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PC DEVOIR SURVEILLE N° Samedi 1er octobre Principe d'un appareil photographique CCP MP Turbine gaz Extrait E3A PSI Wattmètre électronique CCP PC2003

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
PC 2011-2012 DEVOIR SURVEILLE N° 1 Samedi 1er octobre - Principe d'un appareil photographique (CCP MP 2011) - Turbine à gaz (Extrait E3A PSI 2011) - Wattmètre électronique (CCP PC2003)

  • lentille équivalente

  • lentille

  • profondeur de champ

  • appelée profondeur de champ

  • centre o2

  • détecteur sensible aux radiations lumineuses

  • champ angulaire


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Nombre de lectures 116
Langue Français
PCSI
Math´ematiques
Lyce´eBrizeux-ann´ee2009-2010
CorrectionduPremierDevoirSurveill´e
P r o b l e` m e sd ’ a n a l y s ed eT e r m i n a l e
Calculer les limites suivantes :
Exercice 1
x x ln(1e) x2 lim etlime+xe . x0x+x
Exercice2.Unesuitedesolutionsde´quations
n SoitnN,on notePnrminoedaln´esuielypoontincfolaRparPn(x) =x+x1. 1.Montrerquele´quationPn(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ]0,1[. On noteαntu´eerdieeicdstelecrexeL.ndtubectttuoiseloalusti(eαn)nN. 2. PourtoutnN,´eeuqrilbatPn+1< Pnsur ]0,1[. 3. Montrerque pour toutnN, Pn+1(αn)<0.Ernedq´ueduiuiteelas(αn)nNest strictement croissante. 4. Montrerque la suite (αn)nNest convergente. On note`la limite de la suite (αn)nN. n n 5. Etablirque pour toutnN,0α` . n 6. Onsuppose que` <1. n (a)Etablirquesouscettehypothe`selimα= 0. n n+(b)Ende´duirequeforce´ment`= 1. 7.End´eduirelavaleurde`.
0n1 1.Pn´dtseelbaviresurRen tant que fonction polynomiale. Pour toutxR, Pn(x) =n x+ 1.eriv´eede´daLPn est donc strictement positive sur[0,1].aP,ntueeqs´onrcPnest une bijection (strictement croissante) de[0,1]sur [Pn(0), Pn(1)].OrPn(0) =1etPn(1) = 1.tionL´equaPn(x) = 0a donc une unique solution dans]0,1[. 2.Onpeutobtenirline´galite´en´etudiantlafonctionPn+1Pn.seiuavtn.enOepalegr´niteoblutre`inamaledtneme n+1n n+1n Pour toutx]0,1[< x., xDu`ox+x1< x+x1pour toutx]0,1[. 3.Appliquonslin´egalit´epre´ce´dentepourx=αn. On obtientPn+1(αn+1)< Pn(αn).Orαnevire´Pn(αn) = 0(car αna`tnaenrtpaapontilusolnuqieueinitnoestpard´]0,1[dePn(x) = 0`u.Do)Pn+1(αn)<0. SoitnN. Pn+1est strictement croissante etPn+1(αn)<0;Pn+1(αn+1) = 0.Ceci entraˆıneαn< αn+1. Parcons´equent,αn< αn+1pour toutnN.blit´etaasuitqeueleCic(αn)est strictement croissante. nN 4. Lasuite(αn)emetcirtstseante,majntcroissroe´pera1: elle est donc convergente. nN 5. Onsait que pour toutnN, 0αn`. Dou`en´elevantene´levanta`lapuissancen: n n 0αn` pour toutnN.
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