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La micro-économie du consommateur : des préférences du consommateur à la demande Les choix du consommateur qui le conduisent à émettre une demande sur un marché sont déterminés par ses préférences (ou goûts) supposées stables et connus de lui, les prix des biens et sa contrainte budgétaire (son revenu). Il faut cependant préalablement établir une distinction sémantique : il arrive parfois, par abus ou par facilité de langage, que l'on confonde la demande du consommateur d'un bien et sa consommation de ce bien.
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Publié le : mercredi 28 mars 2012
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La micro-économie du consommateur : des préférences du consommateur à la demande

Les choix du consommateur qui le conduisent à émettre une demande sur un marché sont
déterminés par ses préférences (ou goûts) supposées stables et connus de lui, les prix des biens et sa
contrainte budgétaire (son revenu). Il faut cependant préalablement établir une distinction sémantique : il
arrive parfois, par abus ou par facilité de langage, que l’on confonde la demande du consommateur d’un
bien et sa consommation de ce bien. Or l’une ne se confond pas avec l’autre : la consommation est une
dépense effectivement réalisée, tandis que la demande du consommateur reflète ses intentions d’achat
(des quantités) correspondant à chaque niveau de prix du bien (sachant qu’à un moment donné, à un
endroit donné, il n’y aura qu’un prix affiché pour le bien considéré). Le problème qui se pose alors est
d’établir une relation entre ses préférences et sa demande qui tienne compte également des prix des
biens et de son revenu.
Les premiers auteurs marginalistes (Jevons, Menger, Walras, Marshall) considéraient que l’on pouvait
mesurer l’utilité que retirait le consommateur de la consommation d’une quantité déterminée de biens.
L’utilité était supposée quantifiable, c’est pourquoi on parlait d’utilité cardinale. Devant les objections et
les difficultés, l’hypothèse de mensurabilité de l’utilité fut progressivement abandonnée au profit d’une
conception ordinale de l’utilité (au moins pour ce qui concerne l’analyse des choix du consommateur en
univers certain) avant que les références au concept même d’utilité apparaissent superflues pour
l’analyse de la demande et, plus globalement, dans la théorie des prix (cf. texte de J.R. Hicks à la fin de
ce poly).

1. Le comportement du consommateur

1.1. Les courbes d’indifférence

On suppose que le consommateur est capable d’exprimer ses préférences en classant les différentes
combinaisons de biens qui s’offrent à lui, chaque combinaison correspondant à ce qu’on appelle un
panier de biens. Chaque panier de bien est composé de quantités (éventuellement nulles) des divers
nbiens disponibles qui peuvent se représenter sous la forme de vecteurs dans R du type
X = (x ,x ,…,x,…, x ) ou x représente la consommation du bien i (avec i variant de 1 à n). 1 2 i n i
On suppose alors que :
1) quels que soient les paniers de biens, le consommateur est toujours en mesure de les classer par
ordre de préférence (sachant que deux paniers distincts peuvent lui être totalement indifférents du
point de vue de ses préférences). On dit que les préférences sont complètes.
2) Si un panier de biens C1 est préféré à un panier de biens C2 et que lui-même est préféré à un panier
de biens C3 alors le panier de biens C1 est préféré au panier de biens C3. On dit que les préférences
sont transitives. La relation d’indifférence (ou d’équivalence) entre les paniers de biens est également
transitive.
3) Enfin , la relation de préférence est dite réflexive, c’est-à-dire qu’un panier de bien est considéré
comme préféré ou indifférent à lui-même.
Ces trois propriété définissent ce que l’on appelle en mathématique un préordre complet.
On peut associer la fonction d’utilité ordinale à un ensemble de nombres réels permettant de classer les
différents paniers de biens par ordre de préférence. Chaque nombre exprime un degré de satisfaction
associé à tel panier de biens mais ne permet pas d’affirmer que tel panier de bien est n fois plus
apprécié que tel autre (de la même façon que lorsque la température double on n’en conclut pas pour
autant qu’il fait deux fois plus chaud : on sait simplement qu’il fait plus chaud). L’ensemble des degrés
de satisfaction peut être ordonné sur une échelle de préférence.
La fonction d’utilité ordinale d’un consommateur associe donc un nombre, un indicateur de
satisfaction ou d’utilité aux diverses quantités de biens qu’il consomme. U = U (x ,x ,…,x,…, x ). 1 2 i n
Ainsi, si le panier x = (x , x , .., x ) est préféré au panier y = (y , y , ..., y ), on a U(x) U(y). 1 2 n 1 2 n
Si ils sont indifférents, on a U(x) ≈ U(y). Les symboles et ≈ signifient que l’on raisonne de manière
ordinale.
Remarquons que toute transformation croissante de U (par exemple 2U ou 4U +1) représenterait aussi
bien le préordre des préférences. Preuve que la quantification de U n’a pas de véritable signification.
Pour simplifier le raisonnement, on limite le choix à deux biens X et Y : U = u (x,y). Chacune des courbes correspond à un niveau donné de satisfaction y La carte d’indifférence
qui peut être obtenu par différentes combinaisons de quantités de
biens X et Y. Une courbe d'indifférence (ou d'iso-utilité)
représente donc l'ensemble des combinaisons de biens de
consommation permettant d'obtenir le même niveau de satisfaction
(ou d'utilité). Ainsi, sur le graphique, les points M et N correspondent
à deux combinaisons (vecteurs) différentes des biens X et Y qui
procurent le même niveau de satisfaction au consommateur, qui lui

sont donc indifférentes. U(x ,y ) = U(x ,y ) M M N N
M U 3 Le niveau d'utilité (de satisfaction) est d'autant plus élevé que l'on se
y M déplace vers le "nord-est" du graphique : U < U < U 1 2 3
U 2 conformément au principe de non saturation des besoins selon
y N N lequel le consommateur préfère toujours le plus au moins.On ne 1 peut cependant pas mesurer le supplément d'utilité lorsque l'on

passe d'une courbe à l'autre car l'on raisonne en termes ordinaux.
x x x M N

Les courbes d'indifférence sont forcément décroissantes.


C est un panier de biens qui contient 3 unités de X et 9 unités de Y. Le 1 y
panier C , contenant des quantités de biens X et Y supérieures à celles 2
C 2 de C (respectivement 8 et 11), lui est strictement préféré selon 1
11 IV l'hypothèse de non-saturation des besoins. C ne peut donc se trouver 2 II
sur la même courbe d'indifférence que C Il se situe "au-dessus". 1 C 1
Inversement, un panier C comprenant moins de bien X et moins de 39
bien Y que le panier C procurerait une utilité inférieure à celle de C et 1 1
I III serait donc situé au-dessous de la courbe d'indifférence qui comprend
C . On peut donc définir des zones sur le graphique dans laquelle se 1
C 3 situent les combinaisons de biens strictement préférées (zone I) ou préférables (zone II) à C . Les combinaisons équivalentes à C se 1 1
situent nécessairement dans les deux autres zones (III et IV) : la courbe
d'indifférence sur laquelle se trouve C est forcément décroissante 1
puisque pour y rester il faut se déplacer dans les zones III et IV.
0 3 8 x

Deux courbes d’indifférence ne peuvent se couper
Supposons qu’elles se coupent. Les paniers A et B sont y
équivalents, puisqu’ils sont situés sur la même courbe. Il en est de
même pour les paniers A et C. D’après la transitivité des B C
préférences, les trois paniers A, B et C sont donc équivalents. Mais A
d’après l’hypothèse de non-saturation, le panier C est strictement
préféré au panier B puisqu’il contient la même quantité de bien Y
mais plus de bien X. Cette contradiction prouve donc que les deux

courbes ne peuvent se croiser.
x
Il reste à expliquer pourquoi les courbes d’indifférence ont leur convexité tournée vers l’origine des axes
(on parle de convexité des préférences).














On suppose que le consommateur préfère des paniers Des préférences convexes
« intermédiaires » (ou moyens) aux paniers extrêmes. Les
y paniers P et P situés sur la même courbe d’indifférence sont 1 2
donc équivalents du point de vue de l’utilité qu’ils procurent au
consommateur. Supposer que les préférences sont y 0 ≤ t ≤ 1 C
(strictement) convexes revient à considérer que tout panier
(par exemple P) qui est une combinaison linéaire (ou 3 P 1 moyenne pondérée) de deux paniers situés sur la même
y 2 courbe d’indifférence et distinct de ceux-ci est strictement
préféré à ceux-ci. Cela signifie que l’ensemble des paniers
ty + P 1 3 préférés à P ou P (et à tous ceux situés sur U ) appartiennent 1 2 0
(1-t)y à un ensemble convexe (c’est-à-dire un ensemble dans lequel 2
toute paire de points appartenant à cet ensemble peut être
reliée par un segment de droite qui est entièrement inclus P U 2 1
dans cet ensemble, cf. zone hachurée en vert). Cela revient à y U 1 0
supposer que le consommateur préfère diversifier sa
consommation entre plusieurs biens plutôt que de se x tx +(1-t)x x x x 2 1 2 1 C contenter de la consommation d’un seul bien (ce qui pourrait
se produire avec des préférences concaves, cf. courbe rouge, U(tx +(1-t)x , ty +(1-t)y ) > U(x , y ) et U(x , y )1 2 1 2 1 1 1 1
U(tx +(1-t)x , ty +(1-t)y , y ) = U(x , y ) (paniers (x ,0) ou (0,y )) C C1 2 1 2 2 2 2 2


Cas des biens indésirables (ici Y) Cas des biens neutres (ici Y)

y U1 y
U4



x x

1.2. Le taux marginal de substitution

La notion mathématique de différentielle

Considérons une fonction à une seule variable y = f(x). La différentielle de y, notée dy, est un
accroissement infinitésimal de la variable y, qui résulte d’un accroissement infinitésimal dx de la variable
x et se calcule ainsi : dy = f’ dx. On retrouve ainsi la définition de la dérivée première d’une fonction à x
une seule variable : f’ = dy /dx. x
Exemple : Pour y = log x on a dy = dx (1/x)= dx/x c’est-à-dire le taux d’accroissement de la variable x.
Dans le cas d’une fonction (d’utilité par exemple) à deux variables du type U= u(x,y), la différentielle de
U , notée dU, est un accroissement infinitésimal de la variable U, qui résulte d’un accroissement
infinitésimal dx de la variable x et dy de la variable y et se calcule ainsi : dU = u ’ dx + u ’ dy x y
u ’ et u ’ sont respectivement les dérivées partielles de U par rapport à x (δU /δx) et par rapport à y x y
(δU/δy). On peut donc également écrire : dU = (δU /δx)dx +(δU /δx)dy
Si U(x,y) est une fonction d’utilité additive telle que U(x,y) = u(x) + v(y) alors dU = u’ dx +v’ dy x y


Puisqu’un niveau donné de satisfaction peut être obtenu à partir de différentes combinaisons des deux
produits X et Y, on peut chercher à déterminer le taux (nécessairement positif) auquel le consommateur
est disposé à substituer le bien X au bien Y ou le bien Y au bien X pour maintenir constant son niveau
d’utilité. Ce « taux psychologique d’échange » est appelé taux marginal de substitution (TMS). Il
mesure la quantité de bien Y supplémentaire nécessaire pour compenser la perte d’utilité consécutive à
la diminution de la quantité consommée de bien X : TMS = – dy / dx (y,x)
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Supposons donc qu’un niveau donné de satisfaction puisse être obtenu à partir de différentes
combinaisons de deux produits X et Y. Autrement dit, quelles que soient les variations des quantités
consommées de X et de Y, la satisfaction du consommateur ne change pas (on reste sur la même
courbe d’indifférence). Dans ce cas, dU = 0 = U ’ dx + U ’ dy ⇔ U ’ / U ’ = – dy / dx qui représente le x y x y
TMS entre Y et X (égal à l’opposé de la dérivée de y par rapport à x).
U ’ représente l’utilité marginale du bien X et U ’ celle du bien Y. x y
On définit l’utilité marginale d’un bien comme le supplément d’utilité totale découlant de la
consommation d’une petite «dose » supplémentaire du bien considéré, les consommations des autres
biens restant inchangées. Fondamentalement ce concept renvoie donc plutôt à une conception
cardinale de l’utilité.
Pour le bien X, on a Um = ∆U / ∆x = ou Um = U(x+∆x, y) - U(x,y) x x
∆x
Autrement dit, Um . ∆x représente l’augmentation d’utilité totale du consommateur qui résulte de la seule x
augmentation de la quantité consommée de bien X.
Pour le bien Y, on a Um = ∆U / ∆y = ou Um = U(x, y+∆y) - U(x,y) Y Y
∆y
Um . ∆y représente la hausse d’utilité totale du consommateur qui proviendrait exclusivement d’une y
hausse de la quantité consommée de bien Y.
La variation de l’utilité totale du consommateur ∆U consécutive à une variation de la quantité
consommée de X et/ou de celle de Y est égale à Um . ∆x + Um . ∆y. x y
Si l’on raisonne pour des variations infinitésimales (avec ∆x 0 et ∆y 0), calculer l’utilité marginale
associée à la consommation du bien X (Um ) revient en pratique à calculer la dérivée partielle de la x
fonction U(x,y) par rapport à x (en considérant y comme une constante (ou un paramètre)). Autrement
dit,
Um = lim U(x+∆x, y) - U(x,y) = δU(x,y) = U’ x x
∆x 0 ∆x δx
Mutatis mutandis, on peut également calculer l’utilite marginale pour le bien Y.
On a donc TMS = – dy / dx = U ’ / U ’ = Um / Um x y x Y
Si on suppose que les utilités marginales des deux biens sont strictement positives (ce qui signifie que
l’axiome de non saturation des besoins est respecté et donc qu’on n’a pas dépassé le point de satiété
ou de saturation) alors il s’ensuit qu’une courbe d’indifférence est nécessairement décroissante puisque
qu’on a vu que le TMS est égal au rapport des utilités marginales (U ’ / U ’ = – dy / dx) et donc : x y
dy / dx = – U ’ / U ’ < 0 dérivée négative ⇒ courbe décroissante. x y
Remarque : Raisonner en termes d’utilité marginale (cf. définition) revient implicitement à raisonner en termes d’utilité
cardinale.


y Quand on se déplace de B vers C, X augmente (dx > 0) et Y
ya A diminue (dy < 0) donc dy/dx < 0. Inversement, quand on se

yb déplace de C vers B, Y augmente (dy > 0) et X diminue (dx < 0) B

donc dy/dx < 0 également. Le TMS, égal à – dy/dx, est donc bien

toujours positif.
C y Le TMS varie ainsi en fonction de la pente en chaque point de la c D courbe d’indifférence et prend donc en général des valeurs y d
différentes suivant le point considéré de cette courbe.

Le TMS diminue quand la quantité de X augmente (et donc quand x x x xa b c d X
celle de Y diminue). Ainsi, en C le TMS est inférieur au TMS en B. La pente de la courbe est de moins
en moins forte.
Plus le TMS est élevé, moins le consommateur est disposé à échanger X contre Y. Il « mesure » en
quelque sorte ainsi la « valeur » que le consommateur attribue au bien X compte tenu de ce qu’il
possède déjà. Cette valeur est d’autant plus grande que le consommateur dispose d’une faible quantité
de bien X. Un TMS égal à α signifie que le consommateur accepte de renoncer à une unité du bien X s’il obtient au moins α unités du bien Y. Le TMS est donc un rapport subjectif d’échange dépendant des
préférences d’un consommateur particulier (– dy/dx = α ⇒ – dy = αdx ; si dx = –1 alors dy = α).
α β
Lorsque les fonctions d’utilité sont du type U = x y avec α>0 et β>0 alors TMS = αy/βx
α-1 β β-1 α α-1 β En effet, dU = 0 = U ’ dx + U ’ dy = αx y dx + βy x dy ⇔ – dy/dx = αx y = αy/βx x y
β-1 α βy x
y Le TMS n’est constant que lorsque les deux biens sont parfaite-
X et Y sont parfaitement ment substituables (cas des biens qui satisfont exactement le
substituables
même besoin). Dans ce cas, les courbes d'indifférence sont en
fait des droites qui relient les deux axes. Chacune représentant U 2toutes les façons d’obtenir la même satisfaction en combinant

linéairement X et Y. U 0La convexité des courbes d’indifférence repose donc sur
l’hypothèse que le TMS décroit au fur et à mesure que l’on
x substitue du bien X au bien Y, c’est-à-dire que les deux biens ne

sont pas parfaitement substituables. Moins les biens sont
y X et Y sont substituables, plus les courbes ont une convexité accentuée. A la complémentaires
limite, lorsque les biens ne sont pas du tout substituables parce
que leur utilisation conjointe est indispensable à la satisfaction
d’un besoin soit pour des raisons techniques soit pour des raisons
psychologiques (habitudes de consommation), on dit qu’ils sont
parfaitement complémentaires. Dans ce cas les « courbes »
d’indifférence sont représentées sous la forme de deux droites qui
se coupent à angle droit (avec, par exemple, X pour chaussure
x droite et Y pour chaussure gauche).

1.3. Courbes d’indifférence et droite budgétaire

1.3.1. La résolution graphique

Si l’on se limite à deux biens X et Y dont les prix sont Px et Py et dont les quantités consommées sont x
et y ; si, enfin, on appelle R le revenu disponible du consommateur, alors sa contrainte budgétaire est
exprimée par l’équation suivante : R ≥ x Px + y Py. Mais, en vertu de l’hypothèse de non saturation, le
consommateur a intérêt à consommer tout son revenu. On doit donc écrire : R = x Px + y Py.
R, Px et Py étant donnés, on peut exprimer y en fonction de x : y = – (Px / Py) x + (R / Py) qui représente
l’équation d’une droite de pente –(Px / Py) appelée droite de budget. Elle coupe l’axe des abscisses au
point R / Px et l’axe des ordonnées au point R / Py (cf. graphique ci-dessous).
Si l’on considère la courbe U qui coupe la droite de budget aux points A et B. Ces points représentent 1
des combinaisons de biens qui ont la même utilité pour le consommateur et qui respectent sa contrainte
budgétaire. On se rend compte cependant que les combinaisons C et D respectent également cette
contrainte mais qu’ils procurent une satisfaction plus élevée au consommateur : U > U . En revanche 2 1
le revenu du consommateur ne lui permet pas d’atteindre le niveau de satisfaction U . Le 4
consommateur doit donc chercher à atteindre la courbe d’utilité la plus élevée qui lui permette de rester
en contact avec la droite de budget. Etant donné qu’il y a une infinité de courbes d’indifférence, elles-
mêmes composées d’une infinité de combinaisons de biens X et Y, il existe nécessairement une une
combinaison optimale et une seule. C’est celle qui vérifie la tangence de la courbe d’indifférence à la
droite de budget. Il s ‘agit donc de déterminer les coordonnées (x*,y*) de ce point de tangence, c’est-à-
dire du point situé sur la droite de budget pour lequel les pentes de la courbe d’indifférence et de la
droite de budget sont égales : M(x*, y*)

y La droite de budget étant une droite affine du type
y = ax + b, sa pente est donnée par le coefficient directeur de la droite (dérivée de y par rapport à x)
c’est-à-dire a, soit – (Px / Py). Or, en ce point, la
pente de la courbe d’indifférence est égale à
l’opposé du TMS. Par conséquent, la combinaison
de biens (x*, y*) que cherche à obtenir le R
consommateur est telle qu’elle vérifie simultanément py
les deux équations suivantes : TMS(y*, x*) = Px / Py A
et R = x*Px + y*Py.
C
Question : Comparez le TMS au rapport des prix au
point B et au point A.
En B, TMS < Px / Py ; en A c’est l’inverse. En B, il a
intérêt à substituer du bien Y au bien X. Plus
M y*
précisément, il peut remplacer une unité de bien X U 4
par une quantité de bien Y supérieure à celle qui lui U 3 D permettrait de maintenir son niveau de satisfaction. U 2 Il peut donc passer sur une courbe d’indifférence U 1 B
plus élevée (par exemple au point D). On peut faire
symétriquement le même raisonnement au point A. 0 x* R/px x

Exemple chiffré : supposons que le TMS (– dy/dx) = 1,5 et Px/Py = 2. Cela signifie que le
consommateur exige au minimum 1,5 unité de Y contre (pour compenser la perte d’) une unité de X. Or
sur le marché il pourrait se procurer 2 unités de Y contre (en cédant) une unité de X (Px = 2 Py) : il aurait
donc intérêt à céder du bien X contre du bien Y (ie. substituer du bien Y au bien X).
La combinaison optimale pour le consommateur est donc celle qui permet d’égaliser le TMS au rapport
(donné) des prix de chaque bien.
Si le TMS est inférieur au rapport objectif des prix alors le consommateur a tout intérêt à céder du bien X
pour obtenir en échange du bien Y puisque l’échange en fonction du rapport de prix existant lui permet
d’obtenir plus d’unités de Y que le minimum d’unités qu’il en exigeait, compte tenu de ses préférences,
pour compenser la perte d’une unité de X ; inversement si le TMS> Px/Py.
Il n’a plus intérêt à modifier sa structure de consommation lorsque le TMS = Px / Py : l’optimum (ou
l’équilibre) est atteint. Le choix optimal du consommateur peut ainsi se caractériser par l’égalité entre
son taux subjectif d’échange que représente le TMS et le taux objectif d ‘échange que représente le
rapport de prix que le marché lui impose.

1.3.2. La résolution analytique

R, Px et Py étant donnés, on peut exprimer la contrainte budgétaire ainsi : y = – (Px / Py) x + (R / Py).
Il s’agit donc de trouver le maximum de la fonction U(x,y) respectant la contrainte budgétaire telle que R
= x Px + y Py ou, ce qui revient au même, y = (R – x Px) / Py. On a donc exprimé y en fonction de x de
telle sorte que la fonction d’utilité peut s’écrire désormais U(x,f(x)) = U(x, (R – xPx) / Py). Elle devient
donc une fonction de la seule variable x. Il suffit donc de trouver le maximum d’une fonction à une
variable, autrement dit, trouver x tel que la dérivée première de la fonction d’utilité par rapport à x soit
nulle et la dérivée seconde soit négative.
Exemple : U = x y ; Px = 4, Py = 10 et R = 400.
2La contrainte budgétaire est telle que R = 4x + 10y soit y = 40 – 2x /5 donc U = 40x – 2x /5.
U ’= 0 ⇒ 40 – 4x /5 = 0 ⇔ x = 50 ⇒ y = 20. On vérifie que U ’’= – 4/5 < 0 Æ
Cela revient à dériver une fonction composée.
On sait en effet que pour U = U(x,y), on a dU = U ’dx + U ’dy .Si l’on peut exprimer y en fonction de x x y
tel que y = y(x) alors on peut écrire U = U(x,y(x)). Dès lors dU / dx = U ’ + U ’ dy / dx . x y
Comme y = – (Px / Py) x + (R / Py) (équation de la contrainte budgétaire) alors dy / dx = – (Px / Py).
L’utilité sera maximum si dU / dx = 0 ⇒ U ’ + U ’(– Px / Py) = 0 d’où l’on tire que : x y
U ’/ U ’= Px / Py ⇔ U ’/ Px = U ’/ Py ⇔ Um / Px = Um / Py x y x y x Y
Cette condition de maximisation de l’utilité dite d’ « égalisation des utilités marginales des biens
pondérées par leurs prix respectifs » a été démontrée (dans une perspective « cardinaliste ») pour la
première fois par Herman Heinrich Gossen (1810-1858) en 1854 avant de l’être à nouveau et
séparément par Menger, Jevons et Walras au début des années 1870 (ces deux derniers ne
découvriront les écrits de Gossen qu’en 1878 et rendront à Herman la priorité qui lui était due). Aussi a-
ème èret-on pris l’habitude de d’appeler ce théorème de maximisation la 2 loi de Gossen (la 1 « loi »
n’étant pas un théorème mais un axiome postulant la décroissance de l’utilité marginale à mesure que la
consommation augmente) cf. cours d’HPE
La condition d’optimum ou d’équilibre du consommateur est donc l’égalisation des utilités marginales
des biens pondérées par leurs prix.

La méthode du multiplicateur de Lagrange (dite du lagrangien)

Lorsque la fonction d’utilité a une forme complexe qui rend la substitution peu commode, on peut utiliser
la méthode dite du lagrangien.
Celle-ci consiste à déterminer le maximum d’une fonction (L(x,y,λ)) formée à l’aide la fonction d’utilité
(U(x,y)) et de l’équation de la contrainte budgétaire (g(x,y) = R – x Px – y Py = 0) :
L(x,y,λ) = U(x,y) + λ g(x,y). λ est le multiplicateur de Lagrange dont on verra la signification économique
un peu plus tard. Les conditions nécessaires pour que cette nouvelle fonction ait un maximum sont :
1) que les dérivées partielles de cette fonction par rapport à x,y et λ s’annulent simultanément ;
δL /δx = 0 ; δL /δy = 0 ; δL /δλ = 0 ; remarquons que cette dernière revient à poser l’équation de
la contrainte budgétaire : R – x Px – y Py = 0. Pour les deux premières on a :
δL /δx = U ’ – λPx = 0 ⇔ ; λ = U ’/ Px (1) x x
δL /δy = U ’ – λPy = 0 ; λ = U ’/ Py (2) y y
La condition d’optimisation de la satisfaction du consommateur est l’égalisation des utilités marginales
des biens pondérées par leurs prix (U ’/ Px = U ’/ Py). x y
2) que le déterminant H(x,y, λ) de la matrice hessienne bordée des dérivées partielles secondes soit
strictement positif.


Dérivées partielles

Comme pour une fonction à une seule variable du type y = f(x), la dérivée seconde d’une fonction à
deux variables n’est rien d’autre que la dérivée de la dérivée première. Pour une fonction à deux
variables et dérivable en tout point, du type U = u(x,y), on a deux dérivées (partielles) premières (δU/δx
2 2 2et δU/δy) et quatre dérivées partielles secondes (δ U /δxδx (que l’on écrit aussi δ U /δx ou U ’’), xx
2 2 2 2 2δ U/δyδy (que l’on écrit aussi δ U /δy ou U ’’), δ U /δxδy ou U ’’, δ U /δyδx ou U ’’). yy xy yx
2 2 2δ U /δx (ou δ U /δxδx) signifie que l’on dérive U (l’utilité totale) une première fois partiellement par rapport
à x (on obtient la dérivée partielle première par rapport à x c’est-à-dire U’ ou δU /δx qui représente x
l’utilité marginale du bien X) et qu’on dérive une nouvelle fois par rapport à x cette dérivée partielle
première par rapport à x, ce qui revient à dériver deux fois de suite U par rapport à x (d’où l’exposant 2). „
Æ


2 2 2δ L/ δx δx δ L/ δx δy δ L/ δx δλ U ’’ U ’’ –Px xx xy
2 2 2H(x,y, λ) = δ L/ δy δx δ L/ δy δy δ L/ δy δλ = U ’’ U ’’ –Py yx yy
2 2 2δ L/ δλ δx δ L/ δλ δy δ L/ δλ δλ –Px –Py 0

-1 +1 -1
-1 U ’’ U ’’ -Px U ’’ U ’’ xx xy xx xy
dét H(x,y, λ) = +1 U ’’ U ’’ -Py U ’’ U ’’ = (U ’’ + U ’’)PxPy – Px² U ’’ – Py²U ’’ yx yy yx yy xy yx yy xx
-1 - Px -Py 0 -Px -Py

Exercice : Montrez qu’à l’optimum, le multiplicateur de Lagrange est égal à la dérivée de l’utilité par
rapport au revenu (λ = dU / dR) autrement dit qu’il mesure le supplément d’utilité qui découle du
desserrement de la contrainte budgétaire du consommateur.
R = Px.x + Py.y = f(x,y) ⇒ dR = f’ dx + f’ dy x y
dR = Pxdx + Pydy ; comme à l’optimum on a (1) Px = U ’/λ et (2) Py = U ’/λ on en déduit que : x y
dR = (U ’/λ)dx + (U ’/λ)dy = 1/λ( U ’dx + U ’dy) = dU / λ. x y x y
Le coefficient de proportionnalité λ qui est le même pour tous les biens représente donc l’utilité
marginale du revenu pour un consommateur. Il diminue lorsque le revenu augmente (ie. lorsque la
contrainte budgétaire se desserre). En effet, si le revenu augmente, la quantité de biens consommée
augmente ce qui provoque une diminution de l’utilité marginale, soit, si les prix sont donnés, une
diminution de l’utilité marginale pondérée par le prix.

1.3.3. Quelques cas particuliers : les équilibres en coin

1.3.3.1. Biens parfaitement substituables

Tout dépend du niveau du TMS par rapport au prix relatif des deux biens. Si TMS ≠ p /p , 2 cas sont x y
envisageables :
Si TMS > p /p alors l’équilibre du Yy/x x y
consommateur passe par une consomma-
Rtion exclusive de bien X. Graphiquement A
p ycela se traduit par des « droites d’indiffé-

rence » dont la pente est supérieure à celle
B de la droite de budget. Le point d’équilibre

se situe sur la droite d’indifférence la plus
éloignée de l’origine ayant un point E
commun avec la droite de budget, c’est-à-
0 R/p X xdire ici sur l’axe des abscisses.
Si TMS < p /p alors l’équilibre du Yy/x x y
R E consommateur passe par une consomma-
py tion exclusive de bien Y. Graphiquement
cela se traduit par des « droites d’indiffé-
B
rence » dont la pente est inférieure à celle
de la droite de budget. Le point d’équilibre
A
se situe sur la droite d’indifférence la plus
éloignée de l’origine ayant un point
commun avec la droite de budget, c’est-à-
0 R/p X dire ici sur l’axe des ordonnées. x
Remarquons que dans ces deux cas, à l’équilibre, l’égalité du TMS et du rapport des prix n’est pas
vérifiée. Si, en revanche, TMS = p /p alors il existe une infinité de points d’équilibre (pour des biens x y
parfaitement divisibles) puisque la droite de budget se confond avec une droite d’indifférence. 1.3.3.2. Préférences concaves (cas a priori exclu)

En fonction du rapport p /p , l’équilibre conduit à consommation exclusive de l’un des deux biens (ie. à x y
l’absence de consommation de l’autre). Il est même possible qu’il y ait deux optima.

Y Y Y
E
E







0 0 0
X E X E’ X

Dans la dernière situation, on parle de préférences non convexes : dans ce cas, il n’y a pas forcément
une solution en coin. En revanche il y a en général plusieurs optima. Autrement dit, pour le même prix
du bien X, le consommateur aura le choix entre deux quantités différentes.
En permettant d’éviter les solutions en coin la convexité des préférences revient à supposer que le
consommateur aime les mélanges.
Dans le cas de biens complémentaires, l’optimum se situe nécessairement dans le « coin » de la
« courbe » la plus haute n’ayant que ce point en commun avec la droite budgétaire.



2. La demande du consommateur

2.1. Les conséquences de la variation de l’environnement du consommateur.

2.1.1. La modification du revenu du consommateur (à prix constants)

2.1.1.1. Des courbes de consommation-revenu...

Si le revenu du consommateur augmente à prix constants, son pouvoir d’achat augmente : la droite de
budget se déplace vers le haut parallèlement à la précédente droite puisque les prix n’ayant pas varié, la
pente de cette droite reste la même (soit – Px / Py). Pour le nouveau niveau de budget on détermine
comme précédemment l’optimum du consommateur au point de tangence de la nouvelle droite de
budget et de la courbe d’indifférence la plus élevée que l’on puisse atteindre. Si l’on joint le point
d’origine aux différents points de tangence correspondant à différents niveaux de budget on obtient une
courbe, appelée courbe de consommation-revenu.
On peut représenter trois configurations possibles (parmi les plus caractéristiques) des courbes de
consommation-revenu.
y
x
Le premier cas de figure (a) est le plus fréquent : lorsque le revenu s’accroît, les quantités consommées
des deux biens s’accroissent (biens normaux) mais la structure de la consommation change. Ici, la
consommation de Y s’accroît plus fortement que celle de X (on aurait pu avoir l’inverse). Le deuxième
graphique (b) représente l’hypothèse particulière où les consommations des deux biens s’accroissent
dans la même proportion que le revenu (courbes d’indifférence homothétiques par rapport à l’origine).
Enfin, le dernier graphique (c) représente le cas des «biens inférieurs» : lorsque le revenu s’accroît, il
peut se produire une diminution dans la quantité consommée de l’un des biens (ici le bien X dont la
quantité consommée diminue à partir d’un certain niveau de revenu : l’abscisse du point M est inférieure 4
à celle de M . 3

2.1.1.2. ... aux courbes d’Engel

En portant en abscisse le revenu et en ordonnée la consommation du bien X ou du bien Y (ou de
n’importe quel autre bien), on obtient une autre courbe appelée courbe d’Engel du nom d’un statisticien
èmeallemand du XIX siècle qui a été l’un des premiers à étudier les effets d’une variation des revenus sur
les dépenses de consommation. Ainsi dans le cas de la première courbe [cf. (a)] de consommation-
revenu on obtient les courbes d’Engel suivantes pour les biens normaux X et Y :
x y z
X : bien normal de nécessité Y : bien normal de luxe Z : bien inférieur







0 R 0 R 0 Revenu

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