A Math PSI

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


A 2003 Math PSI 1 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2003 EPREUVE DE MATHEMATIQUES PREMIERE EPREUVE Filiere PSI (Duree de l'epreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES 1-Filiere PSI. Cet enonce comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Soit I le segment d'extremites 0 et 1 : I = [0, 1] ; dans tout ce probleme h et f sont des fonctions reelles donnees definies et continues sur la droite reelle R. Soit (E) l'equation di?erentielle suivante : (E) ? y?? (x) + h (x) y (x) = f (x) , ou la fonction y est une fonction inconnue definie sur la droite reelle R.

  • conditions aux limites definies

  • droite reelle

  • equations exprimant la nullite de la solution

  • solution au systeme

  • equations du systeme

  • fac¸on apparente sur la premiere

  • continument derivable


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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A 2003 Math PSI 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`rePSI (Dur´eedel´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePSI.
Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdel´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleeˆtreuneerreur d´enonc´e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesquilestamen´ea`prendre.
SoitIl´time0se:1tegesntmeexd´etrI= [0,lbe`em1];danstoutceproh etfller´eeoiteladrssrunieuoctnsetenied´es´enndoesllee´rsnoitcnofsostned R. Soit(E:eseiuavtnntrelliendio´eie´ltauq)
 (E)y(x) +h(x)y(x) =f(x), o`ulafonctionynotcoiinetsnufen´esuieonncednue´reelledalrtiorR.
Lebutdeceproble`meestd´etudierlessolutionsdecettee´quationdie´rentielle (Eoinlotu)uqiv´erientlesconitidsnolxuatimisesvauiesntas:ly´eerehcerhc estnulleenchacunedesextre´mit´es0et1delintervalleI.
Les fonctionshetfnatesedt´seusrcsnoitunsr´eellefonctionR, soit (S) le syst`emeconstitue´dele´quationdi´erentielle(Elaitauesnoirpxtnam´sqeteed) nullit´edelasolutionyellavretmit´es0et1delinaxuxerte´I:
1
 y(x) +h(x)y(x) =f(x), (S) y(0) = 0, y(1) = 0. Une fonctionyeni,d´esurRsiocxuofuˆemtnni,deiverd´ntrsuleabRaire´v,tn lese´quationsdusyst`eme(Sitesolut)estdme`t(ednoisysuS).
Premi`erepartie
La fonctionhstanecon`aungaletse´enoitcnofalteetfest nulle: 1.De´montrerque,lorsquelafonctionhiesurd,ne´Ra`nue,est´egale constanter´eelleα(h(x) =αR) et la fonctionfest nulle (f(x) = 0), la seule solutiony(tsyusdeme`S) est la fonction nulle (y(x) = 0 pour toutx), sauf 2 pourcertainesvaleursdure´elαqropesee;ss´ci´eprntroseuiα=ωouα= 2 ω(ω >lievra´n)t,qsueu0eelα.fitageictrusfon´ntmeteetemrtciisittnopests
Uneexpressiondelasolutiondusyste`me(S) : Unre´sultatpr´eliminaire:soitϕfenurunuesontieetceniel´de´leoirnnotc ladroitere´elleRtincfolatΦoi;sivante:lationsuperaalerno´dein
  x1 pourtoutre´elx,Φ (x) = (1x)t ϕ(t)dt+x(1t)ϕ(t)dt. 0x 2 2.De´montrerquelafonctionΦestd´enieetdeclasseCsur toute la droite re´elleRerminersad´eriv´eeesocdnΦe;te´d´ainsi que les valeurs prises par la fonction Φ en 0 et en 1 :Φ (0),Φ (1).
3.D´emontrerque,siΦ1e´iravlbuefxiodsesurlatsefenuel´e,dlectonnrio droiter´eelleRelrsletavee´irelequell,telteans:nsioivsu
 pourtoutre´elx,Φ (x) 1=ϕ(x),Φ1(0) = 0,Φ1(1) = 0, les fonctions Φ et Φ1ntsoΦ(selage´1= Φ). 4.End´eduire,lorsquelafonctionhestentleeniut´ciuedllunl,esixecnet solutionye(t`emsusydS0) suivant :  y(x) =f(x), (S0) y(0) = 0, y(1) = 0. Une condition sur la fonctionhlorsque la fonctionfest nulle: La fonctionfulen´eosppsuste(elfe`tsysel;)0=me(St,ecri)s´  y(x) +h(x)y(x) = 0, (S1) y(0) = 0, y(1) = 0. 5.D´emontrerque,pourquunefonctiony,unitnoctrdalruseteoid´eniee re´elleRelysireem(tse`´e,vS1),il faut et il suffit que la fonctionyvuorep,e´ir toutr´eelx, la relation (R) suivante :   x1 (R´pe)elourtoutrx, y(x) = (x1)t h(t)y(t)dt+x(t1)h(t)y(t)dt. 0x
2
6.D´emontrerlexistencededeuxre´elsHetYrespectivement maximums des valeurs absolues des fonctionshetysur le segmentI= [0,1].
7. Soity(emesudn`tsyesolutiounS1;)e´leuort,perrtouemd´tronxappar-tenant au segmentI(0x1),lage´nil:teanivsu´eit H Y |y(x)| ≤. 8 8.End´eduireuneconditionne´cessairesurlafonctionh, pour qu’il existe des solutionsytincfolae,llnuone`tsysud(ema,qseutuerS1uel,euqsroVi.r)e´qrela fonctionhest constante, cette condition est remplie lorsqu’il y a des solutions di´erentesde0.
Seconde partie
Rappel :une fonctionf,iter´eellee´d,einlrusorda´erleelR, est dite 2-pe´riodiquesietseulementsi:pourtoutre´elx, f(x+ 2) =f(x).Les coeffi-cients de Fourieran(f), bn(f), n1,sparenintd´soviussnoitalerselstean :
pour toutnor´ugelapue´irues`a1,
  2 2 an(f) =f(t) cos(n π t)dt, bn(f) =f(t() sinn π t)dt. 0 0
Lebutdecettesecondepartieestdere´soudrele´quationdie´rentiellesuiv-ante
 (F)y(x) +h(x)y(x) =f(x), o`uhetfonssedtcnofnoite´dsueinntcoe,lleer´etiordalrussein-se2,apri,smi pe´riodiques.Lafonctioninconnueympeireaippsu´eostseiodiqueis-2´pree,llaesu, maisenplusdeuxfoiscontinuˆmentd´erivableetve´riantlesconditionsauxlim-ites suivantes sur le segmentI: elleest nulle en 0 et en 1.
Lorsque la fonctionyblvae,itnomuˆndtneire´odique,deuxfoisc,miapri2ep-e´ir v´eriel´equationdie´rentielle(Fnied´eses-dciessnoitidntimilxuaesco)etlsus, elleestditesolutiondusyst`eme(T) suivant :  y(x) +h(x)y(x) =f(x), (T) y(0) = 0, y(1) = 0. SoitGnotclfae´rraclensdaien´endioI×Ipar la relation suivante : t(1x),si 0tx, (x, t)G(x, t) x(1t),sixt1. ´Etantdonne´unre´elxsedu´extengmI ,soitGxla fonction impaire, 2-pe´riodique,´egale`aG(x, tltuotee´r)ruoptappartenant au segmentI:
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