aléatoire donnant le nombre de candidats, parmi les trois,réussissantletest. a. Onaesquisséci-dessousunarbrepondérétraduisantlasituation. Recopier cette esquisse sur la copie et la compléter par les branches et leslégendesmanquantes. b. Calculerp(X=3). c. Calculer la probabilité qu’exactement deux candidats sur les troisréus- sissentletest. BaccalauréatES septembre2002àjuin2003 Candidat1 Candidat2 Candidat3 0,72 R 0,28 R EXERCICE 2 5points Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité Surlegraphiqueci-dessous,onatracé: • la courbeC représentant une fonction f définie et dérivablesur l’intervallef ]0;−∞[; • deuxtangentesàcettecourbe:celleaupointAd’abscisse1etcelleaupointB d’abscissee. LacourbeC passeparlespointsA(1;−1),B(e;0)etC(4; f(4)).f LatangenteenAestparallèleàl’axedesabscisses. LatangenteenBpasseparlepointEtelqueBD=DE,oùDestlepointdecoordon- nées(4;0)etEapourabscisse4. 2 C E 1 e D0 0 1 2 3 4 5 -1 A -2 Lenombreeestlabasedeslogarithmesnépériens. 1. Parlecturegraphique,répondreauxquestionssuivantes: ′ ′a. Sansjustifier,donner f (1)et f (e). b. Sans justifier, donner les solutions dans ]0; 4[ de l’inéquation f(x)<0, ′puiscellesde: f (x)<0. c. SoitA, en unités d’aire, une estimation de l’aire de la région colorée, région comprise entre l’axe des abscisses, la courbeC et les droitesf d’équations x=1etx =e. Parmilestroisnombressuivants:2,9;1,1;0,6lequelestlameilleureva- leurapprochéedeA ?Justifierlaréponse. France 8 septembre2002 BaccalauréatES septembre2002àjuin2003 2. Onsupposequelafonction f précédenteestdéfiniesur]0 ; +∞[par: f(x)=xln(x)−x. ′ ′a. Calculer f (x).Endéduirelesvariationsde f etlesvaleursde f (1)etde ′f (e);onnedéterminerapaslalimiteen+∞. b. MontrerquelafonctionF définiesur]0;4]par: µ ¶2x 3 F(x)= lnx− 2 2 estuneprimitivede f sur]0;4]. EXERCICE 2 5points Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité³ ´→−→− →− 1. Dansunrepèreorthonormaldel’espace O, ı ,  , k onconsidèrelespoints A(1;0;2) B(2;1;0)etC(0;1;2) a. DémontrerqueABCestuntrianglerectangle. →− b. Vérifierquelevecteur u (1;1;1)estunvecteurnormalauplan(ABC). c. Endéduireuneéquationcartésiennedeceplan. d. Quelles sont les coordonnées des points E, F et G intersections du plan³ ´ ³ ´ ³ ´→−→− →− (ABC)aveclesdroites O; ı , O;  et O; k ? ³ ´→−→− →− ReprésenterlespointsA,B,CetletriangleEFGdanslerepère O, ı ,  , k . −→ →− e. SoitDlepointdéfiniparAD =3u . Déterminersescoordonnées,puisleplacersurlegraphique. f. PourquoilestrianglesABDetACDsont-ilsrectanglesenA? DémontrerqueBCDn’estpasrectangle. 2. Les points A, B, C et D déterminent un solide S à quatre faces triangulaires (tétraèdre)donttroissontdestrianglesrectangles. OnconsidèreunjeuoùonlancelesolideS.Ilretombesurunedesesfaces. On a perdu si cette face est un triangle rectangle et on a gagné dans le cas contraire. Une étude statistique a montré que l’on avait deux fois plus de chances de perdrequedegagner. a. OnlancelesolideSunefois. QuelleestalorslaprobabilitéqueSretombesurlaface(BCD)? b. OnlancelesolideSquatrefois,leslancersétantindépendants. Quelleestlaprobabilitéd’obtenirexactementdeuxfoislaface(BCD)? (Ondonneralerésultatsousformed’unefractionirréductible.) PROBLÈME 9points Communàtouslescandidats LapartieCestindépendantedespartiesAetB. PartieA France 9 septembre2002 BaccalauréatES septembre2002àjuin2003 Soith lafonctionpolynômeduseconddegrédéfiniesur[0;1]par 2h(x)=(e−1)x −2(e−1)x+1, laconstanteedésignantlabasedeslogarithmesnépériens(e≈2,718). 1. Montrerqueh eststrictementdécroissantesur[0;1]. 2. Justifier le fait que h s’annule une fois et une seule entre 0 et 1. On note α le nombreréelquivérifieh(α)=0. 3. En utilisant les résultats des questions précédentes, préciser le signe de h(x) sur[0;1]. PartieB Soit f lafonctiondéfiniesur[0;1]par £ ¤ 2f(x)=ln (e−1)x +1 etC sacourbereprésentativedansunrepèreorthonormal(unitégraphique10cm).f 1. Calculer f(0)et f(1). 2. Étudierlesvariationsde f sur[0;1]. 3. OnveutpréciserlapositiondeC parrapportàladroiteDd’équation y=x.f Pourcela,onétudielesvariationsdelafonctionddéfiniesur[0;1]pard(x)= x−f(x). h(x)′a. Montrerqued (x)= oùhestlafonctionétudiéedanslapar-2(e−1)x +1 tieA. b. Étudierlesensdevariationded sur[0;1]. c. Calculerd(0)etd(1). d. Déduiredecequiprécèdelesigneded(x)sur[0;1]. PréciserlapositiondeC parrapportàladroiteD.f PartieC Sur le graphique ci-dessous sont représentées la droited’équation y=x, la courbe C représentative de la fonction f étudiée dans la partieB et la courbeC repré-f g sentatived’unenouvellefonction g. France 10 septembre2002
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