Modele de Wess Zumino Witten Novikov graphes d'invariants modulaires issus de WZWN avec un groupe non simplement

Krzysztof Gawedzki

Description

Niveau: Supérieur, Master
Modele de Wess-Zumino-Witten-Novikov, graphes d'invariants modulaires issus de WZWN avec un groupe non simplement connexe Chetrite Raphael Rapport de stage de Maıtrise 11 aout 2005 Table des matieres I Introduction 3 II Modele de WZW sans bord 4 1 Particule sur un groupe 4 2 Modele de WZW 5 III Modele de WZW a bord 8 3 Espace de Hilbert pour G simplement connexe 8 4 Definition et description de W ? 1 ?0,?(k) = Hom FR g (V?1 , V?0 ? V?) 9 4.1 Definition de A? 1 ?0,? = Homg(V?1 , V?0 ? V?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Description de A? 1 ?0,? par Gawedzki [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2.1 Injectivite de i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2.2 Image de Homg(V?1 , V?0 ? V?) par i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3 Definition de W ? 1 ?0,?(k) .

• espaces de multiplicite apparaissant dans l'expression de l'espace de hilbert de la theorie


• modele wzw


• expression de l'espace de hilbert de la theorie


• champ


• invariance conforme


• rajout de conditions aux limites

Sujets

• rapport de stage
• Maîtrise
• Schwartz
• Joukovski

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Publié le: 01 août 2005
• Nombre de lectures: 177

Extrait

Mod`eledeWess-Zumino-Witten-Novikov,graphesd’invariants modulaires issus de WZWN avec un groupe non simplement connexe Chetrite Raphael RapportdestagedeMaıˆtrise 11 a ˆt 2005 ou

Tabledesmatie`res

I Introduction

IIMode`ledeWZWsansbord 1 Particule sur un groupe 2Mod`eledeWZW

3

4 4 5

IIIMod`eledeWZWa`bord8 3 Espace de Hilbert pour G simplement connexe 8 4D´efinitionetdescriptiondeW λ λ 0 1 ,λ (k) =H om R g F (V λ 1 , V λ 0 ⊗V λ )9 4.1De´finitiondeA λ λ 0 1 ,λ =H om g (V λ 1 , V λ 0 ⊗V λ  . . . . . . . . . . . . . . . . . .) . 9 4.2 Description deA λ λ 1 0 ,λ par Gawedzki [1] . . . .  . 10. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1Injectivit´edei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2.2 Image deH om g (V λ 1 , V λ 0 ⊗V λ ) pari. . . . . . . . . . . . . . .. . . .  11 eW λ 1 4.3De´finitiond λ 0 ,λ (k 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) . 4.4 Des exemples et des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.4.1 EX 1 :G=SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.4.2 EX 2 :G=SU(N),λ= Λ 1 , graphe pourk 14. . . . . . . . . .= 1 . . . 4.4.3 EX 3 : GraphesG=SU(3),λ= Λ 1 . . . . . . . . . . . . . . . 16. . . . 4.4.4 EX 4 : GrapheG=SU(4),λ= Λ 1 ,k 18. . . . . . . . . . . .= 2 . . .  .

1

` TABLE DES MATIERES

5 Espace de Hilbert avec G non simplement connexe 5.1 Action deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .sur les poids . . . . . .  . 5.2Constructiondel’espacedeHilbertdelathe´orieavecGZcomme groupe cible `apartirdecelleavecG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5.3 Exemples et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1G=SU(2)Z 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2G=SU(3)Z 3 , λ= Λ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3G=SU(4)Z 4 , λ= Λ 1 , k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2 5.3.4G=SU(4)Z 2 , λ= Λ 1 , k .= 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV Conclusion

VAnnexe:Miscellanne´essurlesgroupesetalg`ebresdeLie 6ClassificationdeCartandesalge`bresdeLiesemi-simple 7 Poids et plus haut poids d’une algebre de Lie ` 8 Cas SU(N) C =SL(N,C) 9Alge`bredeKac-Moodyaffine

2

20 20 23 25 25 29 34 35

35

36 36 37 37 38

3

Premie`repartie Introduction Monstages’estd´eroul´edeJuin`aAoˆut`al’ENSLyon.Jetienstoutd’abord`aremercier KrzysztofGawedzkipoursagentillesseetlagrandequalite´desmini-coursqu’ilm’adonn´es durantcestage.JeremercieaussiF.DelducetJ-Y.Dellanoy.Cestages’estscinde´entrois parties : enseignement (5-6 semaines), ”recherche” autonome (2-3 semaines), redaction et ´ lecturescomple´mentaires(3-4semaines).L’enseignementmefutdispens´eparKrzysztofGa- wedzkietportasurunpeudecalculdiffe´rentiel,deg´eom´etriesymplectique,d’alg`ebredeLie etsurlemode`ledeWZW.Montravailderecherchefutdede´crirelesespacesdemultiplicite´ apparaissantdansl’expressiondel’espacedeHilbertdelath´eorielorsquelegroupecible estnonsimplementconnexe,travaild´eja`re´alise´pourSOutnWZseedeWd`elLemo(3). mode`ledeth´eoriedeschampssansmassededimensiondeuxquipossedeunesym´etriedite ` conforme. La notion de transformation conforme en science est ancienne. Hermann Schwartz, mathematicienallemandles´etudiea`lafindu19 eme meˆeamsth´eoriei`ecleeneiel`tlaudopettn ´ pe´riode,NicolasJoukovskilesutilisaitpourmode´liserl’e´coulementhydrodynamiqueautour d’uneailed’avion.L’id´eeestdetransformerunproble`mea`conditionsauxlimitesbiscornues enunprobl`eme`aconditionsauxlimitessimples.Cettenotions’estintroduitedanslacom- munaut´edesth´eoriciensdeschampslorsqueons’estrenducomptequeleslimitesd’´chelle e desyst`emesdem´ecaniquestatistiqueaupointdetransitiondephasedusecondordre´etaient desthe´oriesdeschampsconformes(TCC).C’est`adireinvarianted’e´chelleglobaleetlocale. Lespremie`restentativespourutiliserl’invarianceconformecommeprincipedirecteurdans lathe´oriedesph´enome`nescritiquesdatentdede´but1970etsontdˆusaPolyakov,Lu¨scheret Mack.Polyakovavaitanalys´elescons´equencesdecettesym´etrieendimensionsquelconques surlesfonctionsdecorre´lations.Pourdesdimensionsdiff´erentesde2,lessyme´triesconformes sontpeunombreuses(compos´eesderotations,translations,dilatationsetinversion).Lari- chessedecettesyme´trieadeuxdimensionsestduea`unealge`bresous-jacenteinfinie: l’alg`ebredeVirasoroquiexistaitd´ej`acarapparuedansunethe´orieancˆetredescordes.Mais lav´eritablenaissancedelathe´orieconformedeschampsdatede1984avecl’articledeBelavin- Polyakov-Zamolodchikov.Ilsontmontre´comment,dansdesespacestempsbidimensionnels, lasym´etrieconformepermetdetrouverlessolutionsexactesd’unes´eriedemod`elesqualifi´es deminimauxcense´esd´ecrireleslimitesd’´echellesdeplusieurssyst`emescritiquesbidimension- nelscommelesmod`elesd’Ising,dePotts∙ ∙ ∙etneiaatpsunqutiIne.ntoiriscnemmixetpe´dadne the´oriedeschampsdesmode`lesinte´grablesappel´essigmaprincipauxou`lechampsprendses valeursdansungroupedeLiecompact,maiscesth´eoriesontlede´fautd’eˆtremassivesdonc noninvariantesconformes.En1984,Wittenmodifiecesthe´oriesenajoutantuntermedit topologiquecequirendd’unseulcoupcesmod`elesinvariantconforme,etleurdonnentune invariancesouslesalg`ebresdeKac-Moodyquie´tendl’invarianceconforme.Onobtientune se´riediscre`tedemode`les:lesmode`lesWZW.Puisen1985,Goddart,KentetOlivemontrent quelas´eriedesmode`lesminimauxunitairesestengendre´apartirdeWZWparlaconstruc- tion du coset. Depuis, d’autres versions de cette construction engendrent une riche famille deth´eoriesconformesdeschamps.Lemode`leWZWoccupedoncuneplacecentraledans l’´etudedesTCCbidimensionnelle.Lesexempleslesplussimplesdethe´oriesconformesdes