PC DEVOIR SURVEILLE N° Samedi 1er octobre Principe d'un appareil photographique CCP MP Turbine gaz Extrait E3A PSI Wattmètre électronique CCP PC2003

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première PC 2011-2012 DEVOIR SURVEILLE N° 1 Samedi 1er octobre - Principe d'un appareil photographique (CCP MP 2011) - Turbine à gaz (Extrait E3A PSI 2011) - Wattmètre électronique (CCP PC2003) lentille équivalente lentille profondeur de champ appelée profondeur de champ centre o2 détecteur sensible aux radiations lumineuses champ angulaire

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PCSI

Math´ematiques

Lyce´eBrizeux-ann´ee2009-2010

CorrectionduPremierDevoirSurveill´e

P r o b l e` m e sd ’ a n a l y s ed eT e r m i n a l e

Calculer les limites suivantes :

Exercice 1

x √x ln(1−e) x2 lim etlime+x−e . x→0x→+∞ x

Exercice2.Unesuitedesolutionsd’e´quations

∗n Soitn∈N,on notePnrminoedalﬁn´esuielypoontincfolaRparPn(x) =x+x−1. 1.Montrerquel’e´quationPn(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ]0,1[. On noteαntu´eerdieeicd’ste’lecrexeL.ndtubectttuoiseloalusti(eαn)n∈N. ∗ 2. Pourtoutn∈N,´eeuqrilbatPn+1< Pnsur ]0,1[. 3. Montrerque pour toutn∈N, Pn+1(αn)<0.Ernedq´ueduiuiteelas(αn)n∈Nest strictement croissante. 4. Montrerque la suite (αn)n∈Nest convergente. On note`la limite de la suite (αn)n∈N. n n 5. Etablirque pour toutn∈N,0≤α≤` . n 6. Onsuppose que` <1. n (a)Etablirquesouscettehypothe`selimα= 0. n n→+∞ (b)Ende´duirequeforce´ment`= 1. 7.End´eduirelavaleurde`.

0n−1 1.Pn´dtseelbaviresurRen tant que fonction polynomiale. Pour toutx∈R, Pn(x) =n x+ 1.eriv´eede´daLPn est donc strictement positive sur[0,1].aP,ntueeqs´onrcPnest une bijection (strictement croissante) de[0,1]sur [Pn(0), Pn(1)].OrPn(0) =−1etPn(1) = 1.tionL’´equaPn(x) = 0a donc une unique solution dans]0,1[. 2.Onpeutobtenirl’ine´galite´en´etudiantlafonctionPn+1−Pn.seiuavtn.enOepalegr´niteobl’utre`inamaledtneme n+1n n+1n Pour toutx∈]0,1[< x., x’Du`ox+x−1< x+x−1pour toutx∈]0,1[. 3.Appliquonsl’in´egalit´epre´ce´dentepourx=αn. On obtientPn+1(αn+1)< Pn(αn).Orαneﬁvire´Pn(αn) = 0(car αna`tnaenrtpaapontiluso’lnuqieuﬁeinitnoestpard´]0,1[dePn(x) = 0`u.D’o)Pn+1(αn)<0. ∗ Soitn∈N. Pn+1est strictement croissante etPn+1(αn)<0;Pn+1(αn+1) = 0.Ceci entraˆıneαn< αn+1. ∗ Parcons´equent,αn< αn+1pour toutn∈N.blit´etaasuitqeueleCic(αn)∗est strictement croissante. n∈N 4. Lasuite(αn)∗emetcirtstseante,majntcroissroe´pera1: elle est donc convergente. n∈N ∗ 5. Onsait que pour toutn∈N, 0≤αn≤`. D’ou`en´elevantene´levanta`lapuissancen: n n 0≤αn≤` ∗ pour toutn∈N.

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