Avant propos Preliminaires Feuilletages La dimension La codimension Les feuilles compactes

Aziz El Kacimi Université De Valenciennes

Description

Niveau: Supérieur
Avant-propos Preliminaires Feuilletages La dimension 1 La codimension 1 Les feuilles compactes La theorie des feuilletages expliquee a mes frangins et frangines ! Aziz El Kacimi Universite de Valenciennes Journee “Exposons-nous” - LAMAV (6 janvier 2011) Ecole Polytechnique de Tunisie (28 avril 2011)

• ocean des ages jeter


• derivees d'ordre superieur


• instant initial


• grandeurs dependant du temps


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• capital depose en epargne


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• nature de la grandeur

Sujets

• École polytechnique
• Grandeur

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Avant-proposPr´leminiiaerFsuelitalesLgeimadsienL1nodocaneminoisfeui1Lescompllesscaet

Lath´eoriedesfeuilletagesexplique´ea` mes frangins et frangines !

Aziz El Kacimi Universite´deValenciennes

Journee “Exposons-nous” - LAMAV( 6 janvier 2011) ´ ´ Ecole Polytechnique de Tunisie( 28 avril 2011)

AavtnueFseriaegatellisPporo-pinimelr´neisdomiseefnoL1imensLad1Lacsion

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Extraitsdepo`emesde Alphonse de Lamartine ˆ O temps ! ˆ O temps ! suspends ton vol, et vous, heures propices ! Suspendez votre cours : Laissez-noussavourerlesrapidesde´lices Des plus beaux de nos jours !

Le lac Ainsi,toujourspouss´esversdenouveauxrivages, Danslanuite´ternelleemporte´ssansretour, Nepourrons-nousjamaissurl’oc´eandesaˆges Jeter l’ancre un seul jour ?

uruuqviraenrgnaedmpte`as:daielenstni’lnats

– la population d’un pays (on mesure t enann´ees); –latemp´eratured’uncorps(onmesure t  ;en minutes) –unepopulationdebact´eries(onmesure t  ;en tranches de 20 mn) –uncapitald´epose´en´epargne(onmesure t en mois)... Proble`me:edonsiesprexl’erinDe´etmr G(t) en fonction de t ! Habituellement, on ne connaıt que la valeur G 0 de G niautansnt` t 0 ˆ et une relation entre G nemevitaa`”ttsa“variationrele t -d`at-eseir’c, sd´rive´e Gd td (quand ell existe). a e

Soit G une certaine valeur G(t) elep.lEplemexareptrˆeut:e

t , elle prend

´ GRANDEURS DEPENDANT DU TEMPS

etaguillesFenairilimrPe´poso-trpanAvmoaptcseuelielcsn1iosfLediconsmeoisnaL1naLseemid

L’expe´riencenousmontrequelavariationrelative dG dt de chacune des grandeurscite´esestproportionnellea` G(t)i.e. il existe une constante K l(´neereimdeangrlaetd´eturala`ee´iederutan approximativement) telle que Gd td (t) =KG(t) ou encore :

d dt G (t)−KG(t) = 0 C’est typiquement un exemple d’´qeauitnoid´ffretienleel: une relationentrelafonctioninconnue(qu’oncherchea`de´terminer)etsa de´rive´e(oucertainesdesesd´erive´esd’ordresup´ieur).Lasolution er ge´ne´raledecette´equationestalors: G(t) =Ce Kt `uo C est une constante. Si on connaˆıt la valeur G 0 de G l’`astintianitinla t 0 = 0 , on voit alors que C=G 0 stee´echep´enndo:ra.Docnalofcnitnohcre

t

G(t) =G 0 e Kt nstaoutintta` t

idocsnem1noifseLileusclepaomesctanriseeFiulltegaesLadimension1LanavAosopprt-mili´ePr tant`tauoitsn

eitnlevaspc;temerallen´eeng´enteitfaduerse´p

Leepmararte` t quebeaucoupd’e´quationsdiffe´rentiellesproviennentdeprobl`emesde physique,chimie,e´conomie...(onenadonne´quelquesexemples)dans lesquels la fonction d´crit les variations d’une certaine grandeur en ϕ e fonction de t .

ϕ ′ (t) =f(t ϕ(t))

En et Ω un ouvert de R×E . Uneioatqu´eere´ffidnelleitnsur Ω est une relation de la forme : dx f(x) = dt t o`u f: Ω−→E est une fonction continue et x un vecteur de E variant en fonction de t en.rcno’uqtemieretd´`aherche Unesolutiondionequatte´eecetdee´inu’altsnnoduveotererntllva J de R enofcnitedtu’ableond´eriv ϕ:J−→E telle que, pour tout t∈J , on ait :

ef s D teacmpcoeslliuefseL1noisnemiacodon1LensiadimegLselatuelierFs nioidedsnemilcuneid’espaceesoientl´nrela,e¸aocgne´ opor´rPsmileianivaA-pnt

Exemples i) Prenons f te´estanauvegaleruetccno a∈E . Alors l’´equationdiff´erentielleestd´efiniesur R×E et toute fonction affine ϕ:R−→E dedirection a en est une solution.Toutefois,sionimpose`a ϕ de prendre une valeur particulie`re x 0 ns’inttaal` t 0 , la solution devientunique.

Surl’exempleii),onvoitque,mˆemesionimposelacondition ϕ(λ) = 0 , la solution n’est pas unique : ϕ= 0 et ϕ λ sont deux solutions s’annulant en λ !

ii) Soit f:R×R−→R alofcntnocnoitfie´deuniarepni f(tx) = 3x 32 . Alors la fonction identiquement nulle ϕ= 0 estsolution;demeˆme,pourtout λ∈R , ϕ λ (t) = (t−λ) 3 est une solution qui s’annule pour t 0 =λ .

setocsecapmfeeslluisien1LonL1cadomimineisnotagesLadsFeuilleerianimile´rPsopro-pntvaA

avtnp-orAiullseefnoL1neisodim1LacsionimendaLsegatelliueFsreaiinimelr´sPpo

Cecisignifiequ’onimposea`laouc´enteirberglade passer par le point x 0 tnat’ins`al t 0 lon(lecaup)dblroL.losaoitue`emedaCcuyh estdonneeparleth´eore`mequisuitqu’onpeutattribueraumoins`a ´ A. Cauchy, S. Kowaleska et E. Picard. Pour tout (t 0 x 0 )∈Ω et tous α >0 et η >0 , on notera B=B(x 0  η) la boule ouverte de centre x 0 et de rayon η et J α l’intervalle ouvert ]t 0 −αt 0 +α[ .

ϕ(t 0 ) =x 0 qu’on appellecondition initiale,ensetiuaenuertuopyh`ethsusearl fonction f .

On appelleprhcyCeuamedebo`l,diontiuaeqe´uttoelleitnere´ff ordinaire x ′ =f(tx) avec une condition initiale x(t 0 ) =x 0 o`u (t 0 x 0 )∈Ω .

pmcaseoc uoar et P s unesvoirionuolutli,euqincnodtuafrsepoim

setcauifees1LmpcoesllnoL1cadomineisnoletagesLadimensimileianiFserliuevaA-pntporor´sP

Th´eore`med’existence Soient (t 0 x 0 )∈Ω , ε >0 et η >0 Ω 0 =J ε ×B soit contenue dans Ω . Supposons f: Ω−→E lipschitzienne sur Ω 0 . Posons : (tx)∈Ω 0 t α= inf  ε η   M= sup|f(tx)| e M Alorsleprobl`emedeCauchy: x ′ =f(tx) avec x(t 0 ) =x 0 admet unesolution ϕ ’intervalleferm´elrus J α = [t 0 −αt 0 +α] ; elle estuniquei.e. toute autre solution de´finiesur J α ealega´est ϕ . `

hde´lea’sluqetederenc

apmosetcliuecseln1iosfLediconsmesnoi1naLseaLidemuilletagnairesFeosopprt-mili´ePrnavA

Dans son livreseuspp´lCahiprtthladeesirtaenemsedeiroe´ e´quationsdiff´erentiellesordinaires,Vladimir Arnoldrapporte queI. Newtoncoetitnedtnausenedalipnceruvco´eere`disnirpaseuq phrasequ’ilanot´eesousformed’anagrammeetqui,enlangage moderne,dit`apeupr`esceci:

` Aquandremontelad´ecouvertedese´quationsdiffe´rentielles? Probablementaumomentou`onacommence´`aseposerdesquestions sur les liens qui existent entre les valeurs d’une grandeur et la manie`redontellevarieenfonctiondesparame`tresquila de´terminent!

“Ilestutiledere´soudrelese´quationsdiff´erentielles!”