PC DEVOIR SURVEILLE N° Samedi 1er octobre Principe d'un appareil photographique CCP MP Turbine gaz Extrait E3A PSI Wattmètre électronique CCP PC2003

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
PC 2011-2012 DEVOIR SURVEILLE N° 1 Samedi 1er octobre - Principe d'un appareil photographique (CCP MP 2011) - Turbine à gaz (Extrait E3A PSI 2011) - Wattmètre électronique (CCP PC2003)

• lentille équivalente


• lentille


• profondeur de champ


• appelée profondeur de champ


• centre o2


• détecteur sensible aux radiations lumineuses


• champ angulaire

Sujets

• Première
• Physique-chimie
• Lentille
• Profondeur de champ

Informations

• Publié par: davaj
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• Langue: Français

Extrait

PCSI

Math´ematiques

Lyce´eBrizeux-ann´ee2009-2010

CorrectionduPremierDevoirSurveill ´ e

P r o b l e` m e sd ’ a n a l y s ed eT e r m i n a l e

Calculer les limites suivantes :

Exercice 1

x √ x ln(1−e) x 2 lim etlime+x−e . x→0 x→+∞ x

Exercice2.Unesuitedesolutionsd’e ´ quations

∗n Soitn∈N,on noteP n rminoedalfin´esuielypoontincfolaRparP n (x) =x+x−1. 1.Montrerquel’e´quationP n (x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ]0,1[. On noteα n tu´eerdieeicd’ste’lecrexeL.ndtubectttuoiseloalusti(eα n ) n∈N . ∗ 2. Pourtoutn∈N,´eeuqrilbatP n+1 < P n sur ]0,1[. 3. Montrerque pour toutn∈N, P n+1 (α n )<0.Ernedq´ueduiuiteelas(α n ) n∈N est strictement croissante. 4. Montrerque la suite (α n ) n∈N est convergente. On note`la limite de la suite (α n ) n∈N . n n 5. Etablirque pour toutn∈N,0≤α≤` . n 6. Onsuppose que` <1. n (a)Etablirquesouscettehypothe`selimα= 0. n n→+∞ (b)Ende´duirequeforce´ment`= 1. 7.End´eduirelavaleurde`.

0n−1 1.P n ´dtseelbaviresurRen tant que fonction polynomiale. Pour toutx∈R, P n (x) =n x+ 1.eriv´eede´daLP n est donc strictement positive sur[0,1].aP,ntueeqs´onrcP n est une bijection (strictement croissante) de[0,1]sur [P n (0), P n (1)].OrP n (0) =−1etP n (1) = 1.tionL’´equaP n (x) = 0a donc une unique solution dans]0,1[. 2.Onpeutobtenirl’ine´galite´en´etudiantlafonctionP n+1 −P n .seiuavtn.enOepalegr´niteobl’utre`inamaledtneme n+1n n+1n Pour toutx∈]0,1[< x., x’Du`ox+x−1< x+x−1pour toutx∈]0,1[. 3.Appliquonsl’in´egalit´epre´ce´dentepourx=α n . On obtientP n+1 (α n+1 )< P n (α n ).Orα n efivire´P n (α n ) = 0(car α n a`tnaenrtpaapontiluso’lnuqieufieinitnoestpard´]0,1[deP n (x) = 0`u.D’o)P n+1 (α n )<0. ∗ Soitn∈N. P n+1 est strictement croissante etP n+1 (α n )<0;P n+1 (α n+1 ) = 0.Ceci entraˆıneα n < α n+1 . ∗ Parcons´equent,α n < α n+1 pour toutn∈N.blit´etaasuitqeueleCic(α n ) ∗ est strictement croissante. n∈N 4. Lasuite(α n ) ∗ emetcirtstseante,majntcroissroe´pera1: elle est donc convergente. n∈N ∗ 5. Onsait que pour toutn∈N, 0≤α n ≤`. D’ou`en´elevantene´levanta`lapuissancen: n n 0≤α n ≤` ∗ pour toutn∈N.

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