Lycee Brizeux Mathematiques PCSI

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Lycee Brizeux Mathematiques PCSI 2010-2011 Devoir de Mathematiques 5 : corrige Exercice 1. Restez groupes 1. cf cours. 2. Soit le groupe (C?,?) (complexes non nuls muni de la multiplication). • 1 ? U donc U n'est pas vide. • Soit (z1, z2) ? U2. Alors |z1z ?1 2 | = |z1| |z2| = 1 donc z1z ?1 2 ? U • En conclusion U est un sous-groupe de (C?, .). 3. Soit le groupe (Z,+) (entiers relatifs muni de l'addition) et ? ? U. (a) Soit (m,n) ? Z2. ?(m+ n) = ?m+n = ?m.?n = ?(m).?(n). Donc ? definie par ?(n) = ?n est un morphisme de groupes. (b) On suppose que ? = ?1. Nous avons ?(n) = (?1)n = 1 si et seulement si n ? 2Z. En conclusion ker? = 2Z. L'endomorphisme ? n'est donc pas injectif puisque son noyau n'est pas reduit a l'element neutre 0. Exercice 2. Limite inferieure et superieure d'une suite bornee 1.

  • limite ?

  • consequent ?n

  • propriete de positivite de l'integrale entraıne

  • application injective

  • relation de chasles entraıne

  • entraıne

  • etant positive

  • u0 ?


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
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Lyc´eeBrizeux
Mathe´matiques
PCSI 2010-2011
DevoirdeMathe´matiques5:corrig´e
Exercice1.Restezgroupe´s
1. cfcours. 2. Soitle groupe(C,×)(complexes non nuls muni de la multiplication). 1UdoncUn’est pas vide. 1|z1|1 2 ors|z z|1= =doncz zU Soit(z1, z2)U. Al1 21 2 |z2| En conclusionUest un sous-groupe de(C, .). 3. Soitle groupe(Z,+)(entiers relatifs muni de l’addition) etωU. 2 (a) Soit(m, n)Z. m+n mn ϕ(m+n) =ω=ω .ω=ϕ(m)(n). n Doncϕpeinrae´dϕ(n) =ωest un morphisme de groupes. n (b) Onsuppose queω=1. Nous avonsϕ(n) = (1) =1si et seulement sin2Z. En conclusionkerϕ= 2Z. L’endomorphismeϕquispuifyanoonesaptsenutiude´rsnnopcsedtejtcsani`al´el´ementneurte0.
Exercice2.Limiteinf´erieureetsupe´rieuredunesuiteborne´e
1. (a)i.Bcnod,e´rojamtevidetnonessup(B)existe. ii. PuisqueABet puisquesup(B)est un majorant deB,on en tire quexsup(B)pour toutxA. Cecie´tablitqueAe´rojamtsuisqeetpueA,elivndiceuone´dquleestnoesup(A)existe. Enfin,sup(B)est un majorant deAet puisquesup(A)est le plus petit des majorants deA,on obtient quesup(A)sup(B). (b) i.Btnonesnc´ronod,eedivimteinf(B)existe. ii. PuisqueABet puisqueinf(B)est un minorant deB,on en tire queinf(B)xpour toutxA. Ceci´etablitqueAueuisqeetpnor´eimtsAeequleouecne´d,elivnditsoninf(A)existe. Enfin,inf(B)est un minorant deAet puisqueinf(A)est le plus grand des minorants deA,on obtient queinf(B)inf(A). 2. L’ensembleΩ0{uk:kN}e.n´ortbseOrΩnΩ0pour toutnN.Ptcoare´snneuqΩneobts,ailleursrn´e.Par Ωnntnoived´tenaueeqltsu´enrle,iinf(Ωn)etsup(Ωn)existent. 3. Onmontre que la suite(αn)najtm´eorcee,i´quseorctassieetntementquelasuitetebailarmi´mdeai(αn)nest convergente. On remarque queΩnΩn+1pour toutnN.La question 1 (b) ii. entraˆıne queαnαn+1pour toutnN. Par ailleurs,(un)nsteee,ilexi´nrobtnate´MRtel queunMpour toutnN.On aαnuncarunΩn. Dou`αnMpour toutnN.Ceci montre que la suite(αn)namtserapee´rojM. 4. Onmontre que la suite(βn)n´ronc,eeiuqeate´irblmmaidi´eematsedt´ecroissanteetmieitsulauetqen(βn)nest convergente. On remarque queΩnΩn+1pour toutnN.qenıeune.iˆartn1io)i(aaqLstueβnβn+1pour toutnN. Par ailleurs,(un)nteisexiltnate´,ee´nrobmRtel queunmpour toutnN.On aβnuncarunΩn. Dou`βnmpour toutnN.Ceci montre que la suite(βn)nestminor´eeparm. 5. On aαnunβnpour toutnN,en particulierαnβnpour toutnN.Esapntnaslimi`alansteda line´galit´eontrouve:limunlimun. 6.Dapr`eslaquestionpre´c´edente,onaαnunβnpour toutnN.atdienemtiui´emmnenOde´dqteu limn+un=`ndutatioplicarapps.meardnegsedeme`roe´h
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Exercice 3. Etude d’une suite
Mathe´matiques
PCSI 2010-2011
Onconsid`erelasuite(un)nN´endralrapeidnoitalerrcu´eer:ceen u0R+ 3un nN, un+1= un+ 1 3x3 0 Consid´eronslafonctionfienrpae´df(x) =. La fonctionfestrelusviba´dreR+etf(x) =. Nous 2 x(1 ++ 1x) avons le tableau de variation : x0 +f(x) 0%+
1.Onve´riequef([0,+[)[0,+[: ainsi[0,+[est un intervalle stable pourf. Donc siu0[0,+[alors un[0,+[pour toutn0intabisid´ennie)e.l(iusaseet 2. Lafonctionfequerierv´utpeon´etantcroissante(un)enotonomtseengdeelisidre´etuussieuta.Onpg:x7→ x(2x) f(x)x=. Nous avons le tableau : 1 +x x0 2+g(x) + 0Siu0= 0alors pour toutn0nous avonsun= 0. La suite est stationnaire et converge vers0. Siu0]0,2]alors pour toutn0nous avonsun]0,2]et(un)est croissante (puisquef(x)x). La suite estcroissanteetmajor´ee:elleconvergeverslepointxe2. Siu0[2,+[alors pour toutn0nous avonsun[2,+[et(un)equ(etnsiup´odrtcseaessif(x)x). Lasuiteestde´croissanteetminor´ee:elleconvergeverslepointxe2.
Cas0< u02.
Cas2u0<+.
Exercice4.Etudeasymptotiquedunese´riedivergente 1 1.Sn+1=Sn+pour toutnN.lIne´rquteulese(Sn)nest strictement croissante. n+ 1 1 11 2. Lafonctionx7→ √e´rcnedtattcmtentsei´rsuranteoiss[k, k+ 1],on trouve :x[k, k+ 1],√ ≤ √. 2x2x 2k R k+1dxRk+1dx1 Lapropri´ete´depositivit´edelinte´graleentraıˆne:√ ≤=. k k 2x 2k2k
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Mathe´matiques
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R Pn k+1dx Ilenr´esulteimme´diatementque√ ≤Sn.Or la relation de Chasles entraˆıne k=1k 2x nZ Z k+1n+1 X dx dx =. 2x2x k1 k=1 R 1n+1dx La fonctionx7→ √te´ptnatisoseviur[1, n+ 1],qteudeiuend´on√ ≥0,netnauqierocodplapen`u n 2x2x une fois la relation de Chasles : Z Z n n+1 dx dx √ ≤. 2x2x 1 1 R R ndxn+1dx Dou`ler´esultatdemande´:√ ≤√ ≤Snpour toutnN. 1 1 2x2x Rdxx=n n3. Ona= [x] =n1. 1x=1 2x Orlimn1 = +.Du`olimn+Sn= +dapr`eslte´hoe`rmedecemoonisrapa. n+R R k+1dxk+1dx1 4.(a)Commea`laquestion2,ontrouve√ ≥=pour toutkNEn sommant k k 2x2k+ 12k+ 1 R P ndxn111 lesine´galite´strouv´eespourkJ1, n1K,on obtient :√ ≥=Snpour tout 1k=1 2 2x2k+ 1 nN.Finalement, on trouve : 1nN, Sn=n− ≤n. 2 √ √1Sn ∗ ∗ (b) Onan1Snnpour toutnN.:u`oD1− √≤ √1pour toutnN.lI´rselualtesdoru n n Snth´eore`medesgendarmesquelim= 1,ce qui montre queSnn. n n+5.Ceciest´equivalent`adirequelimεn= 0. n+εn En effet,εn=o(1)`tauqvilanee´estlim =0. n+1 ∗ ∗ 6.Dapr`eslaquestion3,onaSnn1pour toutnN.Do`uun0pour toutnNabettqlilaueuq´iec suite(un)ne.senimte´ro 7. PourtoutnNon a : 1 unun+1=n+ 1n− √ 2n 1 1 =− √√ √ n+ 1 +n2n+ 1 √ √∗ ∗ Orn+n+ 1<2n+ 1pour toutnN.D`ouunun+1>0pour toutnN.Ce qui montre que la suite(un)netna.striestnedttcmeiosse´rc 8. Lasuite(un)netimilenusrroecsaised´stroe´.elEtneemtnigedoncveleconver`R.Ptenqu´enscoarlimun`= n+0,qeiuccrits´eun`=o(1)oi5n.dapr`eslaquest Dou`un=`+o(1). √ √ 9.Onaimm´ediatementSn=un+n1 =n+`1 +o(1). | {z } :=α
Proble`me.SommesdeCes`aro
Etantdonn´eeunesuiteu= (un)nNls,lasuibresr´eednemoetS(u) = (S(u)n)urpoutto´edienreneitn1par : n1 n1 X 1u0+u1+...+un1 S(u)n=uk=, n n k=0
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