Fiche d'analyse theoremes d'analyse et leur demonstration

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Fiche 3 d'analyse : theoremes d'analyse et leur demonstration 13 mars 2011 I Theoremes portant sur les fonctions continues Theoreme 1 (des valeurs intermediaires) Soit f une fonction a valeurs reelles definie et continue sur un intervalle I. Soit (a, b) ? I2 avec a < b et f(a) < f(b) (resp. f(a) ≥ f(b)). Pour tout y ? [f(a), f(b)] (resp. y ? [f(b), f(a)]), il existe x ? [a, b] tel que y = f(x). Autrement dit, la fonction f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b). La demonstration differe de celle vue en cours. Ici on emploie la dichotomie. Demonstration. — Nous traitons le cas ou f(a) < f(b), le cas f(a) ≥ f(b) se traitant de maniere analogue. Pour etablir le theoreme des valeurs intermediaires, nous allons utiliser le procede de dichotomie. On construit par recurrence deux suites (an)n et (bn)n contenues dans [a, b] et ayant les proprietes suivantes : 1. a0 = a et b0 = b ; 2.

  • interpretation graphique du theoreme des accroissements finis

  • demonstration

  • ?n ?

  • principe de la demonstration

  • theoreme

  • corde joignant le point

  • interpretation geometrique

  • existence de la limite


Publié le : mardi 1 mars 2011
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Fiche3danalyse:th´eor`emesdanalyseetleurd´emonstration
13mars2011
ITh´eor`emesportantsurlesfonctionscontinues
The´ore`me1(desvaleursinterme´diaires)Soitfurneuustnniunefoncruele´rsnoitava`iencoetleel´esd 2 intervalleI.Soit(a, b)Iaveca < betf(a)< f(b)(resp.f(a)f(b)). Pour touty[f(a), f(b)](resp. y[f(b), f(a)]), il existex[a, b]tel quey=f(x).
Autrement dit, la fonctionfprend toutes les valeurs entref(a) etf(bindre`etrnsioatdaL.ome´)euedecllve en cours. Ici on emploie la dichotomie. De´monstrationstouN.`oucesanolsartif(a)< f(b),le casf(a)f(b)se.guitanetrana`idtmeanolreae Pour´etablirlethe´ore`medesvaleursinterm´ediaires,nousallonsutiliserleproc´ede´dedichotomie.On construitparr´ecurrencedeuxsuites(an)net (bn)ncontenues dans [a, b:elpsorrpe]ataytnuivantesi´et´ess 1.a0=aetb0=b; 2. lessuites (an)net (bn)n;sont adjacentes 3.nN, f(an)yf(bn). Avantdeconstruirepre´cise´mentlesdeuxsuites,voyonscommentconclure. `rse.2l,seustiseda(pan)net (bn)nˆeemunrsventgeervnocimetemilx.De plusx[a, b],r`esdap..1 la fonctionfnutiuresanetontc´I,donc sur [a, b],elle est continue enx.s´equent,Parcon limf(an) =limf(bn) =f(x). n+n+cadrlendansmiteuoevnort3t,.mene:a`tnilalpnEassa f(x)yf(x). Dou`y=f(xroe`emse´ttebail.e´htelte)
Ilreste`aconstruirelessuites(an) et (bn:eliercngatiensusniniplsquemoinqilppadelreu)pr´arurec proce´d´ededichotomie!Commeindiqu´ea0=aetb0=b.Opusntepaeachaque´posequ`nde construction f(an)yf(bn). an+bn ` Ale´tape(n+ 1),neermid´etonc=f( ).enntt:edserugrpesese´xuaceD 2 an+bn sic > y,alors on posean+1=anetbn+1= ; 2 an+bn sicy,alors on posean= etbn+1=bn. 2 Les suites (an)net (bn)nilraPa..t3.es1´e(setiussel,sruelenta´erictoenssvtirnusii´iteorrpelpsibnean)n et (bn)nsont bien adjacentes. En effet : (an)nest croissante par construction; (bn)nsedtoiss´ecrparante bnan construction ;nN, anbnet limbnan= 0 carnN, bn+1an+1ciuqudno=a`tice 2 n+b0a0 bnan=npour toutnN. 2 2
Corollaire 1Soitfnoiteecteinse´deellrsr´aleun`avoitcnofenuelteinalrvesnuunurI.Alorsf(I),l’image directe deIparf, est un intervalle.
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PCSI B
Mathe´matiques
Lyce´eBrizeux-anne´e2010-2011
Fig.itar.nome´dtsnopecilades:teinprsetaetnideseobnrh´eor`em1T
De´monstrationedm´erntquesiriasedeme`risruelavcoulld´eh´eoedutsei.Icetdavecc < dpartiennent`apa f(I),alors [c, d]f(I).Ctlesun`aarecundioatisert´acedellavretninRsurlitrechapf.lele)srse´bmerseon.c( Il s’ensuit quef(I) est un intervalle.2
Th´eor`eme2(desbornesatteintes)Soitfllfereavberore´mn´edteeine´ueinntcontnirusu[a, b].Alorsf estborne´esur[a, b].De plusfatteint ses bornes.
1 Autrement dit, inff(xsup) etf(x) existent et il existex1[a, b] (resp.x2[a, b]) tel que x[a,b] x[a,b] f(x1inf) =f(x) (resp.f(x2) =supf(x) ). x[a,b] x[a,b]
D´emonstration. — On montre d’abord quefmo´etrnseer´ad(lqtiaeuoitafudnetsamojftenteeesnor´stmieiotnuopt analogue). Supposons par l’absurde queftmsseaprnojasee´[rua, b]. suitedesegmentseapdrciohotimueenncOstonitrue´tıˆobm[san, bn] aveclimbnan= 0 sur n+lesquelsfasmaestpee.jor´n Al´etape0deconstruction,onposea0=aetb0=b.`hseieinlshpytoDapr`ee,altifee´rojasmpasten sur [a0, b0]. Supposons avoir construit le segment [an, bn] de telle sorte quef´rojamsa[ruseeoitpnesan, bn].Il en an+bnan+bn r´esultequefnpeueˆtteermajor´esurlundegesstnem[san,] ou [, bn] (sifajoraitm´ete´e 2 2 sur ces deux segments, elle le serait sur le segment [an, bn]). an+bn S’il s’agit du segment [an,],on pose 2 an+bn [an+1, bn+1] = [an,]. 2 Sinon, on pose an+bn [an+1, bn+1] = [, bn]. 2 Soitcn[an, bn] tel quef(cn)n.teenstxiuiepuesqtnUe´leme´lfesur[netsapmsjaroe´an, bn]. La suite (cn)nsrevegrevnocein´eidnsaix0[a, b].En effet nN, ancnbn. De plus, les suites (an)net (bn)nte´atnatvtireeusennˆomemveglrenmeis,ellescdjacentex0[a, b]. Leth´eor`emedesgendarmespermetdeconclure. La suite (f(cn))ntend vers +puisquef(cn)npour toutnN.tlacontinuit´edirentcociceisMa s´equentielleenx0: en effet, on doit avoirlimf(cn) =f(x0). n+1 Uneautremanie`redeledire:fde`esspomunimiunxamnutem[rusmumia, b].
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