Avant propos Preliminaires Feuilletages La dimension La codimension Les feuilles compactes

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Avant-propos Preliminaires Feuilletages La dimension 1 La codimension 1 Les feuilles compactes La theorie des feuilletages expliquee a mes frangins et frangines ! Aziz El Kacimi Universite de Valenciennes Journee “Exposons-nous” - LAMAV (6 janvier 2011) Ecole Polytechnique de Tunisie (28 avril 2011)

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Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Source : univ-valenciennes.fr
Nombre de pages : 65
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Avant-proposPr´leminiiaerFsuelitalesLgeimadsienL1nodocaneminoisfeui1Lescompllesscaet
Lath´eoriedesfeuilletagesexplique´ea` mes frangins et frangines !
Aziz El Kacimi Universite´deValenciennes
Journee “Exposons-nous” - LAMAV(6 janvier 2011) ´ ´ Ecole Polytechnique de Tunisie(28 avril 2011)
AavtnueFseriaegatellisPporo-pinimelr´neisdomiseefnoL1imensLad1Lacsion
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Extraitsdepo`emesde Alphonse de Lamartine ˆ O temps ! ˆ O temps ! suspends ton vol, et vous, heures propices ! Suspendez votre cours : Laissez-noussavourerlesrapidesde´lices Des plus beaux de nos jours !
Le lac Ainsi,toujourspouss´esversdenouveauxrivages, Danslanuite´ternelleemporte´ssansretour, Nepourrons-nousjamaissurloc´eandesaˆges Jeter l’ancre un seul jour ?
uruuqviraenrgnaedmpte`as:daielenstnilnats
– la population d’un pays (on mesuretenann´ees); latemp´eratureduncorps(onmesuret ;en minutes) unepopulationdebact´eries(onmesuret ;en tranches de 20 mn) uncapitald´epose´en´epargne(onmesureten mois)... Proble`me:edonsiesprexlerinDe´etmrG(t)en fonction det! Habituellement, on ne connaıt que la valeurG0deGniautansnt`t0 ˆ et une relation entreGnemevitaa`ttsavariationrelet-d`at-eseirc, sd´rive´eGdtd(quand ell existe). a e
SoitG une certaine valeurG(t)elep.lEplemexareptrˆeut:e
t, elle prend
´ GRANDEURS DEPENDANT DU TEMPS
etaguillesFenairilimrPe´poso-trpanAvmoaptcseuelielcsn1iosfLediconsmeoisnaL1naLseemid
Lexpe´riencenousmontrequelavariationrelativedGdtde chacune des grandeurscite´esestproportionnellea`G(t)i.e.il existe une constanteKl(´neereimdeangrlaetd´eturala`ee´iederutan approximativement) telle queGdtd(t) =KG(t)ou encore :
ddtG(t)KG(t) = 0 C’est typiquement un exemple d’´qeauitnoid´retienleel: une relationentrelafonctioninconnue(quoncherchea`de´terminer)etsa de´rive´e(oucertainesdesesd´erive´esdordresup´ieur).Lasolution er ge´ne´raledecette´equationestalors:G(t) =CeKt`uoCest une constante. Si on connaˆıt la valeurG0deGl`astintianitinlat0= 0, on voit alors queC=G0stee´echep´enndo:ra.Docnalofcnitnohcre
t
G(t) =G0eKtnstaoutintta`t
idocsnem1noifseLileusclepaomesctanriseeFiulltegaesLadimension1LanavAosopprt-mili´ePrtant`tauoitsn
eitnlevaspc;temerallen´eeng´enteitfaduerse´p
Leepmararte`t quebeaucoupde´quationsdie´rentiellesproviennentdeprobl`emesde physique,chimie,e´conomie...(onenadonne´quelquesexemples)dans lesquels la fonction d´crit les variations d’une certaine grandeur en ϕe fonction det.
ϕ(t) =f(t ϕ(t))
EnetΩun ouvert deR×E. Uneioatqu´eere´idnelleitnsurΩest une relation de la forme : dxf(x) = dtto`uf: Ω−→Eest une fonction continue etxun vecteur deE variant en fonction deten.rcnouqtemieretd´`aherche Unesolutiondionequatte´eecetdee´inualtsnnoduveotererntllva JdeRenofcnitedtuableond´erivϕ:J−→Etelle que, pour tout tJ, on ait :
efsDteacmpcoeslliuefseL1noisnemiacodon1LensiadimegLselatuelierFsnioidedsnemilcuneidespaceesoientl´nrela,e¸aocgne´opor´rPsmileianivaA-pnt
Exemples i) Prenonsfte´estanauvegaleruetccnoaE. Alors l´equationdi´erentielleestd´eniesurR×Eet toute fonction affineϕ:R−→Ededirectionaen est une solution.Toutefois,sionimpose`aϕde prendre une valeur particulie`rex0nsinttaal`t0, la solution devientunique.
Surlexempleii),onvoitque,mˆemesionimposelacondition ϕ(λ) = 0, la solution n’est pas unique :ϕ= 0etϕλsont deux solutions s’annulant enλ!
ii) Soitf:R×R−→Ralofcntnocnoite´deuniarepni f(tx) = 3x32. Alors la fonction identiquement nulleϕ= 0 estsolution;demeˆme,pourtoutλR,ϕλ(t) = (tλ)3est une solution qui s’annule pourt0=λ.
setocsecapmfeeslluisien1LonL1cadomimineisnotagesLadsFeuilleerianimile´rPsopro-pntvaA
avtnp-orAiullseefnoL1neisodim1LacsionimendaLsegatelliueFsreaiinimelr´sPpo
Cecisigniequonimposea`laouc´enteirberglade passer par le pointx0tnatins`alt0lon(lecaup)dblroL.losaoitue`emedaCcuyh estdonneeparleth´eore`mequisuitquonpeutattribueraumoins`a ´ A. Cauchy, S. Kowaleska et E. Picard. Pour tout(t0x0)Ωet tous α >0etη >0, on noteraB=B(x0 η)la boule ouverte de centre x0et de rayonηetJαl’intervalle ouvert]t0αt0+α[.
ϕ(t0) =x0 qu’on appellecondition initiale,ensetiuaenuertuopyh`ethsusearl fonctionf.
On appelleprhcyCeuamedebo`l,diontiuaeqe´uttoelleitnere´ordinairex=f(tx)avec une condition initialex(t0) =x0o`u (t0x0)Ω.
pmcaseocuoaretPsunesvoirionuolutli,euqincnodtuafrsepoim
setcauifees1LmpcoesllnoL1cadomineisnoletagesLadimensimileianiFserliuevaA-pntporor´sP
Th´eore`medexistence Soient(t0x0)Ω,ε >0etη >0 Ω0=Jε×Bsoit contenue dansΩ. Supposonsf: Ω−→E lipschitzienne surΩ0. Posons : (tx)Ω0tα= infεηM= sup|f(tx)|eM Alorsleprobl`emedeCauchy: x=f(tx)avecx(t0) =x0 admet unesolutionϕintervalleferm´elrus Jα= [t0αt0+α]; elle estuniquei.e. toute autre solution de´niesurJαealega´estϕ. `
hde´leasluqetederenc
apmosetcliuecseln1iosfLediconsmesnoi1naLseaLidemuilletagnairesFeosopprt-mili´ePrnavA
Dans son livreseuspp´lCahiprtthladeesirtaenemsedeiroe´ e´quationsdi´erentiellesordinaires,Vladimir Arnoldrapporte queI. Newtoncoetitnedtnausenedalipnceruvco´eere`disnirpaseuq phrasequilanot´eesousformedanagrammeetqui,enlangage moderne,dit`apeupr`esceci:
` Aquandremontelad´ecouvertedese´quationsdie´rentielles? Probablementaumomentou`onacommence´`aseposerdesquestions sur les liens qui existent entre les valeurs d’une grandeur et la manie`redontellevarieenfonctiondesparame`tresquila de´terminent!
Ilestutiledere´soudrelese´quationsdi´erentielles!
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