le cours et les exercices sur la géométrie

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Cours de mathématiques Classe de Quatrième Les éléments de base de la géométrie Page 1 CHAPITRE 1 CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES 1. La médiatrice d'un segment 2 2. La bissectrice d'un angle 3 3. Les triangles 4 4. Parallèles et perpendiculaires 6 5. Les parallélogrammes 7 6. Le problème de Napoléon 9 Les éléments de base de la géométrie 10 Langage mathématique 17 Les principes de base de la démonstration 18
  • équerre graduée
  • elements de base de la geometrie
  • définition rappelée en introduction
  • constructions au compas
  • problème de napoléon
  • programme de construction
  • programmes de construction
  • programmes de constructions
  • triangles
  • triangle
  • étape par étape
  • etapes par étapes
  • etape par étape
  • étapes par étapes
  • étapes en étapes
  • etape après étape
  • étape étape
  • etape par etape
  • étape en étape
  • étape après étape
Publié le : mardi 27 mars 2012
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18
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Napoléon
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Cours de mathématiques
Classe de Quatrième
CHAPITRE 1
CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES
1. médiatrice segment
2. bissectrice
3. Les triangles
4. Parallèles et perpendiculaires
5. Les parallélogrammes
6. problème de
Les éléments de base de géométrie
mathématique
Les principes de base de démonstration
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la
Langage
la
Le
angle d'un La
d'un LaA
A
B
A
B
B
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Cours de mathématiques Classe de Quatrième
Fiche d'activité
1. LA MEDIATRICE D'UN SEGMENT
Deux propriétés : deux constructions
Chaque méthode de construction de la médiatrice découle directement de la propriété
rappelée à gauche.
Rédiger, dans chaque cas, le programme de construction.
Si un point est équidistant des extrémités d'un
segment, alors c'est un point de la médiatrice
de ce segment.
Si une droite est perpendiculaire à un
segment en son milieu, alors la médiatrice de
Exercice
une raison qui permet de dire que la droite n'est pas
la médiatrice du segment.
Les éléments de base de la géométriePage
F E D C B A
Dans chacun des cas suivants, donner
Programme de construction :
ce segment.
Construction à l'équerre graduée Deuxième propriété :
Programme de construction :
Construction au compas Première propriété :y
B
C
x
y
x
y
x
y
O
T
½
3
=
=
x
Cours de mathématiques Classe de Quatrième
Fiche d'activité
2. LA BISSECTRICE D'UN ANGLE
Quatre constructions de la bissectrice
Rédiger les programmes de construction de la bissectrice dans chacun des cas suivants.
Programme :
Placer A tel que xOA AOy
Tracer [OA)
Avec le compas
Les éléments de base de la géométrie Page
Avec l'équerre graduée
xOy
xOy Mesurer
Avec la règle graduée Avec le rapporteur=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
4
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Cours de mathématiques Classe de Quatrième
Fiche d'activité
3. LES TRIANGLES
Construire si c'est possible les triangles ainsi définis :
1. On connaît les longueurs des trois côtés (en
cm)
a) Triangle DEF avec DE 3,5 ; EF 5,2 ; DF 7
b) 3 ; GH 4 ; FH 5
c) Triangle JKL avec JK 4 ; KL 5,5 ; JL 9,5
d) Triangle MNP avec MN 4 ; NP 3 ; MP 9
2. On connaît deux longueurs et un angle
a) Triangle ABC avec AB 3 ; BC 5 ; ABC 40°
b) Triangle DEF avec DE 4,9 ; DF 5,3 ; EDF 68°
c) Triangle GHI avec GH 5 ; GI 2 ; GHI 45°
d) Triangle KLM avec KL 8 ; LM 5 ; KLM 35°
3. On connaît une longueur et deux angles
a) Triangle ABC avec AB 6 ; BAC 40° ; ABC 53°
b) Triangle MNP avec MN 5 ; NMP 60° ; MPN 70°
4. On connaît les trois angles
Tracer un triangle ABC avec AB 8 ; ABC 30° ; BCA 80° ; CAB 70°
Placer les milieux I, J et K des trois côtés. Mesurer les angles de IJK.
Le fait de connaître les trois angles d'un triangle permet-il de construire un triangle
5. Des triangles particuliers
a) Rédiger le programme de construction d'un triangle équilatéral au compas.
b) En déduire la construction d'un angle de 60° au compas.
Les éléments de base de la géométriePage


unique?
Rédiger dans les deux cas les programmes de construction.


Rédiger dans le dernier cas le programme de construction.




Rédiger une conclusion concernant les trois types de situations rencontrées


Triangle FGH avec FG
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Fiche d'activité
c) En déduire la construction d'un angle de 30° au compas.
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)
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Fiche d'activité
4. PARALLELES ET PERPENDICULAIRES
1. Associations.
Faire un dessin en deux étapes qui illustre chacune de ces propriétés. Le
premier présentant les hypothèses, le deuxième présentant la conclusion.
¯ Énoncé 1:
Si deux droites sont parallèles à une même troisième , elles sont parallèles.
Traduction; Illustration:
Si ) (D ) et (D ) (D ) , ) (D
Alors
//
// //
¯ Énoncé 2:
Si elles sont parallèles.
Traduction; Illustration:
Si ) ^ (D ) et (D ) ^ (D ) , ) (D
¯ Énoncé 3:
Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à
l'autre.
Traduction; Illustration:
Si ) (D ) et (D ) ^ (D ) , ) ^ (D
2. Constructions au compas.
Construire et rédiger le programme de construction :
¯ De la perpendiculaire à une droite (D) donnée passant par un point A donné. (Utiliser
les propriétés de la médiatrice d'un segment). Etudier les deux cas :
• Si A est sur la droite (D)
• Si A n'est pas sur la droite (D).
¯ De la parallèle à une droite (D) donnée passant par un point A donné.
Les éléments de base de la géométriePage


(D alors (D
alors
(D alors (D
alors deux droites sont perpendiculaires à une même troisième ,
(D3) (D3)
(D2) (D2) Si
(D1) (D1)
(D alors (D
alorsA
C
A
B
C
A
B
C
B
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Cours de mathématiques Classe de Quatrième
Fiche d'activité
5. LES PARALLELOGRAMMES
Trois constructions : trois définitions
Dans chaque cas la construction proposée doit utiliser la définition rappelée en
introduction. Placer à chaque fois le point D pour que ABCD soit un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a les diagonales de même milieu, alors c' est un parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur, alors c' est un
Les éléments de base de la géométrie Page
parallélogramme.
Rédiger le programme de construction.8
figure
à
à
Cours de mathématiques Classe de Quatrième
Fiche d'activité
6. PROBLEMES DE CONSTUCTION
Pour problèmes, il vaut mieux commencer une
main l’aveuglette.
Dans chaque cas, il faut rédiger un programme de construction pour précise la méthode à
1. Construire un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même
longueur, et qui ne soit pas un trapèze.
2. Construire un trapèze dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur,
et qui ne soit pas un parallélogramme.
3. :
les côtés deux à deux de même longueur,
et qui ne soit pas un parallélogramme.
4. :
les côtés deux à deux de même longueur,
et qui ne soit pas un parallélogramme.
5. :
et qui ne soit pas un parallélogramme.
Les éléments de base de la géométriePage
les diagonales de même longueur
deux côtés perpendiculaires,
trois côtés de même longueur,
Construire un quadrilatère ayant
les diagonales perpendiculaires et de même longueur,
deux côtés consécutifs perpendiculaires,
Construire un quadrilatère ayant
les diagonales perpendiculaires,
les côtés deux à deux perpendiculaires,
Construire un quadrilatère ayant
suivre.
lancer se de éviter pour levée
sur étudier par toujours ces étudier4
2
1
.
3
9
Cours de mathématiques Classe de Quatrième
Fiche d'activité
7. LE PROBLEME DE NAPOLEON
Napoléon fut le premier à mettre au point cette méthode pour obtenir le centre d'un cercle
déjà tracé, avec le seul compas pour instrument.
Rédiger, étape par étape le programme de cette construction
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10
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.
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d'extrémités
Cours de mathématiques
Classe de Quatrième
LES ELEMENTS DE BASE DE LA GEOMETRIE
1. Notations et vocabulaire
2. La médiatrice
3. La bissectrice
4. Les triangles
5. Parallèles et sécantes
6. Le parallélogramme
7. Comment présenter un exercice de géométrie
8. Organisation du raisonnement.
1. Notations et vocabulaire
(AB) : droite par les points A et B.
[AB) : demi-droite A et passant par B.
[AB] segment A et B
AB : l'arc de cercle compris entre A et B.
AB : la longueur du segment [AB] . C'est un nombre
xOy : l'angle de sommet O, de côtés [ Ox) et [ Oy)
On des points
On
2. La médiatrice
Définition : La médiatrice est l'axe de symétrie d'un segment.
Propriété 1 : Si une droite est perpendiculaire à un segment en son milieu, alors c'est sa
:
Les éléments de base de la géométriePage
Illustration
médiatrice.
des ensembles de points (droites ou parties, cercles ou parties) TRACE
PLACE
Pour construire une figure:
d'origine
passant

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