Analyse precisee d'equations semi lineaires elliptiques sur l'espace hyperbolique et

De
Publié par

Niveau: Supérieur
Analyse precisee d'equations semi-lineaires elliptiques sur l'espace hyperbolique et application a la courbure scalaire conforme Erwann DELAY? Universite de Nice-Sophia Antipolis Resume. Au theme de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique nous ap- portons ici une etude fine du comportement asymptotique en toute dimension. Nous traitons toujours d'equations semi-lineaires generales, avant d'appliquer nos resultats au cas particulier de l'equation geometrique. Abstract. Regarding the theme of the conformal scalar curvature on the hyperbolic space, we bring here a study of the fine asymptotic behavior in any dimension. We al- ways deal with general semi-linear equations, before applying our results to the particular case of the geometric equation. Mots-cles : espace hyperbolique, metriques conformes, courbure scalaire, EDP semi-lineaires elliptiques, estimations a priori, comportement asymp- totique, existence, inexistence, sur et sous solutions, methode de continuite 1991 MS Classification : 58G30, 53C21, 35J70, 35B45, 35B40 ?Moniteur-Allocataire MENESR 1

  • espace hyperbolique

  • metrique standard de sn?1

  • theoreme

  • prescriptibilite locale de la coubure de ricci au voisinage de la metrique hyperbolique

  • courbure scalaire

  • equations semi-lineaires

  • vertu du theoreme d'inversion locale


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 11
Source : univ-avignon.fr
Nombre de pages : 32
Voir plus Voir moins
Analysepr´ecis´eede´quationssemi-lin´eaires elliptiques sur l’espace hyperbolique et applicationa`lacourburescalaireconforme Erwann DELAYUniversit´edeNice-SophiaAntipolis
R´ ´ esume. Auth`emedelacourburescalaireconformesurlespacehyperboliquenousap-portonsiciunee´tudeneducomportementasymptotiqueentoutedimension. Noustraitonstoujoursd´equationssemi-line´airesg´en´erales,avantdappliquernos re´sultatsaucasparticulierdele´quationge´om´etrique.
Abstract. Regarding the theme of the conformal scalar curvature on the hyperbolic space, we bring here a study of the fine asymptotic behavior in any dimension. We al-ways deal with general semi-linear equations, before applying our results to the particular case of the geometric equation.
Mots-cl´esrbpehycepaes:,eriserualace´rtqieuloqieum,es,courbsconform EDPsemi-line´aireselliptiques,estimationsa priori, comportement asymp-totique,existence,inexistence,suretsoussolutions,m´ethodedecontinuit´e 1991 MS Classification 53C21, 35J70, 35B45, 35B40: 58G30, Moniteur-Allocataire MENESR
1
E. DELAY
2 1 Introduction SoitBeedtie´elnubauolRnnnseatdnradamelednimu(eidilcueeuqirte´E) et soitρineruselafonctiond´Bpar: ρ(x12)=(1− |x|2). Nousutiliseronspourmode`ledelespacehyperboliquestandardHn(1) la bouleBmrof:euqirnoceladeetm´mieun H0=ρ2E. Aud´epartdecetarticleontrouvelefaitsuivant:lapplicationqui,`aune fonctionre´elleveiurse´ndBrebualscreailadea,cossaleiruoc´mteiruqe conformeHv += (1v)H0, est localement inversible au voisinage dev= 0, lorsquonlaconsid`eredansdesespacesfonctionnelsapproprie´s.Leses-pacesenquestion,utilise´sdans[GL],d´ependentdunparame`trer´eelscar-act´eristiqueducomportementa`linnidesfonctionsetdeleursde´rive´es. Rappelons-enlad´enition:unefonctionuCk,αloc(B) est dans l’espace Λα,ks silaquantit´esuivante,quirepr´esentesanormedanscetespace,estfinie: α: sup[dxs+|γ||γu(x)|] kuks,k=|γ|Xk xB sup min(dxs+k+α, ds+k+α +|γ|X=k x,yB y)|γu(|xx)y|αγu(y)| x6=y o`udxest la distance euclidienne dexau bord (en l’occurencedx1− |x|). Un membre typique de Λsest la fonctionρs. Si4al´mteiruqed´esignelelaplaciendeH0(ode´uqa`lentmbsyeaollipp un covecteurξgelano´,a`tparesenticonv−|ξ|2H0), et siKΛ0k,αaleirev´ minoration stricte suivante: inBfK > s[s(n1)] alorslope´rateurdetypeschr¨odinger 4+K: Λsk+2Λ,αsk estunisomorphisme.Cere´sultatessentielde[GL](p.217),formule´avec KC(B) mais encore vrai avecKΛk0, nous sera d’un usage constant ; nouslinvoqueronsci-apr`essouslevocabledeth´eore`medisomorphismede [GL].Cestluiquiintervient(section2)pourd´emontrerquelapplication: s vΛk+2−→Scal(Hv)Scal(H0)Λk,αs
Courbure scalaire conforme surHn(1)
3
estlocalementinversiblepre`sdevd0=qse`eus[0, nic´seVo[.`ailncdo´epr cefaitdede´part. Dans la section 2, nous montrerons que ce fait vient s’imbriquer parfaite-ment`acoˆt´edunimportantthe´ore`mederigidit´edeMin-Oo[MO1]dontil acatalyse´unerecticationdhypothe`se[MO2].Seloncethe´ore`merectie, ´ dans le cas particulier de la bouleBnem´,siueuqirteHest convenablement asymptotique`aH0ni(pournous`lainHvesd`equparece´re´sitnemless > n), alors il est impossible d’avoirScal(H)Scal(H0) sauf siHesteiruq´mteios `aH0, auquel casScal(H) =Scal(H0versionlr`eslinqi´ueecolaiedn.)paD plushaut,cere´sultatnetientplusd`eslorsques[0, n.[´eorCeth`eme peuteˆtrevucommeunanalogue,enasymptotiquementhyperbolique(o`u l’on ne dispose toutefois pas encore d’une notion convenable demasse), du th´or`emedelamassepositiveenasymptotiquementeuclidien(voire.g.le§. e 3 de Leung [L]). Finalement,cefaitdede´patuspo`´tudierdefac¸onplusglob-r no usse a e alelapplicationcourburescalaireconforme,conside´re´edanslesespace Λs, en dimensionn >2 (section 3) etn= 2 (section 4), surBmunie delame´triquehyperboliquestandardH0ntcoevieetermpl´enetU.tedull´e lestravauxante´rieurssurlesujet[AO][CCY][LTY][RRV]danslesquelsle comportementauvoisinagedelinninestpre´cis´equ`alrd´Or o re zero. cestl´etudeducomportement`alinniquiapermisdetesterlavalidit´e duth´eor`emedeMin-Oo[MO2].Au§.5 nous construisons un exemple qui metdirectementenevidenceleslimitesdenotreme´thodelorsquelavaleur ´ duparam`etredepond´erationssesttieeu´horsde l’intervalle prescrit par le the´ore`medisomorphismede[GL]. Nous avons regro ´ pendice (§.enemtetsnichesqu)6evidocsr´lpm upe en ap absents de [GL]. Indiquons enfin que l’analyse dans les espaces Λsnous permet aussi d´etudier,dansunautretravailencours,laprescriptibilite´localedela coubure de Riccissul-ererotvqsiienuigyhadelemaeu´aue(sanspperboliq streindrea`laclasseconforme). Mesremerciementsvont`aPhilippeDelanoe¨,quiencadremath`ese`a lUniversit´edeNice,o`ujesuisallocatairederechercheduMENESRdepuis Octobre 1994. Je remercie aussi Maung Min-Oo pour son accueil constructif duneversionpre´liminairedecetravail,ainsiqueMarcHerzlichetleReferee de cet article, pour leurs commentaires concernant la masse. Enfin je remer-cieGillesLaschonetFranc¸oisGauteropourleursremarquesetleuramical soutien.
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.

Diffusez cette publication

Vous aimerez aussi